2017-2018学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版 含答案
2017-2018学年江西省赣州市高二上学期期末考试英语试题扫描版含答案
（Text seven）
W: Oh, we still haven’t decided what to buy for David?
M: I know. It’s hard. What does he need?
W: Well, darling, the other day he said that he needed a car.
听下面一段对话，回答第10题至第12题三个小题。现在你有15秒钟的时间阅读这三个小题。
（Text eight）
W: Good morning. You are so early.
M: Yes, I know. I need to talk to you about my homework.
W: Oh, your homework. It’s not a good time right now. I have to teach my morning class in a few minutes.
W: Oh, not for his sixtieth. I think we should get him something unusual?
M: Well, how about a computer? That way, we could keep in touch on e-mail.
W: Yeah, that’s a good idea.
M: Yeah, right. Well, I think that’s a little beyond us.
W: Yeah, it’d be fun, but it’s just a little too expensive.
江西省赣州市2016-2017学年高二上学期期末考试文数试题 Word版含答案
赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学(文科)试题第Ⅰ卷（共60分）(考试时间120分钟.共150分钟)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上.1. 命题“x R ∀∈,总有210x +>”的否定是（ ）A ．“,x R ∀∉总有210x +>”B ．“x R ∀∈，总有210x +≤”C ．“x R ∃∈，使得210x +>”D ．“x R ∃∈，使得210x +≤”2. .从编号001,002,003，…，300的300个产品中采用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号是002,017，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．285 B ．286 C ．287 D ．2883.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的中位数的概率是（ ） A ．34 B ．58 C ．12 D ．144.下图是一个四棱锥的三视图，在所有侧面中直角三角形的个数有：（ ）A ．1B ． 2 C. 3 D ．45.已知E F G H 、、、是空间四点，命题甲：E F G H 、、、四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 某学校举行的演讲比赛有七位评委，如图是评委们为某选手给出分数的茎叶图，根据规则去掉一个最高分和一个最低分. 则此所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A. 84,4.84B. 84,1.6C. 85, 4D. 85,1.67.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为（ ）A ．12 B ．14 C. 34 D ．238.某程序框如图所示，若该程序运行后输出的值是116，则（ ）A ．a =4B ．a =5 C. a =6 D ．a =79. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为（ ）A ． 2214x y -=B ．2214y x -= C. 22331205x y -= D ．22331520x y -=10.函数xy xe =（e 为自然对数的底）在（1，(1)f ）点处的切线方程是（ ） A ．2y ex e =- B ．22y ex e =- C. y ex e =- D ．1y ex =- 11.椭圆221mx ny +=与直线14y x =-交于M N 、两点，过原点与线段MN 中点所在直，则mn的值为（ ）A B 12.若函数()2sin cos cos f x x x x a x =-+在3[,]44ππ单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[3,)-+∞B ．(,3]-∞- C. )+∞ D ．(-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.请阅读下面语句，写出该算法输出的结果是 ．14.已知函数()f x 的导函数()f x '，且满足()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =. ．15.设1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆和椭圆的一个交点，若12212PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率等于 ． 16. E F 、分别是边长为1的正方形ABCD 两对边AD ，BC 的中点，沿EF 把CDEF 折起，折成一个二面角D EF B --是45°的几何图形，下面命题中： ①45AED ∠=︒；②异面直线EF 与AC ；③三棱锥C ABF -. 正确命题的序号有： ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）必修1至必修4四本数学课本任意地排放在书架的同一层上. （1）求必修2 在必修4的左边的概率；（2）求必修2在必修3的左边，并且必修3在必修4的左边的概率.18. （本小题满分12分）设命题p ：方程22112x y m m +=-+表示双曲线，命题q ：关于x 的方程240x mx ++=有实数解.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）求使“p q ∨”为假命题的实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）国庆期间，高速公路堵车现象经常发生.某调查公司为了了解车速，在赣州西收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h ）分成六段[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后，得到如图的频率分布直方图.（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从这40辆车速在[60,70)的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[65,70)的概率．20. （本小题满分12分）如图，ABCD 是边长2的菱形，其中60DAB ∠=︒，ED 垂直平面ABCD ,1ED =，EF BD //且2EF BD =.（1）求证：平面EAC ⊥垂直平面BDEF ； （2）求几何体ABCDEF 的体积.21.（本小题满分12分）已知点P 在曲线C 上，P 到F （1,0）的距离比它到直线:20l x +=的距离小1，直线2y x =-与曲线C 交于,A B 两点. （1）求弦AB 的长度；（2）若点P 在第一象限，且ABP ∆ 面积为P 的坐标. 22.（本小题满分12分）设函数21()ln 2f x x ax bx =--. （1）当2,3a b =-=时，求函数()f x 的极值； （2）令21()()(03)2aF x f x ax bx x x=+++<≤，其图像上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间2[1,]e 内恰有两个实数解，求实数m 的取值范围.赣州市2016~2017学年第一学期期末考试高二文科数学参考答案一、选择题二、填空题13.110； 14.1-；1-； 16.①②③.