数值分析 第2章 插值法

第2章 插值法
/* Chapter 2 Interpolation */
2.1 引言 2.2 Lagrange插值 2.3 差商与 Newton插值 2.4 带导数条件的Hermite插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值
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2.1 引言
2.1.1 插值法的提出 历史背景 插值法是数值分析中的一个古老的分支。 等距节点内插法—隋朝数学家刘焯(公元544-610年) 首先提出的 不等距节点内插法—唐朝数学家张遂(公元683-727年) 首先提出的 插值法在数值积分、数值微分、微分方程数值解、曲 线曲面拟合、函数值近似计算中有着广泛的应用。
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Ln ( x ) yk l k ( x )
k 0
n
（2.9）
其中
1, k j; lk ( x j ) ( j , k 0,1, , n) 0, k j .
lk ( x )
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
( i 0,1,, n).
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x0 4, x1 9 ，用线性插值求 7 的近似值. 例1 已知 y x ，
解： y0 2, y1 3 基函数分别为
x9 1 l0 ( x ) ( x 9) 49 5 l1 ( x ) x4 1 ( x 4) 94 5

但遗憾的是方程组(1.4)是病态方程组,阶数n越高，病态 越严重。为此我们从另一途径寻求获得P(x) 的方法---Lagrange插值和Newton插值。（这两种方法称为基函数法）
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Interpolation polynomial

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y0 a0 a1 x0 a 2 x0
2
y1 a0 a1 x1 a 2 x1
2 2
方程组求解麻烦
y2 a0 a1 x 2 a 2 x 2
思路：对于线性插值的两种形式解进行适当的分析, 从 中寻求规律得到拉格朗日插值(公式)和牛顿插值(公式). 点斜式
y1 y 0 (x ) (x ) P1 ( x ) y0 ( x x0 ) y0 f 1 f 0 ( x x 0 ) x1 x 0 x1 x 0
点x0 , x1 , … , xn 称为插值节点，区间[a,b]称为插值区 间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 几何意义： P(x) f(x)
x0
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x1
x2
x
x3
x4
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插值函数的类型
代数插值：多项式插值
常用
P ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 , an 0,
li(x) 每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn n 与 节点 有关，而与 f 无关 li ( x) Ci ( x x0 )...(x xi )...(x xn ) Ci ( x x j ) j i Lagrange 0 j 1 li ( xi ) 1 Ci Polynomial j i ( xi xj )
i , j o i j
(x
n 1
i
x j ) 0.
因此线性方程组（1.4）的解 a0 , a1 ,, an 存在且唯一. 结论 定理1 设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节 点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的，那么存在唯一的次 数≤n的多项式P (x)满足 P(x) P (xk)= yk, k=0,1,…,n。
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1 ( x ) a0 a1 x 使得
P1 ( x 0 ) y0 , P1 ( x1 ) y1
点斜式
P1 ( x ) ) f ( x0) f ( x x0 ) y0 ( x x0 ) x1 x 0 x1 x 0
(x xj ) li ( x ) ( xi x j ) ji
n j 0
Ln ( x ) l i ( x ) yi
i 0
n
展开 l ( x ) ( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) i
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l1(x)＝ 1(x －x0)(x －x2),
1 0 ＝ (x0－x1)(x0－x2) 1 1 ＝ (x1－x0)(x1－x2)
1 2 ＝ (x2－x0)(x2－x1)
l2(x)＝ 2(x －x0)(x －x1), (x -x1)(x -x2)
(x -x0)(x -x1) (x -x0)(x -x2) L2(x)= y0 + y1 + y2 (x0-x1)(x0-x2) (x2-x0)(x2-x1) (x1-x0)(x1-x2) 此即二次拉格朗日插值公式, 其中, l0(x), l1(x), l2(x)是满足 (2.1)的特殊(基本)二次插值多项式;称为二次插值基函数. L2(xj) l i ( xj) y i =yj
n a0 a1 x0 a n x0 y0 , n a0 a1 x1 a n x1 y1 , a a x a x n y , 1 n n n n 0
（1.4）
系数矩阵为
1 1 A 1
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L1(xj) l i ( xj) y i =yj
i 0
1
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启发: 二次插值是否能由一些二次插值基函数来线性组合？ 二次Lagrange插值多项式为 L２(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x) 其中，l0(x), l1(x), l2(x)都是二次多项式，且应满足
2.2 拉格朗日多项式
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) a0 a1 x an x 使得
Pn ( x i ) y i ,
i 0 , ... , n
条件：无重合节点，即 i j 2.1.1 线性插值与抛物插值
xi x j
线性插值 n = 1 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
x0 x1 xn

n x0 n x1 , n xn
1 A x0
n x0
1 x1 x1n

1
xn （1.5） n xn
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称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,由 xi ( i 0,1,, n) 互异，故
det A
P ( x ) ，使
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P ( x i ) yi
(i 0,1,, n),
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（1.3）
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问题： P(x)是否存在？若存在，是否唯一？如何求？
P ( x ) a0 a1 x an x n
由插值条件得关于系数 a0 , a1 ,, an的n 1 元线性方程组
（2.1）
满足(2.1) 的 l i(x) 是否存在?若存在，具有什么形式呢?
l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 其中0 是待定系数。 先考虑 l0(x)。
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由 l0( x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，则 l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 同理
以近似计算函数值为例说明插值法的应用。
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函数的插值法的提出背景 实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：
（1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计 算时，计算量会很大； （2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而 我们需要的函数值不在该表格中。 对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表 达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。
两点式
P1 ( x ) =
x x1 y + x 0 x1 0
x x0 y x1 x 0 1
我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式.
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基函数法 首先, 线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次 式的一种线性组合. 基函数的线性组合 1 x x0 x x1 满足 li(xj)=ij L ( x ) P ( x ) = y0 + y1 l i ( x ) y i 对称式 1 1
x0 x1 x1 x0
i 0
l0(x) l1(x) l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1, 其中， l0(x)和l1(x)满足：
（ 显然有l0(x)+ l1(x)≡1. 实质上 l（ 0 x）和 l 1 x）即是满足函数表
x
y
x0
x1
x
y
x0
x1
1
0
0
1
的一次插值多项式 ,称l0(x)和l1(x)为以x0,x1为节点的基本插 值多项式，也称为线性插值的插值基函数 。
Ln ( x j ) yk l k ( x j ) y j ( j 0,1, , n).
k 0 n
满足条件 记 易求得
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ),