上海市2017高二数学上学期期末考试!(2)
【上海专版】-上海市黄浦区2017-2018学年高二上学期期末数学试题(解析版)
黄浦区2017学年度第一学期高二年级期终调研测试数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1.计算32lim 5n n n →∞+=-________． 【答案】3【解析】【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可． 【详解】32lim 5n n n →∞+=-2330lim 35101n n n →∞++==--. 故答案为：3【点睛】本题考查数列的极限的运算法则,考查计算能力,属于基础题．2.已知点(1,2)A ，(2,7)B -，那么向量AB u u u r的位置向量的终点坐标为________．【答案】(3,5)-【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】由题, ()()21,723,5AB =---=-u u u r .故答案为：()3,5-【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算,属于基础题.3.抛物线28y x =-的准线方程为________．【答案】2x =【解析】【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可.【详解】由题, 28y x =-开口向左,且284p p =⇒=,故准线方程为22p x ==,即2x =. 故答案为：2x =【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题.4.若倾斜角为34π的直线过点(1,3)和(2,)m ，则m =________． 【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率的公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】因为直线倾斜角为34π,故斜率为3tan 14π=-.故3121m -=--,解得2m =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系以及两点间的斜率公式.属于基础题.5.直线1y =与直线210x y ++=的夹角为________（结果用反三角函数值表示）．【答案】arctan 2【解析】【分析】 直线1y =为一条水平直线，所以两条直线的夹角即为直线210x y ++=倾斜角（或补角），即可求解.【详解】直线1y =为一条水平直线，所以两条直线的夹角即为直线210x y ++=倾斜角（或补角）， 直线210x y ++=，即21y x =--，设直线210x y ++=的倾斜角为α，则tan 2α=-， 由两直线夹角的取值范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以直线1y =与直线210x y ++=的夹角为倾斜角为α的补角，即arctan 2.故答案为：arctan 2.【点睛】本题考查了两直线夹角的求法，反三角函数的表示方法，属于基础题.6.若非零向量a r ，b r 满足||||a b a b +=-r r r r ，则a r 与b r 所成角的大小为________． 【答案】2π 【解析】【分析】根据||||a b a b +=-r r r r ，两边平方化简求解.【详解】因为||||a b a b +=-r r r r ，所以22||||a b a b +=-r r r r ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，所以40a b ⋅=r r， 所以a r 与b r 所成角的大小为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________【答案】11【解析】 【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =， 根据双曲线定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =.8.已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n na a a a a →∞++++=L __________ 【答案】32【解析】【分析】先对等比数列进行求和，再进行极限运算.【详解】因为3n n a =，所以21233(13)33313n nn a a a a ⋅-++++=+++=-L L ， 所以123313lim lim (1)232n n n n n a a a a a →∞→∞++++=-=L . 故答案为32. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和、数列极限计算，考查数列中的基本量法，考查基本的运算求解能力. 9.曲线2xy =上的点到直线0x y +=的距离的最小值为________．【答案】1【解析】【分析】设与直线0x y ++=平行的直线的方程为0x y m ++=，联立方程组，由0∆=，求得m 的值，得到直线的方程，利用两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】设与直线0x y ++=平行的直线的方程为0x y m ++=，联立方程组02x y m xy ++=⎧⎨=⎩，可得220x mx ++=， 令2420m ∆=-⨯=，解得m =±此时直线0x y +±=与曲线2xy =相切，结合图象，可得当m =时，曲线2xy =上的点到直线0x y +=的距离最小，即最小值为两平行线0x y ++=和0x y +=的距离，所以最小值为1d ==.【点睛】本题主要考查了两曲线间最短距离的求解，以及两平行线间的距离公式的应用，其中解答中把两曲线间的距离转化为两平行线间的距离是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用. 10.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________.【答案】3.6 cm【解析】【分析】如图先根据实际情况合理建立直角坐标系，设出抛物线方程，结合题设数据找点求出抛物线方程，灯泡与反射镜顶点间的距离即为抛物线焦点与顶点距离.【详解】取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xoy ，如图所示．因为灯口直径24AB ＝，灯深10OP ＝，所以点A 的坐标是()10,12．设抛物线的方程为22(0)y px p >＝，由点()A 10,12在抛物线上，得212210p ⨯＝，所以7.2p =.所以抛物线的焦点F 的坐标为()3.60，．因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6cm .【点睛】本题属于抛物线的实际应用题，熟练掌握抛物线的方程及性质是解题关键.11.已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围为________． 【答案】[2,6]【解析】【分析】先将圆的方程化为参数方程,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，设,4)P θθ+，利用数量积运算结合三角函数的性质求解.【详解】因为圆的方程22(4)2x y +-=，所以其参数方程为：,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，所以(4)2sin()44πθθθ⋅++=++u u u r u u u r OP OQ ， 因为[]sin()1,14πθ+∈-， 所以[2,6]⋅∈u u u r u u u r OP OQ .故答案为：[2,6]【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知动点A 在x 轴的非负半轴上，动点B 在y 轴的非负半轴上，且||2AB =，C 为AB 的中点，若点P 满足点集{|1}D P PC =≤，则D 所表示图形的面积为________．【答案】2π【解析】【分析】由条件可得1||||12OC A B ==，然后可得C 的轨迹方程为221(0,0)x y x y +=≥≥，然后由点集{|1}D P PC =≤得点P 对应的区域是由圆心在点C 的轨迹上，半径为1的动圆形成的区域，即由四分之一半径为2的圆的面积和两个半径为1的半圆面积构成，然后算出答案即可. 【详解】由题意，1||||12OC A B ==， 于是可得C 的轨迹方程为221(0,0)x y x y +=≥≥ 由点集{|1}D P PC =≤得点P 对应的区域是由圆心在点C 的轨迹上，半径为1的动圆形成的区域，即由四分之一半径为2的圆的面积和两个半径为1的半圆面积构成.所以D 所表示图形的面积为2211224πππ⋅+⋅⋅=故答案为：2π【点睛】本题考查的是圆的相关知识，作出图形是解题的关键.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13.已知向量(5,8)a =r ，1(2,3)e =-u r ，若向量a r 可以唯一表示为1e u r 、2e u u r 的线性组合，那么2e u u r 可以是（ ）．A. (0,0)B. (2,3)C. (2,3)-D. (6,9)-【答案】B【解析】【分析】 根据平面向量基本定理可得1e u r 、2e u u r 不共线，逐个对四个选项进行判断即可.【详解】∵a r 可以唯一表示为1e u r 、2e u u r 的线性组合，∴1e u r 、2e u u r 可以构成一组基底，即1e u r 、2e u u r 不共线，由向量共线的概念易得A ，C ，D 中的向量均与1(2,3)e =-u r 共线，B 中的选项和1(2,3)e =-u r 不共线，故选：B .【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.14.“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线3(1)(7)0x a y a +---=平行且不重合”的（ ）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】两个方面分析本题，分别当3a =时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a 的范围，结合充分条件、必要条件的概念即可得出结果.【详解】当3a =时，两直线分别为：3290x y ++=，3240x y ++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合； 若两直线平行且不重合，则3 1723a a aa≠=--，∴3a =， 综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件，故选：C.【点睛】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式，属于中档题.15.已知数列{}n a ，{}n b （n *∈N ），如果数列{}n n a b +和{}n n a b -的极限均存在，那么在下列数列中，其极限不一定存在的数列是（ ）．