2017-2018年江西省南昌二中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第七次月考(期末)数学(理)试卷及答案
南昌二中2017～2018学年度上学期第七次考试高三数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分。
每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．已知集合2{|4},{|1}A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值 范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B.C. D.2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.95B.115C.94D.1143．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件;②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 3log x 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个5．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4πB.8πC.38πD.58π6．如图，在△ABC 中， 21,,33AD AC BP BD ==u u u v u u u v u u u v u u u v 若AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ,则λμ的值为( )A. －3B. 3C. 2D. －27．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A. 94- B.94C.274D. 274-8．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）A. k ≤ 14?B. k ≤ 15?C. k ≤ 16?D. k ≤ 17?9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小 的面的面积为（ ） A. 8B. 4C. 43D. 4210．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60D ．10011．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =u u u u r u u u u r,则该双曲线的离心率为（ ）D. 212．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()1a f =，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1a f =， 则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．设n= 26sinx π⎰dx ，则二项式22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为 ________．14．已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+-≥113337y x y x x y 则23412x y z -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为__________．15．已知椭圆22194x y +=与x 轴交于,A B 两点，过椭圆上一点()00,P x y （P 不与,A B 重合）的切线l 的方程为00194x x y y +=，过点,A B 且垂直于x 轴垂线分别与l 交于,C D 两点，设CB AD 、交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________． 16．有下列命题：①等比数列{}n a 中，前n 项和为n s ，公比为q ，则n n n n n s s s s s 232,,--仍然是等比数列,其公比为n q ；②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是π34cm 3；③若数列{}n a 是正项数列，且221n a a a n =+++Λn 3+()*∈N n ，则n n n a a a n 62132221+=++++Λ； ④在ABC ∆中，1,2,1200===∠AC AB BAC ,D 是边BC 上的一点（包括端点），则的取值范围是[]2,5-.其中正确命题的序号是_____（填序号）三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题12分）已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ， 且1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.18．（本小题12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位： cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[)170,180（单位： cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[)180,175（单位： cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题12分）如图，在等腰梯形ABCD 中， 060ABC ∠=，上底2CD =，下底4AB =，点E 为下底AB 的中点，现将该梯形中的三角形BEC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B AECD -.（1）在四棱锥B AECD -中，求证： AD BD ⊥；（2）若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为0120，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值.20．（本小题12分）设抛物线()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为226,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ=u u u v u u u v.（1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）若1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求PQ 的取值范围.21．（本小题12分）已知函数()2ln f x ax x x x =+-， ()2xg x e x =-（e 为自然对数的底数）．（1）当[)0,x ∈+∞时，求()g x 的最小值； （2）若函数()f x 恰有两个不同极值点12,x x ．①求a 的取值范围；②求证： 212x x e ≥．四、请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为()0αα≠．以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且2MA MB =，求直线l 的斜率k ．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =++--， (1)当m ＝5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于的不等式f(x)≥2的解集是R ，求m 的取值范围．南昌二中2017～2018学年度上学期第七次考试高三数学（理）试卷参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CACBBBCBDCAD二、填空题（每小题5分，共20分）13.60 14．164． 15. ()22139x y x +=≠± 16. ②③④ 一、单选题1．已知集合2{|4},{|1}A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：集合2{|4}{|22}A x y x x x ==-=-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C. 考点：集合间的关系.2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.95 B. 115 C. 94 D. 114【答案】A【解析】∵()()()424m 2n 4235m ni i n m i i +-=++-=+，∴425{ 423m n n m +=-=，解得： 710{ 1110m n ==，∴m n +=95故选：A3．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件; ②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】①已知,a b ∈R ,“1a >且1b >”能够推出“1ab >”,“1ab >”不能推出“1ab >”,本选项正确;②已知平面向量,a b , “1,1>>a b ”不能推出“1+>a b ”,本选项不正确; ③已知,a b ∈R ,“221a b +≥”是“1+≥a b ”的充分不必要条件,正确; ④命题:P “0x ∃∈R ,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x ∀∈R ,都有e 1x x <+或ln 1x x >-”本选项不正确.正确的个数为2. 故选：C4．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)-3log x 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个 【答案】B【解析】因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时， ()f x x =，所以当[]1,0x ∈-时， ()f x x =-，函数()3log y f x x =-的零点等价于函数()y f x =与3log y x =的交点个数，在同一坐标系中，画出()y f x =的图象与3log y x =的图象，如上图所示，显然()y f x =的图象与3log y x =的图象有4个交点。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期第三次月考数学(理)试题
南昌二中2017—2018学年度上学期第三次月考高二数学（理）试卷命题人：周启新 审题人：谭 佳一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1. 已知命题:p 0x ∀≤，1xe ≤，则p ⌝为（ ） A. 000,1x x e∃≤≤ B. 000,1x x e ∃≤>C. 000,1x x e∃>≤ D. 000,1x x e ∃>>2. sin 2x 的导函数为（ ） A. cos2x B. 2cos2xC. sin 4xD. cos4x3.函数21()ln 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A. (0,)+∞ B. [1,0)[1,)-+∞ C. [1,)+∞ D. [1,0)-和[1,)+∞4. 在极坐标系中，极点关于直线cos sin 10ρθρθ-+=对称的点的极坐标为（ ）A. 3)4πB. 3)4π-C. )4πD. )4π-5. 设P 为曲线2:2C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为30[44πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦，，），则点P 横坐标的取值范围为（ ） A. 1[,0]2-B. [1,0]-C. [0,1]D. 1[,1]26. 设命题p ：a R ∃∈，直线210x y +-=与直线10x ay ++=垂直，命题q ：若0()0f x ，则0x 是函数()f x 的极值点.则下列命题为真命题的是（ ） A. q p ∧ B. ()p q ⌝∨C. )(q p ⌝∧D. )()(q p ⌝∧⌝7. 若关于x 的方程21x bx 有两个不同的实数解，则实数b 的取值范围是（ ）A. (2,2) B. (1,1)C.D.8. 对任意正实数x ，不等式ln 1x x a 恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 1aB. 2aC. 1aD. 3a9. 设,,A B C 是抛物线24y x =上的三点，若ABC ∆的重心恰好是该抛物线的焦点F ，则FA FB FC ++=（ ）A. 2B. 4C. 6D. 810.点P 是曲线xy e x =+上的点，Q 是直线21y x =-上的点，则||PQ 的最小值为（ ）D.11. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,2)B. (1,2]C. [2,)+∞D. (2,)+∞12. 若函数()(2)ln xf x a x e x x =-+-存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a 的取值范围为（ ） A. 2211(,)e e - B. 11(,)e e-C. 21(,0]e -D. 1(,0]e-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. “若220x y +=，则x ，y 全为零”的否命题是________________________； 14. 若函数()24ln b f x ax x x =-+在1x =与13x =处都取得极值，则a b +=________； 15. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 16. 设过曲线()xf x e x =+上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （本小题满分10分）给定两个命题,p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+，直线l的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(I)求圆心C 的极坐标； (II)求△P AB 面积的最大值．19．（本小题满分12分）双曲线22122:1x y C a b -=（00a b >>，）的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线22:2C y px =(0)p >的准线过1F 且与双曲线1C 的实轴垂直，若抛物线2C 上的任意一点到2F 的距离比它到y 轴的距离大3，过2F 的直线与双曲线1C 的右支相交于A 、B 两点，若弦长||AB 等于抛物线2C 的通径长的2倍，且1ABF ∆的周长为56，求双曲线1C 和抛物线2C 的方程.20．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（I ）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（II ）当0a =时，是否存在正实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然对数底数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+= >>其左、右焦点分别为1F 、2F ，P为椭圆C 上的动点，且12||||PF PF ⋅的最大值为16．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当P 在第一象限时，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a x=+-+∈R . (Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )xf x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.南昌二中2017—2018学年度上学期第三次月考高二数学（理）参考答案一、选择题BBCAB CDACB CD 二、填空题13. “若220x y +≠，则x ，y 不全为零”； 14.52-15.51[,)8+∞ 16. [1,0]- 三、解答题17．解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔00a a 或40<≤⇔a ；关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ；……………………4分 因为命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 一真一假。
2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版
南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，若0()12f x '=，则0x =（ ）A.2B ． 2-C ．2±D ．2．命题“对任意R x ∈,都有22019x ≥”的否定是（ ）A. 对任意R x ∈，都有22019x <B. 不存在R x ∈，使得22019x <C. 存在R x ∈0，使得202019x ≥D. 存在R x ∈0，使得202019x <3．复数(1)(2)z i i =++，则其对应复平面上的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．由直线6x π=-，6x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 5．已知函数2()xf x e x -=+，[1,3]x ∈，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最大值为13e +B ．函数()f x 的最小值为13e+ C ．函数()f x 的最大值为3 D ．函数()f x 的最小值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.8．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A.()11,2-B.(10,2)C.(10,2]D. (]11,2-9. 已知函数2()1x f x e x x =+++与()23g x x =-，P 、Q 分别是函数()f x 、()g x 图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A B C D ．10．下列命题中，真命题是（ ）A ．设12,z z C ∈，则12z z +为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数；B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C ．“若两直线12l l ⊥，则它们的斜率之积等于1-”的逆命题；D ．()f x 是R 上的可导函数，“若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=”的否命题．11.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点2F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，若||||2||OA OB AB +=，且2F 在线段AB 上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C. 2 D 12．已知函数20()(2)xt f x t t e dt ⎡⎤=-⎣⎦⎰，则()f x 在()0,+∞的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x xx f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理可得：2019()f x = .14．4322x dx ππ- -+=⎰⎰．15．已知直线1:43110l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．16．已知[1,2)a ∀∈，0(0,1]x ∃∈，使得00ln 22aax ax e m +>++，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[1,2]x ∈上单调递减；命题:q 曲线22126x y m m-=--为双曲线． （Ⅰ）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19．(本小题满分12分)已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点． （Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥），其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且1F AB ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记12AF F ∆与12BF F ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．22. (本小题满分12分)已知函数()(2)(ln ln )f x ax a x =--（其中0x >，0a >），记函数()f x 的导函数为()()g x f x '=．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()0f x ≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．20191xx + 14．8π 15．3 16. (,e 1)-∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解析】（Ⅰ）若p 为真命题，2()320f x x mx '=-≤在[1,2]x ∈恒成立，即32m x ≥在[1,2]x ∈恒成立，∵32x 在[1,2]x ∈的最大值是3，∴3m ≥①若q 为真命题，则(2)(6)0m m -->，解得26m <<，②若“p 且q ”为真命题，即p ，q 均为真命题，所以326m m ≥⎧⎨<<⎩，解得36m ≤<，综上所述，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5分 （Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，326m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得6m ≥，当p 假q 真时，326m m <⎧⎨<<⎩，解得23m <<，综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)[6,)+∞．………………………………………10分18．【解析】（Ⅰ）2()31f x x '=+，所以(2)13f '=………………………………………3分所以所求的切线方程为813(2)y x -=-，即13180x y --=………………………6分（Ⅱ）设切点为3000,2)x x x +-（，则200()31f x x '=+…………………………………7分所以切线方程为()()320000231()y x x x x x -+-=+- ……………………………9分 因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，…………………………………………………………11分 所以(1)4f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为(1)4f -=-，切点为(1,4)-- ………12分 19． 【解析】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<<………………6分 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =，因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<．………………6分（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． ………………12分20．