高中数学(人教A版)必修4：3-1-2-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A版)必修4：1-2-1-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( )A ．sin1>sin1.2>sin1.5B ．sin1>sin1.5>sin1.2C ．sin1.5>sin1.2>sin 1D ．sin1.2>sin 1>sin 1.5解析 π4<1<1.2<1.5<π2，画图易知．答案 C2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A ．sin α＋cos αB ．tan α＋sin αC ．cos α－tan αD ．sin α－tan α解析 由α为第二象限角知，sin α>0，tan α<0，由三角函数线知|tan α|>sin α.∴－tan α>sin α，即sin α＋tan α<0.答案 B3．已知α是第三象限角，则下列等式中可能成立的是( )A ．sin α＋cos α＝1.2B ．sin α＋cos α＝－0.9C ．sin αcos α＝ 3D ．sin α＋cos α＝－1.2 解析 画出角α的三角函数线易知，sin α＋cos α<－1.答案 D4．已知θ为锐角，则sin θ＋cos θ的值可能是( )A.43B.35C ．2 D.12解析 由θ为锐角知，sin θ＋cos θ>1，但sin θ＋cos θ≤ 2.故选A.答案 A5．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是() A ．(π4，34π) B ．(π2，π)C ．(π，32π)D ．(34π，54π)解析 从选择项入手，易知当θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，sin θ>cos θ，且sin θ>tan θ.故选B.答案 B6．若角α的正弦线的长度为34，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________． 答案 －347．利用单位圆写出适合下列条件的[0°，360°)的角．(1)sin α≥12； 答：__________________________________________________.(2)tan α≥33； 答：__________________________________________________.解析 (1)如图①所示．图①作直线y ＝12，交单位圆于A ，B 两点，则区域∠AOB 满足sin α≥12，故30°≤α≤150°. (2)如图②所示，知30°≤α<90°，或210°≤α<270°.图②答案 (1)30°≤α≤150°(2)30°≤α<90°，或210°≤α<270°8．确定下列各式的符号．(1)tan(－550°)；(2)cos 12π5； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6. 解 (1)tan(－550°)＝tan(－720°＋170°)＝tan 170°<0.(2)cos 12π5＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝cos 2π5>0. (3)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6>0. 9．在(0,2π)内，求使sin α·cos α<0，sin α＋cos α>0同时成立的α的范围．解 ∵sin α·cos α<0，∴α在第二或第四象限．∵0<α<2π，∴π2<α<π，或3π2<α<2π. ∵sin α＋cos α>0，∴π2<α<3π4，或7π4<α<2π. 10．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)内求α的取值范围．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0，由三角函数线得 ⎩⎨⎧ π4<α<5π4，0<α<π2，或π<α<3π2，∴π4<α<π2，或π<α<5π4.教师备课资源1.已知MP ，OM ，AT 分别是60°角的正弦线，余弦线，正切线，则一定有( )A ．MP <OM <ATB ．OM <MP <ATC ．AT <OM <MPD ．OM <AT <MP解析 作图易知．答案 B2．已知sin α＋cos α＝23，则α是( ) A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第一或第三象限的角D ．第二或第四象限的角 解析 ∵sin α＋cos α＝23，∴sin α与cos α符号相反，故α必在第二或第四象限． 答案 D3．若角α终边上一点A 的坐标是(2sin3，－3cos2)，则角α是第________象限角．解析 ∵π2<3<π，∴2sin3>0. ∵π2<2<π，∴cos2<0. ∴－3cos2>0.∴角α是第一象限角．答案 一4．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．解析 由sin α＝n 10<0，知n <0. 又P (m ，n )在直线y ＝3x 上，∴n ＝3m <0，∴m <0.又|OP |＝m 2＋n 2＝10，∴m 2＋n 2＝10,10m 2＝10.∴m ＝－1，n ＝－3.∴m －n ＝－1－(－3)＝2.答案 25．已知π4<x <π2，a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x ，试比较a ，b ，c 的大小．解如下图所示，在单位圆中MP，OM，AT分别是x的正弦线、余弦线、正切线．在△OMP中，OM>OP－MP，即cos x>1－sin x.又AT>OA，∴tan x>1.∴tan x>cos x>1－sin x.∴2tan x>2cos x>21－sin x，即c>b>a.。
高中数学人教A版_必修4_各章节同步练习+章节测试汇编300页含答案
A. 420o B. 860o
【答案】B
C. 1060o
D. 1260o
【解析】 4200 3600 600 终边位于第一象限， 8600 23600 1400 终边位于第二象限，选 B.
4 ．已知圆的半径为 ，则 600 圆心角所对的弧长为（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3
【答案】B
【解析】由扇形面积公式 S 1 lr ，则 l 4 ，又 l 4 2 ．故本题答案选 B ．
2
r2
8．已知 A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于 90°的角}，那么 A、B、C 关系是（ ）
A.
B.
C.
D. A=B=C
【答案】B
【解析】 锐角必小于
,故选 B.
9．已知 是锐角，则 2 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 小于180o的正角 D. 第一或第二象限角
【答案】C
【解析】 是锐角,∴ 2 0， ，∴ 2 是小于180o的正角.
A. 3
B. 2 3
【答案】C
C. 2 3
D. 2 2 3
【解析】 60o 化为弧度制为 ，由弧长公式有 l r 2 ，选 C.
3
3
3
5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A. { | 900 1800}
B. { | 2700 k 3600 1800 k 3600, k Z}
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专题一任意 角和弧度制
测试卷（A 卷）
（测试时间：120 分钟 满分：150 分）
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系同步检测(人教A版,含解析)(23)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．满足{}{}232006x x x M x N x -+=⊆⊆∈<<的集合M 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8答案：D 解析：由题意可得：{}{}2|3201,2x x x -+==，{}{}|061,2,3,4,5x N x ∈<<=，由{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆，则满足条件的集合M 中必定有元素1,2，可能含有3,4,5， 即可求解. 详解：因为{}{}2|3201,2x x x -+==，{}{}|061,2,3,4,5x N x ∈<<=，又因为{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆，所以满足条件的集合M 有{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5 {}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共8个故选：D点睛：本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础题.2．若{1，2}{0M ⊆⊆，1，2，3，4}，则满足条件的集合M 的个数为（ ）A ．7B ．8C ．31D ．32答案：B解析：根据集合间的关系以及子集的概念和子集和数的计算，即可求解.详解：由题意，因为{1,2}{0,1,2,3,4}M ⊆⊆，所以集合M 中至少含有1，2两个元素，至多含有0，1，2，3，4这5个元素，因此集合M 的个数即为集合{0,3,4}的子集个数，即为328=个.故选：B ．点睛：根据两个集合间的关系求参数时，一是将两个集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系；二是当题目中有条件B A ⊆时，不要忽视B φ=，导致丢解.3．若集合A=x|x=5k-1，k∈Z}，B=x|x=5k+4，k∈Z}，C=x|x=10k-1，k∈Z}.则A ，B ，C 的关系是（ ）A ．A ⊆C ⊆BB ．A=B ⊆C C ．B ⊆A ⊆CD ．C ⊆A=B答案：D 解析：对于集合A ：()()()10125110421n k n x k n Z n k n ⎧-=⎪=-=∈⎨+=+⎪⎩，对于集合B ：()511,1x k k Z =+-+∈，对于集合C ：101,x k k Z =-∈，即可判断选项.详解：对于集合A ：()()()10125110421n k n x k n Z n k n ⎧-=⎪=-=∈⎨+=+⎪⎩， 对于集合B ：()511,1x k k Z =+-+∈，对于集合C ：101,x k k Z =-∈，则C A B ⊆=.故选：D.点睛：本题主要考查了集合的包含关系.属于较易题.4．设A 为非空的数集，{}3,6,7A ⊆，且A 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合A 共有A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个答案：A解析：可采用列举法（分类的标准为A 中只含3不含7，A 中只含7不含3，A 中即含3又含7）逐一列出符合题意的集合A.详解：解：∵A 为非空集合，{}3,6,7A ⊆，且A 中至少含有一个奇数∴当A 中只含3不含7时A ＝3，6}，3}当A 中只含7不含3时A ＝7，6}，7}当A 中即含3又含7时A ＝3，6，7}，3，7}故符合题意的集合A 共有6个故选A点睛：本题主要考查了子集的概念，属中档题，较易．解题的关键是理解子集的概念和A 中至少含有一个奇数分三种情况：只含3不含7，A 中只含7不含3，A 中即含3又含7.5．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是A ．11B ．12C ．15D ．16答案：A 解析：可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论. 详解：由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个，且2,4不能同时出现，同时出现共有4个，所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6．已知集合|,44k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合|,84k N x x k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M N M ⋃=答案：B 解析：对两个集合中的元素x 所具有的性质P 分别化简，使其都是含有4π-的表达式. 详解： 由题意可知，(24)|,84k M x x k Z ππ+⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭2|,84n x x n Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭ 2(21)|,8484k k N x x x k Z ππππ-⎧⎫==-=-∈⎨⎬⎩⎭或 所以M N ⊆，故选B.点睛：本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.7．{}{}2|60,|10A x x x B x mx =+-==+=,且A B A ⋃=,则m 的取值范围是A ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．110,,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．110,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭答案：C详解：由题意{}3,2,A A B A B A =-⋃=∴⊆ 当11,0,,3,,3B m B m m φφ==≠-=-=时当时由得由112,.2m m -==-得所以,m 的取值范围为110,,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭8．已知集合{|21,},{|14}A x x k k Z B x x ==+∈=-<≤，则集合A B 的真子集的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8答案：A解析：根据题意由A 的意义，再结合交集的定义可得集合A∩B，分析可得答案．详解：由题意知，A 为奇数集，又由集合{|14}B x x =-<≤，则A∩B＝1，3}，共2个元素，其子集有22＝4个，所以真子集有3个；故选A ．点睛：本题考查集合的子集与真子集，关键是正确理解集合A ，求出集合A∩B．9．已知集合{}20A mx =-=有两个非空真子集，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{}4m m ＞B ．{}04m m m ＜或＞C ．{}4m m ≥D ．{}04m m m ≤≥或答案：A 解析：n 元集合非空真子集的个数为22n -，由题意可得集合A 为二元集合，即关于x 的方程有两不等实根，由0m ＞及0＞运算即可.详解：由已知集合{}20A mx =-=有两个非空真子集即关于x 的方程有两个不等实数根，即0m ≠0m ＞,则240m =-,∴240m m -＞又0m ＞,∴4m ＞,故选A ．点睛：本题考查了集合的子集的概念，同时考查了分类讨论的思想．10．下列集合与3，4}是同一集合的是（ ）A ．3},4}}B ．(3,4)}C ．(4,3)}D ．4,3}答案：D解析：分别对A ，B ，C ，D 进行分析，从而得出答案．详解：对于A 中元素是集合，而不是实数，所以不是同一个集合；而B 、C 选项的集合是点集，不是数集，所以不是同一个集合；对于D ：由集合的互异性得：4，3}与3，4}是同一个集合，故选：D ．点睛：本题考查了集合的相等问题，注意看清集合中的元素，属于基础题．二、填空题1．下列四个结论：①∅⊆∅；②0∈∅；③{}0∅；④{}0=∅.其中正确结论的序号为______.答案：①③解析：根据集合元素与集合属于关系的定义，可判断②；根据空集的定义，可判断①③④． 详解：①空集是自身的子集，①正确；0不是空集中的元素，②错误；空集是任何非空集合的真子集，③正确；{}0是含一个元素0的集合，不是空集，④错误.故正确结论的序号为①③. 点睛：集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅.2．已知集合{}0,1A =，{}1,0,3B a =-+且A B ⊆，则a =__________．答案：2-解析：∵A B ⊆，∴31a +=，2a =-，故2a =-，经检验满足题意，故答案为2-.3．若集合{}224A x N x =∈<，{}B a =，B A ⊆，则a 的最大值为________．答案：4解析：利用列举法表示集合A ，根据a A ∈可得答案.详解：因为自然数集中只有0,1,2,3,4x =满足224x <， 所以{}{}2240,1,2,3,4A x N x =∈<=，又因为{}B A a =⊆，所以{}0,1,2,3,4a ∈,a 的最大值为4.故答案为：44．已知集合2{2,3,1}B a a =-+，且{1,2}A a =+，A B ⊆，则实数a =___________答案：0解析：根据子集关系，建立关于字母的方程，解完后注意检验.详解：解：∵A B ⊆，集合2{2,3,1}B a a =-+，且{1,2}A a =+，∴1a B +∈且12a +≠，∴13a +=，或211a a a +=-+，解得：2a =，或0a =，经检验：0a =适合题意，故答案为：0点睛：本题考查子集的关系，注意元素互异性的检验，属于易错题.5．已知集合2|230Ax x x ，{}|0B x x a =-=，若B A ≠⊂，则实数a 的值为______.答案：-1或3解析：解方程，用列举法表示集合A ，B ，由B A ≠⊂，即得解. 详解：集合2|230{1,3}A x x x ，{}|0{}B x x a a =-==若B A ≠⊂，故a=-1或3 故答案为：-1或3点睛：本题考查了集合的包含关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.三、解答题1．已知集合()15A =，，集合{|3243}B x a x a =-<<-，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.答案：(,2]a ∈-∞解析：根据集合的包含关系，直接进行计算，可得结果.详解：当3243a a -≥-时，即1a ≤，集合B φ= ，满足B A ⊆；当3243a a -<-时，即1a >，由B A ⊆，得1321435a a a >⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，解得12a <≤ 综上，(]2a ∈-∞，. 点睛：本题考查集合的包含关系求参数，审清题意，细心计算，属基础题.2．记关于x 的不等式01x a x -≤+的解集为P ，不等式|1|1x -≤的解集为Q ． （1）若3a =，求P ；（2）若Q P ⊆，求a 的取值范围．答案：（1）{}13P x x =-<≤；（2）[2,)+∞.解析：（1）结合分式不等式的求解求出P ，（2）结合绝对值不等式的求解求出Q ，然后结合集合之间的包含关系即可求解．详解：解：（1）当3a =时，原不等式可转化为(3)(1)010x x x -+⎧⎨+≠⎩，解得13x -<≤， {}13P x x ∴=-<≤.（2）由11x -≤可得02x ≤≤，即解集为{}02Q x x =≤≤，当1a =-时，P =∅，不满足题意；当1a >-时，{}1P x x a =-<≤，Q P ⊆，2a ∴≥；当1a <-时，{}1P x a x =≤<-，此时不满足题意，综上，a 的范围[2,)+∞．点睛：本题考查分式不等式和含绝对值不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.3．设集合{}13A x x =-<<，{}B x x m => ．（1）若1m =- ，求集合A 在B 中的补集；（2）若A B B ⋃= ，求实数m 的取值范围．答案：（1）{}3x x ≥ ；（2）1m ≤-解析：（1）根据补集定义，可求得补集。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系同步检测(人教A版,含解析)(50)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，答案：A解析：解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 详解：由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a=，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 点睛：本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.2．满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数为（ ） A ．8 B ．7C ．4D ．16答案：A解析：根据已知条件可知集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，写出集合A 的所有情况即可求解. 详解：因为集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，满足条件的集合A 有：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共有8个，故选：A.3．设集合A ＝x|x ＝2k ＋1，k ∈Z}，若a ＝5，则有（ ） A ．a ∈A B ．－a ∉A C ．a}∈A D ．a}∉A答案：A解析：由题意，集合A 为奇数集，易得a ∈A ，－a ∈A ，所以选项A 正确，选项B 不正确，而选项C 、D 两个集合之间的符号使用有误，所以选项C 、D 不正确． 详解：解：对选项A ：当k ＝2时，x ＝5，所以a ∈A ，故选项A 正确； 对选项B ：当k ＝－3时，x ＝－5，所以－a ∈A ，故选项B 不正确；对选项C 、D ：因为集合a}与集合A 之间的符号使用有误，所以选项C 、D 不正确； 故选：A.4．下列集合与集合{}1,3A =相等的是（ ） A ．()1,3B ．(){}1,3C ．{}2430x x x -+=D ．(){},1,3x y x y ==答案：C解析：本题可根据集合相等的相关性质解题. 详解：A 项不是集合，B 项与D 项中的集合是由点坐标组成，C 项：2430x x -+=，即()()310x x --=，解得3x =或1x =，集合{}2430x x x -+=即集合{}1,3，因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，所以与集合{}1,3A =相等的是集合{}2430x x x -+=，故选：C.5．若集合A ＝－1，2}，B ＝x|x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则有( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝－1，b ＝－2 D ．a ＝－1，b ＝2答案：C解析：解析 由A ＝B 知－1与2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，则有()1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得12.a b =-⎧⎨=-⎩故选C.6．