A. {}n aB. {32}n n a b -C. {}n n a b ×D. n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】【分析】利用极限的运算法则与性质，结合反例，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列{}n n a b +和{}n n a b -的极限均存在， 设数列{}n n a b +和{}n n a b -的极限分别为lim (),lim ()n n n n n n a b A a b B →+∞→+∞+=-=, 则1lim lim 2lim[()()]22n n n n n n n n n A B a a a b a b →+∞→+∞→+∞+==++-=，所以A 正确； 又由1lim lim 2lim[()()]22n n n n n n n n n A B b b a b a b →+∞→+∞→+∞-==+--=， 所以5lim (32)lim 3lim 232222n n n n n n n A B A B A B a b a b →+∞→+∞→+∞+-+-=-=⨯-⨯=，所以B 正确； 由221lim lim lim lim 2222n n n n n n n n n n A B A B A B a b a b a b →+∞→+∞→+∞→+∞+--⋅=⋅=⋅=⨯=,所以C 正确；对于D 中，例如211,n n a b n n ==，可得n n a n b =，此时数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的极限不存在. 故选：D.【点睛】本题主要考查数列的极限的定义，以及数列的极限的运算法则的应用，其中解答中熟记极限的运算法则，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.设椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，若四点1(1,1)P ，2(0,1)P，3(P -，4P 中恰有三点在椭圆Γ上，则不在Γ上的点为（ ）．A. 1PB. 2PC. 3PD. 4P 【答案】A【解析】【分析】由3(P -，4P 关于y 轴对称，利用椭圆的对称性，椭圆必经过3P ，4P ，得到221314a b +=，再根据2222111314a b a b +>+=，得到椭圆不经过1P 的结论.【详解】因为3(P -，4P 关于y 轴对称， 所以椭圆经过3P ，4P ， 所以221314a b+=， 当2P 在椭圆上时，211b =， 解得221,4b a ==， 椭圆方程为：2214x y +=成立. 因为2222111314a b a b +>+=， 所以椭圆不经过1P ，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17.将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++L L 的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++=L L ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++=L L ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立．【答案】①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++L L ； ⑥：21k +；⑦：2(1)k +【解析】【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案.【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=L L ，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=L L ．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++L L()2211k k a k +=+=+，等式也成立． 根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立.故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++L L ；⑥：21k +；⑦：2(1)k +【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力.18.已知等差数列{}()n a n N *∈，n S 为其前n 项和，1a t =，46a t =-，其中t R ∈． （1）求10a 及10S （用t 表示）；（2）在1S ，2S ，…，n S 中，有且只有8S 的值最大，求t 的取值范围．【答案】（1）1018a t =-，101090S t =-；（2）()14,16t ∈【解析】【分析】（1）根据1a t =，46a t =-求出公差，根据等差数列的通项公式和前n 项和公式即可求出结果；（2）由题意易得8900a a >⎧⎨<⎩，列出关于t 的不等式组解出即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1a t =，46a t =-∴4163a a d -=-=，即2d =-，∴101918a a d t =+=-，110102181010109022a a t S t +-=⨯=⨯=-. （2）∵在1S ，2S ，…，n S 中，有且只有8S 的值最大，∴8900a a >⎧⎨<⎩即140160t t ->⎧⎨-<⎩，解得1416t <<，即t的取值范围()14,16.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式和前n项和公式中基本量的计算，等差数列中前n项和中最大值问题，属于基础题.19.已知圆22:4210C x y x y+---=．（1）求y轴被圆C所截得的线段的长；（2）过圆C圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S，求S的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）将0x=代入22:4210C x y x y+---=可得2210y y--=，将线段长为12y y-=和韦达定理相结合即可得出结果；（2）设:1(,0)x yl a ba b+=>，由直线过圆心可得211a b=+，利用基本不等式可得8ab≥，最后根据三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）设圆22:4210C x y x y+---=与y轴的交点为()10y,，()20,y，将0x=代入22:4210C x y x y+---=可得2210y y--=，即122y y+=，121y y⋅=-，所以y轴被圆C所截得的线段的长为12y y-==（2）设:1(,0)x yl a ba b+=>，由于l过(2,1)C，∴211a b=+，利用基本不等式，得2118aba b=+≥≥，∴142S ab=≥，即S的最小值为4，此时4,2a b==，:142x yl+=，即:240l x y+-=【点睛】本题主要考查了直线截圆所得弦长问题，直线截距式的应用，利用基本不等式求最值，属于中档题.20.已知双曲线2222:1(,0)x ya ba bΓ-=>，O为坐标原点．（1）若Γ为等轴双曲线，且Γ的右焦点F到点O的距离为2，求Γ的方程；（2）a =b =设斜率为1的直线l 交Γ于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，若l 与圆222(0)x y r r +=>相切，求r 的值．【答案】（1）22122x y -=；（2）r =【解析】【分析】（1）由等轴双曲线的概念可得a b =，由右焦点F 到点O 的距离为2可得2c =，结合222c a b =+得到,a b 的值，进而得到结果；（2）设直线:l y x m =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，将直线方程代入双曲线方程，将OP OQ ⊥与韦达定理相结合可得m 的值，结合圆心到直线的距离等于半径即可得结果.【详解】（1）∵Γ为等轴双曲线，∴a b =，又∵右焦点F 到点O 的距离为2，∴2c =，结合222c a b =+，得出a b ==∴Γ的方程22122x y -=. （2）22:123x y Γ-=，设直线:l y x m =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y 将直线方程代入双曲线方程，并化简得224(26)0x mx m --+=，则212212244804(26)m x x m x x m ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-+⎩（*），∵OP OQ ⊥，∴2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，将（*）代入，得212m =，∴m =±直线与圆相切，可得r d ===【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系，韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已如椭圆222:1(0)9x y b bΓ+=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为Γ上的动点． （1）若b =P 的横坐标为0x ，试用解析式将1||PF 表示成0x 的函数；（2）试根据b 的不同取值，讨论满足12F F P V 为等腰锐角三角形的点P 的个数．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设00(,)P x y ，写出椭圆的方程及1F 的坐标，利用两点间的距离公式求出1PF 的表达式，点P 坐标代入椭圆方程用0x 表示出0y ，即可进一步将1||PF 表示成0x 的函数；（2）作出图1至图5的图象，其中图2与图4为临界情况，分别求出图2与图4所对应的b 值，即可得出结论.【详解】（1）设00(,)P x y ，其中2200195x y +=，0[3,3]x ∈-，由952c =-=得左焦点1(2,0)F -， 则222201000||(2)(2)5(1)9x PF x y x =++=++- 20000042249|3|3,[3,3]933x x x x x =++=+=+∈-； （2）图1至图5分别对应P 点为2个，2个，6个，4个，4个的情况，其中图2与图4为临界情况， 如图2：312P F F △等腰直角三角形（1232F F P π∠=），设31(,)P c y ，则2221121199y c c y b b +=⇒=-， 1232||||F F P F =Q ，2219c c b ∴=-，又229b c +=，可得42363240b b +-=，解得218218b =-，则18218b =-； 如图4：112F P F △为等腰直角三角形（1122F P F π∠=），由12OP OF =得b c =，又229b c +=，所以32b c ==.所以①b∈，点P的个数为2；②b∈，点P的个数为6；③b∈，点P的个数为4．【点睛】本题考查椭圆的几何性质、椭圆中的焦点三角形形状问题，分析出临界情况是解题关键，涉及两点间的距离公式，属于较难题.。
