浙教版八下第二章一元二次方程复习
浙教版八年级下第二章一元二次方程的解法复习课件
一元二次方程的一般式
a≠0） ax + bx + c = 0 （a≠0）
2
一元二次方程 关于x （关于x） 一般形式 二次项 一次项 常数 系数 项 系数
3x²-1=0
3x²3x²-1=0
3x²3x（ =2（ 3x（x-2）=2（x-2） 3x²-8x+4=0
3 3
0 -8
-1 4
2
★一除、二移、三配、四化、五解. 一除、二移、三配、四化、五解.
公式法解一元二次方程的前提是 解一元二次方程的前提 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: 1.必需是一般形式的一元二次方程: 必需是一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
解一元二次方程的方法
①因式分解法
方程一边是0， （方程一边是 ，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法 ③配方法 ④公式法
2=a(a≥0) a≥0) x
(化方程为一般式） 化方程为一般式） 化方程为一般式
1.用因式分解法的条件是 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 用因式分解法的条件 分解,而右边等于零; 分解,而右边等于零; 2.理论依据是 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 理论依据 那么至少有一个因式等于零. 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 步骤 一移-----方程的右边=0; 一移-----方程的右边=0; -----方程的右边 二分-----方程的左边因式分解; 二分-----方程的左边因式分解; -----方程的左边因式分解 三化-----方程化为两个一元一次方程; 三化-----方程化为两个一元一次方程; -----方程化为两个一元一次方程 四解-----写出方程两个解; 四解-----写出方程两个解; -----写出方程两个解
第2章 一元二次方程 知识讲解-浙教版八年级数学下册
一元二次方程一、一元二次方程的概念1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2.一般形式：）（0a 0c bx ax 2≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法1.直接开平方法：如果方程能化成p x 2=或p n mx 2=+）（的形式，那么可得p x ±=或p n mx ±=+.2.配方法：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.3.因式分解法：通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.4.求根公式法：当0ac 4-b 2≥=△时，方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的实数根可写成a2ac 4-b b -x 2±=的形式，这个式子叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的求根公式，把各系数直接代入公式，求出方程的根，这种解法叫做公式法.【用公式法解一元二次方程的步骤】把方程化为一般式→确定a ，b ，c 的值→计算ac 4-b 2的值→如果非负，则代入求解，如果为负数，则方程无实数根.三、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系1.根的判别式：一般地，式子ac 4-b 2叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的判别式，通常用“△”表示，即ac 4-b 2=△.知识梳理⎪⎩⎪⎨⎧⇔⇔⇔=方程没有实数根△＜方程有两个相等实数根△＝根方程有两个不相等实数△＞△00 0ac 4-b 2【注】①使用时，要先将一元二次方程化为一般形式，才能确定a ，b ，c ，求出△；②当0ac 4-b 2≥=△时，方程有实数根.2.根与系数的关系（1）韦达定理：若一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++有实数根，设这两个实数根分别为1x 、2x ，可得a b -x x 21=+，ac x x 21=. （2）拓展①212212221x x 2-x x x x ）（+=+； ②212121x x x x x 1x 1+=+； ③2212121a x x a x x a x a x +++=++）（））（（. 四、一元二次方程的应用1.增长率问题（1）增长量=原产量×增长率；（2）增产后的产量=原产量×（1+增长率）.2.数字问题例：一个两位数等于其个位数字的平方，个位数字比十位数字大3，求这个两位数.3.利润问题题型：售价每上升/下降a 元，销量减少/增加b 件.问应把售价上升/下降多少元能使利润达到c 元？ 解决方法：此类题型一般设售价上升/下降x 元，利用单件利润×销量=总利润为等量关系列方程解决问题.4.面积问题5.动点问题（1）求动点运动时间转化为求动点运动路程，即线段长度；（2）利用图形面积或勾股定理构造方程.。
第二章一元二次方程的复习讲义浙教版八年级数学下册
一．一元二次方程的的概念 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①整式方程．②方程中只含有一个未知数．③方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠．其中，2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1．判断下列方程是不是一元二次方程．⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵ 2413x =+ ⑶ 210x -=；⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-；⑺ 2320mx x -+=（m 为常数）2．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2216x x -=；⑵ ()()3213x x x -+=- ⑶()()()3253115x x x x ++--=；类型：方程根的应用1．如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个根1和1-，那么a b c ++= ________，a b c -+=___________．2．已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=有一个根是0，则m 的值为_______．3．已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552006m m -+的值．二．一元二次方程的解法方法一 直接开平方法对于形如2x m =或()()200ax b m a m +=≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解.用直接开平方法解关于x 的方程：八下第二章一元二次方程复习（1）()211x += （2） 3x 2-12=0 （3）(2x -1)2-7=0方法二 配方法配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化成形如()2ax b m +=的方程，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程用配方法解方程：1．220x x += 2. 2x 2-x -1=0 3. x 2=4√3x −11例1. 