已知集合{}1M =，{}1,2,3N =，则 A ．M ＜N B ．M N ∈ C ．M N ⊆ D ．N M ⊆答案：C解析：根据元素关系确定集合关系. 详解：因为1,2,N M ∈所以M N ⊆，选C. 点睛：本题考查集合包含关系，考查基本分析判断能力，属基础题.7．设集合P {m |1m 0}=-<≤，2Q {m |mx 2mx 10}=+-<对任意x R ∈恒成立，则P 与Q 的关系是()A ．P QB ．Q PC ．P Q =D ．P Q φ⋂=答案：C解析：先分别求出集合P ，Q ，由此能求出P 与Q 的关系． 详解：集合P {m |1m 0}=-<≤，2Q {m |mx 2mx 10}=+-<对任意x R ∈恒成立，当m=0时，-1<0,满足题意， 当0m ≠时，结合二次函数的性质得到210440m m m m <⎧⇒-<<⎨∆=+<⎩Q {m |1m 0}∴=-<≤． P ∴与Q 的关系是P Q =．故选C ． 点睛：本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．若集合{}0A x x =<，且B A ⊆，则集合B 可能是 A ．{}1x x >- B ．RC ．{}2,3--D ．{}3,1,0,1--答案：C解析：通过集合{}0A x x =<，且B A ⊆，说明集合B 是集合A 的子集，对照选项即可求出结果． 详解：解：因为集合集合{}0A x x =<，且B A ⊆，所以集合B 是集合A 的子集， 当集合{}1B x x =>-时，1A ∉，不满足题意， 当集合B R =时，1A ∉，不满足题意， 当集合{}2,3B =--，满足题意，当集合{}3,1,0,1B -=-时，1A ∉，不满足题意， 故选：C ． 点睛：本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．9．已知全集为实数集R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =+≤ ，则()AB =R（ ）A ．()0,2B ．(]0,2C ．[)0,2D ．[]0,2答案：A解析：分别求出两个集合，再根据集合运算求解即可. 详解：因为()2220x x x x +=+≤，所以{}{}22020B x x x x x =+≤=-≤≤，所以{2R B x x =<-或}0x >， 又因为{}22A x x =-<<， 所以(){}()020,2R A B x x ⋂=<<= 故选：A. 点睛：本题考查集合的补集运算与交集运算，是基础题..10．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥ B ．23m ≤≤ C ．3m ≤ D ．2m ≥答案：C解析：讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 详解：当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 点睛：本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误. 二、填空题1．已知集合()(){}250A x x x =+->，{}1B x m x m =≤<+，且()R B C A ⊆，则实数m 的取值范围是_________．答案：[]2,4-解析：首先求得R C A ，然后利用集合之间的包含关系得到关于m 的不等式，求解不等式即可确定m 的取值范围. 详解：由题意可得：()(){}{}250|25R x x x x C A x =+-≤=-≤≤，据此结合题意可得：215m m ≥-⎧⎨+≤⎩，即24m m ≥-⎧⎨≤⎩，即实数m 的取值范围是[]2,4-. 点睛：本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．设m 为实数，若22250{()|30}{()|25}0x y x y x x y R x y x y mx y -+≥⎧⎪-≥∈⊆+≤⎨⎪+≥⎩，，、，，则m 的最大值是____． 答案：43解析：设()250{,|30,,}0x y M x y x x y R mx y -+≥⎧⎪=-≥∈⎨⎪+≥⎩，()22{,|25}N x y x y =+≤，将两个点集用平面区域表示，因为M N ⊆，故M 表示的平面区域在N的内部，根据这一条件得出m 的最大值． 详解：解：设()250{,|30,,}0x y M x y x x y R mx y -+≥⎧⎪=-≥∈⎨⎪+≥⎩，()22{,|25}N x y x y =+≤，显然点集N 表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，点集M 是二元一次不等式组25030,,0x y x x y R mx y -+≥⎧⎪-≥∈⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示，作图可知，边界250x y -+=交圆2225x y +=于点()()3,4,5,0A C -， 边界y mx =-恒过原点，要求m 的最大值，故直线y mx =-必须单调递减， 因为M N ⊆，所以当y mx =-过图中B 点时，m 取得最大， 联立方程组22325x x y =⎧⎨+=⎩，解得()3,4B -， 故4030m ---=-，即max 43m =． 点睛：本题表面上考查了集合的运算问题，实质是考查了二元一次不等组表示的平面区域和二元二次不等式对应平面区域的画法，还考查了动态分析问题的能力，属于中等偏难题． 3．若{|2132}A x a x a =+≤<-，2{|11100}B x x x =-+<，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是_________.答案：(,4]-∞解析：先求出集合B 中不等式的解集，再由A B ⊆列不等式组求解即可. 详解：解：由已知{|110}B x x =<<，A B ⊆，当A =∅时，2132a a +≥-，解得3a ≤当A ≠∅时，21132102132a a a a +>⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，解得34a <≤，综合得4a ≤. 故答案为：(,4]-∞点睛：本题考查集合的包含关系，考查分类讨论的思想，是基础题.4．已知集合{},,2A a b =，{}22,,2=B b a 且A B =，则a =_______________．答案：0或14解析：根据集合相等可得出关于实数a 、b 的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a 的值. 详解：集合{},,2A a b =，{}22,,2=B b a 且A B =，分以下两种情况讨论：①当22a a b b =⎧⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩. 当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性； 当0a =，1b =时，{}0,1,2A B ==，合乎题意；②当22a b b a ⎧=⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性；当14a =，12b =时，11,,242A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，合乎题意.综上所述，0a =或14a =. 故答案为：0或14. 点睛：本题考查利用集合相等求参数值，考查分类讨论思想的应用，解题时要注意集合中的元素要满足互异性，考查计算能力，属于中等题.5．已知集合{}1,,A a b a =+，集合0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B =，则a b -=_______．答案：2-解析：由题意可得，0,1a b b +==，从而可求出,a b 的值，进而可得答案 详解：解：因为集合{}1,,A a b a =+，集合0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B =， 所以1,0B A ∈∈，且0a ≠，所以0,1a b b +==，得1,1a b =-=， 所以2a b -=-， 故答案为：2- 三、解答题 1．已知集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.答案：（1），或;（2）. 解析：(1)由补集的定义和集合，即可求出和；(2)由，可知集合是的子集，分两种情况：和，分别讨论即可.详解： （1）因为，所以，或 ；（2）因为，，所以，因为，所以时，，得；时，， 综上的取值范围是.故答案为：.点睛：本题考查了集合的并集和补集，考查了集合间的包含关系，考查了不等式的解法，属于基础题.2．集合2{|320}A x x x =-+<,11{|28}2x B x -=<<,()(){|20}C x x x m =+-<,其中m ∈R .(Ⅰ)求A B ⋂;(Ⅱ)若()A B C ⋃⊆,求实数m 的取值范围.答案：(1)()1,2A B ⋂=; (2)[) 4,m ∞∈+. 解析：试题分析：（1）简化集合得：()1,2A =；()0,4B =;所以()1,2A B ⋂=;（2）()0,4A B ⋃=，即()0,4?C ⊆，对m 分类讨论确定C 的集合，利用子集关系求实数m 的取值范围. 试题解析：(Ⅰ)()2{|320}1,2A x x x =-+<=;()11{|28}0,42x B x -=<<=;所以()1,2A B ⋂=; (Ⅱ)()0,4A B ⋃=,若m 2>-,则()2,C m =-,若()0,4A B C ⋃=⊆,则4m ≥; 若m 2=-,则C =∅,不满足()0,4A B C ⋃=⊆,舍; 若2m <-,则(),2C m =-,不满足()0,4A B C ⋃=⊆,舍; 综上[)4,m ∞∈+.3．已知集合{}{}2320,10A x x x B x mx =-+==-=，且A B B =，求实数m 的值．答案：m =0,1,12}解析：先求出集合A ，将条件A B B =，转化为B A ⊆，利用集合关系确定m 的取值即可． 详解：解：2{|320}{|2A x x x x x =-+===或{}1}1,2x ==，{|10}{|1}B x mx x mx =-===，AB B =，B A ∴⊆，若B =∅，即0m =，此时满足条件．若B ≠∅，即0m ≠．此时11|B x x m m ⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 要使B A ⊆成立，则12m =或11m =，解得1m =或12m = 综上：0m =或12m =或1m =， 即m 的取值集合为10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭．点睛：本题主要考查集合关系的应用，将条件A B B =，转化为B A ⊆是解决本题的关系，注意要对集合B 进行分类讨论． 4．记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式|1|1x -≤的解集为Q ． （1）若3a =，求P ；（2）若Q P ⊆，求a 的取值范围．答案：（1）{}13P x x =-<≤；（2）[2,)+∞. 解析：（1）结合分式不等式的求解求出P ，（2）结合绝对值不等式的求解求出Q ，然后结合集合之间的包含关系即可求解． 详解：解：（1）当3a =时，原不等式可转化为(3)(1)010x x x -+⎧⎨+≠⎩，解得13x -<≤，{}13P x x ∴=-<≤.（2）由11x -≤可得02x ≤≤，即解集为{}02Q x x =≤≤， 当1a =-时，P =∅，不满足题意；当1a >-时，{}1P x x a =-<≤，Q P ⊆，2a ∴≥； 当1a <-时，{}1P x a x =≤<-，此时不满足题意， 综上，a 的范围[2,)+∞． 点睛：本题考查分式不等式和含绝对值不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.5．已知集合{|26}A x x =-≤≤，{|21}B x m x m =≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（﹣∞，72]解析：分B=∅和B≠∅两种情况分类讨论，即可求出实数m 的范围． 详解：（i ）当B=∅时，由题意：m ＞2m ﹣1，解得：m＜1，此时B⊆A成立；（ii）当B≠∅时，由题意：m≤2m﹣1，解得：m≥1，若使B⊆A成立，应有：m≥﹣2，且2m﹣1≤6，解得：﹣2≤m≤72，此时1≤m≤72，综上，实数m的范围为（﹣∞，72 ]．点睛：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.。
高中数学(人教A版)必修4：1-2-1-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A版)必修4同步试题1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( ) A．sin1>sin1.2>sin1.5B．sin1>sin1.5>sin1.2C．sin1.5>sin1.2>sin 1D．sin1.2>sin 1>sin 1.5解析π4<1<1.2<1.5<π2，画图易知．答案C2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosαB．tanα＋sinαC．cosα－tanαD．sinα－tanα解析由α为第二象限角知，sinα>0，tanα<0，由三角函数线知|tanα|>sinα.∴－tanα>sinα，即sinα＋tanα<0.答案B实用文档实用文档 3．已知α是第三象限角，则下列等式中可能成立的是( )A ．sin α＋cos α＝1.2B ．sin α＋cos α＝－0.9C ．sin αcos α＝ 3D ．sin α＋cos α＝－1.2解析 画出角α的三角函数线易知，sin α＋cos α<－1.答案 D4．已知θ为锐角，则sin θ＋cos θ的值可能是( )A.43B.35C ．2 D.12解析 由θ为锐角知，sin θ＋cos θ>1，但sin θ＋cos θ≤ 2.故选A.答案 A5．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是( )A ．(π4，34π)B ．(π2，π) C ．(π，32π) D ．(34π，54π)实用文档解析 从选择项入手，易知当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin θ>cos θ，且sin θ>tan θ.故选B. 答案 B6．若角α的正弦线的长度为34，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________． 答案 －347．利用单位圆写出适合下列条件的[0°，360°)的角．(1)sin α≥12； 答：__________________________________________________.(2)tan α≥33； 答：__________________________________________________.解析 (1)如图①所示．图①作直线y＝12，交单位圆于A，B两点，则区域∠AOB满足sinα≥12，故30°≤α≤150°.(2)如图②所示，知30°≤α<90°，或210°≤α<270°.图②答案(1)30°≤α≤150°(2)30°≤α<90°，或210°≤α<270°8．确定下列各式的符号．实用文档实用文档(1)tan(－550°)；(2)cos 12π5； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6. 解 (1)tan(－550°)＝tan(－720°＋170°)＝tan 170°<0.(2)cos 12π5＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝cos 2π5>0. (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6>0. 9．在(0,2π)内，求使sin α·cos α<0，sin α＋cos α>0同时成立的α的范围． 解 ∵sin α·cos α<0，∴α在第二或第四象限．∵0<α<2π，∴π2<α<π，或3π2<α<2π. ∵sin α＋cos α>0，∴π2<α<3π4，或7π4<α<2π.实用文档 10．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)内求α的取值范围． 解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin α>cos α，tan α>0，由三角函数线得⎩⎪⎨⎪⎧ π4<α<5π4，0<α<π2，或π<α<3π2，∴π4<α<π2，或π<α<5π4.教师备课资源1.已知MP ，OM ，AT 分别是60°角的正弦线，余弦线，正切线，则一定有()A ．MP <OM <ATB ．OM <MP <ATC ．AT <OM <MPD ．OM <AT <MP解析 作图易知．答案 B2．已知sin α＋cos α＝23，则α是( )实用文档A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第一或第三象限的角D ．第二或第四象限的角解析 ∵sin α＋cos α＝23，∴sin α与cos α符号相反，故α必在第二或第四象限． 答案 D3．若角α终边上一点A 的坐标是(2sin3，－3cos2)，则角α是第________象限角．解析 ∵π2<3<π，∴2sin3>0. ∵π2<2<π，∴cos2<0. ∴－3cos2>0.∴角α是第一象限角．答案 一4．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．解析 由sin α＝n 10<0，知n <0. 又P (m ，n )在直线y ＝3x 上，实用文档∴n ＝3m <0，∴m <0.又|OP |＝m 2＋n 2＝10，∴m 2＋n 2＝10,10m 2＝10.∴m ＝－1，n ＝－3.∴m －n ＝－1－(－3)＝2.答案 25．已知π4<x <π2，a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x ，试比较a ，b ，c 的大小． 解 如下图所示，在单位圆中MP ，OM ，AT 分别是x 的正弦线、余弦线、正切线． 在△OMP 中，OM >OP －MP ，即cos x >1－sin x . 又AT >OA ，∴tan x >1.∴tan x>cos x>1－sin x.∴2tan x>2cos x>21－sin x，即c>b>a.实用文档。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系同步检测(人教A版,含解析)(30)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列符号表述正确的是（ ） A ．*0N ∈ B ．1.732Q ∉ C ．{}0∅∈ D ．{}2x x ∅⊆≤答案：D解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0N *∉，A 选项错误；对于B 选项，1.732Q ∈，B 选项错误； 对于C 选项，{}0∅⊆，C 选项错误；对于D 选项，{}2x x ∅⊆≤，D 选项正确. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,B y y x x A ==-∈，则下列关系正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ⊆ C ．B A ⊆ D ．A B =∅ 答案：C解析：求出B 后可判断,A B 的关系. 详解：由集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,B y y x x A ==-∈， 得{}1,0,1B =-．又因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以B A ⊆．故选C ． 点睛：判断两个集合是否具有包含关系，只需根据子集的定义检验即可，此类问题为容易题. 3．下列关系中正确的个数为（ ）（1）{}00∈；（2）{}0∅⊆；（3）{}(){}0,10,1⊆； （4）(){}(){},,a b b a =；（5）{}{},,a b b a =. A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：利用元素与集合的关系符号表示、集合与集合之间的关系符号表示即可判断. 详解：对于（1），0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确； 对于（2），空集是任何集合的子集，故{}0∅⊆，故正确；对于(3)，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误； 对于(4)，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误. 对于（5），{},a b 中的元素为,a b ，{},b a 中的元素为,a b ，故正确. 故选：C4．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{|33}x x B ．2{|0}x x ≤C ．2{|10,}x x x x R -+=∈D ．22{(,)|,,}x y y x x y R =-∈答案：C解析：利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 详解： 解：33x +=，0x ∴=，所以{|33}{0}x x +==，A不是空集．20x ，0x ∴=，所以2}{|0}{0x x ≤=,B 不是空集．210x x -+=，x ∈R ，()2141130∆=--⨯⨯=-<，2{|10,}x x x x R ∴-+=∈=∅；即C 是空集．22y x =-，x ，y R ∈，即220y x +=0x y =⎧∴⎨=⎩，所以{}22){(,)|,,(0,0}x y y x x y R ==-∈；D 不是空集． 故选：C ．5．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}06B x x =∈<<N ，则满足条件A C B ⊆的集合C 的个数为（ ） A ．7 B ．8C ．15D ．16答案：A解析：先求出集A ，B ，再由件A C B ⊆，确定集合C 即可 详解：解：由题意得{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==, 因为A C B ⊆所以{}1,2 {}1,2,3,4,5C ⊆，所以集合C 的个数为集合{}3,4,5的非空子集的个数为3217-=， 故选：A.6．已知集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若B A ⊆，则a =（ ）A ．1或2B ．2C ．3D ．1或2或23答案：D解析：利用子集的定义讨论即可. 详解：因为B A ⊆，集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若32a =，则23a =，符合；若223+=a a ，则1a =或2，经检验均符合. 故选：D. 7．若1,2,3} A ⊆1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B 详解：集合1,2,3}是集合A 的真子集，同时集合A 又是集合1,2,3,4,5}的子集，所以集合A 只能取集合1,2,3,4}，1,2,3,5}和1,2,3,4,5}． 考点：集合间的基本关系.8．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2答案：A解析：首先化简集合B ，再根据两个集合相等，里面的元素相等即可求出a 的值. 详解：由题意得()(){}{}|10,1,B x x x a a R a =--=∈=，因为A B =，所以2a =. 故选：A 点睛：本题主要考查了集合的相等，属于基础题.9．设集合A=｛x|1<x<2｝,B=｛x|x<a ｝满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,+∞) B ．(-∞，1]C ．(2,+∞)D ．(-∞，2]答案：A解析：根据子集的定义、以及A 、B 两个集合的范围，建立实数a 的不等式，求解即可得到a 的取值范围． 详解：由于 集合A ＝x|1＜x ＜2}，B ＝x|x ＜a}，且满足A ⊆B ， ∴a≥2， 故选：A ． 点睛：本题主要考查集合间的关系，子集的定义，属于基础题．10．已知P 2{|1,x x n n ==+∈}N ，Q 2{|41,y y m m m ==-+∈}N ，则P 与Q 关系是（ ） A ．P Q = B ．P QC ．P QD ．以上都不对答案：D解析：根据2P ∈,但2Q ∉,以及2Q -∈但2P -∉可得. 详解：当1n =时,2x =,所以2P ∈,令2412m m -+=,即2410m m --=,解得2m =N ∉, 所以2Q ∉,当1m =时,1412y =-+=-Q ∈,所以2Q -∈,而2P -∉, 故选D . 点睛：本题考查了集合之间的基本关系,属于基础题. 二、填空题1．设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}A B ==,则满足S A ⊆且S B φ⋂≠的集合S 的个数是__________个答案：56解析：正难则反，S B φ⋂≠，从这个条件出发，可先求S B φ⋂=的个数，再用全部子集的个数减去S B φ⋂=的个数即可 详解：集合A 的子集有:{1},{2},{3},{4},{5},{6} ,{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3,4,5,6},∅,共64个; 又,{4,5,6,7,8}S B B ⋂≠∅=,所以S 不能为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅共8个,则满足S A ⊆且S B ⋂≠∅的集合S 的个数是64856-=. 点睛：集合中元素个数若为n 个，则子集个数为2n 个2．设集合P 满足{}{}1,20,1,2,3,4P ≠⊆⊂，满足条件的P 的个数为 ______________ .答案：7个解析：由{}1,2P ⊆可知P 中必含有1,2；由{}0,1,2,3,4P ≠⊂，可知0,3,4不全为P 中元素，以此可得P 集合，进而得到结果.详解：{}1,2P ⊆ P ∴中必含有元素1,2，又{}0,1,2,3,4P ≠⊂ {}1,2P ∴=，{}0,1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,0,3，{}1,2,0,4，{}1,2,3,4 ∴满足条件的P 共有7个故答案为：7个 点睛：本题考查根据集合的包含关系确定集合个数的问题，关键是能够根据包含关系确定所求集合中所包含的元素情况.3．设集合{}1A =-,{}1B x ax ==，若B A ⊆,则a =___________．答案：0或1-解析：方程1ax =的根为1-或无实解． 详解：0a =时，1ax =无解，满足题意，0a ≠时，由1ax =得11x a==-，1a =-． 综上a 的值为0或1-． 故答案为：0或1-． 点睛：本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集． 4．已知集合，集合，若，则实数=_________．答案：1解析：试题分析：由条件B A ⊆可知集合B 是集合A 的子集，所以有221m m =-或21m =-（舍），解得：1m =． 考点：集合间的关系．5．已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，数列{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列，记集合{},n n M n a b n N *==∈，则集合M 的子集最多有________个．答案：4解析：分类讨论1q ≠-和1q =-两种情况，推导出集合(){},n A n a n N *=∈与集合(){},n B n b n N*=∈中的点不可能有三个公共点，得出集合M 至多只有两个元素，再利用集合子集个数公式可得出所求结果. 详解：1q ≠，当1q ≠-时，集合(){},nB n b n N *=∈中的点不可能出现三点共线，而集合(){},nA n a n N *=∈所有的点都在同一条直线上，此时，集合M 至多只有两个元素；当1q =-时，假设集合(){},nA n a n N *=∈与集合(){},nB n b n N *=∈有三个公共点(),k k b 、(),ss b 、()(),,,,t t b k s t k s t N *<<∈，则k b 、s b 、t b 中至少有两个相等，则ka 、s a 、t a 中至少有两个相等，这与0d ≠矛盾，此时，集合M 至多只有两个元素. 因此，集合M 的子集个数最多是224=个. 故答案为4. 三、解答题1．已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：存在；0a =或2a ≥或2a ≤-.解析：先确定集合B 中的元素，然后求集合A ，根据a 分类：0,0,0a a a =><分类解不等式求得集合A ，然后再由包含关系得关于a 的不等关系，从而得出结论． 详解：∵{}|11B x x =-<<，而集合A 与a 的取值范围有关. ①当0a =时，A =∅，显然A B ⊆. ②当0a >时，12A xx aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图1所示，∴11,21,aa⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴2a ≥.③当0a <时，21A xx aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图2所示，∴11,21,aa⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴2a -.综上可知，所求实数a 的取值范围为0a =或2a ≥或2a ≤-. 点睛：本题考查集合的包含关系，掌握子集的定义是解题关键．解不等式时要注意对未知数的系数分类讨论．2．已知集合A ＝x|1－a<x≤1＋a}，集合B ＝122xx ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭∣. （1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； （2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使A ，B 相等？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由.答案：（1）a≤1；（2）a≥32；（3）不存在，答案见解析. 解析：（1）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可； （2）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可； （3）根据（1）（2）所求，即可判断. 详解：（1）∵A ⊆B ，∴a≤0或112120a a a ⎧-≥-⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎩解得a≤1.（2）∵B ⊆A ，∴11212a a ⎧-≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得a≥32. （3）不存在.理由：若A B =，需满足A ⊆B ，且B ⊆A ，即a≤1且a≥32，显然不存在这样的a.故不存在a使得A B.点睛：本题考查根据集合的包含关系，以及集合相等求参数范围，属综合基础题.3．已知二次函数满足条件，（为已知实数）.（1）求函数的解析式；（2）设，，当时，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：（1）先由题意，设二次函数，根据，得到，即可求出结果；（2）先化简集合，解方程，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.详解：（1）因为二次函数满足条件，设二次函数，又，所以，因此，所以，所以；（2）因为，解方程得或，当时，满足；当时，，由得，解得，所以；当时，，由得，解得，所以， 综上，实数的取值范围是.点睛：本题主要考查求二次函数的解析式，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记待定系数法求函数解析，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型. 4．已知集合U =R ，集合()(){}230A x x x =--<，函数()22lg x a y a x-+=-的定义域为集合B .(1)若12a =，求集合()UA B ；(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围.答案：(1)934xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭；(2)(][]1]1,2-∞-⋃，. 解析：（1）根据不等式求出集合A ，求出函数的定义域B ，即可求解补集和交集； （2）根据集合的包含关系比较端点的大小列不等式求解即可. 详解：(1)集合{}|23A x x =<<，因为12a =.所以函数()2924lglg12x x a y a xx --+==--，由94012x x->-，可得集合1924B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.{1|2UB x x =≤或94x ⎫≥⎬⎭，故()934U A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭. (2)因为A B ⊆，由{}23A x x =<<，而集合B 应满足()220x a a x-+>-，因为22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，故{}22B x a x a =<<+，依题意：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩，即1a ≤-或12a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是(][]1]1,2-∞-⋃，. 点睛：此题考查集合的基本运算，根据集合的包含关系求解参数的取值范围，在第二问需要考虑解集端点的大小关系.5．下列集合间是否有包含关系？ （1）{}1,2,3A =，{}1,2,3,4B =，{}2,3,4C = （2）N ，Z ，Q ，R（3）{}13A x x =<≤，{}|14B x x =≤≤答案：（1）A B ⊆，C B ⊆，A 与C 无包含关系（2）N Z Q R ⊆⊆⊆（3）A B ⊆解析：（1）由题意可知，集合A 中的元素都属于集合B ，集合C 中的元素都属于集合B ，1C ∉，4A ∉，根据包含关系的定义，求解即可.（2）由题意可知，N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，根据包含关系的定义，求解即可.（3）由题意可知，集合A 中的元素都属于集合B .根据包含关系的定义，求解即可. 详解：（1）因为集合A 中的元素都属于集合B ，集合C 中的元素都属于集合B ，1C ∉，4A ∉，所以A B ⊆，C B ⊆，A 与C 无包含关系.（2）因为N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，所以N Z Q R ⊆⊆⊆. （3）因为A={}|13x x <≤，B={}|14x x ≤≤，所以集合A 中的元素都属于集合B ，则A B ⊆. 点睛：本题考查集合之间的关系，属于较易题.。