上海市徐汇区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是．3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．10．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=．11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．715．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．816．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上 B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．2017-2018学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的倾斜角．【分析】根据所给的直线3x﹣4y﹣5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tanα=，α∈[0，π]，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα=，α∈[0，π]，∴α=arctan，故答案为：arctan．2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【考点】三阶矩阵．【分析】由题意可知求得A12=﹣=k+4，代入即可求得k的值．【解答】解：由题意可知：设A=，元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y ﹣5）2=17．【考点】圆的标准方程．【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程．【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为π﹣A．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．故答案为．8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．10．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】Rt△PF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，△PF1F2面积为16，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，∴mn=32∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，∴b2=c2﹣a2=16，∴b=4．故答案为：4．11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【考点】轨迹方程．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x=a+1，2y=b，∴a=2x﹣1，b=2y，∵b2=4a，∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．故答案为：y2=2x﹣1．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案．【解答】解：由⇔a1 b2≠a2 b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组有唯一解，故选：C．14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A15．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】交集及其运算．【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．16．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上 B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得﹣＞0，即可判断出焦点的位置．【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…解得或，…故或．…（2）∵，∴，即，…∴，整理得，…∴，…又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即x=﹣2，或x+y﹣1=0．如图：19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b，解得b，进而得到椭圆方程；（2）由题意写出A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C、B的纵坐标，S△ABC=|OA|•|y B﹣y C|，代入数值即可求得面积．【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，∴S△ABC=|OA|•|y B﹣y C|=×2=6，△ABC的面积为6．20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；双曲线的标准方程．【分析】（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；（2）设点P的坐标，根据∠F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【考点】曲线与方程．【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．2018年9月6日。
上海市高二上学期期末数学试卷
上海市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 已知是直线的倾斜角，则的值是（）A .B .C .D .2. （2分）平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是（）A .B . 2C .D .3. （2分）如图，一圆形纸片的圆心为O, F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD, 设CD与OM交于P, 则点P的轨迹是（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆4. （2分） (2018高一下·三明期末) 已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·江西期中) 若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）A . 或B . 或C .D . 或106. （2分） (2016高一下·大连期中) 若直线l1：ax+2y+6=0与直线平行，则a=（）A . .2或﹣1B . .2C . ﹣1D . 以上都不对7. （2分） (2019高三上·清远期末) 平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（）A .B .C .D .8. （2分）四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面是侧棱长为3的等腰三角形，则二面角的余弦值的大小为（）A .B .C .D .9. （2分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A . 圆M的圆心为（4，﹣3）B . 圆M被x轴截得的弦长为8C . 圆M的半径为25D . 圆M被y轴截得的弦长为610. （2分） (2016高二上·大连开学考) 已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y= 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为（）A . 150°B . 135°C . 120°D . 不存在11. （2分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A . 5B . +C . 7+D . 612. （2分） (2015高二上·天水期末) 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， CA=2CB，CC1=3CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一上·秦安期末) 经过直线l1：2x+3y﹣5=0，l2：3x﹣2y﹣3=0的交点且平行于直线2x+y ﹣3=0的直线方程为________．14. （1分）若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则 ________.15. （1分）(2019·镇江模拟) 已知A ， B为圆C: 上两个动点，且AB=2，直线 :，若线段AB的中点D关于原点的对称点为D′，若直线上任一点P ，都有，则实数的取值范围是________.16. （1分）如图，O为原点，从椭圆的左焦点F引圆x2+y2=4的切线FT交椭圆于点P，切点T 位于F、P之间，M为线段FP的中点，M位于F、T之间，则|MO|﹣|MT|的值为________三、解答题 (共8题；共80分)17. （10分） (2015高一下·厦门期中) 已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．（1）求AB边上的高线所在的直线方程；（2）求三角形ABC的面积．18. （5分）如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和 .19. （5分） (2017高一下·安庆期末) 已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．20. （10分）(2017·陆川模拟) 已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．21. （10分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC= ，AB=2，AC=2，PA=2．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．22. （15分） (2019高二上·河南月考) 已知圆的圆心为，且直线与圆相切，设直线的方程为，若点在直线上，过点作圆的切线，切点为 .（1）求圆的标准方程；（2）若，试求点的坐标；（3）若点的坐标为，过点作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程.23. （15分） (2020高一下·大兴期末) 如图所示，在正方体中， .（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）用一张正方形的纸把正方体完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积.（结果不要求证明）24. （10分） (2019高二上·吉林月考) 已知椭圆：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、。
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1.椭圆x^2/25 + y^2/6.25 = 1的长轴长为10.2.已知直线l的一个方向向量的坐标是(3.4.-5)，则直线l的倾斜角为53.13°。
3.已知二元一次方程组2x + 3y = 1.4x + ky = 2的增广矩阵是[2 3 1.4 k 2]，则此方程组的解是x = (2 - 3k)/(2k - 12)，y = (4 - 2x)/k。
