数值分析第二章 插值总结

Interpolation_introduction
第二章 插值方法/* Interpolation */
§1 问题提出—函数逼近
/*problem formulation-----function approximation*/
用
Interpolation_introduction
函数逼近的方法有很多，例如Taylor级数， Fourier级数，有限元方法、边界元方法，小 波分析等，大学科叫逼近论。 本书讨论连续函数的逼近，主要介绍插值法 (chapter 2)和最佳一直逼近、最小平方逼近 离散数据拟合(chapter 3)
求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an xn 使得
Pn ( xi ) = yi , i = 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n = 1 称已为知拉x氏0 ,基x1函; 数y0 , /y*1L，ag求rangPe1(Bxa)s=isa*0/， a1 x 使得
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
n
例如 P( x) = Ln ( x) p( x) ( x - xi ) 也是一个插值 i=0
多项式，其中 p( x)可以是任意多项式。
➢ 插值余项 /* Remainder */
§2 Lagrange Polynomial
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) = f ( x) - Ln( x)
每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn
n
li (x) = Ci (x - x0)...(x - x i)...(x - xn) = Ci (x - xj )
ji
li ( xi ) = 1
C i
=
1
j i (xi -
xj )
j=0
li ( x) =
n ji
(x- xj) (xi - x j )
n
RRno(lxl)e’至s T少h有eornem+1:个若根( x) 充分Rn(光x)滑= K，(x)(xi=00)(=x -x( ix)1 ) = 0 ，则
任存意在固注定 (意xx0这, xxi里1 )(i是使= 对0得, …t,求(n)导,) =考0察。
(t)
=
Rn
(t
)-K( Nhomakorabeax)
n
(t
-
xi
使得
P ( x ) = y , i = 0, ... , n
ni
i
(2.2)
条件：无重合节点，即 i j xi x j
多项式插值的几何意义 Pn(x) f(x)
Interpolation polynomial
x0
x1
求
x2
x
x3
x4
插值多项式的唯一性
Interpolation polynomial
)
推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0
0 ( x0 , x1 ), 1 i (=0x1 , x2 )
(x)有 n使+2得个不(同0 )的= 根(x10)…= 0xn x (0 ,1(n)使1) (得x ) =0(, )=x 0 (a, b)
f (n1) ( x ) - L(nn1)((xx)0-) K= ( x )=(n( x1)n!) == R0n(n1) ( x ) - K ( x) (n 1) ! 存在 (a, b) 使得 (n) ( ) = 0
1
y1 = i=0 li ( x) yi
l0(x)
l1(x)
§2 Lagrange Polynomial
➢基函数法（n=1情形的推广）
n1 li(x)
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
n
Pn ( x ) = li ( x )yi i=0
，则显然有Pn(xi) = yi 。
j=0
n
Ln ( x) = li ( x) yi i=0
与节点有关，而与 f无关
Lagrange Polynomial
§2 Lagrange Polynomial
定理 (唯一性) 满足 P( xi ) = yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
项式是唯一存在的。
证明： ( 前面已利用Vandermonde 行列式论证) 反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn( x) = Pn( x) - Ln( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1个不同的根 x0 … xn
插值
Interpolation_introduction
插值节点 插值条件
---插值问题
多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数 的近似函数值，零、极点，导数、积分（第四章 数值积分 和数值微分），解微分方程（第五章）、积分方程
Interpolation polynomial
多项式插值----polynomial interpolation
Problem I. 给定y=f(x)的函数表, xi
[a,b]
Interpolation interval
Interpolation points
求 次数不超过 n 的多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an x n
Interpolation polynomial
(2.1)
Interpolation condition
满P足1( x条0 )件= yl0i(x, j)P=1(xij1 )/*=Kyr1onecker Delta */
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
P1 ( x)
=
y0
y1 x1
-
y0 x0
(x
-
x0 )
= x - x1 x0 - x1
y0 +
x - x0 x1 - x0
• 提问：Problem I 中的Pn(x)是否存在？
若存在，是否唯一？如何求？
Interpolation polynomial
如何求？解线性方程 组（2.3）----待定系 数法
Interpolation polynomial
§2 Lagrange Polynomial
§2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */