数值分析(研究生)第二章插值与拟合一
插值与拟合
实验2 插 值 与 拟 合一、 概念的引入1. 插值与拟合在现实生活中的应用● 机械制造：汽车外观设计● 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT ） 2. 概念的定义● 插值： 基于[a,b]区间上的n 个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。
若要求φ(x)在xi 处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi 即是插值点● 逼近： 当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。
此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法● 光顾： 曲线的拐点不能太多，条件：①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小● 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾二、 插值理论设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x 0,x 1,…,x n 处取值y 0,y 1,…,y n 。
如果函数φ(x)在点x i 上满足φ(x i )=y i (i=0,1,2,…,n)，则称φ(x)是函数y=f(x)的插值函数，x 0,x 1,…,x n 是插值节点。
若此时φ(x)是代数多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。
显然 f(x)≈φ(x)，x ∈[a,b]1. 拉格朗日插值构造n 次多项式P n (x)= y k l k (x)=y 0l 0 (x)+y 1l 1 (x)+…+y n l n (x)，这是不超过n 次的多项式，其中基函数l k (x)=)...()()...()(()...()()...()(()1110)1110n k k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------+-+-显然l k (x)满足l k (x i )=⎩⎨⎧≠=)(0)(1k i k i此时 P n (x)≈f(x),误差R n (x)=f(x)-P n (x)=(x ))!1()(1)1(+++n n n f ωξ 其中ξ∈(a,b)且依赖于x ，(x)1+n ω=（x-x 0）(x-x 1)…(x -x n )很显然，当n=1、插值节点只有两个x k ,x k+1时P 1(x)=y k l k (x)+y k+1l k+1(x)其中基函数l k (x)=11++--k k k x x x x l k+1(x)= kk kx x x x --+12. 牛顿插值构造n 次多项式N n (x)=f(x 0)+f(x 0,x 1)(x-x 0)+f(x 0,x 1,x 2)(x-x 0)(x-x 1)+…+f(x 0,x 1,x 2,…,x n )(x-x 0)(x-x 1)…(x -x n )称为牛顿插值多项式，其中101010)()(),(x x x f x f x x f --=(二个节点，一阶差商)202110210),(),(),,(x x x x f x x f x x x f --=(三个节点，二阶差商)nn n n x x x x x f x x x f x x x f --=-02111010),...,,(),...,,(),...,,( (n+1个节点，n 阶差商)注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项R n (x)中n+1阶导数的运算，用牛顿插值公式R n (x)=f(x)-N n (x)=f(x,x 0,…,x n )ωn+1(x), 其中ωn+1(x)=(x-x 0)(x-x 1)…(x -x n )3. 分段插值------子区间内，避免函数在某些区间失真 1） 线性插值已知n+1个不同节点x 0,x 1,…,x n ,构造分段一次线性多项式P(x)，使之满足 ● P(x)在[a,b]上连续 ● P(x k )=y k● P(x)在[x i ,x i+1]上是线性函数，P(x)=∑=ni i i x l y 0)(2） 两点带导数插值---避免尖点、一阶连续区间[a,b]上两个互异节点x i ,x i+1，已知实数y i ,y i+1,m i ,m i+1，为了构造次数不大于3的多项式)(x i ϕ满足条件⎩⎨⎧==i i i i i i m x y x )()('ϕϕ ⎩⎨⎧==++++1111)()('i i i i i i m x y x ϕϕ 引入)(x u i ,)(x v i 使之满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++0)(0)()()(11''i i i i i i i i i i x u x u m x u y x u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++++1111)()(0)(0)('i i i i i i i i i i m x v y x v x v x v可以求出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=--++=+++++2111121))]()(2([)())]()(2([)(i i i i i i i i ii i i i i i i h x x x x y h m y x v h x x x x y h m y x u此时)(x i ϕ=)(x u i +)(x v i ，其中i i i x x h -=+14. 三次样条插值------二阶可导对于给定n+1个不同节点x 0,x 1,…,x n 及函数值y 0,y 1,…,y n ，其中a=x 0<x 1<…<x n =b 。
第二章 插值与拟合
第二章 插值与拟合2.1 插值与拟合的基本概念2.1.1 插值与插值函数已知由()g x (可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据 (,),0,1,,i i x y i n =，且n+1个互异插值节点011n n a x x x x b -=<<<<=，在插值区间内寻找一个相对简单的函数 ()f x ，使其满足下列插值条件：再利用已求得的()f x 计算任一非插值节点*x 的近似值**()y f x =，这就是插值。
其中()f x 称为插值函数， ()g x 称为被插函数。
下面介绍几种常用的而且有现成MATLAB 命令的插值方法的数学原理。
1. 分段线性插值将两个相邻节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作()n I x ，它满足()n j j I x y =，且()n I x 在每个小区间1[,],0,1,,j j x x j n +=，上是线性函数。
()n I x 可以表示为()()nn j j j I x y l x ==∑111111,,0(),,,j j j j j j j j j jj x x x x x j x x x x l x x x x j n x x ---+++-⎧≤≤=⎪-⎪⎪-⎪=≤≤=⎨-⎪⎪⎪⎪⎩舍去,舍去,0 其他()n I x 有良好的收敛性，即对于[,]x a b ∈时，有lim ()()n n I x g x →∞=。
用()n I x 计算x 点的插值时,只用到x 左右的两个节点,计算量与节点个数n 无关。
但是n 越大，分段越多，插值误差越小。
MATLAB 中有现成的分段线性插值命令： y=interp1(x0,y0,x)其中x0,y0为节点数组（同长度），x 为插值点数组，y 为插值数组。
2. 三次样条插值三次样条函数记作()()S x a x b ≤≤，要求它满足以下条件： （1）在每个小区间1[,](1,,)i i x x i n -=上是三次多项式；（2）在a x b ≤≤上二阶导数连续； （3）(),(0,1,,)i i S x y i n ==。
数值分析实验插值与拟合
《数值分析》课程实验一：插值与拟合一、实验目的1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象；3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理；4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。
二、实验内容1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。
2. 设]5,5[,11)(2-∈+=x xx f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。
不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。
(2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。
三、实验步骤1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件：⎩⎨⎧≠===ji j i x l ij j i ,0,,1)(δ的一组基函数{}ni i x l 0)(=，l i (x )的表达式为∏≠==--=nij j ji j i n i x x x x x l ,0),,1,0()(有了基函数{}ni i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为∑==ni i i n x l y x L 0)()((2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为1102110],,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-则n 次多项式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N差商表的构造过程：x i f (x i ) 一阶差商 二阶差商三阶差商 四阶差商x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f [x 0, x 1]x 2 f (x 2) f [x 1, x 2] f [x 0, x 1,x 2]x 3 f (x 3) f [x 2, x 3] f [x 1, x 2,x 3] f [x 0, x 1,x 2,x 3]x 4 f (x 4)f [x 3, x 4]f [x 2, x 3,x 4]f [x 1, x 2,x 3,x 4]f [x 0, x 1,x 2,x 3,x 4]试验结果：2. MATLAB程序实现：试验结果：3. 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n ； （2）列表计算)2,,1,0(0n j xmi ji=∑=和∑==mi i j i n j y x 0),,1,0( ；（3）写出正规方程组，求出),,1,0(n k a k =； （4）写出拟合多项式∑==nk kk n xa x p 0)(。
数值分析中常见的差值方法介绍
第二章 插值与拟合方法1 问题的描述与基本概念已知[,]a b 上实函数()f x 在1n +个互异点[,]i x a b ∈(0,1,,)i n =⋅⋅⋅处的函数值()i f x (0,1,,)i n =⋅⋅⋅，要求估算()f x 在[,]a b 中某点x 的值.1）插值问题的描述找近似函数P (x )，满足()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数;● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。
当插值函数()P x 是多项式时称为多项式插值. 为获得唯一的插值多项式，设0().nk k k P x a x ==∑用n H 表示次数不超过n 的多项式集合.定理 1 n H 中满足插值条件的插值多项式是存在且唯一.证明 仅证唯一性.设(),(),n n P x H Q x H ∈∈且都满足插值条件，于是有()()()(0,1,,).i i i P x Q x f x i n ===⋅⋅⋅令()()(),R x P x Q x =-那么()n R x H ∈.因为()()()()()0(0,1,,),i i i i i R x P x Q x f x f x i n =-=-==⋅⋅⋅所以()R x 有n +1个零点. 由代数基本定理有()0R x =，因此()()P x Q x ≡。
2 Lagrange 插值1n =时，设11()L x H ∈，满足100()(),L x f x =111()().L x f x =2n =时，设22()L x H ∈，满足2()()i i L x f x =(0,1,2)i =. 将2()L x 写成1001122()()()()()()(),L x f x l x f x l x f x l x =++其中()(0,1,2)i l x i =是二次多项式，满足1,()(,0,1,2)0,i j i jl x i j i j=⎧==⎨≠⎩可求得例一 已知数表用抛物插值计算(2)f 的近似值.一般地，()()(),nn i i i o L x f x l x ==∑其中 0,1,,.n )0,1,,)n 具有性质1,()(,0,1,,).0,i j i jl x i j n i j =⎧==⎨≠⎩()n L x 称为Lagrange 插值多项式，而()(0,1,,)i l x i n =称为Lagrange 插值基函数例二 证明：0,1,,n )10()().nn j j x x x ω+==-∏定理 2 设()()n f x 在[a,b ]上连续，(1)()n f x +在（a,b ）上存在，互异节点[,]k x a b ∈(0,1,,,)k n =，()n L x 是满足插值条件的插值多项式，则有对任何[,]x a b ∈成立式中()10().nn k k x x x ω+==∏-f x在[a,b]上有n+1阶导数，若能得设()则有余项估计式例三证明由下列插值条件所确定的Lagrange插值多项式是一个二次多项式.3 Newton 插值1) 构造原理已知数表设插值多项式为010201011()()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x x x -=+-+--+⋯+--⋯-借助插值条件可求出 )(x N n 的系数.当0x x =时，有000()(),n N x a f x ==得出00()a f x =. 当1x x =时, 有101101()()(),n N x a a x x f x =+-=可得10110(()()).()f x f x a x x -=-依次取n x x x ,,,32⋯并利用插值条件就可依次解出n a a a ,,,32⋯，从而求出)(x N n 的具体形式。
插值与拟合
常用方法——最小二乘法拟合
令： f (x) a1r1(x) a2r2 (x) .... amrm (x)
其中：rk(x)为事先选定的一组关于x的函数，ak为系数，
即求解ak，使下式最小
m
2
J (a1, a2 ,...,am ) min [ f ( xi ) yi ]
i 1
即使：
J 0, k (0, k ) ak
拉格朗日插值法
已知x0、x1、x2、x3、、、xn和y0、y1、y2、y3、、、yn 则可以构造一个经过这n+1个点的次数不超过n的多 项式y=Ln(x),使其满足：
Ln(xk)=yk,k=0、1、2、、、n •这样的Ln(x)就是通过拉格朗日插值得到的函数关系 •这样的方法叫做拉格朗日插值
注： 通过上述方法可得到一个次数不超过n的多项
2
1 n1
m1 1 (1 1)m1
m2
2 (1 2 )m2
n2
2
..
mn
1
n1
(1
n 1 )mn 1
3.代入原式
用matlab解插值
基本格式：Interp1(x,y,cx,'methed')
其中：x,y为已知的坐标 cx为待插值的点的横坐标 methed为插值方法，有如下：
10
11
12
13
14
15
16
10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60
解 ：数据点描绘
11
10
9
8
7
6
5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
数值分析中的插值和拟合
数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。
一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。
然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。
二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。
以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。
假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
插值与拟合问题
插值与拟合问题插值与拟合是数学和计算机科学领域中常见的问题，涉及到通过已知数据点来估计未知点的值或者通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在现实生活中，这两个问题经常用于数据分析、图像处理、物理模拟等领域。
本文将介绍插值与拟合的基本概念、方法和应用。
一、插值问题插值是通过已知的数据点来推断出未知点的值。
在插值问题中，我们假设已知数据点是来自于一个未知函数的取值，在这个函数的定义域内，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它经过已知的数据点，并且可以通过这个函数或者曲线来估计未知点的值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值。
线性插值是通过已知的两个数据点之间的直线来估计未知点的值，它简单而直观。
拉格朗日插值则通过构造一个关于已知数据点的多项式来估计未知点的值，这个多项式经过每一个已知数据点。
牛顿插值和拉格朗日插值类似，也是通过构造一个多项式来估计未知点的值，但是它使用了差商的概念，能够更高效地处理数据点的添加和删除。
不仅仅局限于一维数据点的插值问题，对于二维或者更高维的数据点，我们也可以使用类似的插值方法。
例如，对于二维数据点，我们可以使用双线性插值来估计未知点的值，它利用了四个已知数据点之间的线性关系。
插值问题在实际应用中非常常见。
一个例子是天气预报中的气温插值问题，根据已知的气温观测站的数据点，我们可以估计出其他地点的气温。
另一个例子是图像处理中的像素插值问题，当我们对图像进行放大或者缩小操作时，需要通过已知像素点来估计未知像素点的值。
二、拟合问题拟合是通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在拟合问题中，我们假设已知的数据点是来自于一个未知函数的取值，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它能够与已知的数据点尽可能地接近。
常见的拟合方法包括多项式拟合、最小二乘拟合和样条拟合。
多项式拟合是通过一个多项式函数来逼近已知的数据点，它的优点是简单易用，但是对于复杂的函数形态拟合效果可能不好。
最小二乘拟合则是寻找一个函数，使得它与已知数据点之间的误差最小，这个方法在实际应用中非常广泛。
插值与拟合
二、MATLAB实现插值
一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的 插值结果
插值节点
被插值点
‘nearest’ ‘linear’
插值方法
最邻近插值； 线性插值； ‘spline’ 三次样条插值； ‘cubic’ 立方插值； 注意：所有的插值方法 都要求x是单调的，并且xi不 缺省时 分段线性插值． 能够超过x的范围．
其中
定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解， 且即为方程组
RTRa=RTy
的解：a=(RTR)-1RTy
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)： f=a1+a2x + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + +
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y2 ( x 0 )( x 2 ) ( 1 0 )( 1 2 ) 2
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x1
例1 *
设 f ( 0 ) 1 , f (1 ) 2 , f ( 2 ) 4 . 1 .求 f ( 0 . 8 ); 2 .若 f ( x ) 3 , 求 x .
0 0 ( n1)
1
1
1
1
2
x
x
0
1
0
f
( n 1)
) ( n ) 0( x ) L(nn 1 )(xx)0 K )( n x ) ! Rnn 1 ) ( x ) K ( x ) ( n 1) ! ( ( (x 1 (n) ( a , b ) 使得 ( ) 0 存在
2
且唯一的条件
.
解： 设P ( x ) ax bx c，则P ( x ) 2ax b. 由已知条件有
2 ax 0 bx 0 c y 0 2 ax 2 bx 2 c y 2 2ax b y 1 1
故原问题的唯一可解性 就归结为上述方程组的 唯一可解性而 . x0 后者唯一可解的充要条 件为
l k 1 ( x k 1 ) 1定出， A
( x x k )( x x k 1 ) ( x k 1 x k )( x k 1 x k 1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ，
( x k x k 1 )( x k x k 1 )
K ( x)
f ( n 1) !
( n 1 )
( x )
Rn ( x )
f
( n1)
( x )
( n 1) !
(x x
i0
n
i
)
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余项表达式只有在
f ( x ) 的高阶导数存在时才能
应用 .
由于 在 ( a , b )内的具体位置通常不能 max f
当n 2时，抛物插值的余项为 R2 ( x ) 1 6 f ( ) ( x x0 )( x x1 )( x x 2 )， [ x0 , x 2 ]
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当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f ( n 1 ) ( x ) 0 , 可知 R n ( x ) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项 式是精确的.
例1 求经过A(0, 1)，B(1, 2)，C(2, 3)三个插值点的插值多项式. 解：三个插值节点及对应的函数值为
x 0 0， y 0 1； x 1 1， y 1 2； x 2 2， y 2 3 .
由抛物插值公式得 L2 ( x ) ( x x 1 )( x x 2 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 ) ( x 1 )( x 2 ) ( 0 1 )( 0 2 ) ( x 0 )( x 1 ) ( 2 0 )( 2 1 ) 1 3 y0 ( x x 0 )( x x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 ) y1
点 x k 及 x k 1，所以可表示为 系数，可由条件
lk 1 ( x ) 同理， l k ( x )
: l k 1 ( x ) A ( x x k )( x x k 1 )， A 为待定 1 ( x k 1 x k )( x k 1 x k 1 ) ，于是
也是线性插值多项式，
在节点满足条件：
l k ( x k ) 1， l k ( x k 1 ) 0； .
l k 1 ( x k ) 0， l k 1 ( x k 1 ) 1 . 称 l k ( x ) 及 l k 1 ( x ) 为线性插值基函数
2、抛物 插值
用抛物线 y L 2 ( x ) 近似曲线 y f ( x )， L 2 ( x ) 称为二次插值多 项式，可用基函数方法 得到 : L 2 ( x ) y k 1 l k 1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1 l k 1 ( x ) .