【解析】（Ⅰ）求导函数可得22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=+=++++． ∵()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f '=，∴2204(1)a a -=+，解得1a =；…………4分经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意，所以1a = …………5分（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++， ∵0x ≥，0a >，∴10ax +>，10x +>．当2a ≥时，在区间[0,)+∞上()0f x '≥，()f x 递增，()f x 的最小值为(0)1f =．…8分当02a <<时，由()0f x '>，解得x >；由()0f x '<，解得0x ≤<．∴()f x的单调减区间为，单调增区间为)+∞．…………10分 于是，()f x在x =处取得最小值(0)1f f <=，不合． 综上可知，若f （x ）的最小值为1，则实数a 的取值范围是[2,)+∞．…………12分 21．【解析】（Ⅰ）因为1(1,0)F -为椭圆C 的焦点，所以1c =，由椭圆的定义知，1F AB ∆的周长为1212(||||)(||||)2248AF AF BF BF a a a +++=+==，解得2a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，…………7分 12121212216||||(||||)234m S S F F y y y y m -=-=+=+，当0m =时，120S S -=， 当0m ≠时，1226||64343||||m S S m m m -==≤=++，（当且仅当3m =±12S S -的最大值为2．…………12分 22．【解析】（Ⅰ）12()()(ln ln )(2)()ln ln g x f x a a x ax a a a x a xx'==-+--=--+， ∴22()a g x x x '=--，∵0x >，0a >，∴22()0a g x x x'=--<恒成立， ∴()g x 的单调减区间为(0,)+∞，无递增区间；………………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()0g x =在(0,)+∞上必存在实数根，不妨记0()0g x =，即002ln ln 0a a a x a x --+=，可得002ln ln 1x a ax =-+………（*）当0(0,)x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 所以max 000()()(2)(ln ln )f x f x ax a x ==--，………………8分 把（*）式代入可得max 000024()(2)(1)4f x ax ax ax ax =--=+-， 依题意max 0004()()40f x f x ax ax ==+-≤恒成立，又由基本不等式有00440ax ax +-≥，当且仅当0042ax ax ==时等号成立，解得02ax =，所以02x a =．代入（*）式得，2lnln a a =，所以2a a=，又∵0a >，所以解得a =综上所述，存在实数a =()0f x ≤对任意正实数x 恒成立．………………12分解法二：要使(2)(ln ln )0ax a x --≤对(0,)x ∀∈+∞恒成立，①20ax -≥即2x a ≥时，ln ln a x ≤，解得x a ≥，所以2max{,}x a a ≥， ②20ax -≤即2x a ≤时，ln ln a x ≥，解得x a ≤，所以2min{,}x a a≤，依题意可知，①、②应同时成立，则2a a=，又∵0a >，所以解得a =。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期期末考试化学试卷及答案
南昌二中2017～2018学年度上学期期末考试高二化学试卷命题人： 审题人：可能用到的相对原子质量：H ：1 N ：14 C ：12 O ：16 S ：32 Mg ：24 Cl ：35.5 Cu ：64 Fe ：56第Ⅰ卷 选择题一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共计48分） 1．下列各式中，属于正确的电离方程式的是( )A. HCO 3- + H 2O ⇌ H 2CO 3 + OH -B.HCO 3- ＋OH - = H 2O + CO 32-C. NH 3 + H + = NH 4+D.NH 3·H 2O ⇌ NH 4+ + OH -2.下列有关电解质溶液的说法正确的是( )A ．向0.1mol 1L -⋅CH 3COOH 溶液中加入少量水，溶液中3(H )(CH COOH)c c +减小B ．将CH 3COONa 溶液从20℃升温至30℃，溶液中33(CH COO )(CH COOH)(OH )c c c --⋅增大C ．向盐酸中加入氨水至中性，溶液中4(NH )1(Cl )c c +-> D ．向AgCl 、AgBr 的饱和溶液中加入少量AgNO 3，溶液中(Cl )(Br )c c --不变3．下列事实对应的离子方程式或电极反应式书写正确的是( )A ．用石墨作电极电解CuSO 4溶液：2Cu 2＋＋2H 2O=====通电2Cu ＋O 2↑＋4H ＋B ．碳酸钠溶液显碱性：CO 2－3＋2H 2O⇌ H 2CO 3＋2OH －C ．钢铁发生吸氧腐蚀时，铁作负极被氧化：Fe －3e －===Fe 3＋D ．在强碱溶液中与NaClO 反应生成Fe(OH)3反应生成Na 2FeO 4： 3ClO －＋2Fe(OH)3===2FeO 2－4＋3Cl －＋H 2O ＋4H ＋4. 在一密闭容器中，充入一定量的反应物A ，反应达平衡后，保持温度不变，将容器体积缩到一半，当达到新的平衡时，B 的浓度是原来的1.6倍，则下列判断正确的是( )A. B. 物质A的转化率降低C. 物质B的质量增加D. 平衡向正反应方向移动了5. 烷烃C7H16所有的同分异构体中，含有三个甲基的同分异构体有A．2种B．3种C．4种D．5种6．镍氢电池(NiMH)目前已经成为混合动力汽车的一种主要电池类型。
江西省南昌二中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．直线tan 706π+-=x y 的倾斜角是（ ）A ．π6-B ．π6C ．2π3 D ．5π62．焦点在x 轴上的椭圆221(0)3+=>x y m m的焦距为 ）A. 11B.33C. 3．直线(1)10+-+=k x ky （k R ∈）与圆22(2)(1)3++-=x y 的位置关系为（ ） A. 相交B. 相切C. 相离D. 与k 的值有关4．已知直线1:30-+=l mx y 与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22=-+l y x 垂直，则=m （ ） A. 12-B.12C. -2D. 25．点(0,2)k 为圆22:8280+-+-=C x y x y 上一点，过点K 作圆切线为,l l 与'l ：420-+=x ay 平行，则'l 与l 之间的距离是（ ） A.85B.45C.285D.1256．曲线()2412≤-+=x x y 与直线()42+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎝⎛43125， B ．⎪⎭⎫⎝⎛43125， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4331，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1250，7．若圆22:(1)(2)25-++=C x y 上有四个不同的点到直线4:33=--al y x 的距离为2，则a 的取值范围是( )A. (－12，8)B. (－8，12)C. (－13，17)D. (－17，13)8．两圆222240+++-=x y px p 和2224140+--+=x y qy q 恰有三条公切线，若∈p R ， ∈q R ，且0≠pq ，则2211+p q 的最小值为( ) A. 49B.109C. 1D. 39．