南水北调工程水指标的分配问题

摘要

南水北调中线工程建成后，有限的水资源需要我们合理分配利用，本文根据2000年的统计数据，用Excel软件计算处理数据，计算出每个城市具体分配的水量。

针对问题一，对生活用水、工业用水和服务综合业的用水的分配，我们首先按2000年的用水标准对各城市进行初始分配。对于剩余的水，采用简化后的公平席位分配Q值法进行再分配。

针对问题二，我们将所调用的工业用水和综合服务业用水产值总和作为目标函数，建立以总产值最大为目标的线性规划模型，限制各城市用于工业增加值和综合服务业的调水量在2000年平均值的50％~150%的范围内.利用matlab 程序求得城市获得最大经济效益的调水分配，并求得最大收益为7080亿元。

关键词：南水北调Excel Q值法线性规划经济效益

1、问题重述

南水北调中线工程建成后，预计2010年年调水量为110亿立方米，主要用来解决京、津、冀、豫四省（市）的沿线20个大中城市的生活用水、工业用水和综合服务业的用水，分配比例分别为40%、38%、22%。这样可以改善我国中部地区的生态环境和投资环境，推动经济发展。用水指标的分配总原则是：改善区域的缺水状况、提高城市的生活水平、促进经济发展、提高用水效益、改善城市环境。根据2000年的统计数据，各城市的人口数量差异大，基本状况和经济情况也不相同，缺水程度也不同（如下表）。

要研究的问题是：

（1）、请你综合考虑各种情况，给出2010年每个城市的调水分配指标，使得各城市的总用水情况尽量均衡；

（2）、由于各城市的基本状况和自然条件不同，对相同的供水量所产生的经济效益不同，请从经济效益的角度，给出调水指标的分配方案。但是，要注意到每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在短时间内无限制的增长。

2、问题分析

本题属于分配问题，分配的关键在于要适当照顾各城市经济发展的均衡，在此基础上再对各城市进行生活用水、工业和综合服务业用水的分配。

对于生活用水的分配，我们首先要考虑保障人民的生活用水，先按2000年人均用水量标准进行初始分配。对初始分配有剩余的情况，为了体现公平原则，采取公平席位分配中的Q值法进行再分配。但这里的Q值法要进行简化处理。

对工业用水和综合服务业用水的分配，。我们可以采用类似的方法进行分配。

对于问题二，既要考虑经济利益的最大化，又要适当照顾各城市经济发展的均衡，因此我们采用单目标线性规划的方法，将所调的工业用水和综合服务业用水产值总和作为目标函数，使其达到最大即可。约束条件中，工业用水和综合服务业用水总量均有限制，更重要的是要考虑各城市的均衡发展，在这里我们可以从2000年各城市用于工业增加值和综合服务业的调水量的平均值出发，限定该值得范围在50％~150%内，进而求得最大经济效益下各城市调水分配。

3、模型假设

1）原有各城市的供水量不变，运水过程中水量未曾损耗

2）各城市的经济相互独立，互不影响 3）不考虑水的循环利用

4）城市人口，工业产值及综合服务业年均产值增产值不变

4、符号说明

p 2000年第i 个城市的人口数

i x 2000年第i 个城市的人均生活用水量

i S 2010年第i 个城市生活用水初始分配量

2010i j 年万元工业新增产值总量 i i r 城市工业年增长率

2010i 2010i 2010x i ri n i o i o i i i i i s s s i y i z 年城市万元工业新增用水总量值年城市万元服务业新增用水总量值i 城市年综合服务人均产值分配城市生活用水总量指标分配城市工业用水总量指标分配城市综合服务业用水总量指标第年给种水的分配比例

5、模型的建立与求解

5.1问题一模型准备

5.1.1 Q 值法介绍

设A,B 两方人数分别为21,p p ；分别占有 1n 和2n 个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为

11n p 和 2

2n p

.则相对公平的席位分配方案为：

如果，A B 两方分别占有1n 和2n 席,当总席位增加1席时,应该分配给A 还是B.不妨设1122>p n p n ,即对A 不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：

I .当

1>+11p p

n n 时,这说明即使给A 增加1席,仍然对A 不公平,所以这一席显然应给A 方.

II.当

1<+11p p

n n 时,这说明给A 增加1席,变为对B 不公平,此时对B 的相对不公平值为:

211212

11-1 ++=

()

(,)B p n r n n p n （2）

III.当221

>+11p p

n n 时,这说明给B 增加1席,将对A 不公平,此时对A 的相对不公平值为:

121221

11-1 ++=

()

(,)A p n r n n p n （3）

因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果

121211

+<+(,)(,)B A r n n r n n （4）

则这1席给A 方,反之这1席给B 方. 由(2)(3)可知,(4)等价于

122

2211<

11++()

()p p n n n n （5）

不难证明上述的第I 种情况

1>+11p p

n n 也与(5)式等价,于是我们的结论是当(5)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方.

若记:

2, =1,2

+()

i i i i p Q i n n

则增加的1席给Q 值大的一方.

5.1.2 Q 值法简化应用说明

i p 表示2010年第i 个城市的总人口数，i x 表示2000第i 个城市的人均用水

量，所以第i 个城市的Q 值为：

2=i i i

p Q x

剩余水对第i 个城市的分配量=剩余水量20

i Q X

=∑

5.2 问题一模型的建立

5.2.1 生活用水分配模型

针对问题一，在分配供水时应充分满足用户的需求，故先从2000年新增人口生活用水新增总量为初始分配量，初步分配后发现有剩余，我们将剩余的水进行合理公平的分配。因此可采用席位分配模型，我们选取简化的Q 值分配模型，根据生活用水初始分配量=城市新增人口数*人均用水量，则有：

[*(1)]*x i i i i i

S p r p =+- (1,2...20)i =

先以2000年各城市人均生活用水为标准进行初始分配，计算结果如下表

由上表可知初始分配的水的总量为1.2597亿立方米。由于110亿立方米的水中有40%用于生活用水，即44亿立方米，所以经初始分配后剩余的水有42.7403亿立方米。根据简化Q 值模型公式计算各城市的Q 值如下表：

再根据模型计算剩余水的分配如下表所示：

所以各城市生活用水分配如下所示：

同理，对于工业用水及综合服务业用水的分配我们可以采用类似的方法进行分配，最终得到各城市三种用水的分配方案如下表所示

5.3问题二的模型建立

5.3.1工业用水及综合服务业用水的分配模型

对于问题二，我们要从经济效益的角度考虑工业用水和综合服务业用水的分配，同时注意到每个城市工业和综合服务业发展受到产业规模限制，不可能在短时间内无限制地增长，故对每个城市的调水指标都应有上下限的约束，我们指定实际用水可调度量可在该城市用水需求量的50％~150%的范围内波动，使得各大城市在工业和综合服务业所产生的经济效益最大,于是以工业和服务业总经济效益最大为目标得到目标函数为

2001111max i i

i i i

y z G s s ===+∑∑

从而得到总经济效益最大的线性规划数学模型为：

2001

111max i i

i i i

y z Q s s ===+∑∑

S,t

120

000

,0.38*1100.22*110

0.5* 1.5**0.5* 1.5***0(1,2^20)

i i

i i i i i y

y N N y i z O O

z s p y z i ====≤

≤≤

≤≤=∑∑

根据已有的条件限制，我们利用matlab 软件计算，得到如下的分配结果（表）（程序见附录）：

求得2010年各城市获得工业经济效益为：995亿元，服务经济效益为：6085亿元，，并求得最大收益为7080亿元。

6、模型的推广与评价

6.1模型的推广

本题属于规划问题，建立的是单目标线性规划模型，这个模型不仅仅适用于水的资源配置问题，它对规划类问题的求解都可以起到指导作用。

通过资源配置最优化为杠杆平衡它们之间的分配关系。决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中，可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解。

本模型涉及预测，资源调度分配及合理优化使效益最大等问题，可在于发电厂的电力分配，公司生产销售及资源调度优化配置等领域有着广泛的应用。

6.2模型的评价

1)在生活用水公平分配模型中我们采用了简化的Q值法，对初始分配后剩余的水按Q值比例进行分配,达到了公平的效果。但模型中缺乏对简化Q值法合理性的讨论，这使得简化方法应用的根据不足。

2)在工业用水和综合服务业用水的分配模型中，我们采用了单目标线性规划的方法。并且充分利用了有限的水资源创造最大的经济效益，不过在分配水资源时没有考虑到每个城市之间的公平性问题。

7、参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模.北京：高等教育出版社，2010.

[2]刁在筠，刘桂真，宿洁，马建华.运筹学.高等教育出版社.2010.

8.附录

8.1分配给工业用水的最优解的程序

c=[-1/143;-1/72;-1/102;-1/96;-1/110;-1/120;-1/86;-1/131;-1/126;-1/186;-1/210;-1/170;-1/205;-1 /180;-1/88;-1/210;-1/189;-1/210;-1/200;-1/180];

r2=0.236088;

v1=4.4855;

v2=19.8057;

v3=0.4956;

v4=1.6904;

v5=2.5407;

v6=0.4053;

v7=4.1766;

v8=0.3394;

v9=4.5311;

v10=0.0275;

v11=0.0039;

v12=0.0357;

v13=0.0136;

v14=0.0134;

v15=2.8894;

v16=0.0201;

v17=0.0407;

v18=0.0356;

v19=0.0201;

v20=0.2050;

a=[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1;];

b=[1.5*r2*v1;1.5*r2*v2;1.5*r2*v3;1.5*r2*v4;1.5*r2*v5;1.5*r2*v6;1.5*r2*v7;1.5*r2*v8;

1.5*r2*v9;1.5*r2*v10;1.5*r2*v11;1.5*r2*v12;1.5*r2*v13;1.5*r2*v14;1.5*r2*v15;

1.5*r2*v16;1.5*r2*v17;1.5*r2*v18;1.5*r2*v19;1.5*r2*v20;-0.5*r2*v1;-0.5*r2*v2;

-0.5*r2*v3;-0.5*r2*v4;-0.5*r2*v5;-0.5*r2*v6;-0.5*r2*v7;-0.5*r2*v8;-0.5*r2*v9;

-0.5*r2*v10;-0.5*r2*v11;-0.5*r2*v12;-0.5*r2*v13;-0.5*r2*v14;

-0.5*r2*v15;-0.5*r2*v16;-0.5*r2*v17;-0.5*r2*v18;-0.5*r2*v19;-0.5*r2*v20];

aeq=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];

beq=[41.8];

[x,fval,exitflag,output]=linprog(c,a,b,aeq,beq,[],[])

8.2分配给综合服务业用水的最优解的程序

c=[-1/160;-1/140;-1/180;-1/360;-1/315;-1/318;-1/235;-1/315;-1/320;-1/310;-1/320;

-1/352;-1/280; -1/310;-1/220;-1/320;-1/310;-1/340;-1/280;-1/320];

v1=13.6310;

v2=7.6323;

v3=0.4132;

v4=0.1044;

v5=0.0637;

v6=0.0439;

v7=0.7276;

v8=0.0573;

v9=0.1023;

v10=0.0628;

v11=0.0823;

v12=0.0557;

v13=0.0818;

v14=0.0521;

v15=0.0897;

v16=0.0432;

v17=0.0436;

v18=0.0308;

v19=0.0511;

v20=0.0248;