4.行列式中-3的代数余子式的值为-1.5.已知△ABC的三个顶点分别为A(1.2)，B(4.1)，C(3.6)，则AC边上的中线BM所在直线的方程为x + 2y = 5.6.已知直线l1的方程为3x - y + 1 = 0，直线l2的方程为2x + y - 3 = 0，则两直线l1与l2的夹角是45°。
7.用数学归纳法证明“1 + 2 + … + n < n(n+1)/2（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是k+1.8.执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是12.9.若圆C的方程为x^2 + y^2 - 2ax - 1 = 0，且A(-1.2)，B(2.1)两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是(1.2)。
10.若x^2 + 2ax + 1 = 0，且存在y，使得y^2 + 2ay + 1 = 0，则实数a的取值范围是(-∞。
-1)∪(-1.0)∪(0.+∞)。
11.已知直线l1过点P(1.4)且与x轴交于A点，直线l2过点Q(3.-1)且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且PA = QB，则点M的轨迹方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0.12.如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则∠APB的取值范围是(90°。
2017-2018学年上海市浦东新区高二上学期期末考试数学试题 扫描版
浦东新区2017学年度高二数学第一学期期末质量抽测评分标准一、填空题（每小题3分，共36分）1．1； 2．()43,； 3． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-813521；4．34； 5．15； 6．22； 7．21c c ++；8. 8； 9．1121+-n ； 10．()10,； 11．2； 12．112231+-⨯-n n . 二、选择题（每小题3分，共12分）13. C ； 14. B ； 15. B ； 16．D ．三、解答题 （本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）解：（1）因为圆心O 到直线l 的距离1312030=+-⨯+=d ，…………………2分所以弦长2AB ==.………………………………2分 （2）弦AB 的垂直平分线的方程可设为03=+-c y x ，……………………2分由圆的性质知，弦AB 的垂直平分线经过圆心O ，所以，0=c ，………1分 所以，弦AB 的垂直平分线的方程为03=-y x .…………………………1分 18．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）解：（1）因为θ=⋅cos ，…………………………………………………2分 所以，向量在向量521232=++==θcos .…3分（2）因为()k ,k k 213--=-=，且()21,=，…………………………2分 因为⊥，所以，0=⋅，即，()()021231=-⨯+-⨯k k ，解得，1=k ，此时，()12-=,.…………………………………………………3分 19．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）解：（1）显然直线l 的斜率k 存在且0<k ，设l ：()21+-=x k y ，得⎪⎭⎫⎝⎛-021,k A ，()k ,B -20.………………………………2分则，⎪⎭⎫⎝⎛=22,k ，()k ,--=1，由3=， 得，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=k k 3232，即32-=k ………………………………………………………2分所以，所求直线l 的方程为()2132+--=x y 或写成0432=-+y x .………1分（2）由题意知，OB OA S AOB 21=∆()k k -⎪⎭⎫⎝⎛-=22121 ()44212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=k k ()0<k ，…………………………………………2分 则()44=⎪⎭⎫⎝⎛-+-k k ，解得2-=k . …………………………………………2分 此时直线l 的方程为()212+--=x y 或写成280x y +-=.………………1分 20．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 解：（1）由⎩⎨⎧=+=+1854510811d a d a ，解得⎩⎨⎧==351d a ，………………………………3分所以，()23315+=⨯-+=n n a n . ……………………………………………2分（2）只要把a k =3k+2在数列{}n b 的第几项确定，而{}n b 其余的项都是3，那么{}n b 确定了。
上海市2017—2018学年高二上学期期末模拟考试卷(二)
上海市2017—2018学年高二上学期期末模拟考试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为．2．已知复数z与（z+2）2+5均为纯虚数，则复数z=．3．已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．4．若圆C经过点A（1，2）及点B（3，1），且以AB为直径，则圆C的标准方程为．5．已知|z|=1，则的取值范围是．6．抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为．7．已知直线x﹣y﹣1=0与抛物线y2=4x交于A、B两点，则|AB|=．8．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为．9．与椭圆有相同的焦点且以y=为渐近线的双曲线方程为．10．在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．11．已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是．12．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为．13．已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B （1，0）}，则表示M∩N的图形面积为．14．关于曲线，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y=0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；⑤曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件16．已知直线，则下列说法错误的是（）A．直线的倾斜角为B．直线必过点C．当t=1时，直线上对应点到点（1，2）的距离是D．直线不经过第二象限17．若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或218．F1，F2分别是双曲线的左右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则的值为（）A．2 B．C． D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．已知复数z满足z=﹣4．（1）求复数z的共轭复数；（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．20．已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．21．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．22．设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．（1）若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；（2）设复数β满足条件|β+3|+（﹣1）n|β﹣3|=3a+（﹣1）n a（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于，求实数x0的取值范围．23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案一、填空题1．解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4∴=1∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）2．解：设z=bi（b∈R，b≠0），∵（z+2）2+5=（bi+2）2+5=9﹣b2+4bi为纯虚数，∴，解得b=±3，∴z=±3i．故答案为：±3i．3．解：设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．则=a﹣b=0，∴=tanα，∴α=，故答案为：．4．解：∵A （1，2），B （3，1），设圆心为C ，∴圆心C 的坐标为C （2，）；∴|AC |=，即圆的半径r=，则以线段AB 为直径的圆的方程是（x ﹣2）2+（y ﹣）2=．故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣）2=．5．解：∵|z |=1，∴|z |﹣|1﹣i |≤|z ﹣1+i |≤|z |+|1﹣i |，即﹣1≤|z ﹣1+i |≤3，故答案为：[﹣1，3]．6．解：椭圆的右焦点，（3，0），则抛物线的p=6，物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，所求抛物线方程为：y 2=12x ． 故答案为：y 2=12x ．7．解：抛物线的焦点坐标（1，0），直线x ﹣y ﹣1=0经过抛物线的焦点．联立方程组，得x 2﹣6x +1=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=6，x 1•x 2=﹣1，k=1， ∴|AB |=x 1+x 2+p=8． 故答案为：8．8．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由图象可知当点M 位于A 时，直线的斜率最小，由，解得，即A （3，﹣1），∴OM的斜率k=，故答案为：．9．解：∵椭圆的焦点为（5，0）（﹣5，0），故双曲线中的c=5，且满足∴所以双曲线的方程为．故答案为：．10．解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|≤|++|+||=+1．∴|++|的最大值是+1，故答案为： +1．11．解：联立函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m得x=1±．当x=1﹣时，y=1﹣m，当x=1+时，y=1+m，设动点P（x，y），则=（1﹣﹣x，1﹣m﹣y），=（1+﹣x，1+m﹣y），则+=（2﹣2x，2﹣2y），由|+|=2，得（2﹣2x）2+（2﹣2y）2=4，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，∴P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．12．