已知圆22:230C x y x +--=，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C 于点A ，B ，D ，E ，则四边形ABDE面积的最大值为( )A ．4 3B ．7C ．4 2D ．410. 一束光线从点(1,1)-P 出发，经x 轴反射到圆22:x 46120C y x y +--+=上的最短路程是( )A ．4B ．5C ．1D ．1112,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（ ）12．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,则下列命题中是真命题的个数是 ①存在一个圆与所有直线不相交 ②存在一个圆与所有直线相切③M 中所有直线均经过一个定点 ④存在定点P 不在M 中的任一条直线上⑤M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．经过点()4,2A ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一 般式为__________．14．椭圆22192y x +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为__________ 15．直线1:l y x a=+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=_______16．已知椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1，A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于A 、B 的动点，直线x ＝4与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点；若D(7，0)，则过D 、M 、N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．） 17．(本小题10分)已知∆MNQ 的三个顶点分别为()2,3M ,()1,2--N ，()3,4-Q ，求 （1）NQ 边上的中线MD 所在的直线方程的一般式；（2）求∆MNQ 的面积18. (本小题12分)已知直线l 过点(21)，且与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，0120=∠AOB .求直线AB 方程的一般式.19．(本小题12分)求与圆M ：x 2+y 2= 2x 外切,并且与直线x+3y=0相切于点Q(3,－3)的圆的方程的标准式.20．(本小题12分)已知直线l ： ()()12530k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和点P ，且圆心在直线210x y -+=上.（1）求圆C 的方程的一般式；（2）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点()0,M m ，使得PMQ 为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21．(本小题10分)已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点,A B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.22. (本小题12分)已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b ,四点1234((1,1),p (0,1)P ---- 中恰有三点在椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程.（2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD x ⊥轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且()()0AB EB DB AD -⋅+=，求证： B ， D ， E 三点共线.南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷1—6 DCCBBA 7—12 CCBADC 13、3100+-=x y 或20-=x y 14、120015、2 16、(1，0)17、解：（1）由已知得BC 中点D 的坐标为(2,1)D -， ∴中线AD 所在直线的方程是1(2)312(2)y x ---=---，即240x y -+=（2）∵BC ==直线BC 的方程是350x y ++=，点A 到直线BC的距离是d==∴△ABC 的面积是1142S BC d =⋅=． 18、解：由2r=，0120=∠AOB ，得圆心到直线距离为1⇒32||=AB设AB 所在直线方程为(2)1y k x =-+即210kx y k --+=，10k =⇒=或43k =， 故所求直线方程：1y =或4350x y --=19、【解析】设所求圆的方程为C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为C(a,b),∵圆C 与直线x+3y=0相切于点Q(3,－3)∴CQ⊥直线x+3y=0, ∴K CQ =33-+a b 即b= 343-a ,r= |CQ|=22)3()3(++-b a =2|a-3|, 由于圆C 与圆M 外切,则有|CM|=22)1(b a +-=1+r=1+2|a-3|, 即|3|21)4(3)1(22-+=-+-a a a（1）当a≥3时,得a=4,b=0,r=2 .圆的方程为(x －4)2+y 2= 4 ；（2）当a<3时,可得a=0,b=－43,r=6, 圆的方程为x 2+ (y+43)2=36 ∴所求圆的方程为(x －4)2+y 2= 4或 x 2+ (y+43)2=36 .20、【解析】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由条件得1640{913021022D F D E F D E ++=++++=⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14{840D E F =-=-=.所以圆C 的方程为22148400x y x y +--+=.（2）圆C 的标准方程为()()227425x y -+-=， 413734CP k -==-， 设点()3,1P 关于圆心()7,4的对称点为()00,x y ，则有00314{18x y +=+=，解得011x =，07y =，故点Q 的坐标为()11,7.因为M 在圆外，所以点M 不能作为直角三角形的顶点， 若点P 为直角三角形的顶点，则有131034m -⋅=--， 5m =， 若点Q 是直角三角形的顶点，则有7310114m -⋅=--， 653m =， 综上， 5m =或653. 21、解析：（1）圆()22221:65034C x y x x y +-+=⇒-+=∴圆心坐标为()3,0设(),M x y ，则可知1C M AB ⊥1113C M ABy y k k x x ∴⋅=-⇒⋅=--，整理可得：223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭当动直线与圆相切时，设直线方程：y kx =则()22226501650x y x k x x y kx⎧+-+=⇒+-+=⎨=⎩ ()2243620105k k ∴∆=-+=⇒=∴切点的横坐标为2165213x k =⋅=+ 由圆的性质可得：M 横坐标的取值范围为5,33⎛⎤ ⎥⎝⎦所以轨迹方程为22393,,3245x y x ⎛⎫⎛⎤-+=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦（2）由（1）可得曲线C 为圆22395,,3243x y x ⎛⎫⎛⎤-+=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的一部分圆弧EF （不包括,E F ），其中55,,,3333E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭直线():4L y k x =-过定点()4,0① 当直线与圆相切时：3324C l d k -==⇒=±② 当直线与圆不相切时，可得03543DEk -==-，05743DF k ⎛- ⎝⎭==-数形结合可得：当77k ⎡∈-⎢⎣⎦时，直线与圆有一个交点综上所述：33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ 时，直线L 与曲线C 只有一个交点 22、解析：（1）椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）证明：设()11,Ax y ， ()22,E x y ，则()11,B x y --， ()1,0D x .