三、解答题17.解：利用树状图可知共有基本事件总数为24种……………………………………2分 (1)事件A “必修2在必修4的左边”的事件数共有12种……………………………4分 因此121()242P A ==………………………………………………………………………6分 （2）事件B “必修2在必修3 的左边，并且必修3在必修4的左边”共有6种…8分 因此61()244P B ==………………………………………………………………………10分 18.解：（1）当命题p 为真命题时，方程22112x y m m +=-+表示双曲线，所以(1)(2)0m m -+<，解得21m -<<…………………………………………………4分 （2）当命题q 为假命题时，2160m ∆=-<，解得44m -<<………………………7分 当“p q ∨”为假命题时，,p q 都是假命题，所以1244m m m ≥≤-⎧⎨-<<⎩或……………………9分所以42m -<≤或14m ≤<………………………………………………………………11分 所以m 的取值范围为(][)4,21,4-- ……………………………………………………12分 19.(1)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为77.5……………………2分 由题图可知，中位数应该在7580 之间，设为m ，则0.0150.0250.0450.06(75)0.5m ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得：77.5m =即中位数的估计值为77.5……………………………………………………………………6分(2)这40辆车中，车速在[60,70) 的共有5(0.010.02)406⨯+⨯= (辆)， 其中车速在[65,70) 的有50.02404⨯⨯=(辆)，记为,,,A B C D车速在[60,65) 的有50.01402⨯⨯=(辆)，记为,a b ……………………………………8分 从车速在[60,70) 的这6辆汽车中任意抽取2辆的可能结果有15种不同的结果， 其中抽出的2辆车车速都在[65,70) 的结果有6种………………………………………10分 因为抽到每种结果都是等可能的，所以从这40辆车速在[60,70)的汽车中任意抽取2辆， 抽出的2辆车车速都在[65,70) 的概率为62155P ==…………………………………12分 20.解:（1）因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以ED AC ⊥………………………………………………………………………………2分 因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥………………………………………………………………………………3分 所以AC ⊥平面BDEF ……………………………………………………………………4分 又AC ⊂平面EAC ，故平面EAC ⊥平面BDEF ……………………………………6分 （2）设AC BD O =I 连结FO ，因为//EF DO 且EF DO =所以四边形EFOD 是平行四边形…………………………………………………………7分ED ⊥平面ABCD ，可得EO DO ⊥，所以四边形EFOD 是矩形． 因为AC ⊥平面BDEF ．所以点A 到平面BDEF 的距离等于就是ABD ∆边BD 上的高…………………………8分且高2sin 60h ==……………………………………………………………………9分 所以几何体ABCDEF 的体积2A BDEF C BDEF A BDEF V V V V ---=+=……………………10分112(132=⋅⋅⋅+=………………………………………………………………12分21.解：（1）依题意P 到()1,0F 的距离等于它到直线1x =-的距离…………………1分 根据抛物线的定义可知曲线C 为以()1,0F 为焦点的抛物线，其标准方程为24y x =………………………………………………………………………3分设()11,A x y ，()22,B x y ，由242y x y x ⎧=⎨=-⎩解得2840x x -+=且0∆>………………4分由韦达定理有12128,4x x x x +==…………………………………………………………5分所以AB ==所以弦AB 的长度为……………………………………………………………………7分（2）设点200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，设点P 到AB 的距离为d，则d 8分所以12PAB S ∆=⋅……………………9分 所以200214y y --=±，得200214y y --=±……………………………………………10分 又因为P 在第一象限，解得06y =或02y =+………………………………………11分 所以P 点为()9,6或(32++…………………………………………………12分 22.解：(1)依题意知()f x 的定义域为(0,)+∞……………………………………………1分 当2,3a b =-=时，2()ln 3(0)f x x x x x =+->，(21)(1)()0x x f x x--'==………2分得12x =或1x =………………………………………………………………………………3分 列表可知()f x 的极大值为15()ln 224f =-- ，()f x 的极小值为(1)2f =-…………4分 (2)(]()ln ,0,3aF x x x x =+∈，则有00201()2x a k F x x -'==≤在(]0,3上恒成立……5分 所以2max 1()2a x x ≥-+ ……………………………………………………………………6分 所以当1x =时，20012x x -+取得最大值12，所以 12a ≥………………………………7分 (3) 当0,1ab ==-时，2()ln ,1,e f x x x mx x ⎡⎤=+=∈⎣⎦………………………………8分得ln 1x m x -=在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个实数解，令ln ()x g x x =，则2ln 1()x g x x -'=………9分 ()g x 在[]1,e 上单调递增，在2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减…………………………………………10分 故()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上最大值为1e ，而222(e )eg =…………………………………………11分所以2211,1e e m ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭时方程有两个实数解………………………………………………12分。
江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题+PDF版含答案
2.若复数
a i 2 i （其中 a, b 是实数），则复数 a bi 在复平面内所对应的点位于 b i
B. 第二象限
2
A. 第一象限
C.第三象限
D.第四象限 （ ）
则 “ b ac ” 是 “ a, b, c 构成等比数列” 的 3.已知 a, b, c 均为实数， A．必要不充分条件 C．充要条件 4.抛物线 x
18.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y 2 px p 0 ，焦点到准线的距离为 4，过点 P 1, 1 的直线交抛物线于
2
A, B 两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）如果点 P 恰是线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程.
19. (本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中， D , E 分别是 AB, BB1 的中点， AA1 AC CB 2, AB 2 2 . (Ⅰ)证明： BC1 ∥平面 A1CD ； (Ⅱ)求锐二面角 D A1C E 的余弦值. （第 19 题图）
2017-2018 学年度江西省寻乌中学上学期期末考试
高二理科数学
注意事项： 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效. 2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.
第I卷
一、选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 命题 " n N , f n N 且f n n " 的否定形式是
A. n N , f n N 且f n n
B. n N , f n N 或f n n
江西省赣州市高二数学上学期期末考试 理
高二理科数学试题 第2页（共6页）江西省赣州市-第一学期期末考试高二数学（理科）试题（共150分．考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中） 1.设,R x y ∈则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 A.30B.45C.60D.1203.甲、乙两人进行投篮练习，每人练习5轮，每轮投球30个，根据统计 的进球数制成如图所示的茎叶图，则下列结论中错误的是 A.甲的中位数是14 B.乙的极差为18C.甲、乙两人这5轮进球的平均数相等D.乙的投篮水平比甲高4.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A.不可能事件B.互斥但不对立事件C.对立事件D.以上答案都不对5.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 A.5B.5C.5D.5A.100i <B.100i >C.100i ≤D.100i ≥ A.221+ B.231+ C.21+ D.31+二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共25分11.某学校有教师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取容量为n 的样本，已知从女生中抽取的人数为80人，则n = ．12.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ． 13.用数学归纳法证明不等式*11113(2,N )12224n n n n n ++>≥∈++且,第二步从“k ”到“1k +”的证明中，不等式左边中增添的代数式是 .14.已知ABCD 为边长等于1的正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA =，设G 是ABC 的重心，E 是SD 上一点，且3SE ED =，试用基底{,,}AB AD AS 表示向量GE = . 15.以下四个关于圆锥曲线的命题中①设,A B 为两个定点，k 为非零常数，PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线； ②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）赣州市2011～2012第一学期期末考试高二数学（理科）答题卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分）题 号 一二三总分161718192021得 分评卷人一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：(本大题共有5小题，每小题5分，共25分11. ；12. ； 13. ；14. ； 15. . 三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16.（本小题满分12分）设平面向量(,1)m a m =, (2,)n b n =，其中 {},1,2,3,4m n ∈． （1）请列出有序数组(,)m n 的所有可能结果；座号：…○…座位号高二理科数学试题 第3页（共6页） 高二理科数学试题 第4页（共6页）EFGM DA （2）记“使得()m m n a a b ⊥-成立的(,)m n ”为事件A ，求事件A 发生的概率.17．（本小题满分12分）已知p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<<，q ：实数x 满足260x x --≤，或2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 对一切正整数n 均有2121n n a a +=-，且0n a > ，如果1cos 2a α=，0,8απ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（1）求2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}()n a n *∈N 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.19．（本小题满分12分）. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，2AB EF =．（1）若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ； （2）若2AC BC AE ==，求二面角A BF C --的大小．20．（本小题满分13分）设),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上的两点，已知),(11a y b x =，),(22a y b x =，若0=⋅且椭圆的离心率23=e ，短轴长为2，O 为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）试问：AOB ∆的面积是否为定值，如果是，请给予证明，如果不是，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数()2472x f x x-=-，[]01x ∈，.（1）求()f x 的单调区间和值域；（2）设1a ≥，函数a x a x x g 23)(23--=，]1,0[∈x ，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围．赣州市2011～2012第一学期期末考试 高二数学（理科）参考答案一、选择题1～5. ABDBD ； 6～10. CBCCB. 二、填空题 11.192； 12.16π； 13.112122k k -++；14.2513124GE AB AD AS =-++； 15.③④.三、解答题16.解：（1）有序数组(,)m n 的所有可能结果：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1)，(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)………………6分（2）由()m m m a a b ⊥-，得2210m m n -+-=即2(1)n m =-…………………………………………………………………………8分 由于{},1,2,3,4m n ∈故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个………………………………10分 又基本事件的总数为16 故所求的概率21()168P A ==………………………………………………………12分 17.解：设{}{}22430(0)3(0)A xx ax a a x a x a a =∣-+<<=∣<<<……………2分 {}{}226028042B xx x x x x x x =∣--≤+->=∣<-≥-或或………………4分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，即AB …………………………………………6分∴40a a ≤-⎧⎨<⎩或320a a ≥-⎧⎨<⎩……………………………………………………………8分 解得4a ≤-或203a -≤<………………………………………………………11分 即实数a 的取值范围是(]2,4,03⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭……………………………………12分 18.（1）依题意：22cos 221a α=-则222cos 21a α=+，222cos a α=，而0,8απ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又0n a >，∴（2）猜测2cos()2n n a n α*-=∈N ……………6分 ①用数学归纳法证明：显然1n =时猜想正确……………8分 ②假设()n k n *=∈N 时猜想成立，即2cos 2k k a α-=则1n k =+时，∵2121k k a a +=-，∴212cos212k k a α+-=-，即2112cos22k k a α+-=，而0n a >故11(1)2coscos22k k k a αα+-+-==……………10分这就是说1n k =+猜想也成立,故对任意正整数n 都有2cos2n n a α-=……………12分19.证明：（1）EF ∥AB ，2AB EF =，可知延长BF 交AE 于点P …………1分 而FG ∥BC ，EG ∥AC ，则P BF ∈⊂平面,BFGC P AE ∈⊂平面AEGC ， 即P ∈平面BFGC平面AEGC GC =…………3分于是,,BF CG AE 三线共点，FG 平行且等于12BC …………4分 若M 是线段AD 的中点，而AD 平行且等于BC ， 则FG 平行且等于AM四边形AMGF 为平行四边形，则GM ∥AF又GM ⊄平面ABFE ，∴GM ∥平面ABFE …………6分 （2）由EA ⊥平面ABCD ，作CH AB ⊥于H ，则CH ⊥平面ABFE ，作HT BF T ⊥于，连接CT ，高二理科答案 第3页（共4页）高二理科答案 第4页（共4页）则CT BF ⊥，于是CTH ∠为二面角A BF C --的平面角…………8分 ∵2AC BC AE ==，设1AE =， 则2AC BC ==，22,2AB CH ==H 为AB 的中点22tan 222AE AE FBA AB EF AB ∠====-，3sin FBA ∠=10分 36sin 2HT BH ABF =∠==，在Rt CHT ∆中，tan 3CHCTH HT∠==则60CTH ∠=，即二面角A BF C --的大小为60…………12分20.解：(1)由题意得：2231,12c b a c a ==-=，解得2,3a c ==3分 椭圆的方程为2214y x += …………………………………………………………4分 （2）①当直线AB 斜率不存在时，即1212,x x y y ==-由0m n ⋅=得22221111044y x y x -=⇒= 又221111421242x x x y +=⇒==112112S x y y =⋅-=………………………………………………………………6分②当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与1422=+x y 联立得： 222(4)240k x ktx t +++-=，212122224,44kt t x x x x k k --+=⋅=++……………8分12121212()()10044kx t kx t x x y y x x ++⋅+⋅=⇒⋅+=， 代入得：2224t k -=…………………………………………………………10分21212211()4221t S AB t x x x x k ==+-+2222124()41244kt t t k k -=--=++ ∴AOB ∆的面积为1………………………………………………………………13分21.解：（1）对函数()f x 求导，得()()()()()222416722x x f x x x -+-'==---， 令()0f x '=解得12x =或72x =……………………………………………………2分当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()f x 是减函数；当∴当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()f x 是增函数………4分当]1,0[∈x 时，()f x 的值域为[]43--，．…………………………………………6分 （2）对函数()g x 求导，得()()223g x x a '=-…………………………………7分因此1a ≥，当()01x ∈，时，()()2310g x a '<-≤， 因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而当[]01x ∈，时有()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦，……………………………………………………………8分又()21123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有()21232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦，…………………………………………………………9分任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则[]2123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦，，………………………………………………11分 即21234(1)23a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩(2) ………………………………………………………12分解①式得1a ≥或53a ≤-，解②式得32a ≤，又1a ≥，故a 的取值范围为312a ≤≤，…………………14分x102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12 112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1 ()f x ，－ 0＋()f x 72-↘4- ↗3-。
江西省赣州市高二上学期期末联考理科数学试卷 有答案
江西省赣州市四所重点中学高二上学期期末联考数学（理）试卷一、选择题(每小题5分，共50分。
)1、观察下列数的特点，1, 1, 2, 3, 5, 8, x , 21, 34, 55, …中，其中x 是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．152、设命题p ：方程x 2＋3x －1＝0的两根符号不同；命题q ：方程x 2＋3x －1＝0的两根之和为3，判断命题“⌝p ”、“⌝q ”、“p ∧q ”、“p ∨q ”为假命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、向量a ＝(2, 4, x), b ＝(2, y, 2)，若|a |＝6, 且a ⊥b ，则x ＋y 的值为A ．－3B ．1C ．－3或1D ．3或14、过抛物线y ＝x 2上的点M(21,41)的切线的倾斜角是 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5、如图所示，程序框图输出的所有 实数对(x, y)所对应的点都在函数 A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上D ．y ＝2x －1的图象上6、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1:V 2等于 A ．1:2 B ．2:1 C ．1:1 D ．1:4 7、设A, B 两点的坐标分别为(－1, 0), (1, 0)，条件甲：AC ·BC ＞0；条件乙：点C 的坐标是方程)0(13422≠=+y y x 的解，则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a ，则此三棱柱的外接球的表面积为A ．πa 2B ．15πa 2C ．311πa 2 D ．37πa 2 9、已知直线l 1: 4x －3y ＋6＝0和直线l 2: x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P ，P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是A ．2B ．3C ．511 D ．1637 10、P 是双曲线116922=-y x 右支上的一点，M, N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题（每小题5分，共25分）11、某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
江西省赣州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
②在 ABC 中， “ B 60 ”是“ A, B, C 三个角成等差数列”的充要条件； ③
x 1 x y 3 是 的充要条件； y 2 xy 2
2 2
1 1 1 1 的值的一个程序框图，其中在判断 2 4 6 20
2
7.函数 f ( x ) sin x ( x [0, ]) ，在区间 [0, ] 上任取一点 x0 ，则 f ( x0 ) A.
2017 年 1 月
2 3
B.
1 2
C.
3
D.
6
1 的概率为 2
8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40 0 0 ，现采用随机模拟的方法估计该运动员三 次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定
二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 3 14.
3 8
15.
x2 y 2 1 4 12
16.
2 . 3
三、解答题：本大题共 6 个小题,共 70 分. 17.解：（1）众数是 65 ……………………………………………………………………2 分 依题意得， 10(2a 0.02 0.03 0.04) 1 ，解得 a 0.005 ………………………4 分 （2）这 100 名学生物理成绩的平均分为：
[50, 60) ， [60, 70) ， [70,80) ， [80,90) [90,100] .
（1）求图中物理成绩的众数及 a 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生物理成绩 的平均分和中位数（中位数要求精确到小数点后一位）.
PB BC CA 2 ， E 为 PC 的中点，点 F 在 PA 上，且 2 PF FA ． （1）求证： BE 平面 PAC ； （2）求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．
江西省赣州市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
江西省赣州市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i2．（5分）用数学归纳法证明某时，左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）A．B．+cosαC．+cosα+cos3αD．+cosα+cos3α+cos5α3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生25 10 35女生 5 10 15合计30 20 50根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．35．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.8046．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．67．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）A．B．C．64 D．329．（5分）设，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣110．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1D．e11．（5分）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．12．（5分）下列中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；④定积分dx=4π．正确的有（）A．①④B．③④C．②④D．②③④二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数在复平面中的第象限．14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则P（B|A）=．16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式，并用数学归纳法证明．20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0 1 2 3p x y（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．21．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，可得z===+i．z的共轭复数=﹣i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的定义，基本知识的考查．2．（5分）用数学归纳法证明某时，左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）A．B．+cosαC．+cosα+cos3αD．+cosα+cos3α+cos5α考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：在验证n=1时，令左边n=1可得：所得的代数式为：．解答：解：由于左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*），因此在验证n=1时，左边所得的代数式为：．故选：B．点评：本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力，属于基础题．3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生25 10 35女生 5 10 15合计30 20 50根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%考点：线性回归方程．分析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论．解答：解：根据所给的列联表，得到Χ2=≈6.349＞5.024，对照临界值表可知有97.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．故选：A．点评：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．5．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804考点：离散型随机变量的期望与方差．分析：把每个牛是否得病作为一个实验，牛发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，得到结果．解答：解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196．故选C点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．解答：解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A52=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41=16种．∴共有20+16=36个合要求的数，故选：B．点评：本题考查排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制．8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）A．B．C．64 D．32考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4﹣x的交点坐标，积分时可以以x 作为积分变量，也可以y作为积分变量，故本题法一以x为积分变量，法2以y作为积分变量分别计算出两曲线所围成的图形的面解答：解：联立方程组，得，y1=﹣2，y2=6，∵抛物线y2=4x与直线y=x﹣3所围成的平面图形的面积，∴S==（y2+3y﹣）|=；故选：A．点评：本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求解时要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的．9．（5分）设，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1考点：二项式定理．专题：计算题．分析：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．解得a0+a2+a4和a1+a3的值，即可求得要求式子的值．解答：解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．两式相加除以2求得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3=﹣121，故=，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1D．e考点：导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；解答：解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；点评：此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；11．（5分）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，当b=6时，a有7种结果当b=7时，a有5种结果当b=8时，a有3种结果当b=9时，a有1种结果∴共有45+7+5+3+1=61种结果∴所求的概率是故选D．点评：本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．12．（5分）下列中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；④定积分dx=4π．正确的有（）A．①④B．③④C．②④D．②③④考点：的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值判断即可；②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．解答：解：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值，故不正确；②若直线与函数的图象相切，则f′（x0）=2.5，即2cos（2x0+）=2.5，显然x0不存在，故②正确；③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A（﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB﹣1=4﹣1=3，故③正确；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分dx表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，故定积分dx=×π×42=4π，故④正确．故选：D点评：本题以的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题．二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数在复平面中的第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数===．即复数对应点为：（）在第四象限．故答案为：四．点评：本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．解答：解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有•A33=90种不同的分配方案，故答案为：90．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值．解答：解：根据题意，得P（AB）===∵P（A）==∴P（B|A）==故答案为：点评：本题给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于1．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．解答：解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，∴f（x）在（，2）上递减，∴f（x）max=f（）=ln﹣a•=﹣1，∴ln=0，得a=1．故答案为：1．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．解答：解：（1）由f（x）=x3+x﹣16，得f′（x）=3x2+1，∴f′（2）=3×22+1=13，∴曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y﹣6=13（x﹣2），即13x﹣y﹣20=0；（2）设切点为（），，∴切线方程为，∵切线经过原点，∴，∴，x0=﹣2．则f′（﹣2）=13，∴所求的切线方程为y=13x；切点为（﹣2，﹣26）．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知猜测：第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．利用数学归纳法证明即可．解答：解：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1=1，成立；（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1•k2=成立．则当n=k+1时，左边=1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1•k2+（﹣1）k•（k+1）2=+（﹣1）k•（k+1）2=（﹣1）k=（﹣1）k•=右边，∴当n=k+1时，等式成立．综上可得：第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1成立．点评：本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q （p ＜q ），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3pxy（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p ，q 的值； （Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望E ξ．考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题： 概率与统计．分析： （Ⅰ）用A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得P （A 1）=，P （）=，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率．从而能够求出p ，q 的值．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望E ξ． 解答： 解：用A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3． 由题意得得P （A 1）=，P （）=，（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1﹣P （）=1﹣=P （）=（1﹣P （A 1））（1﹣P （A 2））（1﹣P （A3））=（1﹣p ）（1﹣q ）=及P （A 1A 2A 3）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）=pq=得p=，q=．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3， P （ξ=0）=，P （ξ=1）=××+××+××=，P （ξ=2）=××+××+××=，ξ 0123p i∴E （ξ）=0×+1×+2×+3×=．∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．点评： 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．21．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，得出回归方程．解答：解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，女生应抽取（人），男生应抽取（人）；…（4分）（Ⅱ）变量y与x的相关系数是r===≈0.99；…（6分）可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；…（8分）【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以物理与数学成绩是高度正相关；】设y与x的线性回归方程是，根据所给的数据，可以计算出b===0.66，a=﹣b=85﹣0.66×77.5=33.85；…（10分）所以y与x的回归方程是．…（12分）点评：本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了线性相关系数的计算问题，是基础题目．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）设，证明F（x）在（1，+∞）上为增函数，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为x＞0…（1分）…（2分）若a≤0时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为（0，+∞）…（4分）若a＞0时，令f'（x）＞0，得…（5分）即f（x）的单调区间为，减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：设…（7分）则…（8分）∴F（x）在（1，+∞）上为增函数，且…（10分）即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立…（11分）∴当x＞1，…（12分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，求导数是关键．。
2017-2018学年江西省赣州市高二上学期期中数学试题(理科)(解析版)18
高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，则k=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．02．（5分）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．013．（5分）已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2=3c2﹣b2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）A．5 B．7 C．11 D．136．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+x n，下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为47．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为20，则判断框中可以填（）A．k＞7 B．k＞8 C．k＜7 D．k＜88．（5分）已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A．B．C．D．9．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）下列命题中正确的个数有（）①若a∥b，a⊂α，则b∥α．②若a，b为两异面直线，则过不在a，b上的定点A有且仅有一条直线与a，b 相交．③两个不重合的平面α，β，两条异面直线a，b，若a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．④若平面EFGH与平行四边形ABCD相交于AB，则CD∥平面EFGH．A．0个B．1个 C．2个 D．3个11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知（a4﹣1）3+2017（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（）A．S2017=﹣2017，a2014＜a4B．S2017=2017，a2014＞a4C．S2017=﹣2017，a2014＞a4D．S2017=2017，a2014＜a412．（5分）已知x，y满足则的最小值是（）A．B．C．D．6二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．15．（5分）三棱锥A﹣BCD，AB=AD=，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，求三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=CD=1，AB=2，E，F 分别为AB，AC的中点，设以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上的动点为P（如图所示），则的取值范围是．三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，．（1）求证：OM∥平面PAB．（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．19．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n=S n+1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）如图所示的空间几何体，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF ∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=，CE=2，BC=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线BE与平面DEF所成角的正弦值．22．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中||=|﹣|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，则k=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【分析】根据直线的垂直的关系即可求出．【解答】解：设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，1×k﹣1×（﹣k）=0，解得k=0，故选：D．【点评】本题考查了直直线和直线垂直，属于基础题．2．（5分）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为08，02，14，07，02，01，则第6个个体的编号为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．【解答】解：由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．∴该几何体的体积V=+=1+．故选：B．【点评】本题考查了圆锥与三棱柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2=3c2﹣b2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入，利用基本不等式变形即可求出cosC的最小值．【解答】解：根据题意，若a2=3c2﹣b2，即a2+b2=3c2，cosC===（+）≥，即cosC的最小值为；故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）A．5 B．7 C．11 D．13【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】解：样本间隔为800÷50=16，∵在从33～48这16个数中取的数是39，∴从33～48这16个数中取的数是第3个数，∴第1小组1～16中随机抽到的数是39﹣2×16=7，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．6．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+x n，下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4【分析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可．【解答】解：∵样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，∴1+x1+1+x2+1+x3+…+1+x n=10n，即x1+x2+x3+…+x n=10n﹣n=9n，方差S2=[（1+x1﹣10）2+（1+x2﹣10）2+…+（1+x n﹣10）2]=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（x n﹣9）2]=2，则（2+x1+2+x2+…+2+x n）==11，样本2+x1，2+x2，…，2+x n的方差S2=[（2+x1﹣11）2+（2+x2﹣11）2+…+（2+x n ﹣11）2]=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（x n﹣9）2]=2，故选：C．【点评】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为20，则判断框中可以填（）A．k＞7 B．k＞8 C．k＜7 D．k＜8【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出S=20时判断框中可以填的条件．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；k=1时，a1=2，S=2，满足循环条件；k=2时，a2=0，S=2，满足循环条件；k=3时，a3=2，S=4，满足循环条件；k=4时，a4=6，S=10，满足循环条件；k=5时，a5=2，S=12，满足循环条件；k=6时，a6=﹣4，S=8，满足循环条件；k=7时，a7=2，S=10，满足循环条件；k=8时，a8=10，S=20，不满足循环条件；终止循环，输出S=20，∴判断框中可以填k＜8．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．8．（5分）已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A．B．C．D．【分析】将条件式两边平方即可计算，再计算||，（），代入投影公式计算．【解答】解：∵，∴+2+=2﹣4+2，即2+2=4﹣4，∴=，∴（）2=+2+=，∴||=，又（）=+=，∴在上的投影为||cos＜＞==．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．9．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力．10．（5分）下列命题中正确的个数有（）①若a∥b，a⊂α，则b∥α．②若a，b为两异面直线，则过不在a，b上的定点A有且仅有一条直线与a，b 相交．③两个不重合的平面α，β，两条异面直线a，b，若a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．④若平面EFGH与平行四边形ABCD相交于AB，则CD∥平面EFGH．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质与判定定理判断．【解答】解：对于①，若b⊂α，则结论错误，故①错误；对于②，设A与a确定的平面为α，b与A确定的平面为β，则A为α，β的公共点，∴α与β有且只有一条经过点A的交线，故②正确；对于③，若α∩β=m，a∥b∥m，则结论不成立，故③错误；对于④，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，又平面EFGH∩平面ABCD=AB，∴AB⊂平面EFGH，∴CD∥平面EFGH，故④正确．．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知（a4﹣1）3+2017（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（）A．S2017=﹣2017，a2014＜a4B．S2017=2017，a2014＞a4C．S2017=﹣2017，a2014＞a4D．S2017=2017，a2014＜a4【分析】（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，设a4﹣1=m＞0，a2014﹣1=n＜0．可得m3+2016m+n3+2016n=0，m+n=a4﹣1+a2014﹣1=0．再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1∴（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）+（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=0．设a4﹣1=m＞0，a2014﹣1=n＜0．则m3+2016m+n3+2016n=0，化为（m+n）（m2+n2﹣mn+2016）=0，∵m2+n2﹣mn+2016＞0，∴m+n=a4﹣1+a2014﹣1=0．∴a4+a2014=2=a1+a2017．∴S2017==2017．．又a4﹣1＞0，a2014﹣1＜0．∴a4＞1＞a2014．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘法公式运用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．（5分）已知x，y满足则的最小值是（）A．B．C．D．6【分析】先化简整理z=++3，设t=，则符合条件的点表示到定点P （0，﹣4）的斜率的范围，根据线性规划求出t的范围，再根据基本不等式求出z的最小值．【解答】解：画出可行域，如图所示：由==+=++3，设t=，则符合条件的点表示到定点P（0，﹣4）的斜率的范围，由C（3，2），B（3，﹣3）k PB==，k PC==2，∴≤t≤2，∴≤≤2∴z=++3≥2+3=2+3，当且仅当x=y+4时，即=时取等号，故z的最小值为2+3，故选：A【点评】本题考查了线性规划和基本不等式的应用，属于中档题二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．【分析】由题意画出图形，取PQ中点G，连接BG，DG，可得PQ⊥平面BGD，求出△BDG的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】解：如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP=，PG=，可得BG=，同理可得DG=，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．【点评】本题考查柱、锥、台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．15．（5分）三棱锥A﹣BCD，AB=AD=，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，求三棱锥A﹣BCD外接球的表面积16π．【分析】利用已知三棱锥A﹣BCD的特点AB=AD，先确定△ABD的外心H，及外接圆的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的球心O在CH上，即可解答．【解答】解：∵AB=AD=，∴△ADB是直角三角形，∴底面BAD的外心为斜边DB中点H，∵且平面ABD⊥平面BCD，CH⊥DB，∴CH⊥底面BAD，∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心在CH上，三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，则（CH﹣R）2+BH2=OB2∵，BH=，可得R=2三棱锥A﹣BCD外接球的表面S=4πR2=16π故答案为：16π【点评】题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于中档题．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=CD=1，AB=2，E，F 分别为AB，AC的中点，设以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上的动点为P（如图所示），则的取值范围是[﹣，﹣1] ．【分析】建立平面直角坐标系，由题意可设点P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]，表示出、，再利用三角函数的图象与性质求出•的取值范围．【解答】解：建立如图所示直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），F（，），由题意，可设点P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]；则=（cosθ，sinθ），=（﹣cosθ，﹣sinθ），∴•=c osθ（﹣cosθ）+sinθ（﹣sinθ）=cosθ+sinθ﹣1，=sin（θ+α）﹣1，其中tanα=3；又θ∈[0，]，∴arctan3≤θ+α≤+arctan3；∴sin（﹣arctan3）≤sin（θ+α）≤1sin（﹣arctan3）=cos（arctan3）=∴×≤sin（θ+α）≤∴﹣≤sin（θ+α）﹣1≤﹣1，即的取值范围是[﹣，﹣1]．故答案为：[]．【点评】本题考查了平面向量知识的运用以及平面直角坐标系的应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是难题．三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，．（1）求证：OM∥平面PAB．（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．【分析】（1）利用中位线定理可得OM∥PB，故而OM∥平面PAB；（2）由BD⊥AC，BD⊥PA可得BD⊥平面PAC，故而平面PBD⊥平面PAC．【解答】解：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PBD，PB⊂面PBD，∴OM∥面PBD．（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵AC⊂面PAC，PA⊂面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．【分析】（1）利用基本不等式得出ab的最大值，得出面积的最大值；（2）利用正弦定理得出a，c的关系，列方程解出c，使用正弦定理解得sinA，利用余弦定理解出b．【解答】解：（1）∵a+b=5，∴ab≤（）2=．=sinC=≤=．∴S△ABC（2）∵2sin2A+sinAsinC=sin2C，∴2a2+ac=c2．即8+2c=c2，解得c=4．由正弦定理得，即，解得sinA=．∴cosA=．由余弦定理得cosA==．即．解得b=或2．【点评】本题考查了基本不等式，正余弦定理，属于中档题．19．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．【分析】（1）由题意首先求得样本中心点，然后求解回归方程即可；（2）利用（1）的结论结合题意得到不等式，求解不等式即可求得最终结果．【解答】解：（1）由题意可得：，则：，回归方程为：，（2）当维护费用y超过13.1万元时，即：0.7x+5.4＞13.1，解得：x＞11，则从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年．答：该批空调使用年限的最大值为11年．【点评】本题考查线性回归方程的求解及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n=S n+1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时，2a1=S1+1=a1+1，解得a1．n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+1，可得：a n=2a n﹣1..利用等比数列的通项公式可得a n．（2）b n=（2n+1）•a n=（2n+1）•2n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）当n=1时，2a1=S1+1=a1+1，解得a1=1．n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+1，可得：2a n﹣2a n﹣1=a n，可得a n=2a n﹣1．．数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，a n=2n﹣1．（2）b n=（2n+1）•a n=（2n+1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=3×1+5×2+7×22+…+（2n+1）•2n﹣1．2T n=3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，∴﹣T n=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n=1+2×﹣（2n+1）•2n，可得：T n=（2n﹣1）•2n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）如图所示的空间几何体，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF ∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=，CE=2，BC=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线BE与平面DEF所成角的正弦值．【分析】（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，证明AC⊥平面BDE即可得知∠DOE 为所求角，在△DOE中利用余弦定理求出cos∠DOE；（2）过B作BP⊥DE交DE于点P，证明BP⊥平面DEF，故而∠BEP为直线BE 与平面DEF所成角．【解答】解：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AF⊥AB，AF∥BE，∴BE⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥OE，∴二面角E﹣AC﹣D的平面角为∠DOE，∵正方形ABCD边长为2，CE=2，∴BE=2，OD=OB=，OE=，DE=2，∴cos∠DOE==﹣．即二面角E﹣AC﹣D的余弦值为﹣．（2）在Rt△DBE中，作BP⊥DE交DE于点P，取DE的中点G，连接OG，FG，则OG BE AF，∴四边形AOGF为平行四边形，∴FG∥AC，由（1）可知AC⊥平面DBE，又BP⊂平面DBE，∴AC⊥BP，∵FG∥AC，∴BP⊥FG，又FG∩DE=G且FG，DE⊂平面DEF，∴BP⊥平面DEF，∴∠BEP为直线BE与平面DEF所成角，∴sin∠BEP===．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．22．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中||=|﹣|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）化圆C1的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，然后求出圆心关于直线l1的对称点，则圆C的方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由||=|﹣|=，得四边形OASB为矩形，则OA⊥OB，当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=﹣1，求出A，B的坐标，满足．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），联立直线方程与圆方程，利用根与系数的关系结合求得k值，则直线方程可求．【解答】解：（1）圆C1：x2+y2+6x=0化为标准方程为（x+3）2+y2=9，设圆C1的圆心C1（﹣3，0）关于直线l1：y=2x+1的对称点为C（a，b），则，且CC 1的中点M（，）在直线l1：y=2x+1上．∴，解得．∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9；（2）如图：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由||=|﹣|=，得四边形OASB为矩形，∴OA⊥OB，必须使，即x1x2+y1y2=0．①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=﹣1，与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9交于两点A（﹣1，），B（﹣1，）．∵，∴OA⊥OB，∴当直线的斜率不存在时，直线l：x=﹣1满足条件；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+k2）x2+（2k2+4k﹣2）x+k2+4k﹣4=0，由于点（﹣1，0），在圆C内部，∴△＞0恒成立，∴，，由x1x2+y1y2=0，得，整理得，解得k=1，∴直线方程为y=x+1，∴存在直线x=﹣1和y=x+1，它们与圆C交A，B两点，且||=|﹣|．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．。
2017-2018学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题
| 6a 8a 9 | 则d
10
3 1 ，于是，整理得 |14 a 9 | 5 | ，
4
解得 a
1，或 a
2
．
7
∵圆心 M 在直线 l 的右下方，∴圆心 M 是 (1, 1) ，
……………… 3 分
∴圆 M 的标准方程为 ( x 1)2 ( y 1)2 1
……………… 5 分
（ 2）直线 mx y m 1 0 可变形为 m(x 1) y 1 0 ，即过定点 (1, 1) ，
分别为： xA,xB,xC,xD, yA,yB,yC,yD, zA,zB,zC
， zD，个数为 12 种…… 11 分
所以 P“( | m
n | 1”)
12 4 = ………………… 12 分
21 7
19. 证明：（ 1） O, M 分别为 EA, EC 的中点， OM AC ……… 3 分 ∵ OM 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ．∴ OM 平面 ABCD …………… 5 分
解：（ 2） ∵ DC BC 1, BCD 90 ，
BD 2 AD 2, AB 2 ∴ BD DA
∵平面 ADEF 平面 ABCD ，平面 ADEF 平面 ABCD AD ，
BD? 平面 ABCD ，∴ BD⊥平面 ADEF
∴ BFD 的余弦值即为所求 .
…………………… 9 分
在 Rt BDF 中 BDF , DF 2, BF 2
4分
当 p 为真命题 q 为假命题时 a 的范围为 1 a 4 ………………………………………… 6 分
当 p 为假命题 q 为真命题时 a 的范围为 1 a 0 ………………………………………… 8 分
综上所述符合题意时 a 的范围为 1,0 1,4 ………………………………………… 10 分
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赣州市2017～2018学年度第一学期期末考试
高二理科数学参考答案
一、选择题
1～5.BADAD ； 6～10.BABDB 11～12.BD.