关于x 的二次三项式x 2+4x +9进行配方得x 2+4x +9=（x +m ）2+n（1）则m= ，n= ；（2）求x 为何值时，此二次三项式的值为7？方法三 因式分解法因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =；因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解．用因式分解法解方程：⑴x 2-4x=0 ⑵ 2y 2=7y ⑶ 4x 2-12x +9=0方法四 公式法公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．用公式法解方程：1．2220x x --=； 2．231x =； 3．2312x x -=-；三．一元二次方程根的判别式设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．1.不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-2．关于x 的方程()25860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．若关于y 的一元二次方程24334ky y y --=+有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．74k -≥且0k ≠B ．74k >-且0k ≠C ．74k -≥D ．74k >- 4．设a b ，是方程220100x x +-=的两个实数根（a b ≠），求22a a b ++的值.5. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +3k=0．（1）求证：不论k 取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC 的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC 的周长．四．一元二次方程的应用增长率问题的模式为：原来数量为A ，后来数量为B ，经过某两个时间单位，设增长率(降低率)为x . 则有关系式： 或. 。
浙教版数学八年级下册 第二章一元二次方程单元综合复习
浙教版数学（八下） 第二单元综合复习一、 一元二次方程的求解1.因式分解法：若A ·B=0，则A=0或B=0.2.开平方法：形如x 2=a(a ≥0)，(mx ＋n)2=b(m ≠0，b ≥0)，可用开平方法直接求解.3.配方法：口诀——除移配开求答.(系数化为1)┘ 4.公式法：求根公式x=﹣b ±b 2-4ac2a （a ≠0）.【习题一】(2)已知(a 2＋b 2－1)(a 2＋b 2＋3)－12＝0，求a 2＋b 2的值.【习题二】解方程：x 2－b 2＝a(3x －2a ＋b).【习题三】解方程：(1)(3x ＋1)2＝9(2x ＋3)2； (2)(3x －11)(x －2)＝2；(3) x(x ＋1)3 －1＝(x －1)(x ＋2)4； (4)(3x －2)(3x ＋2)＝x.【习题四】设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，则这个直角三角形的斜边长为___________.【习题五】如果x-3是多项式2x 2-5x+m 的一个因式，则m 等于（ ） A ．6 B ．-6 C ．3 D ．-3 【习题六】用配方法解下列方程时，配方有错误．．的是（ ） A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．4t 2－4t －5＝0化为(2t －1)2＝6 D ．9y 2＋6y －2＝0化为(3y ＋1) 2＝3二、根系关系1.求根关系：x ＝﹣b ±b 2-4ac2a (a ≠0)2.判别式：△=b 2-4ac3.韦达定理：x 1＋x 2=﹣b a ，x 1·x 2=ca4.常见题型：(1)已知方程的一根，求另一根.(2)已知两数的和与积，构造一元二次方程解题. (3)求待定系数的值或取值范围. (4)求对称式和非对称式的值.【习题一】已知方程x 2-5x+15=k 2的一个根是2，则k 的值是_________，方程的另一个根为___________.【习题二】若m 为实数，方程x 2-3x+m=0的一个根的相反数是方程x 2+3x-3=0的一个根，则x 2-3x+m=0的根是___________.【习题三】现定义运算“☆”，对于任意实数a 、b ，都有a ☆b=a 2-3a+b ，若x ☆2=6，则实数x 的值是_________.【习题四】若正数a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，则a 的值是___________.【习题五】已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0（a ≠0）有两个相等的实数根，求ab 2(a −2)2+b 2−4的值．【习题六】已知关于x 的方程x 2-（k+2）x+2k=0，若一个等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长与面积．【习题七】已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【习题八】若k是自然数，且关于x的二次方程（k-1）x2-px+k=0有两个正整数根，求k kp•（p p+k k）+k k-p+2 +kp+1的值.【习题九】已知α，β是方程x2+2x-7=0的两个实数根，求α2+3β2+4β的值．【习题十】设x1、x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个根，求x13-4x22+19的值.三、生活类应用1. 增长（降低）率问题若基数为a ，平均增长（降低）率为x ，则连续增长n 次后为a(1±x)n . 2. 数字问题① 有关三个连续整数（或连续奇数、连续偶数）的问题，设中间一个数为x ，再根据题 目中的条件用含x 的代数式表示其余两个数. ② 多位数的表示方法：a. 两位数＝(十位数字)×10＋（个位数字）；b. 三位数＝（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋（个位数字）；… 3. 利润问题① 毛利润＝售出价－进货价 ② 纯利润=售出价－进货价－其他费用 ③ 利润率＝利润成本×100%4. 储蓄问题① 利息＝本金×年（月）利润×年（月）数 ② 利息税＝利息×税率③ 本息和＝[1＋年（月）利率×年（月）数]×本金（不计利息税）④ 不计利息税后，且到期后又连本带利一起再存相同时间，且年利率不变时，本息和＝本金×（1＋年利率）年数【习题一】某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100(1＋x)2＝81B ．100(1－x)2＝81C ．100(1－x%)2＝81D ．100x 2＝81【习题二】三个连续自然数的平方和为50，求这三个数.在这个问题中，设中间的自然数为x ，则其余两个自然数为_________、_________，根据题意，可列出方程：________________________________.【习题三】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ） A ．(3+x)(4-0.5x)=15 B ．(x+3)(4+0.5x)=15 C ．(x+4)(3-0.5x ）=15 D ．(x+1)(4-0.5x)=15【习题四】近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【习题五】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【习题六】某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【习题七】明在2013年暑假帮某服装店买卖体恤衫时发现，在一段时间内，体恤衫每件80元销售时，每天销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件，已知该体恤衫进价是每件40元，请问服装店一天能赢利1200元吗？如果设每件降低x元，那么所列方程正确的是（）A．(80-x)(20+x)=1200 B．(80-x)(20+2x)=1200C．(40-x)(20+x)=1200 D．(40-x)(20+2x)=1200【习题八】某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50(1+x2)=196 B．50+50(1+x2)=196C．50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D．50+50(1+x)+50(1+2x)=196【习题九】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x．（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？四、几何应用1.常用勾股定理，面积公式，图形特点，平移，数形结合，三边关系等解题.【习题一】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【习题二】某初三一班学生上军训课，把全班人数的18排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生________人．【习题三】如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80-100x-80x=7644 B．(100-x)(80-x)+x2=7644C．(100-x)(80-x)=7644 D．100x+80x=356习题三图习题四图【习题四】如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【习题五】一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，当AE=_____米时，有DC2=AE2+BC2．【习题六】百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价_________元，那么平均每天就可多售出_________件，现在一天可售出_________件，每件盈利_________元．【习题七】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2-1≥-1，即：3a2-1就有最小值-1．只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值-1．同样，因为-3a2≤0．所以-3a2+1≤1，即：-3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=________时，代数式-2（x+1）2-1有最________值（填“大”或“小”值为______. （2）当x=________时，代数式 2x 2+4x+1有最________值（填“大”或“小”）值为______. （3）矩形自行车场地ABCD 一边靠墙（墙长10m ），在AB 和BC 边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m 长的木板，当AD 长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？【习题八】在长方形ABCD 中，AB=16cm ，BC=6cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以3cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CD 边向点D 以2cm/s 的速度移动，点P 、Q 从出发开始，经过几秒时，点P 、Q 、D 组成的三角形是等腰三角形？浙教版数学（八下） 第二单元综合复习参考答案一、一元二次方程的求解习题一.(1)m=﹣1；x 1=﹣1＋72 ，x 2=﹣1－72.(2) a 2+b 2=3【解答】设a 2+b 2=n(n ≥0)，则原方程变形为(n-1)(n-3)-12=0.整理，得n 2+2n-15=0，即(n+5)(n-3)=0，,∴n 1=﹣5（不合题意，舍去），n 2=3，∴a 2+b 2=3. 习题二.x 1=2a+b ，x 2=a-b 【解答】x 2-b 2=a(3x-2a ＋b) x 2-b 2=3ax-2a 2+ab x 2-3ax+ 94-a 2=14-a 2+b 2+ab(x-32a)2=(12a+b)2∴x-32a=12a+b 或x-32a=-(12a+b)∴x 1=2a+b ，x 2=a-b.习题三.(1)x 1=﹣83 ，x 2=﹣109；(2)x 1=53 ，x 2=4；(3)x 1=2，x 2=﹣3；(4)x 1=1，x 2=﹣23 .习题四. 3【解答】∵a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长， 设斜边为c ，∴(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，根据勾股定理得：c 2（c 2+1）-12=0，即(c 2-3)(c 2+4)=0， ∵c 2+4≠0， ∴c 2-3=0，解得c= 3 或c=﹣ 3 (舍去)． 则直角三角形的斜边长为 3 ． 习题五. D【分析】x-3是多项式2x 2-5x+m 的一个因式，即方程2x 2-5x+m=0的一个解是3，代入方程求出m 的值． 习题六. B二、根系关系习题一. ±3，3【解答】已知方程x 2-5x+15=k 2的一个根为x l =2，设另一根是x 2， 则x 1+x 22，则另一个根x 2=3，k=±3．习题二【解答】解方程x 2+3x-3=0的根是，方程x 2-3x+m=0的一个根的相反数是方程x 2+3x-3=0的一个根，因而方程x 2+3x-3=0的一个根的相反数是方程x 2-3x+m=0的一个根，则x 2-3x+m=0的根是﹣(﹣3±21 2 )即3±212.习题三. 4或-1【解答】x ☆2=6，∴x 2-3x+2=6， ∴x 2-3x-4=0，∴(x-4)(x+1)=0， ∴x-4=0，x+1=0，∴x 1=4，x 2=-1. 习题四. 5 【解答】∵a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，∴a 2-5a+m=0①，a 2-5a-m=0②， ①+②，得2(a 2-5a)=0， ∵a ＞0，∴a=5． 习题五.4【解答】∵ax 2+bx+1=0（a ≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=0，即b 2-4a=0，∴b 2=4a ，∵ab 2(a −2)2+b 2−4 =ab 2a 2−4a+4+b 2−4 =ab 2a 2−4a+b 2 =ab 2a 2 ， ∵a ≠0，∴ab 2a 2 = b 2a =4aa =4.习题六. 周长=5，面积=154. 【解答】∵x 2-（k+2）x+2k=0，∴(x-k)(x-2)=0，解得：x 1=2，x 2=k ， ∵三角形是等腰三角形，当k=1时，不能围成三角形；当k=2时，周长为5. 如图：设AB=AC=2，BC=1， 过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∴BD=CD=12BC=12 ，∴AD=AB 2−BD 2 =152∴S △ABC =12×1×15 2 =154.习题七. (1)证明：∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4，∴在实数范围内，m 无论取何值，(m-2)2+4＞0，即△＞0，∴关于x 的方程x 2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根. (2) 另一根=3，周长=4+10 或4+2 2 【解答】根据题意，得12-1×(m+2)+(2m-1)=0，解得，m=2， 则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3.①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为10 ， 该直角三角形的周长为1+3+10 =4+10 ；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2 ，则该直角三角形的周长为1+3+2 2 = 4+2 2 .k是自然数，∴kk-p+2 +kp+1三、生活类应用习题一 .B习题二 .x-1 x+1 (x-1)2+x2+(x+1) 2=50习题三. A习题四.(1)20% (2)能实现【解答】(1)设每年平均增长的百分率为x．6000(1+x)2=8640，(1+x)2=1.44，∵1+x＞0，∴1+x=1.2，x=20%．(2)2012年该县教育经费为8640×(1+20%)=10368（万元）＞9500万元．故能实现目标．习题五.0.3或0.2【解答】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．习题六. 定价60元，进货100个 【解答】设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，整理，得x 2-110x+3000=0，解得x 1=50，x 2=60．当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去； 当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．∴当该商品每个定价为60元时，进货100个．习题七. D习题八. C习题九.(1)25只 (2) 35只，1950元【解答】(1)∵生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R ，P 与x 的关系式分别为R=500+30x ，P=170-2x ，∴（170-2x ）x-（500+30x ）=1750，解得 x 1=25，x 2=45（大于每日最高产量为40只，舍去）． ∴当日产量为25只时，每日获得利润为1750元.(2)设每天所获利润为W ，由题意得，W=（170-2x ）x-（500+30x ）=﹣2x 2+140x-500=﹣2（x 2-70x ）-500=﹣2（x 2-70x+352-352）-500=﹣2（x 2-70x+352）+2×352-500=﹣2（x-35）2+1950．当x=35时，W 有最大值1950元．四、 几何应用习题一. C【解答】设有x 个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛， x （x-1）÷2=21，解得x=7或-6（舍去），∴应邀请7个球队参加比赛． 习题二. 56【解答】设班级学生x 人，依题意，得(18)2+7=x ， 整理，得x 2-64x+448=0，解得x 1=56，x 2=8，当x=8时，18x=1，1人不能成为方阵，舍去. ∴此班有学生56人．习题三. C【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．习题四. B【解答】设AC 交A ′B ′于H ，∵∠A=45°，∠D=90°，∴△A ′HA 是等腰直角三角形，设AA ′=x ，则阴影部分的底长为x ，高A ′D=2-x ，∴x •（2-x ）=1，∴x=1，即AA ′=1cm ．习题五. 143 【解答】如图，连接CD ，设AE=x 米， ∵坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米，∴AC=12米，∴EC=（12-x ）米，∵正方形DEFH 的边长为2米，即DE=2米，∴DC 2=DE 2+EC 2=4+(12-x)2，AE 2+BC 2=x 2+36，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴4+(12-x)2=x 2+36，解得：x=143米． 习题六. x 2x 20+2x 40-x每件应降20元【解答】设每件童装降价x 元，则(40-x)(20+2x)=1200即：x 2-30x+200=0，解得：x 1=10，x 2=20，∵要扩大销售量，减少库存，∴舍去x 1=10∴每件童装应降价20元．习题七.(1)-1，大，-1 (2) -1，小，-1(3)设AD=x ，S=x(16-2x)=-2(x-4)2+32，当AD=4m 时，面积最大值为32m 2．习题八. 2秒 或 16−243 7 秒 或 16+247 7 秒 或 ﹣32+659 5秒. 【解答】如图1，设时间为ts ，过P 作PM ⊥CD 于M ，过Q 作QN ⊥AB 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16cm ，AD=BC=PM=QN=6cm ，∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°， 则DM=AP=3t cm ，CQ=BN=2t cm ，分为三种情况：①当DP=PQ 时，则DM=MQ=3t cm ，∵3t+3t+2t=16，解得：t=2.②当∠PQD 为锐角时，DQ=PQ 时，在Rt △PNQ 中，由勾股定理得：(16-2t)2=62+(16-3t-2t)2，7t 2-32t+12=0，解得：t=32±443 14 =16±243 7， ∵t=16＋243 7 ＞163 （舍去），∴t=16－243 7.当∠PQD 为钝角时，如图2，QD=PQ ，则AP-DQ ≥0，即3t-（16-2t ）≥0，∴165 ≤t ≤163． ∵DQ=16-2t ，PH=6，QH=AP-DQ=5t-16，∴(16-2t)2=36+(5t-16)2，解得t=16±247 7 ， ∵t ≥165 ，∴t=16+247 7. ③当DP=DQ 时，在Rt △DAP 中，由勾股定理得：(16-2t)2=62+(3t)2，即5t 2+64t-220=0，解得t=−64±1259 10 =﹣32±659 5， ∵﹣32－659 5 ＜0，∴t=﹣32+659 5. 综上，经过2秒、16−243 7 、16+247 7 、﹣32+659 5秒时，点P 、Q 、D 组成的三角形是等腰三角形．。
一元二次方程综合复习训练浙教版八年级数学下册
2021-2022学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》期中综合复习训练（附答案）一．选择题1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+42C．ax2+bx+c＝0D．m2﹣2m+1＝0 2．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣m﹣2＝0有一根为0，则m的的值为（）A．2B．﹣1C．2或﹣1D．1或﹣23．一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝2B．（x﹣3）2＝8C．（x﹣3）2＝2D．（x﹣6）2＝35 4．已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝5B．x1＝1，x2＝﹣5C．x1＝﹣1，x2＝5D．x1＝﹣1，x2＝﹣55．若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．k＜﹣且k≠﹣1D．k≤﹣且k≠﹣16．