解：∵动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，∴，化为|a﹣b|+|a+b﹣2|=4．分为以下4种情况：或或或．可知点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．可知：当取点A时，取得最大值=．∴a2+b2的最大值为18．故答案为：18．13．解：建立坐标系：M 为直线y=x ﹣1和y=x ﹣3之间的点的集合（含线上的点），设P 点的坐标为（x ，y ）则可将PA ≥PB 表示成：≥，∴（x +1）2+y 2≥2[（x ﹣1）2+y 2]， ∴（x ﹣3）2+y 2 ≤8，即N 集合为以（3，0）为中心，半径为2的圆内的点的集合，则直线y=x ﹣3经过圆心F ， 过圆心F 做FE ⊥CD ，垂足为E ，联立方程组得到，解得x=2±，y=1±，则D （2﹣，1﹣），C （2+，1+），∴|CD |2=（2+﹣2+）2+（1+﹣1+）2=24，即CD=2，∴CE=CD=，在直角三角形CEF 中，sinCFE===，∴∠CFE=60°， ∴∠CFD=120°，∴S 扇形CFD =π×8=π，S △CFD =CF•DF•sin120°=×8×=2，∴S 弓形=S 扇形CFD ﹣S △CFD =π﹣2，∵S 半圆=π×8=4π，∴S M ∩N 的图形=S 半圆﹣S 弓形=4π﹣（π﹣2）=π+2，故答案为：π+2．14．解：对于①，将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，故①正确；对于②，将方程中的x换成﹣y，y换成﹣x方程不变，故②正确；对于③，由方程得x2＞1，y2＞1，故曲线C不是封闭图形，故③错；对于④，联立曲线圆x2+y2=2，方程组无解，无公共点，故④正确；对于⑤，当x＞0，y＞0时，联立曲线C与x+y=2只有一解（），根据对称性，共有有4个交点，这4点构成正方形，正确．故答案为：①②④⑤二、选择题15．解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．16．解：直线，普通方程为3x﹣4y﹣25=0，直线的倾斜角为arctan；x=1时，y=﹣，直线不经过第二象限，故选C．17．解：将直线ax+by﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（a2+b2）y2﹣6by+9﹣3a2=0．令△＜0得，a2+b2＜3．又a、b不同时为零，∴0＜a2+b2＜3．由0＜a2+b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，∵椭圆方程知长半轴a=2，短半轴b=，∴可知P（a，b）在椭圆内部，∴过点P的一条直线与椭圆=1的公共点有2个．故选：C．18．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a，又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e===．故选：B．三、解答题19．解：（1），∴．（2）w=﹣8+（2+a）i，∴，，∵|w|≤|z|，则68+4a+a2≤68，a2+4a≤0，﹣4≤a≤0，所以，实数a的取值范围是：﹣4≤a≤0．20．解：（1）线段AB的垂直平分线为2x+y﹣9=0与直线x﹣2y﹣2=0联立可得圆心C（4，1），…∴半径r=5，故所求圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．…（2）当直线l的斜率不存在时，x=0显然满足题意；…当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx，∵弦长为6，∴圆心C到直线l的距离d=4，…即，解得，此时直线l：15x+8y=0，…故所求直线l的方程为x=0或15x+8y=0．…21．解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．∴=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6又∵，∴，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时=3，直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．22．解：（1）β是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，则，所以m=4（2）方法1：①当n为奇数时，|α+3|﹣|α﹣3|=2a，常数），轨迹C1为双曲线，其方程为，x≥a；②当n为偶数时，|α+3|+|α﹣3|=4a，常数），轨迹C2为椭圆，其方程为；依题意得方程组解得a2=3，因为，所以，此时轨迹为C1与C2的方程分别是：，x≥，．方法2：依题意得轨迹为C1与C2都经过点，且点对应的复数，代入上式得，即对应的轨迹C1是双曲线，方程为；对应的轨迹C2是椭圆，方程为．（3）由（2）知，轨迹C2：，设点A的坐标为（x，y），则=，当即时，当即时，，综上或．，23．解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．。
2017-2018学年上海市嘉定区高二(上)期末数学试卷及参考答案
2017-2018学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）与同方向的单位向量＝．2．（3分）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是．3．（3分）线性方程组的增广矩阵是．4．（3分）根据下列框图，写出所打印数列{a n}的递推公式：．5．（3分）已知首项a1＝2的无穷等比数列的各项和等于3，则数列{a n}的公比等于．6．（3分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线l：x﹣y+m＝0对称，则实数m＝．7．（3分）已知直线l：y＝kx+2与两点A（﹣4，1）、B（1，﹣1）．若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．8．（3分）经过点（﹣3，4）且与圆x2+y2＝25相切的直线方程是．9．（3分）若a ij表示n×n阶矩阵中第i行第j列的元素（i，j＝1，2，3，…，n）．若a ij＝200，则（i，j）＝．10．（3分）数列{a n}满足a n+1＝2（a n﹣1），n∈N*．若a2018≥a1，则a1的取值范围是．11．（3分）设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3＝0交于点P（x，y）．则|P A|•|PB|的最大值是．12．（3分）已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值不小于，则的取值范围是．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）设a、b、c是三个实数，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）数列{a n}中，，则＝（）A．0B．1C．0或1D．不存在15．（3分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by＝0与圆C：x2+y2+ax+by＝0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知．若与平行，求实数λ的值．18．（10分）解关于x，y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论．19．（10分）已知过点A（0，1）的动直线l与圆C：（x﹣3）2+y2＝4相交于P、Q两点．（1）当时，求直线l的方程；（2）设动点M满足，求点M的轨迹方程．20．（12分）已知方程x2+y2+2x﹣4y+m＝0的曲线是圆C．（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y﹣1＝0与圆C相交于M、N两点，且（O为坐标原点），求实数m的值；（3）当m＝4时，设T为直线n：2x﹣y﹣1＝0上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值．21．（12分）已知数列{a n}满足：，2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n﹣1＝n（n≥2，n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n﹣a n}是等比数列；（3）求证：数列{b n}是递增数列；若当且仅当n＝3时，S n取得最小值，求b1的取值范围．2017-2018学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）与同方向的单位向量＝．【解答】解：||＝＝5，故与同方向的单位向量＝，故答案为：．2．（3分）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是．【解答】解：设直线l的倾斜角是θ，可得：tanθ＝，θ∈[0，π），解得θ＝．故答案为：．3．（3分）线性方程组的增广矩阵是．【解答】解：线性方程组的增广矩阵是．故答案为：．4．（3分）根据下列框图，写出所打印数列{a n}的递推公式：，n∈N*．【解答】解：根据首次打印确定数列{a n}的首项：a1＝1，然后根据程序图中：“A←A*2，A←（A+1）”得出：当n≥2时，a n＝2a n﹣1+1，得出数列的递推公式，最后利用分段函数的形式写出a n，即所打印数列的递推公式，n∈N*，故答案为：，n∈N*，5．（3分）已知首项a1＝2的无穷等比数列的各项和等于3，则数列{a n}的公比等于．【解答】解：设数列{a n}的公比为q，∵首项a1＝2的无穷等比数列的各项和等于3，∴＝＝3，解得数列{a n}的公比q＝．故答案为：．6．（3分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线l：x﹣y+m＝0对称，则实数m＝3．【解答】解：依题意圆心（﹣1，2）在直线l：x﹣y+m＝0上，∴﹣1﹣2+m＝0，∴m＝3，故答案为：3．7．（3分）已知直线l：y＝kx+2与两点A（﹣4，1）、B（1，﹣1）．若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．【解答】解：直线l：y＝kx+2经过定点P（0，2），k AB＝＝，k PB＝＝﹣3．∵直线l与线段AB相交，∴实数k的取值范围是为：．故答案为：．8．（3分）经过点（﹣3，4）且与圆x2+y2＝25相切的直线方程是3x﹣4y+25＝0．【解答】解：∵点P（﹣3，4）在圆x2+y2＝25上，∴过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2＝25相切的直线与OP垂直，而，∴所求直线的斜率为，则所求切线方程为，即3x﹣4y+25＝0．故答案为：3x﹣4y+25＝0．9．（3分）若a ij表示n×n阶矩阵中第i行第j列的元素（i，j ＝1，2，3，…，n）．若a ij＝200，则（i，j）＝（15，4）．【解答】解：，有4个数，有9个数，有25个数，故n矩阵有n2个数，因为142＝196，152＝225，所以a ij＝200属于第25个矩阵，即i＝15，其奇数行从左到右是逐渐递增的，196+4＝200，故j＝4，故（i，j）＝（15，4）故答案为；（15，4）10．（3分）数列{a n}满足a n+1＝2（a n﹣1），n∈N*．若a2018≥a1，则a1的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：由a n+1＝2（a n﹣1），n∈N*得a n+1＝2a n﹣2，n∈N*，所以a n+1﹣2＝2（a n﹣2），n∈N*．若a1＝2，则a n＝2，n∈N*，符合题意；若a1≠2，则数列{a n﹣2}是以a1﹣2为首项、以2为公比的一个等比数列，则得，即，n∈N*．所以．因为a2018≥a1，所以，即．又因为22017﹣1＞0，所以a1﹣2≥0，解得a1≥2，因此a1＞2．综上，所求a1的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．11．（3分）设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3＝0交于点P（x，y）．则|P A|•|PB|的最大值是5．【解答】解：由题意可知，动直线x+my＝0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3＝0即m（x﹣1）﹣y+3＝0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my＝0和动直线mx﹣y﹣m+3＝0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有P A⊥PB，∴|P A|2+|PB|2＝|AB|2＝10．故|P A|•|PB|≤＝5（当且仅当时取“＝”）故答案为：512．（3分）已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值不小于，则的取值范围是（0，]．【解答】解：设，则．因为，所以点C在直线AB上，因此f（λ）的最小值m即为||的最小值．当CP⊥AB时，最小，所以，f（λ）的最小值m即为点P到直线AB的距离，且当m最大时，CP过圆心O，如右图所示．又因为m的最大值不小于，所以，||＝2||＝2≤2＝，因此的取值范围是，故答案为：（0，]．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）设a、b、c是三个实数，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2＝ac；若b＝0，a＝2，c＝0，满足b2＝ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件．故选：B．14．（3分）数列{a n}中，，则＝（）A．0B．1C．0或1D．不存在【解答】解：数列{a n}中，，则＝＝＝＝1．故选：B．15．（3分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by＝0与圆C：x2+y2+ax+by＝0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定【解答】解：由圆C：x2+y2+ax+by＝0得圆心C（﹣，﹣），半径r＝＝，∵圆心C到直线l距离d＝＝＝r，所以直线l：：ax+by＝0与圆C：x2+y2+ax+by＝0的位置关系是相切．故选：C．16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD＝＝∴BC•CD＝BD•r，∴r＝，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵＝λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μ＝cosθ+sinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知．若与平行，求实数λ的值．【解答】解：由，得，，∵与平行，∴3（1﹣2λ）＝2+2λ，解得：．∴实数λ的值等于．18．（10分）解关于x，y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论．【解答】（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题（5分），第2小题（5分）．解：，．…（3分）当m≠±1时，D≠0，原方程组有唯一解…（5分）当m＝﹣1时，D＝0，D x≠0，原方程组无解．…（7分）当m＝1时，D＝0，D x＝0，D y＝0，原方程组有无穷多组解．这时原方程组为令x＝t（t∈R），则原方程组的解可表示为…（10分）19．（10分）已知过点A（0，1）的动直线l与圆C：（x﹣3）2+y2＝4相交于P、Q两点．（1）当时，求直线l的方程；（2）设动点M满足，求点M的轨迹方程．【解答】（本题满分10分）（1）解：由题意知，圆C的圆心坐标是（3，0），半径为2．若直线l的斜率不存在，直线l的方程是x＝0，圆心C到直线l的距离d＝|3﹣0|＝3＞2，此时直线l与圆C相离．不符合题意；…（1分）若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0．由题意得，圆心C到直线l的距离，所以．…（3分）化简得8k2+6k＝0，解得．所以所求直线l的方程分别为y＝1或3x+4y﹣4＝0．…（5分）（2）解：设M（x，y），则．…（7分）由题意动点M满足，得（﹣x）•（3﹣x）+（1﹣y）•（﹣y）＝﹣1，化简得x2+y2﹣3x﹣y+1＝0．所以点M的轨迹方程是x2+y2﹣3x﹣y+1＝0．…（10分）20．（12分）已知方程x2+y2+2x﹣4y+m＝0的曲线是圆C．（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y﹣1＝0与圆C相交于M、N两点，且（O为坐标原点），求实数m的值；（3）当m＝4时，设T为直线n：2x﹣y﹣1＝0上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值．【解答】解：（1）由x2+y2+2x﹣4y+m＝0，得（x+1）2+（y﹣2）2＝5﹣m．由5﹣m＞0，解得m＜5．∴所求实数m的取值范围是（﹣∞，5）；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＝1﹣2y1，x2＝1﹣2y2，得x1x2＝（1﹣2y1）（1﹣2y2），即x1x2＝1﹣2（y1+y2）+4y1y2．由，得x1x2+y1y2＝0，则1﹣2（y1+y2）+5y1y2＝0，①联立，得5y2﹣12y+3+m＝0．由，解得．于是．代入①得，解得，符合题意．∴所求实数m的值等于；（3）当m＝4时，圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y+4＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝1，∴圆C的圆心坐标是（﹣1，2），半径是1．由于TG、TH为圆C的两条切线，∴．又，而|CT|的最小值为点C到直线n的距离d．∵，∴．因此四边形TGCH面积的最小值是2．21．（12分）已知数列{a n}满足：，2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n﹣1＝n（n≥2，n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n﹣a n}是等比数列；（3）求证：数列{b n}是递增数列；若当且仅当n＝3时，S n取得最小值，求b1的取值范围．【解答】（1）解：∵2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N*）．∴a2﹣a1＝a3﹣a2＝a4﹣a3＝…，∴数列{a n}是等差数列．设等差数列{a n}的公差为d．又，∴，∴a n＝＝n﹣．（2）证明：∵3b n﹣b n﹣1＝n（n≥2，n∈N*），∴，由（1）得，于是＝．∵b1＜0，∴，∴{b n﹣a n}是以为首项、以为公比的一个等比数列．（3）证明：由（2）得，由（1）得，∴．于是当n≥2，n∈N*时，．又b1＜0，∴b n﹣b n﹣1＞0．∴{b n}是递增数列．当且仅当n＝3时，S n取得最小值，∴．即，解得b1∈（﹣47，﹣11）．∴所求b1的取值范围是（﹣47，﹣11）．。
沪教版高二上期末数学试卷2(附答案及详细解析)
沪教版高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置.）1．（3分）已知数列{a n}是等差数列，若a1＝2，a3＝5，则a7＝．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝．3．（3分）无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．4．（3分）三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为．5．（3分）若点A（1，1）、B（2，0）在直线l：y＝kx的两侧，则实数k取值范围为．6．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，则输出a的值为．7．（3分）若向量与的夹角为120°，且||＝1，||＝1，则||＝．8．（3分）若直线l的一个方向向量是＝（1，﹣），则直线l的倾斜角是．9．（3分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝（k∈N*），则数列{a n}的前2n项和S2n＝．10．（3分）如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC的中点，若＝+（λ，µ∈R），则λ+µ＝．11．（3分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n ≥3，n∈N*）．12．（3分）已知向量、、共面，是单位向量，若向量满足﹣8•+15＝0，向量与的夹角为，则||的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的13．（3分）已知直线l1与l2的斜率存在，且分别为k1、k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分也不是必要条件14．（3分）数列{a n}中，a n＝（n∈N*），则＝（）A．0B．0或2C．2D．不存在15．（3分）在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n＝2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）16．（3分）已知圆O的方程为x2+y2＝r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，设以P为中点的弦所在的直线为m，方程为ax+by＝r2的直线为n，则（）A．m∥n，且n与圆O相交B．m∥n，且n与圆O相离C．m⊥n，且n与圆O相交D．m⊥n，且n与圆O相离三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知向量＝3﹣，＝2+，其中，是互相垂直的单位向量．（1）求向量在向量方向上的投影；（2）设向量＝﹣，＝λ+，若⊥，求实数λ的值．18．（10分）已知直线l1：mx+2y＝m+1，l2：x﹣y＝n．（1）若直线l1与l2重合，求实数m，n的值；（2）若直线l1与圆x2+y2＝1相切，求实数m的值．19．（10分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1＝2，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（1）若S3＝15，a n＝56，求n；（2）若数列{a n}的公差d＝2，b2＝a3，求数列{b n}的公比q及T n．20．（10分）如图1，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度ν（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．（1）为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应向什么方向行驶？（精确到1°）（2）海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养，问选择海岛边缘的哪一点M出发才能行程最短？（如图2建立坐标系，用坐标表示点M的位置）21．（14分）若数列{a n}满足：对任意n∈N*，都有≤≤2，则称{a n}为“紧密”数列．（1）设某个数列为“紧密”数列，其前5项依次为1、、、x、，求x的取值范围．（2）若数列{b n}的前项和S n＝（n2+3n）（n∈N*），判断{b n}是否为“紧密”数列，并说明理由．（3）设{c n}是公比为q的等比数列，前n项和为T n，且{c n}与{T n}均为“紧密”数列，求实数q的取值范围．沪教版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置.）1．（3分）已知数列{a n}是等差数列，若a1＝2，a3＝5，则a7＝11．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a1＝2，a3＝5，∴d＝＝＝，a7＝a1+6d＝2+6×＝11．故答案为：11．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝2．【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：，将解代入上面方程组，可得：．∴a+b＝2．故答案为：2．3．（3分）无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【解答】解：{a n}的各项的和为：＝＝3．故答案为：3．4．（3分）三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为4．【解答】解：三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为：（﹣1）1+1＝0﹣（﹣4）＝4．故答案为：4．5．（3分）若点A（1，1）、B（2，0）在直线l：y＝kx的两侧，则实数k取值范围为（0，1）．【解答】解：∵点A（1，1）、B（2，0）在直线l：y＝kx即kx﹣y＝0的两侧，∴（k﹣1）（2k﹣0）＜0，即k（k﹣1）＜0，得0＜k＜1，即实数k的取值范围是（0，1），故答案为：（0，1）6．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，则输出a的值为15．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1执行循环体，a＝3不满足条件a＞10，执行循环体，a＝7不满足条件a＞10，执行循环体，a＝15此时，满足条件a＞10，退出循环，输出a的值为15．故答案为：15．7．（3分）若向量与的夹角为120°，且||＝1，||＝1，则||＝．【解答】解：由向量与的夹角为120°，且||＝1，||＝1，则•＝||||cos120°＝﹣，所以||＝＝＝＝，故答案为：．8．（3分）若直线l的一个方向向量是＝（1，﹣），则直线l的倾斜角是．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ＝﹣，∴θ＝．故答案为：．9．（3分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝（k∈N*），则数列{a n}的前2n项和S2n＝n2+2n+1﹣2．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝（k∈N*），∴数列{a n}的前2n项和S2n＝[1+3+…+（2n﹣1）]+（2+22+23+…+2n）＝+＝n2+2n+1﹣2．故答案为：n2+2n+1﹣2．10．（3分）如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC的中点，若＝+（λ，µ∈R），则λ+µ＝．【解答】解：由平面向量的线性运算得：＝+，＝+，即λ＝（）+（+µ），所以：═（）+（+µ），又＝，又，不共线，由平面向量基本定理得：，即，故答案为：．11．（3分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝ +，＝ +，＝ +，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．【解答】解：由＝+，＝+，＝+，可推理出：＝，故答案为：．12．（3分）已知向量、、共面，是单位向量，若向量满足﹣8•+15＝0，向量与的夹角为，则||的最小值为1．【解答】解：设＝（1，0），＝＝（x，y），由﹣8•+15＝0得x2+y2﹣8x+15＝0，即（x﹣4）2+y2＝1，即点M的轨迹是以C（4，0）为圆心1为半径的圆，∵与的夹角为，∴设＝，则不妨设点N的轨迹为y＝x，则|﹣|＝|﹣|＝||的最小值为圆心C（4，0）到直线y＝x的距离减去半径1，即|﹣|min＝﹣1＝2﹣1＝1，故答案为：1．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的13．（3分）已知直线l1与l2的斜率存在，且分别为k1、k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分也不是必要条件【解答】解：∵两直线l1与l2对应的斜率分别为k1与k2，∴直线斜率垂直，此时若k1＝k2，则l1∥l2成立．若l1∥l2成立，则不重合的两直线k1＝k2，∴“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．故选：C．14．（3分）数列{a n}中，a n＝（n∈N*），则＝（）A．0B．0或2C．2D．不存在【解答】解：因为数列{a n}中，a n＝（n∈N*），则＝＝2．故选：C．15．（3分）在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n＝2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n＝2n2+n时，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k+1时需要证明的等式为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）．故选：D．16．（3分）已知圆O的方程为x2+y2＝r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，设以P为中点的弦所在的直线为m，方程为ax+by＝r2的直线为n，则（）A．m∥n，且n与圆O相交B．m∥n，且n与圆O相离C．m⊥n，且n与圆O相交D．m⊥n，且n与圆O相离【解答】解：直线OP的斜率为，由垂径定理可知，m⊥OP，所以，直线m的方程为，即ax+by＝a2+b2，由于点P是圆O内一点，则a2+b2＜r2，所以，m∥n，圆心O到直线n的距离为，因此，直线n与圆O相离，故选：B．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知向量＝3﹣，＝2+，其中，是互相垂直的单位向量．（1）求向量在向量方向上的投影；（2）设向量＝﹣，＝λ+，若⊥，求实数λ的值．【解答】解：根据题意得，＝，＝，•＝5，（1）向量在方向上的投影为×＝；（2）∵•＝0，∴2+（1﹣λ）•﹣2＝0，∴10λ+5（1﹣λ）﹣5＝0，∴λ＝0．18．（10分）已知直线l1：mx+2y＝m+1，l2：x﹣y＝n．（1）若直线l1与l2重合，求实数m，n的值；（2）若直线l1与圆x2+y2＝1相切，求实数m的值．【解答】解：（1）根据题意，直线l1：mx+2y＝m+1，l2：x﹣y＝n，即﹣2x+2y＝﹣2n，若直线l1与l2重合，必有，解可得m＝﹣2，n＝；（2）若直线l1与圆x2+y2＝1相切，必有＝1，解可得：m＝．19．（10分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1＝2，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（1）若S3＝15，a n＝56，求n；（2）若数列{a n}的公差d＝2，b2＝a3，求数列{b n}的公比q及T n．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，若S3＝15，则S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，则d＝a2﹣a1＝5﹣2＝3，又由a n＝56，则有a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣1＝56，解可得：n＝19；（2）根据题意，b2＝a3＝a1+2d＝6，则q＝＝3，则T n＝＝＝3n﹣1．20．（10分）如图1，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度ν（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．（1）为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应向什么方向行驶？（精确到1°）（2）海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养，问选择海岛边缘的哪一点M出发才能行程最短？（如图2建立坐标系，用坐标表示点M的位置）【解答】解：（1）根据题意，为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应该在OB的延长线上与小船相遇，设经过t小时，缉私艇在OB的延长线上拦截小船，此时CD＝3vt，OD＝vt+2，OC＝6，则有（3vt）2＝（vt+2）2+36，解可得：vt＝或﹣2（舍），此时CD＝，OD＝，则有tan∠DCO＝，则∠DCO＝36.8°，故缉私艇应向南偏东36.8°的方向行驶，（2）当OM与CD垂直时，行程最短，如图21．（14分）若数列{a n}满足：对任意n∈N*，都有≤≤2，则称{a n}为“紧密”数列．（1）设某个数列为“紧密”数列，其前5项依次为1、、、x、，求x的取值范围．（2）若数列{b n}的前项和S n＝（n2+3n）（n∈N*），判断{b n}是否为“紧密”数列，并说明理由．（3）设{c n}是公比为q的等比数列，前n项和为T n，且{c n}与{T n}均为“紧密”数列，求实数q的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：≤≤2，≤≤2，解得≤x≤；（2）由S n＝（n2+3n）（n∈N*），n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]＝n+，n＝1时，a1＝S1＝1，对于上式也成立．因此a n＝n+．∴＝＝1+．因为对任意n∈N*，0＜≤，即1＜1+≤，∴≤≤2（n∈N*），即数列{a n}是“紧密数列”；（3）由{c n}是公比为q的等比数列，得q＝，∵{c n}是“紧密数列”，∴≤≤2，①当q＝1时，T n＝nC1，＝＝1+，∵1＜1+≤2，∴q＝1时，数列{T n}为“紧密数列”，故q＝1满足题意．②当q≠1时，T n＝，则＝，∵数列{T n}为“紧密数列”，∴≤≤2，对任意n∈N*恒成立．（ⅰ）当≤q＜1时，（1﹣q n）≤1﹣q n+1≤2（1﹣q n），即，对任意n∈N*恒成立．∵0＜q n≤q＜1，0≤2q﹣1＜1，﹣≤q﹣2＜﹣1，∴q n（2q﹣1）＜q＜1，q n（q﹣2）≥q（q﹣2）≥×（﹣）＝﹣＞﹣1，∴当≤q＜1时，，对任意n∈N*恒成立．（ⅱ）当1＜q≤2时，（q n﹣1）≤q n+1﹣1≤2（q n﹣1），即，对任意n∈N*恒成立．∵q n≥q＞1，2q﹣1＞1，﹣1＜q﹣2≤0．∴，解得q＝1，又1＜q≤2，此时q不存在．综上所述，q的取值范围是[，1]．。