因为点A ， E 都在椭圆C 上，所以2211222222,22,x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 所以()()1212x x x x -++ ()()121220y y y y -+=， 即()121212122y y x xx x y y -+=--+.又()()AB EB DB AD -⋅+0AE AB =⋅= ，所以1AB AE k k ⋅=-，即1121121y y y x x x -⋅=--，所以()11211212y x x x y y +⋅=+所以()1211122y y y x x x +=+ 又1211212BE BD y y y k k x x x +-=-=+ 121212120y y y yx x x x ++-=++，所以BE BD k k =，所以B ， D ， E 三点共线.。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题(考试卷)
南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 直线tan706x y π+-=的倾斜角是（ ） A. π6- B.π6 C. 2π3 D. 5π62. 焦点在x 轴上的椭圆221(0)3x y m m+=>的焦距为 ）A. 11B. 33C.D. 3. 直线(1)10k x ky +-+=（k ∈R ）与圆22(2)(1)3x y ++-=的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 与k 的值有关 4. 已知直线1:30l mx y -+=与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22l y x =-+垂直，则m =（ ） A. 12- B. 12 C. -2D. 2 5. 点(0,2)k 为圆22:8280C x y x y +-+-=上一点，过点K 作圆切线为,l l 与'l ：420x ay -+=平行，则'l 与l 之间的距离是（ ） A. 85 B. 45 C. 285 D. 1256. 曲线1(2)y x =≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ） A. 53(,]124 B. 53(,)124 C. 13(,)34 D. 5(0,)127. 若圆22:(1)(2)25C x y -++=上有四个不同的点到直线4:33a l y x =--的距离为2，则a 的取值范围是( )A. (－12，8)B. (－8，12)C. (－13，17)D. (－17，13) 8. 两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +最小值为( )A. 49B. 109C. 1D. 39. 已知圆22:230C x y x +--=，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C 于点A ，B ，D ，E ，则四边形ABDE 面积的最大值为( )A. 4B. 7C. 4D. 410. 一束光线从点()1,1A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路程是 A. 321 B. 26 C. 4 D. 511. 椭圆221259x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF 的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（ ）A. 5B. 103C. 203D. 5212. 设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,则下列命题中是真命题的个数是①存在一个圆与所有直线不相交②存在一个圆与所有直线相切③M 中所有直线均经过一个定点④存在定点P 不在M 中的任一条直线上⑤M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等A. 1B. 2C. 3D. 4填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 经过点()4,2A ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为__________．14. 22192x y +=焦点为F 1、F 2，点Р在椭圆上，若|PF 1|=4，则∠F 1PF 2的大小为_________. 15. 直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += .16. 已知椭圆C 的方程为＋＝1，A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于A 、B 的动点，直线x ＝4与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点；若D(7，0)，则过D 、M 、N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17. 已知MNQ ∆的三个顶点分别为()2,3M ,()1,2N --，()3,4-Q ，求（1）NQ 边上的中线MD 所在的直线方程的一般式；（2）求MNQ ∆的面积18. 已知直线l 过点(21)，且与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，0120AOB ∠=.求直线AB 方程的一般式.19. 求与圆A:2220x y x +-=外切且与直线l:30x y +=相切于点(3,3M -的圆B 的方程．20. 已知直线:(1)2530()l k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点(4,0)A 和点P ，且圆心直线-2 10x y +=上.（1）求定点P 的坐标与圆C 的方程；（2）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点(0, )M m ，使得PMQ ∆为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21. 已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,四点1234((1,1),(0,1)P P p p ---- 中恰有三点在椭圆C 上 （1）求椭圆C 方程. （2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD x ⊥轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且()*()0AB EB DB AD -+= 求证：B ， D E ， 三点共线.。
江西省南昌二中高二上期末数学试卷理科