电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．2（1+x）＝7B．2（1+x）2＝7C．2+2（1+x）2＝7D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝77．m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018B．2018C．﹣2026D．20268．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套．若网店要获利2100元，设每套运动装降价x元，则列方程正确的是（）A．（45﹣x）（20+4x）＝2100B．（45+x）（20+4x）＝2100C．（45﹣x）（20﹣4x）＝2100D．（45+x）（20﹣4x）＝2100二．填空题9．设a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a+1）2+b的值为．10．已知（x2+y2）2+6（x2+y2）﹣7＝0，则x2+y2的值为．11．已知实数m、n满足m2﹣4＝2m，n2＝4+2n，则|m﹣n|＝．12．等腰△ABC的底和腰分别是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为．13．若a2+1＝3a，b2+1＝3b，则代数式的值为．14．关于x的一元二次方程（m+1）x2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则秒时，△BPQ的面积是6cm2．16．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论：①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1；②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根；④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）三．解答题17．解下列方程．（1）2x2+5x＝18﹣11x；（2）（3x﹣1）2＝（x+1）2．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝13，求m的值．20．阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a﹣4＝a2+2a+12﹣12﹣4＝（a+1）2﹣5∵（a+1）2≥0，∴a2+2a﹣4＝（a+1）2﹣5≥﹣5，因此，代数式a2+2a﹣4有最小值﹣5．根据以上材料，解决下列问题：（1）代数式a2﹣2a+2的最小值为；（2）试比较a2+b2+11与6a﹣2b的大小关系，并说明理由；（3）已知：a﹣b＝2，ab+c2﹣4c+5＝0，求代数式a+b+c的值．21．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？22．某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（0＜x＜10）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y关于x的函数解析式．（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？参考答案一．选择题1．解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．2．解：把x＝0代入方程，得（m+1）×02﹣x+m2﹣m﹣2＝0，整理，得（m﹣2）（m+1）＝0．解得m1＝2，m2＝﹣1．又∵方程（m+1）x2﹣x+m2﹣m﹣2＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1≠0，∴m≠﹣1，即m＝2．故选：A．3．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8．故选：B．4．解：把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，∴x+1＝2或x+1＝﹣4，解得x＝1或x＝﹣5，∴方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5．故选：B．5．解：依题意得：，解得：k≤﹣且k≠﹣1．故选：D．6．解：若把增长率记作x，则第二天票房约为2（1+x）亿元，第三天票房约为2（1+x）2亿元，依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．故选：D．7．解：∵实数m是关于x的方程x2+x﹣2＝0的一个根，∴m2+m﹣2＝0，∴m2+m＝2，∴2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018．故选：A．8．解：设每套书运动服降价x元时，则每天可出售（20+4x）套；由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝1200；故选：A．二．填空题9．解：∵a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，即a2+a＝2022，则原式＝a2+2a+1+b＝（a2+a）+（a+b）+1＝2022﹣1+1＝2022．故答案为：2022．10．解：设x2+y2＝z，则原方程换元为z2+6z﹣7＝0，∴（z﹣1）（z+7）＝0，解得：z1＝1，z2＝﹣7，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝1故答案为：1．11．解：∵实数m、n满足m2﹣4＝2m，n2＝4+2n，∴m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个不相等的实数根．当m＝n时，|m﹣n|＝0；当m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个不相等的实数根时，m+n＝2，mn＝﹣4，∴|m﹣n|＝＝＝＝2．故答案为：0或2．12．解：x2﹣5x+4＝0，（x﹣4）（x﹣1）＝0，x﹣4＝0或x﹣1＝0，所以x1＝4，x2＝1，因为1+1＝2＜4，不符合三角形三边的关系，所以等腰三角形的底边为1，腰为4，所以三角形的周长为4+4+1＝9．故答案为：9．13．解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，当a＝b时，代数式的值为2，当a≠b时，根据题意a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，故a+b＝3，ab＝1．则＝＝＝＝7．故代数式的值为7或2，故答案为：7或2．14．解：根据题意得m+1≠0且Δ＝（2m+1）2﹣4（m+1）（m﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠﹣1，即m的取值范围为m＞﹣且m≠﹣1，故答案为：m＞﹣且m≠﹣1，15．解：设运动时间为t秒，则PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，依题意得：（10﹣2t）t＝6，整理得：t2﹣5t+6＝0，解得：t1＝2，t2＝3．∴2或3秒时，△BPQ的面积是6cm2．故答案为：2或3．16．解：①∵a﹣b+c＝0，∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故结论①正确；②∵a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，∴方程有两个实数根，故结论②错误；③∵a、c异号，a≠0，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确；④∵x＝m方程的一个根，∴am2+bm+c＝0，∴（2am+b）2﹣（b2﹣4ac）＝4a2m2+4abm+b2﹣b2+4ac＝4a（am2+bm+c）＝0，∴（2am+b）2＝b2﹣4ac，故结论④正确；故答案为：①③④．三．解答题17．解：（1）方程整理为x2﹣8x﹣9＝0，（x﹣9）（x+1）＝0，x﹣9＝0或x+1＝0，所以x1＝9，x2＝﹣1；（2）（3x﹣1）2﹣（x+1）2＝0，（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）＝0，3x﹣1+x+1＝0或3x﹣1﹣x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．18．（1）证明：∵Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，该方程总有实数根；（2）解：解方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝k﹣1，x2＝1，当k﹣1＝1时，k＝2，因为1+1＝2，不符合三角形三边的关系，舍去；当k﹣1＝2时，即k＝3，三角形的三边为2、2、1，综上所述，k的值为3．19．（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，∵（m﹣1）2≥0，∴Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）＝m2﹣6m+9+4m＝m2﹣2m+1+8＝（m﹣1）2+8≥8＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，即（m﹣3）2+3m＝13，整理得：m2﹣3m﹣4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0，所以m﹣4＝0或m+1＝0，解得：m＝4或m＝﹣1．20．解：（1）a2﹣2a+2＝（a2﹣2a+1）+1＝（a﹣1）2+1，∵（a﹣1）2≥0，∴（a﹣1）2+1≥1，即代数式a2﹣2a+2的最小值为1；故答案为：1；（2）a2+b2+11＞6a﹣2b，理由如下：a2+b2+11﹣（6a﹣2b）＝a2+b2+11﹣6a+2b＝（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+1＝（a﹣3）2+（b+1）2+1，∵（a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，∴a2+b2+11＞6a﹣2b；（3）∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∵ab+c2﹣4c+5＝0，∴b（b+2）+c2﹣4c+5＝0，∴（b+1）2+（c﹣2）2＝0，∴b+1＝0，c﹣2＝0，∴b＝﹣1，c＝2，∴a＝﹣1+2＝1，∴a+b+c＝1﹣1+2＝2．21．解：（1）设BC＝xm，则AB＝m，依题意得：x•＝300，整理得：x2﹣62x+600＝0，解得：x1＝12，x2＝50．又∵墙EF最长可利用28m，∴x＝12．答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：设BC＝ym，则AB＝m，依题意得：y•＝480，整理得：y2﹣62y+960＝0，解得：y1＝30，y2＝32．又∵墙EF最长可利用28m，∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，∴不能围成面积为480m2的矩形花园．22．解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（2，60），（4，70）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y关于x的函数解析式为y＝5x+50（0＜x＜10）．（2）依题意得：（40﹣x﹣20）（5x+50）＝1105，整理得：x2﹣10x+21＝0，解得x1＝3，x2＝7．又∵要让顾客得到更大的实惠，∴x＝7．答：这种榴莲每千克应降价7元．11。
浙教版八年级下 第二章 一元二次方程期中复习宝典
期中复习宝典之一元二次方程一元二次方程及其解的概念1．有下列方程：① 2x 2－3=0；② 112-x =1；③ 0131212=+-y y ；④ ay 2+2y +c =0(其中a 为常数)；⑤ (x +1)(x －3)=x 2+5；⑥ x －x 2=0 。
其中是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 。
(只需填写序号)2．有下列方程：① 3x 2+2(1+x )+1=0；② 3x 2+x1+1=0；③ 4x 2=ax (其中a 为常数)；④ 2x 2+3x ；⑤ 5132+x =2x ；⑥ 22)(x x + =2x ；⑦ ｜x 2+2x ｜=4. 其中是一元二次方程的有 。
(只需填写序号)3．下列方程一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）（A ）12x 2+1x-2=0 （B ）ax 2+bx +c =0 （C ）（n 2+1）x 2+n =0 （D ）mx 2+3x =n 4．若方程(a -1)12+a x +5x =4 是一元二次方程，则a =5．关于x 的方程(m 2－16)x 2+(m +4)x +2m +3=0是一元一次方程.当m _________时,是一元一次方程；当m _________时,是一元二次方程.6．方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__ ________，其二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.7．已知3是关于x 的方程012342=+-a x 的一个解，则2a 的值是（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）148．若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）（A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定9.已知关于x 的方程x 2－(a ＋2)x ＋a －2b ＝0的判别式等于0，且x ＝12是方程的根，则a ＋b 的值为 ______________。
浙教版初中数学八年级下册第二章《一元二次方程》单元复习试题精选 (864)
八年级数学下册《一元二次方程》测试卷学校：__________一、选择题1．(2分)为解决药价偏高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设每次降价的百分率为x ，该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则可列方程为（ ）A ．y=2m （1-x ）B ．y=2m （1+x ）C ．y=m （1-x ）2D ．y=m （1+x ）22．(2分)用直接开平方法解方程2(3)8x -=，得方程的根为（ ）A ．3x =+B ．3x =-C ．13x =+，23x =-D ．13x =+23x =-3．(2分)有下列方程：①24810x -=；②230m m +=；③2(23)4y -=；④21(3)273x -=． 其中能用直接开平方法解的是 （ ）A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．①③③④4．(2分)代数式223x χ-+的值一定是（ ）A ． 负数B ． 正数C ． 非负数D ． 不能确定5．(2分) 将方程2440y y ++=的左边配成完全平方后得（ ）A ．2(4)0y +=B ．2(4)0y -=C ．2(2)0y +=D ．2(2)0y -=6．(2分)下列关于x 的方程，一定是一元二次方程的是（ ）A ． 2(2)210m x x +-+=B ． 2230m x m +-=C ． 21320x x +-=D 21203x --= 7．(2分) 解方程22(51)3(51)x x -=-的最适当的方法应是（ ）A ． 直接开平方法B ．配方法C ．分式法D ．因式分解法8．(2分)方程(1)(2)6x x ++=的解是（ ）A ．11x =-，22x =-B ．11x =，24x =-C ．11x =-，24x =D ．12x =，23x =9．(2分)从正方形的铁片上，截去2 cm 宽的一条长方形铁片，余下铁片的面积是48cm 2，则原来正方形铁片的面积是（ ）A ．6cm 2B ．8 cm 2C ．36 cm 2D ．64 cm 210．(2分)关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．21D ．1或1-11．(2分)若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．c ≥0B ． c ≥9C ． c ＞0D ． c ＞912．(2分)关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定13．(2分)若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ）A ．±21B ．±1C ．±22 D ．±2 14．(2分)下列方程中，无实数根的是（ ）A ．2250x x ++=B ．220x x --=C ．22100x x +-=D ．2210x x --= 15．(2分) 某厂一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量达到 720 吨，若设平均每月的增长率是 x ，则可以列方程（ ）A ．2500(1)720x +=B ．500(12)720x +=C ．2500(1)720x +=D ．2720(1+)500x =16．(2分)已知方程(31)(2)0x x +-=，则31x +的值为（ ）A ．7B ．2C ．0D ．7 或0二、填空题17．(3分)请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程 .18．(3分)当x =_______时，代数式x x 42+的值与代数式32+x 的值相等．19．(3分)等腰三角形ABC中，BC=8，AB，AC 的长是关于x的方程2100x x m-+=的两根，则m的值是．20．(3分)若 b(b≠0)是方程20x cx b++=的根，则b c+的值为．21．(3分)用直接开平方法解一元二次方程时，方程应具备的特征是：．22．(3分) 已知1x=是一元二次方程2210x mx-+=的一个根，则 m= ．23．(3分)用因式分解法解一元二次方程时，方程应具备的特征是：．24．(3分) 请你写出一个根为 x=2 的一元二次方程：．25．(3分)判断下列各方程后面的两个数是不是都是它的解(是的打“√”，不是的打“×”)(1)2670x x--=；(-1，7) ( ）(2)23520x x+-=；（53，23-) ( ）(3）22310x x-+=；(3， 1) ( ）(4）2410x x-+=；（23--，23-+） ( ）26．(3分)已知关于x的方程1460x kx-+=的一个根是 2，则k= ．评卷人得分三、解答题27．(6分)已知方程260x kx+-=的一个根是2，求它的另一个根及k的值.28．(6分)如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：(1)填空：在第4个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖；在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖．(2)按上述铺设方案，已知铺一块这样的矩形地面共用了1056块瓷砖，求此时图形为第几个．29．(6分) 选用适当的方法解下列方程：(1)(1)(65)0+-=；x x(2)2430--=；x x(3)2+=+；x x x2(5)(5)(4)2243220x--=30．(6分)利用旧墙为一边(旧墙长为7 m)，再用13 m长的篱笆围成一个面积为20 m2的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是多少?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．C2．D3．C4．B5．C6．D7．D8．B9．D10．B11．B12．A13．C14．A15．A16．D二、填空题17．如(2)(3)0x x +-=等 18．1或-319．25 或 1620．1-21．2()(0)x a b b +=≥22．123．0A B ⋅=24．略25．（1）√（2）×（3）× （4）× 26．11三、解答题27．1k =，3x =- 28．（1）7， 6，3n +，2n +；（2）3029．(1)111x =-,256x =；(2)12x =，2x =；(3)15x =-，210x =-；(4)6x =±30．宽为 4m ，长为 5 m。
浙教版八下第二章一元二次方程及解法复习
解一元二次方程时，我们先考虑用开平方法和
因式分解法，然后再考虑用公式法和配方法
☆对于（ax+m）2=n(n≥0) 的形式，我们通常选择开平方法。
☆对于右边化成零后左边可以因式分解的一元二次方程，我们
通常选择因式分解法。 ☆对于ax2+bx+c=0(a≠0)一般形式 ，a,b,c≠0时的方程以及 用上面两种方法解方程比较困难时选择公式法。 ☆配方法通常只用于x２＋px＋q＝０形式的方程。
一元二次方程及 解法复习
准备好了吗？
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？ 1、(x－1)２＝４ √ × √ ２、x2－2x=8 ４、x２＝y+１ ６、x３－２x２＝１ √ × ×
1 3、x2+ ＝１ x
５、x２＝x
７、３x２－５x＝２ √
８、x（x－２）＝１+x2 ×
火眼金睛
选择适当的方法解下列方程：
1、(x+1)2=4 2、４x２－９＝x(２x－３) 3、(x+1)(2x－1)=5 4、（y+1）2+2（y+1）+1=0
勇攀高峰
如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动 点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作 PM∥AB交BC于M。PN∥AD交DC于N，连接AM，设 AP=x。 （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由。 （2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与⊿ABM的面 积相等？ A
D P NBຫໍສະໝຸດ MC课堂小结：
通过今天的学习你 有什么收获？
已知：如图， ABCD中，AB=4，AD=6，BC边上的高 AE=2，动点P从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位 的速度向点D运动，同时动点Q也从点C出发，在线段 BC上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点Q运动 到点B时，点P随之停止运动。连接AQ、PQ、PC。设 运动时间为t（秒）。 (1)当运动时间为1.5秒时，求出⊿ABM的面积。 (2)用含t的代数式来表示⊿PCQ的面积。 (3)当t为何值时，P、Q两点间的距离为 13 ？
浙教版八年级数学下册第二章《 一元二次方程复习》优课件
方
公式法 化 成 一 般 形 式 a x 2 b x c 0 a 0
程