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2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．5．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ．6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的一个根,则实数=a ．7．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则=⋅||||21PF PF ．8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ．9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l距离为10的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ． 11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．12．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。
M 的最大值为 ．二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（ ）．（A ）⎡⎣（B ）⎡⎣（C ）⎡⎣（D ）⎡⎣14．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2，那么直线0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是（ ）．（A ）平行 （B ）垂直（C ）相交但不垂直 （D ）重合15．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-，则ABC ∆的形状是（ ）．（A ）等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等边三角形16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．（A ）210x y +-= （B ）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，)(25|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．已知2||=a ,1||=b ,a 与b的夹角为︒135.(1)求)2()(b a b a-⋅+的值；（2）若k 为实数，求||b k a+的最小值．．（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；（2）已知ABC ∆的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是02=-y x 和01=-+y x ，求边BC 所在直线方程．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点21,F F 为双曲线C ：)0(1222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）教材曾有介绍：圆222r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。
我们将其结论推广：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）上的点),(00y x 处的切线方程为12020=+b yy a x x ，在解本题时可以直接应用。
已知，直线03=+-y x 与椭圆E ：1222=+y ax （1>a ）有且只有一个公共点． （1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点),2(m M ．①设0m ≠，直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k 为定值． ②设m R ∈，求OAB ∆面积的最大值．金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．1arctan23．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ． 605．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ． 206．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的根，则实数=a ．37．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，02160=∠PF F ,则=⋅||||21PF PF ．48．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ． 909． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l距离为10的点的个数为____________．2 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ． 230(40)px y q p q ++=-> 11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ． -212．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。
M的最大值为．2222221,101a ab b a b ⎧+-≥⎪⎨+<-<⎪⎩二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（ ）．B（A ）[]252,252+-（B ）[]25,23（C ）[]25,22（D ）[]24,2314．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2，那么直线0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是（ ）．D（A ）平行 （B ）垂直（C ）相交但不垂直 （D ）重合15．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则A B C ∆的形状是（ ）．A（A ）等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等边三角形16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．C（A ）210x y +-= （B）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，)(25|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．z =或z =……（8分）当02z m ==或…………（11分）当0222z m =--=或-…………（14分）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知2||=a,1||=b ,a 与b的夹角为︒135.(1)求)2()(b a b a-⋅+的值；（2）若k 为实数，求||b k a+的最小值．（1）)2()(b a b a-⋅+=2…………………………（6分）（2）当1k =时，||b k a+的最小值为1………………………（14分）19．（本题满分14分, 第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；（2）已知ABC ∆的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是02=-y x 和01=-+y x ，求边BC 所在直线方程.（1）25110x y +-=………………………………（6分）（2）A 关于01=-+y x 的对称点为B(-3，0) A 关于02=-y x 的对称点为198(,)55C - :417120BC x y ++=…………………………（14分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点21,F F 为双曲线C ：)0(1222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且02130=∠F MF ，圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =． 解（1）设2F 、M 的坐标分别为)、)0y )0(0>y因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20b y =，所以22MF b =在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = 由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= ……………（4分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为10l y -=， 2:0l y += 设双曲线C 上的点),(00y x P ，设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=则点P到两条渐近线的距离分别为1||PP =，2||PP =……（6分）因为),(00y x P 在双曲线:C 2212y x -=上，所以220022x y -=221tan 121cos 21tan 123θθθ--===-++，从而121cos cos(2)cos 23PPP πθθ=∠=-=-…（8分）所以12PP PP⋅220012212339x y PPP -=∠=⋅=……………（10分）（3）由题意，即证：OA OB ⊥．设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=，且22002x y += ①当00y ≠时，将切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦-所以222200001212222222000000(24)8242()0(2)22y x x y OA OB x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==--- ②当00y =时，易知上述结论也成立． 所以12120OA OB x x y y ⋅=+=综上，OA OB ⊥，所以2AB OD =． ……………（16分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）教材曾有介绍：圆222r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。