2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题：“∃x0＞0，使2（x0﹣a）＞1”，这个命题的否定是（）A．∀x＞0，使2x（x﹣a）＞1 B．∀x＞0，使2x（x﹣a）≤1C．∀x≤0，使2x（x﹣a）≤1 D．∀x≤0，使2x（x﹣a）＞12．“cosα=0”是“sinα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知直线（t为参数）上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|等于（）A．|t1+t2|B．|t1﹣t2|C． |t1﹣t2|D．4．用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．5．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．4B．4 C．2D．26．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点且∠AOB=120°则r=（）A．1 B．2 C．D．7．过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．8．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]9．函数在R上不是单调增函数则b范围为（）A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）10．设函数则使f（2x）＞f（x﹣1）成立的x范围为（）A．B．C．D．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1•k2的值为（）A．2 B．3 C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为．14．定积分|sinx﹣cosx|dx的值是．15．设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|1+2|=||，则=．16．数列{a n}的前n项和为S n．若数列{a n}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，…，，……若存在正整数k，使S k＜10，S k＞10，则a k=．﹣1三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．18．已知，试用反证法证明：a，b，c中至少有一个不小于1．19．给定直线l：y=2x﹣16，抛物线G：y2=ax（a＞0）（1）当抛物线G的焦点在直线l上时，求a的值；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线G上，且点A的纵坐标y A=8，△ABC的重心恰是抛物线G的焦点F，求直线BC的方程．20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意不相等的x1，x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）≥4|x1﹣x2|成立，求非负实数a的取值范围．21．已知椭圆+=1（a＞b＞0），其右顶点为A（2，0），上、下顶点分别为B1，B2．直线A B2的斜率为，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于M，N两点（M，N均在y轴右侧）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设四边形M N B1 B2面积为S，求S的取值范围．22．设函数f（x）=ax+（a，b∈R），若f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1．（Ⅰ）用a表示b；（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣f（x），若g（x）≤﹣1对定义域内的x恒成立，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）对任意的θ∈[0，），证明：g（1﹣sinθ）≤g（1+sinθ）．2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题：“∃x0＞0，使2（x0﹣a）＞1”，这个命题的否定是（）A．∀x＞0，使2x（x﹣a）＞1 B．∀x＞0，使2x（x﹣a）≤1C．∀x≤0，使2x（x﹣a）≤1 D．∀x≤0，使2x（x﹣a）＞1【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题的否定为∀x＞0，使2x（x ﹣a）≤1，故选：B．2．“cosα=0”是“sinα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cosα=0可得α=kπ+（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：cosα=0可得α=kπ+（k∈Z），∴sinα=±1，反之成立，∴“cosα=0”是“sinα=1”的必要不充分条件．故选：B．3．已知直线（t为参数）上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|等于（）A．|t1+t2|B．|t1﹣t2|C． |t1﹣t2|D．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】设A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+at2，y0+bt2），利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：设A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+at2，y0+bt2），则|AB|==•|t1﹣t2|．故选：C．4．用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．【考点】数学归纳法．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故选B．5．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．4B．4 C．2D．2【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意首先求出第一象限的交点，然后利用定积分表示围成的图形的面积，然后计算即可．【解答】解：先根据题意画出图形，两个图形在第一象限的交点为（2，8），所以曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|02=8﹣4=4∴曲封闭图形的面积是4，故选B．6．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点且∠AOB=120°则r=（）A．1 B．2 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，即=r，解得r=2，故选B．7．过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．【解答】解：解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=；故选：D．8．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选B．9．函数在R上不是单调增函数则b范围为（）A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】三次函数y=x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．【解答】解：∵y=x3+bx2+（b+2）x+3，∴y′=x2+2bx+b+2，∵f（x）是R上的单调增函数，∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，∴△≤0，即b2﹣b﹣2≤0，则b的取值是﹣1≤b≤2．∴y=x3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调增函数，实数b取值范围是b＜﹣1或b＞2，故选：D．10．设函数则使f（2x）＞f（x﹣1）成立的x范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|2x|＞|x ﹣1|，解绝对值不等式即可．【解答】解：函数，定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（2x）＞f（x﹣1）成立，∴|2x|＞|x﹣1|，∴4x2＞（x﹣1）2，∴（3x﹣1）（x+1）＞0∴x的范围为，故选：A．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1•k2的值为（）A．2 B．3 C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质．