当 b24ac0 时 ,x bb24ac
2a
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的应用
明辨是非 一元二次方程的定义
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４√ ２、x2－2x= 3 √
所以y1= 2 ，y2 =- 2 y 3= 3 y4= - 3
解答问题：1、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用
了换元 法达到了降次的目的，体现了转化 的数学思想。
2. 解方程
x 4 x 2 12 0
(x-2)2+3(x-2)-10=0
3.已知(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0, 求a2+b2的值。
(2)k为何值时，方程是一元二次方程？
一元二次方程的解法
用适当的方法解下列方程
1x2 3x0 2(2x1)290
3x2 4x1 4x23x10
规律： ① 一般地，当一元二次方程一次项系数 为0时（ax2+c=0），应选直接开平方；法
②若常数项为0(ax2+bx=0),应选 用 因式分解法；
③若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整 式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解，法 不然选用 公式法 ；
④不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数 时，用 配方法 也较简单。
比一比，看谁做得快：
(1) 4(t+2 )2=3 (2)3t(t+2)=2(t+2) (3)(y+ 2 )(y- 2 )=2(2y-3) (4)-5x2-7x+6=0 (5)x2+2x-9999=0
新浙教版初二下数学第二章《一元二次方程》各节知识点及典型例题
新浙教版初二下数学第二章《一元二次方程》各节知识点及典型例题第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax2是，a是，bx是，b是，c 是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x2= -1B. 2x（x-1）+1=2x2C. x2+3x=2xD. ax2+bx+c-02、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b --的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。
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2+x-2y=2 2x 、只含有一个未知数 ② 3、未知数的最高次数是2次 ③x3+2x-4=0 4、二次项系数不为0 ④ax2+bx+c=0(a,b,c为常数)
⑤(a2+1)x2+3x+1=0(a为常数) ⑥x2+mx+n=0(m,n为常数)
⑦x2=0 ⑧18x2-52-1=0
★【认识一元二次方程】
2x2+20x-48
= （2x2+20x）-48
=2（x2+10x）-48
2+10x+52-52）-48 = 2 （ x 2
配方：x2+10x+52=24+5 （x+5）2=49 开平方： x+5=±7 x1=2，x2=-12
= 2[（ x+5)2-52]-48 =2(x+5)2-98
★【配方法的应用】
配方法
公式法
★【一元二次方程的解法】 ③(x+2)2=9 ④(x+2)2=(3x-1)2
解：x+2=±3 略
2-(3x-1)2 =0 解： (x+2) 解： x+2= ± (3x-1)
[(x+2)+(3x-1) ][(x+2)-(3x-1)]=0
(4x+1)(-2x+3)=0 X1=-0.25,x2=1.5
关于x的一元二次方程x2-3x+c=0 可转化为(x-b)2=0的形式，则c=
．
★【一元二次方程根的情况】
一元二次方程根的情况由 b2-4ac 的值决定
b2-4ac>0，有两个不相等的实数根
b2-4ac=0，有两个相等的实数根
b2-4ac<0，没有实数根 1、请你说出以下方程根的情况 ①2x2-3x+1=0; ②x2-4x+4=0; ③3x2-x+8=0
1 是x=1 ，则2013 ﹣a ﹣b的值是（A 则a= 。
）
B,2008 C,2014 D,2012 2A,2018 、若关于x的方程 x2-3x+q=0 的一个根 x1的值是2．
1 2 则另一根x2=______ ，q =_______.
整体思想
★【一元二次方程的解法】
因式分解法
开平方法
配方法
★【一元二次方程根的情况】
2、已知关于x的一元二次方程 （a-1）x2—2x+1=0有两个 不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A.a>2 B.a<2 C.a<2,且a≠1 D.a<-2
b2-4ac>0
a-1≠ 0 3、若|b-1|+ a-4 =0且一元二次方程 kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是
公式法
★【一元二次方程的解法】
①x2+4x=0 因式分解法
②(x+2)2=(3x-1)2
解： (x+2)2-(3x-1)2 =0 [(x+2)+(3x-1) ][(x+2)-(3x-1)]=0 (4x+1)(-2x+3)=0 X1=-0.25,x2=1.5
★【一元二次方程的解法】
因式分解法
开平方法
★【一元二次方程根的情况】 4、已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0 求证： 不论a取何实数,方程都有两个不相等的实数根．
解法1：b2-4ac=a2-4（a-2）>0
解法2：b2-4ac=a2-4（a-2）
=a2-4a+8
=（a-2）2+4 ≥ 4 >0
所以不论a取何实数,方程都有两个不相等的实 数根
3、关于x的一元二次方程
(m 1) x
m2 1
4x 2 0
m=
①m2+1=2
②m-1≠0
★【一元二次方程的根】
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做 一元二次方程的解（或根） 2+bx+5=0 2 3. 关于 x 的一元二次方程 ax （a≠0 ）的解 1、一元二次方程（a-1）x ﹣ax+a2﹣1=0 一个根为 0
★【一元二次方程的解法】
因式分解法
开平方法
配方法
公式法
★【一元二次方程的解法】
利用公式法解一元二次方程步骤
1、确定a，b，c
2、计算b2-4ac
3、利用求根公式求解
Байду номын сангаас
公式法
★【配方法的应用】
方程中运用配方法
2x2+20x-48=0
化1：x2+10x-24=0 移项： x2+10x=24
代数式中运用配方法
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》八年级下册
1、认识一元二次方程 2、一元二次方程的根 3、一元二次方程的解法 4、配方法的应用 5、一元二次方程根的情况 6、最值问题 7、一元二次方程与几何的结合
★【认识一元二次方程】 1 一元二次方程的特征： ①2x- -1=0 x 1、方程两边都是整式
略
开平方法
★【一元二次方程的解法】
因式分解法
开平方法
配方法
公式法
★【一元二次方程的解法】 ⑤2x2+20x-48=0
化1：x2+10x-24=0 两边同时加上 一次项系数的 一半的平方
移项： x2+10x=24
配方：x2+10x+52=24+52
（x+5）2=49
开平方： x+5=±7 x1=2，x2=-12 配方法
★【最值问题】
一个代数式的最值问题，需要利用配方法， 将其转化为 a（x+m）2+n 的形式
①当x为何值时，x2+4x+9有最小值，最小值为多少？
②当x为何值时，-2x2+4x-5有最大值，最大值为多少？