2 2
x0 x2 1
1 1 0 0 x1 x0 x2 2 ( x 0 x 2 0) 即
x2
2 x1 2 x1 ( x 0 x 2 ) ( x x ) 0
2 0 2 2
所以
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这就是P ( x ) 存在且唯一的条件 .
注：本题还有更适用的方法.
例 2 * 若 f ( 0 ) － 2 , f ( 1 ) 0 , f ( 2 ) 18 , f ( 3 ) 88 , f ( 2 ) 36 . 1 .求 f ( x )的四次插值多项式 2 .求 f ( 1 )的近似值 . P 4 ( x );
n
yk
n1 ( x )
( x x k ) n 1 ( x k )
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k0
三、插值余项与误差估计 n f C [a , b ] , 设节点 a x 0 x 1 x n b ，且 f 满足条件 (n1) f 在[a , b]内存在, 考察截断误差 R n ( x ) f ( x ) L n ( x ) (也称为插值多项式的余项). n Rn ( x) x Rn(x) 至少有 n+1 个根x ) 充分光滑，K ( x) ( ( xi)) 0 ，则 ( x 0 ) x1 罗尔定理： 若 ( i 0 n ( ) …, n), 0 。 ( t ) R ( t ) K ( x ) ( x , x ) (i = 存在 注意这里是对0, 求导 考察 任意固定 0x 1xi 使得t (t xi ) n i0 ( x , x ), ( x , x ) 推广：若 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) 0 (x)有 n+2 个不同的根x0) …0xn x ( , ) 使得 0(, ) 0 ( a , b ) ( ) 使得 ( ) (
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§2 拉格朗日插值
一、线性插值与抛物插值 1、线性插值
用直线 y L 1 ( x ) 近似曲线 y f ( x )， L 1 ( x ) )，可用
称为线性插值多项式 两点式直线方程直接给 L1 ( x ) x k 1 x x k 1 x k
( polynomial 出 yk
( k 0， ， , n ) 1
引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n )，将其对 x 求导后 令 x x k，得 n 1 ( x k ) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n ), 于是，拉格朗日插值多 Ln ( x ) 项式可改写为
上满足条件：
设基函数 l k 1 ( x )、 l k ( x ) 及 l k 1 ( x ) 是二次函数，且在节点 1 li ( x j ) 0 (i j) (i j) ( i ， j k 1， k ， k 1 )
满足条件的插值基函数
容易求出，例如求
l k 1 ( x )，由于它有两个零
第二章 插值、逼近与拟合（一）
第一节 第二节
第三节
实际问题的导入 拉格朗日插值
牛顿插值
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§1 实际问题的导入
插值法是广泛应用于理论研究和工程实际的重要数值方法 . 如飞机、船舶的设计、制造，桥梁的设计、建造等 . 插值法的定义： 设函数 y = f (x) 在区间[a, b]上有定义，且已知在点a ≤ x0 < x1 < … < xn ≤ b 上的值 y0, y1 , … , yn,若存在一简单函数 P(x),使 P(xi ) = yi (i = 0,1,…,n) 成立，就称P(x) 为 f (x) 的插值函数,点 x0, x1 , … , xn 称为插值节 点,区间[a, b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法. 上页 若P(x)为多项式时，就称为多项式插值.同理，有有理分式 下页 插值、三角插值等.
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项式 l j ( x ) ( j 0， ， , n ) 为节点 x k ( k 0， ， , n ）上的 n 次插值基函数 1 1
n 1 , n 2 即为线性和二次插值基 到 n 次插值基函数为 lk ( x )
函数，用类似的推导方
法，可得
( x x 0 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n )
x xk x k 1 x k
yk 1
L 1 ( x ) 是由两个线性函数 lk ( x ) x x k 1 x k x k 1 ， lk 1 ( x ) x xk x k 1 x k 的线性组合得到， l k ( x )及 l k 1 ( x )
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插值法的几何意义： 求曲线 y = P (x) ，使其通过给定 的n+1个点(xi , yi )， i = 0,1,…,n，并用 它近似已知曲线 y = f (x) .
定理1 在次数不超过n次的多项式集合Hn中，满足插值条件 P(xi)=yi (i=0,1,2,……,n) 的插值多项式存在且唯一.
n
y k l k ( x ) ，称为拉格朗日 .
k0