河南省某重点高中2017_2018学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

2017-2018学年上期高二期中考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 中，角的对边分别为，已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在△ABC中，，
∴则，
∴由正弦定理可得：
故选C
2. 等比数列中，若，，则（）
A. 64
B. -64
C. 32
D. -32
【答案】A
【解析】数列是等比数列，，，
即
解得
那么
故选A．
3. 已知等差数列中，公差，，，则（）
A. 5或7
B. 3或5
C. 7或-1
D. 3或-1
【答案】D
【解析】在等差数列中，公差，，，得，解得
或．
故选D．
4. 中，，，,则（）
A. 15
B. 9
C. -15
D. -9
【答案】B
..................
故选B．
5. 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 12
【答案】B
【解析】把配方得
得到顶点坐标为，即由成等比数列，则，
故选B．
6. 已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于（）
A. -4
B. -3
C. -2
D. -1
【答案】A
【解析】在等差数列中，由，得，得，
∵公差为整数，．
故选A．
7. 已知中，角的对边分别为，已知，，若三角形有两解，则边
的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，要使三角形有两解，就是要使以为圆心，半径为2的圆与有两个交点，当时，圆与相切；
当时交于点，也就是只有一解，，即
由正弦定理以及．可得：
的取值范围是
故选C．
8. 中，角的对边分别为，已知，则的形状是（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形【答案】C
当时，的形状是等腰三角形，
当时，即，那么，的形状是直角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用．解题的关键是得到一定要注意分类讨论．
9. 已知中，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据正弦定理化简已知等式得：
，又为三角形的内角，
则．
故选D
【点睛】此题考查了正弦定理，以及余弦定理的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．
10. 《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（）
A. 钱
B. 钱
C. 钱
D. 钱
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,
解得,又,则,故选B.
11. 设为等差数列，，公差，则使前项和取得最大值时正整数等于（）
A. 4或5
B. 5或6
C. 6或7
D. 8或9
【答案】B
【解析】设等差数列{a n}的首项为公差为
解得a或（舍去）
则，
故使前项和取最大值的正整数是5或6．
故选B．
12. 已知锐角中，角的对边分别为，若，，则的面积的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴由题为锐角，可得
∵由正弦定理可得，可得：
，为锐角，可得
，
可得
故选C．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 在中，角的对边分别为，若，则此三角形面积为__________．
【答案】
【解析】，
故
，
故三角形面积
故答案为
14. 数列的首项，，则__________．
【答案】-61
【解析】由题数列的首项，，则当时。

是以-1为首项以2为公比的等比数列，
故答案为-61．
15. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则
=__________．
【答案】
【解析】
故答案为
16. 如图半圆的半径为1，为直径延长线上一点，且，为半圆上任意一点，以
为一边作等边三角形，则四边形面积最大值为___________.
【答案】
【解析】设，在中，由余弦定理得：，所以四边形的面积为：
，，
∴当，即
即时，四边形面积取得最大值，最大为
故答案为：．
【点睛】本题考查了余弦定理以及三角函数的化简和求最大值问题．其中利用余弦定理得到
是解题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若的面积，，求边.
【答案】(1)；(2)7.
【解析】试题分析：（1）根据．利用二倍角和诱导公式化简可得角．
（2）根据，即可求解边的值．
试题解析：（1）∵解得或，
∵，
∴，∴.
（2）∵，即，
∴，∴，解得.
18. 已知等比数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：1）根据是等比数列，可得*．可得，即可求解数列的通项公式；
（2）根据等比数列的前项和公式求解n，由于，分离参数，即可求解实数的取值范围．
试题解析：（1）设等比数列公比为，∵，，
∴，，∴，∴，∴，
∴.
（2）由（1）知，∴，即
对一切恒成立.
令，则随的增大而增大.
∴，
∴，∴实数的取值范围是.
【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和的求解，其中根据分离参数的表达式以及结
合单调性求解范围是解决本题的关键．
19. 在等差数列中，，，其前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，并证明.
【答案】（1）；（2），证明见解析.
【解析】试题分析：（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列出关于首项和公差的方程组，求得，，代入等差数列的通项公式求解；
（2）求出，可得，利用裂项相消法求和后即可证明．
试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由及等差数列的通项公式，
得，又，解得，，
则；
（2）由（1）知，
即，
则
.
所以.
20. 在锐角中，分别为角的对边，且.
（1）确定角的大小；
（2）当时，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知可求，结合范围，求得
，结合范围，即可得解的值．
（2）根据正弦定理可得．，结合是锐角三角形，可求得
周长的最大值.
试题解析：（1）由及正弦定理得，.
∵，∴.
∵是锐角三角形，∴.
（2）∵，
∴.
∵是锐角三角形，∴，
故，
所以周长的最大值是.
21. 轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船上，在轮船出发时，轮船位于港口北偏西且与相距20海里的处，并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇.
（1）若使相遇时轮船航距最短，则轮船的航行速度大小应为多少？
（2）假设轮船的最高航速只能达到30海里/小时，则轮船以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船相遇，并说明理由.
【答案】（1）轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短；（2）航向为北偏东
，航速为30海里/小时，轮船能在最短时间与轮船相遇.
【解析】试题分析：（1）设两轮船在处相遇，在中，利用余弦定理得出关于t的函数，从而得出的最小值及其对应的，得出速度；
（2）利用余弦定理计算航行时间，得出距离，从而得出的度数，得出航行方案．
试题解析：（1）设相遇时轮船航行的距离为海里，则
.
∴当时，，，
即轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短.
（2）设轮船与轮船在处相遇，则，即.
∵，
∴，即，解得，又时，
∴时，最小且为，此时中，
∴航向为北偏东，航速为30海里/小时，
轮船能在最短时间与轮船相遇.
22. 已知数列及，且,.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证:.
【答案】（1），，；（2）；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由已知条件利用函数的性质能求出的值．
（2）由已知条件推导出，由此能求出数列的通项公式．
（3）由利用错位相减法能证明.
试题解析：（1）由已知，所以.
，所以.
，所以.
（2）令，则，①
，②
两式相减，得
，
所以,即，
又也满足上式，
所以数列的通项公式为.
（3），
所以，③
，④
①-②得
，
所以.
又，∴，故.
又，
所以是递增数列，故.
所以.
【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
- 11 -。