高中数学(人教A版)必修4：2-1同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 由物理知识知，质量、路程、密度、功是标量，而速度、位移、力、加速度是向量．答案 D2．在下列命题中，正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a 与b 共线 D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线 解析 分析四个选项知，C 正确． 答案 C3．设a ，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( ) A. a ＝bB ．若a ∥b ，则a ＝b C. a ＝b 或a ＝－bD ．若a ＝c ，b ＝c ，则a ＝b 答案 D4．设M 是等边△ABC 的中心，则AM →，MB →，MC →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．相等的向量 C ．模相等的向量 D ．平行向量解析 由正三角形的性质知，|MA |＝|MB |＝|MC |. ∴|MA →|＝|MB →|＝|MC →|.故选C. 答案 C5．如右图，在四边形ABCD 中，其中AB →＝DC →，则相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OA →与OC → C.AC →与DB →D.DO →与OB →解析 由AB →＝DC →知，四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质知，|DO →|＝|OB →|，且方向相同，故选D.答案 D6．如图，ABCD 为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数是________．解析 如图所示，满足条件的向量有EF →，FE →，HG →，GH →，AQ →，QA →，PC →，CP →共8个．答案 8个7．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．解析 这些向量的始点在同一直线，其终点构成一条直线． 答案 一条直线8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量，其中能使a ∥b 成立的是________． 答案 ①③④9．如下图，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：(1)与向量HG →相等的向量； (2)与向量HG →平行的向量； (3)与向量HG →模相等的向量；(4)与向量HG →模相等、方向相反的向量． 解 (1)与向量HG →相等的向量有EF →.(2)与向量HG →平行的向量有EF →，FE →，AC →，CA →，GH →. (3)与向量HG →模相等的向量有GH →，EF →，FE →. (4)与向量HG →模相等、方向相反的向量有GH →，FE →.10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北45°走了200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.解 (1)如下图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →平行． 又|AB →|＝|CD →|＝100 km ，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.教师备课资源1.下列给出的命题正确的是( )A ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须相同B ．两个共线的向量，其方向一定相同C ．若两个向量不共线，则这两个向量都是非零向量D ．两个有共同起点的共线向量，其终边一定相同 答案 C2．下列结论中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →与CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．由于零向量方向不定，故零向量不能与任一向量平行 解析 由相等的向量是平行向量知，C 正确． 答案 C3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b其中正确的是________． 答案 ③4．△ABC 是等腰三角形，则两腰上的向量AB →与AC →的关系是________． 答案 |AB →|＝|AC →|5．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点． (1)写出与EF →相等的向量； (2)写出与EF →模相等的向量．解 (1)∵点E ，F 分别是AC ，AB 的中点， ∴EF 綊12BC .又点D 为BC 的中点， ∴与EF →相等的向量有DB →，CD →.(2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.。
高中数学(人教A版)必修4：1-1-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．下列各命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 解析 在弧度制中，|α|＝lr ，它是一个比值，可见与半径并无关系．故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cm D.50π3cm 解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l ＝|α|r ＝203π.答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB.74π－8π C.π4－10π D.7π4－10π 解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π.答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－34πB.π4C.34π D ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.答案 A5．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π<－3<－π2，∴－3在第三象限．答案 C6．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 27．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________； (3)13π6＝________；(4)－512π＝________. 答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°8．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ；(4)－75°＝________rad. 解析 利用1°＝π180rad 计算． 答案 (1)π5(2)－7π12(3)5π24 (4)－5π129．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)． 解 (1)终边落在射线OM 上的角的集合为 A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }． (2)终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线OM 的反向延长线上的角的集合为B ＝{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }， ∴终边落在直线OM 上的角的集合为A ∪B ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．(3)同理可得终边落在直线ON 上的角的集合为{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． ∴终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }． 10．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx ，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2x x ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.教师备课资源1.若角α，β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系一定是(其中k ∈Z )( ) A ．α＋β＝π B ．α－β＝π2C ．α－β＝π2＋2k πD ．α＋β＝(2k ＋1)π解析 取特殊值验证知，应选D. 答案 D2．已知集合M ＝{x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k π8－π4，k ∈Z }，则( )A ．M ∩N ＝ΦB ．N MC ．M ND ．M ∪N ＝M解析 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋2π8，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π8－π4，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－2π8，k ∈Z ， ∴M N . 答案 C3．若α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析 由已知，－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－π<α－β<π.又α<β，∴－π<α－β<0. 答案 (－π，0)4．已知△ABC 三内角之比为3，则三个内角的弧度数依次为________．解析 ∵△ABC 内角和为π，∴三个内角分别为π×16＝π6，π×26＝π3，π×36＝π2.答案 π6，π3，π25．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用以每小时30 km 的速度通过，求10秒间转过的弧度数．解 ∵圆弧半径r ＝2 km ＝2000 m ，v ＝30 km/h ＝253m/s ，10秒中转过的弧长为253×10＝2503 m ，∴|α|＝l r ＝2503×2000＝124.即10秒间转过的弧度数为124.。
高中数学(人教A版)必修4：2-4-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．若a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.3365 C ．－3365D ．－6365解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意cos θ＝a ·b |a ||b |＝3×5＋4×125×13＝6365.答案 A2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，y )，a ⊥b ，则y 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2答案 D3．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确 解析 AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，BC →＝(－4，－2)，∴|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →|＝20.∴|AB →|＝|AC →|，且|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2＝20. ∴△ABC 为等腰直角三角形，应选C. 答案 C4．已知a ＝(0,1)，b ＝(33，x )，向量a 与b 的夹角为π3，则x 的值为( )A ．±3B ．±3C ．±9D ．3解析 cos π3＝a ·b |a |·|b |＝x 27＋x2， ∴2x ＝27＋x 2，且x >0，∴3x 2＝27，∴x ＝3. 答案 D5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )． 又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0， ∴m ＝－79，n ＝－73.答案 D6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，λ)，且a 与b 夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析 a ·b ＝2－2λ，|a |＝5，|b |＝4＋λ2，由a 与b 的夹角为锐角，得a ·b|a ||b |＝2－2λ5·4＋λ2>0，即2－2λ>0，∴λ<1.当2－2λ5·4＋λ2＝1时，解得λ＝－4，此时a 与b 夹角为0°，不合题意．∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)． 答案 (－∞，－4)∪(－4,1)7．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a －2b |等于________． 解析 a ＋b ＝(x －1，y ＋2)＝(1,3)， ∴x ＝2，y ＝1，∴a ＝(2,1)． 又|a |＝5，|b |＝5，a ·b ＝0， ∴|a －2b |2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25. ∴|a －2b |＝5. 答案 58．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．(用数字作答)解析 由题意知|a |＝1，设a 与b 的夹角为θ，则 b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝0， ∴b 2＝b ·a ，∴|b |2＝|a ||b |cos θ.∴|b |(|b |－cos θ)＝0，∴|b |＝0，或|b |＝cos θ. ∵θ∈[0，π]，∴|b |∈[0,1]． 答案 [0,1]9．已知四点坐标：A (－1,3)，B (1,1)，C (4,4)，D (3,5)．(1)求证：四边形ABCD 是直角梯形； (2)求cos ∠DAB 的值．解 (1)证明：AB →＝(2，－2)，DC →＝(1，－1)，BC →＝(3,3)， ∴AB →＝2DC →，∴AB →∥DC →. 又∵AB →·BC →＝2×3＋(－2)×3＝0， ∴AB →⊥BC →.又∵|AB →|≠|DC →|，∴四边形ABCD 为直角梯形． (2)∵AD →＝(4,2)，AB →＝(2，－2)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22， |AD →|＝42＋22＝2 5.又∵AB →·AD →＝2×4＋(－2)×2＝4， ∴cos ∠DAB ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝422×25＝1010.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． ∴|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11， ∴t ＝－115.教师备课资源1.已知a ＝(2，－3)，b ＝(1，－2)，且c ⊥a ，b ·c ＝1，则c 的坐标为( ) A ．(3，－2) B ．(3,2) C ．(－3，－2)D ．(－3,2)解析 采用验证的方法知，c ＝(－3，－2)满足c ·a ＝－6＋6＝0，所以c ⊥a ，b ·c ＝1×(－3)＋(－2)×(－2)＝1.因此可选C.答案 C2．下列4个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形． ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. ④(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .把你认为正确的序号填在横线上__________．解析 ①中共线的单位向量当方向相反时，不成立．②中当a ＋b 与c 共线时，不成立．③正确，由向量的几何意义可知．④正确．应填③④.答案 ③④3．若向量a ≠0，b ＝a|a |，c ＝(cos θ，sin θ)，则(b ＋c )·(b －c )＝________.解析 (b ＋c )·(b －c )＝b 2－c 2 ＝|b |2－|c |2＝1－1＝0.答案04．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，当λ为何值时，a＋λb与a垂直？解∵a＝(1,0)，b＝(1,1)，∴a＋λb＝(1,0)＋λ(1,1)＝(1＋λ，λ)．由于a＋λb与a垂直，∴1＋λ＋0＝0，∴λ＝－1.∴当λ＝－1时，a＋λb与a垂直．5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的射影的数量为()A.13B.13 5C.655 D.65解析∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝13，|b|＝65，∴cosθ＝a·b|a||b|＝5 5.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝13×55＝655.答案 C。
高中数学(人教A版)必修4：3-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．已知cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos α2的值为( ) A.55B ．－55C.255D ．－255解析 ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0.由cos α＝2cos 2α2－1＝－35，得cos 2α2＝15，∴cos α2＝－55.答案 B2．设α∈(π，2π)，则 1－cos (π＋α)2等于( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析 ∵α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α2<0. ∴1－cos (π＋α)2＝1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 答案 D3．函数y ＝8sin x cos x cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A ．T ＝π，A ＝4 B ．T ＝π2，A ＝4C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝π2，A ＝2解析 y ＝8sin x cos x cos2x ＝4sin2x cos2x ＝2sin4x ， ∴最小正周期T ＝2π4＝π2，最大值A ＝2.答案 D4．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝43，tan β＝17，则α－β的值为( )A.π3B.π4 C.π6D.π8解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝43－171＋43×17＝1.∵0<α，β<π2，∴－π2<α－β<π2，∴α－β＝π4.答案 B5．若f (x )＝cos2x ＋8sin x ，则它的最大值和最小值分别是( ) A ．最大值是9，最小值是－9 B ．最大值不存在，最小值为7 C ．最大值是7，最小值是－9 D ．最大值是7，最小值不存在解析 f (x )＝cos2x ＋8sin x ＝1－2sin 2x ＋8sin x ＝－2(sin 2x －4sin x )＋1＝－2(sin x －2)2＋9. ∵x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1时，f (x )有最大值7； 当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9. 答案 C6．函数y ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －32的最大值为________．解析 y ＝32sin2x ＋3×1＋cos2x 2－32＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤ 3. 答案37．化简：sin A ＋sin2A1＋cos A ＋cos2A ＝________.解析 原式＝sin A ＋2sin A cos Acos A ＋2cos 2A＝sin A (1＋2cos A )cos A (1＋2cos A )＝tan A .答案 tan A8．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析 2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan x tan x ＋1 ＝1－22＋1＝22－3. 答案 22－39．在锐角△ABC 中，求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 证明 ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， ∴∠A ＋∠B ＝π－∠C . ∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )． ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝－tan C (1－tan A tan B )． ∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .10．若α，β为锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，求tan(α－β)．解 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加，得2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12.即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12<0.∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74. ∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73.