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高考文科导数考点汇总
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高考导数文科考点总结
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
导数概念与运算知识清单
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f
（x 0+x ?）－f （x 0），比值x y
??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y
??有极限，我们就说函数
y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →?x x y
??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。
说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y
??不存在极
限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；
（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+)
()(00；
（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y
x ??→?0lim
。
2．导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:
①0;C '= ②
()1
;
n
n x
nx
-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;
⑤();x x e e '=⑥()ln x x
a a a '=; ⑦()1ln x x '=
; ⑧()1
l g log a a o x e x '=.
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
.)'
''v u v u ±=±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
.)('
''uv v u uv +=
若C 为常数,则'
''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
.)('
'Cu Cu =
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分
子的积，再除以分母的平方：??? ??v u ‘=2
'
'v uv v u -（v ≠0）。
形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X
导数应用知识清单
单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
如果'
f )(x 0>，则)(x f 为增函数；
如果'
f 0)( 如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数； 2．极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值： 一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数 c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123 ++=x x y 在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切 线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数 的导数为x y 2/ =， 所以过 ),(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以 有 3 52000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切 线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切 线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(2 3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由 .23)(,)(2 23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： 而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 故???-=-=+?? ?-=-=++3023 3 23c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(2 3+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当; 0)(,32 2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时 ① 13)2()(.0)(,132 =-=∴>'≤ 13。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 ,23)(2 b ax x x f ++='由①知2a+b=0。 依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032 ≥+-b bx x ①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥= b b b f x f b x 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤= b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时； ③当. 60,01212)(,1622 min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞ 2．已知三次函数32 ()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； 解：(1) 2()32f x x ax b '=++， 由题意得，1,1-是2 320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-． 再由(2)4f -=-可得2c =-．∴ 3 ()32f x x x =--． (2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-， 当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=； 当1x >时，()0f x '>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１ 上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-． 3．设函数()()()f x x x a x b =--． （1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点． 解：（1） 2 ()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1． （2）当b=1时， ()0f x '=令得方程2 32(1)0.x a x a -++= 因 ,0)1(42 >+-=?a a 故方程有两个不同实根21,x x ． 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)(' x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当 时，2x x >)('x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。 题型四：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/ x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可 能是（ D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数 的图像为14313 +-= x x y ( A ) 3．方程内根的个数为在)2,0(076223 =+-x x ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1．设函数. 10,3231 )(223<<+-+-=a b x a ax x x f x -4 -2 o 4 2 2 4 （1）求函数)(x f 的单调区间、极值. （2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围. 解：（1）22 ()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---，令()0f x '=得12,3x a x a == 列表如下： x （-∞，a ） a （a ，3a ） 3a （3a ，+∞） - 0 + 0 - 极小 极大 ∴()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减 x a =时，3 4 ()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小 （2）22 ()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+， ∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减 ∴22(1)4(1)321Max f a a a a a '=-+++-=-， 22min (2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=- 依题|()|f x a '≤?||Max f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤ 解得415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4 [,1) 5 题型六：利用导数研究方程的根 1．已知平面向量a =(3,－1). b =(21 ,23). （1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ， 试求函数关系式k=f(t) ； (2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y ，∴x y ?=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2 a +[t-k(t2-3)] a b ?+ (t2-3)·2 b =0 ∵a b ?=0，2 a =4，2 b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41 t(t2-3) (2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41 t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数. 于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43 (t+1)(t-1). 令f ′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t 变化时，f ′(t)、f(t)的变化情况如下表： 当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21 . 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21 函数f(t)=41 t(t2-3)的图象如图13－2－1所示， 可观察出： (1)当k ＞21或k ＜－21 时,方程f(t)－k=0有且只有一解； (2)当k=21或k=－21 时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－21＜k ＜21 时,方程f(t)－k=0有三解. 题型七：导数与不等式的综合 1．设 ax x x f a -=>3 )(,0函数在),1[+∞上是单调函数.求实数a 的取值范围； 解：（1） ,3)(2 a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须,3,02x a y ><'即这样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数. 若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤23x ， 由于