二、填空题 13.31； 14.34π； 15.画画； 16.5
24. 三、解答题
17.解：()f x 定义域为R 所以210ax ax -+>在R 上恒成立
当0a =合题意…………………………………………………………………………………1分 当0a ≠时04a <<…………………………………………………………………………2分 所以p 为真命题时a 的范围为04a ≤<……………………………………………………3分 q 为真命题时a 的范围为11a -<<…………………………………………………………4分 当p 为真命题q 为假命题时a 的范围为14a ≤<…………………………………………6分 当p 为假命题q 为真命题时a 的范围为10a -<<…………………………………………8分 综上所述符合题意时a 的范围为()[)1,01,4- …………………………………………10分
18.解：(1)价格在[)16,17内的频率为：10.0610.1610.3810.0810.32-⨯-⨯-⨯-⨯= 价格在[)16,17内的地区数为：500.3216⨯=……………………………………………2分 设价格的中位数为x ，因为第一组和第二组的频率之和为0.06+0.16=0.220.5<
而前三组的频率之和为0.06+0.160.38=0.6>0.5+………………………………………3分 所以[)15,16x ∈ 所以0.060.16(15)0.380.5x ++-⨯=………………………………4分 解得15.7x ≈ （元）…………………………………………………………………………5分
（2）由直方图知，价格在[)13,14的地区数为500.06=3⨯，记为x,y,z
价格在[]17,18的地区数为500.08=4⨯，记为A,B,C,D ………………7分
若[)m,n 13,14∈时，有xy,xz,yz,3种情况；
若[]
m,n 17,18∈时，有AB,AC,AD,BC,BD,CD, 6种情况；
z
y x O
M F
E D
C B A
若,m n 分别在[)13,14 和[)17,18 内时，有
xA,xB,xC,xD, yA,yB,yC,yD, zA,zB,zC,zD 共有12种情况.
所以基本事件总数为21种…………9分 事件“m n 1->”所包含的基本事件中，,m n 分别在[)13,14 和[)17,18内时， 分别为：xA,xB,xC,xD, yA,yB,yC,yD, zA,zB,zC ，zD ，个数为12种……11分 所以124P(|m n |1)=217
->=“”…………………12分 19.证明：（1）,O M 分别为,EA EC 的中点，OM AC ………3分
∵OM ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ．∴OM 平面ABCD ……………5分 解：（2） ∵1,90DC BC BCD ==∠= ，
22,2BD AD AB ∴=== ∴BD DA ⊥
∵平面ADEF ⊥ 平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，
BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面ADEF
∴BFD ∠ 的余弦值即为所求. ……………………9分
在Rt BDF 中,2,62BDF DF BF π
∠=== 26cos 36
DF BDF BF ∴∠=== ∴BF 与平面ADEF 所成的角的余弦值63 …………12分 （2）另解如图建立空间直角坐标系xyz D -， (0,2,0),(2,0,2)B F ，平面ADEF 的一个法向量是 (0,1,0)n = (2,2,2)BF =- …………8分
222||23|cos ,|3||||(2)(2)(2)
BF n BF n BF n ⋅<>===+-+ ∴BF 与平面ADEF 所成的角的余弦值6
3 …………12分
20解：（1）由已知可设圆心(,)M a a -，圆心到直线l 的距离为d ，
z
D
P 则|689|31104
a a d +-==-，于是，整理得|149|5a -=|， 解得1a =，或27a =
． ………………3分 ∵圆心M 在直线l 的右下方，∴圆心M 是(1,1)-，
∴圆M 的标准方程为22(1)(1)1x y -++= ………………5分
（2）直线10mx y m +-+=可变形为(1)10m x y -++=，即过定点(1,1)-，
∴动直线10mx y m +-+=恰好过圆M 的圆心，∴||2AB = ………………7分 设(,)P x y ，则由||2||PO PM =，可得22222[(1)(1)]x y x y +=-++，
整理得22(2)(2)4x y -++=，
即P 点在以(2,2)-为圆心，2为半径的圆上， ………………10分 设此圆圆心为N ，则(2,2)N -N ．∴要使PAB ∆的面积最大，
点P 到直线AB 的距离d 最大，22max ||(21)(2,1)222d PM ==-+-+=+， ∴PAB ∆面积的最大值为22+． ………………12分 21（1）证明：PA PD = ，Q 为AD 的中点，PQ AD ∴⊥
又∵底面ABCD 为菱形，
60,BAD BQ AD ∠=∴⊥ ………………3分 又∵,PQ BQ Q AD =∴⊥ 平面PQB
又∵AD ⊂平面PAD
∴平面 PQB ⊥ 平面PAD ………………5分
（2）解：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥ ， ∴PQ ⊥ 平面ABCD ，
以Q 为坐标原点，分别以,,QA QB QP 为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，如图，则
(0,0,0),(0,0,3),(0,3,0),(2,3,0)Q P B C - ……………7分 设,01,PM PC λλ=<< 则(2,3,3(1)),M λλλ--
平面CBQ 的一个法向量1(0,0,1),n = ，
设平面MBQ 的法向量为211,1(,)n x y z =
， 222330,0,(,0,3)2QM n QB n n λλ-=== ， ……………9分 ∵二面角M BQ C --的大小为60 ∴121cos 60cos ,2
n n ==〈〉
解得11,33PM PC λ== ∴存在点M 为线段PC 靠近P 的三等分点满足题意………………12分
22解：（1）∵椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>上一点到两焦点间的距离之和为22，
即222,2
a a ==…………………1分 由O 到直线4330x y -+=距离22|3|35
34d ==+，
直线4330x y -+=被以椭圆C 的短轴为直径的圆M 截得的弦长为
85， 则22825b d =-，即22832()55
b =-，解得：1b =…………………3分 ∴椭圆C 的方程为：2
212
y x +=…………………4分 （2）由题意可知：关于直线1:()2
l y
k x =+对称，AB 所在的直线方程设为111221:,(,),(,)l y x m A x y B x y k =-+ 由22112
y x m k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得：2222(21)2(2)0k x kmx m k +-+-=， 由韦达定理可知：22
1212222(2),2121
km m k x x x x k k -+==++…………………6分
根据题意：22222222244(21)(2)8(21)0k m k m k k k k m ∆=-+-=-+>…………7分
设线段AB 的中点00(,)P x y ，则2120002212,22121
x x km k m x y x m k k k +===-+=++， 因为点P 在直线1:()2l y k x =+上，所以22221()21212
k m km k k k =+++， 所以化简得2212k m k
+=…………………10分 代入0∆>，可得424430k k --<， 解得：232k <，则6622k -<<…………………12分。