教师备课资源1.下列各式中值为12的是( )A ．sin15°cos15°B ．2cos 2π12－1C.1＋cos30°2D.tan 22.5°1－tan 2 22.5解析 sin15°cos15°＝12sin30°＝14.2cos 2π12－1＝cos π6＝32. 1＋cos30°2＝ 1＋322＝2＋32. tan22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan22.5°1－tan 222.5°＝12tan45°＝12，故选D. 答案 D2．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析 因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin2x ，所以为奇函数，T ＝2π2＝π.故选A. 答案 A3．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．解析 f (x )＝cos2x ＋sin2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以最小值为1－ 2. 答案 1－ 2 4．求下列各式的值． (1)tan20°＋4sin20°； (2)cos12°cos24°cos48°cos96°.分析 在(1)中切化弦、通分变形求解，在(2)中，注意式子中所给角为倍数关系，且为余弦，可都乘除sin12°，利用倍角公式可解．解 (1)原式＝sin20°＋2sin40°cos20°＝sin20°＋2sin (60°－20°)cos20°＝sin20°＋2(sin60°cos20°－cos60°sin20°)cos20°＝3cos20°cos20°＝ 3.(2)原式＝sin12°cos12°cos24°cos48°cos96°sin12°＝12·sin24°cos24°cos48°cos96°sin12° ＝14·sin48°cos48°cos96°sin12° ＝18·sin96°cos96°sin12° ＝116·sin192°sin12° ＝116·－sin12°sin12°＝－116. 5．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，若a ·b ＝85，且π4<x <π2，求sin2x (1＋tan x )1－tan x 的值．解 a ·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos x ＋22sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 又a ·b ＝85，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝45. 又sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝45. ∵π4<x <π2，∴π2<x ＋π4<3π4，0<x －π4<π4. ∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝35. ∴1＋tan x 1－tan x＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－43. sin2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝35×⎝⎛⎭⎫－35＋45×45＝725. ∴sin2x (1＋tan x )1－tan x＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875.。
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高中数学(人教A 版)必修4同步试题
1．已知下列四个等式：
①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ③cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝－sin α； ④tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
其中恒成立的等式有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义． 答案 B 2.
1－tan15°
1＋tan15°
的值为( )
A. 3
B.
3
3
C ．1
D ．－ 3 解析 原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝3
3.
答案 B
3．设tan α，tan β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(b ≠0)的两个实根，则1
tan (α＋β)的值为
( )
A.b ＋c a
B.b －c a
C.c －a b
D.a －c b
解析 由根与系数的关系，得tan α＋tan β＝－b
a ，
tan α·tan β＝c
a
，
∴1
tan (α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β
＝1－
c a －b a
＝c －a b .
答案 C
4．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则∠C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6
D.π4
解析 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)， 即
tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝－ 3.
∴tan(A ＋B )＝－3，则tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，则∠C ＝π
3.
答案 A
5．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝3
4，则α＋β等于( )
A.π
6 B.π4 C.π3
D.3π4
解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π
4.
答案 B
6．若tan α＝3，tan β＝4
3，则tan(α－β)＝________.
解析 tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β＝
3－43
1＋3×
43＝1
3. 答案 13
7.
tan51°－tan6°
1＋tan51°tan6°
＝________.
解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1. 答案 1
8．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝3
5，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝______. 解析 ∵π2<α<π，sin α＝3
5，
∴cos α＝－45，∴tan α＝－3
4
.
∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝1
7
. 答案 17
9．(1)已知α＋β＝π
4
，求(1＋tan α)(1＋tan β)．
(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值． 解 (1)∵α＋β＝π
4，∴tan(α＋β)＝1，
即
tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝(tan α＋tan β)＋1＋tan αtan β＝2. (2)由(1)知当α＋β＝45°时， (1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)
＝222·2＝223.
10．已知tan α＝－13，cos β＝5
5，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解 (1)tan α＝－13，cos β＝5
5，β∈(0，π)，
∴sin β＝25
5
，∴tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝－13＋21－⎝⎛⎭⎫－13×2＝1.
(2)∵tan α＝－1
3， α∈(0，π)，
∴sin α＝
110，cos α＝－310
. ∴f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β ＝－
35sin x －15
cos x ＋55cos x －255sin x
＝－5sin x .
∴f (x )的最大值为 5.
教师备课资源
1.已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于( ) A ．4 B. 2 C ．1
D.12
解析 ∵tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
又tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4， ∴4＝21－tan αtan β，∴tan αtan β＝1
2.
答案 D 2.
sin15°＋cos15°
sin15°－cos15°的值为( )
A.33
B.
2＋6
4
C.
2－6
4
D ．－ 3
解析 原式＝tan15°＋1tan15°－1＝1＋tan15°
－(1－tan15°)＝－tan(45°＋15°)＝－tan60°＝－ 3.
答案 D
3．化简tan (α＋β)－tan α－tan β
tan αtan (α＋β)＝________.
解析 ∵tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
，
∴tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β， 即tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan(α＋β)tan αtan β， ∴原式＝tan β. 答案 tan β
4．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin α
cos α＋sin α，
求tan(α＋β)的值．
解 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π
4－α. ∵α，β均为锐角， ∴－π4<π4－α<π4，0<β<π
2
.
又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上为增函数， ∴β＝π4－α，∴α＋β＝π
4.
∴tan(α＋β)＝tan π4
＝1.
5．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan(α－β)＝1
2，求tan β及tan(2α－β)的值． 解 ∵sin α＝3
5，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45.
∴tan α＝sin αcos α＝3
545
＝3
4
.
∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)
1＋tan α·tan (α－β)
＝34－1
21＋34×12
＝211.
tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)
1－tan α·tan (α－β)
＝34＋121－34×12＝2.。