【分析】设出M、A、B，表示出k1•k2，M、A、B代入双曲线方程并化简，代入双曲线的离心率乘积，求出k1•k2的值．【解答】解：因为过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，所以A、B关于原点对称，设M（p，q），A（﹣p，﹣q），B（s，t），则有k1•k2==，，，两式相等得：，即，=，k1•k2====22﹣1=3．故选B．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g （a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2 +f（﹣x）﹣x2 =0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为x2+y2=0或x﹣1=0．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出．【解答】解：由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0，ρ=0表示原点O（0，0）．由ρcosθ﹣1=0，化为x﹣1=0．综上可知：所求直角坐标方程为x2+y2=0或x﹣1=0．14．定积分|sinx﹣cosx|dx的值是2．【考点】定积分．【分析】由题意可得|sinx﹣cosx|dx=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解： |sinx﹣cosx|dx=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx，=（sinx+cosx）|+（﹣cosx﹣sinx）|，=[（sin+cos）﹣（sin0+cos0）]﹣[（sinπ+cosπ﹣（sin+cos）]，=（﹣1）﹣（﹣1﹣），=2，故答案为：2．15．设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|1+2|=||，则=．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果．【解答】解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距都是c．并设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m﹣n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1﹣a2．∵设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c．并设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m﹣n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1﹣a2，∵|1+2|=||，即2|PO|=2|OF2|，故△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 ，可得（a1+a2）2+（a1﹣a2）2=（2c）2，化简可得a12+a22=2c2，∴+=2，∴===，故答案为：．16．数列{a n}的前n项和为S n．若数列{a n}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，…，，……若存在正整数k，使S k＜10，S k＞10，则a k=．﹣1【考点】归纳推理．【分析】把原数列划分，发现他们的个数是1，2，3，4，5…构建新数列b n，很显然是个等差数列，利用等差数列的和知道T5=，T6=，所以a k定在，，…，中，＜10，S k≥10求出具体结果．在根据S k﹣1【解答】解：把原数列分组，分母相同的为一组，发现他们的个数是1，2，3，4，5…构建新数列{b n}，表示数列中每一组的和，则b n=是个等差数列，记{b n}的前n项和为T n，利用等差数列的和知道T5=，T6=，所以a k定在，，…，中，＜10，S k≥10，而T5+++…+=9+＜10，T5+++…++=10+＞10，又因为S k﹣1故第k项为a k=．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1，∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1≤m＜3．综上，实数m的取值范围是[1，3）．18．已知，试用反证法证明：a，b，c中至少有一个不小于1．【考点】反证法与放缩法．【分析】假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1则有a+b+c＜3，再结合配方法，引出矛盾，即可得出结论．【解答】证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1则有a+b+c＜3，而矛盾，所以原命题成立．19．给定直线l：y=2x﹣16，抛物线G：y2=ax（a＞0）（1）当抛物线G的焦点在直线l上时，求a的值；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线G上，且点A的纵坐标y A=8，△ABC的重心恰是抛物线G的焦点F，求直线BC的方程．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）由抛物线G：y2=ax（a＞0）的焦点在x轴上，且其坐标为，对方程y=2x﹣16，令y=0得x=8，可得，解得a．（2）由（1）知：抛物线G的方程是y2=32x，F（8，0）．点A在抛物线G上，且y A=8，可得A（2，8）．延长AF交BC于点D，则由点F是△ABC的重心得：点D为线段BC的中点．设点D（x，y），由，可得：D．设B（x1，y1），C（x2，y2），由点B，C在抛物线y2=32x上得：代入抛物线方程相减得：，进而得出．【解答】解：（1）∵抛物线G：y2=ax（a＞0）的焦点在x轴上，且其坐标为，∴对方程y=2x﹣16，令y=0得x=8，从而由已知得，a=32．（2）由（1）知：抛物线G的方程是y2=32x，F（8，0）．又∵点A在抛物线G上，且y A=8，∴A（2，8）．延长AF交BC于点D，则由点F是△ABC的重心得：点D为线段BC的中点．设点D（x，y），则由得（8﹣2，0﹣8）=2（x﹣8，y﹣0），解之得：．∴D（11，﹣4）设B（x1，y1），C（x2，y2），则由点B，C在抛物线y2=32x上得：，两式相减得：，又由点D为线段BC的中点得y1+y2=﹣8，k BC=﹣4．∴直线BC方程为y﹣（﹣4）=﹣4（x﹣11），即4x+y﹣40=0．20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意不相等的x1，x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）≥4|x1﹣x2|成立，求非负实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求函数的定义域，再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性即可求函数的单调区间；（Ⅱ）不妨设x1＞x2，转化为（x1）﹣4x1≥f（x2）﹣4x2恒成立，构造函数，利用导数和函数的最值的关系即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为（0，+∞）∴，当a+1≥0时，f′（x）＞0恒成立，∴当a≥﹣1时，y=f（x）在区间（0，+∞）单调递增，当a+1＜0时，若x＞，f′（x）＞0，若0＜x＜，f′（x）＜0，∴当a＜﹣1时，函数y=f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增，（Ⅱ）不妨设x1＞x2，又∵a≥0，∴y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|恒成立，等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x1﹣4x2恒成立，即就是f（x1）﹣4x1≥f（x2）﹣4x2恒成立令g（x）=f（x）﹣4x，x∈（0，+∞），则y=g（x）为单调递增函数即就是g'（x）≥0恒成立，∵令h（x）=2x2﹣4x+a+1，x∈（0，+∞），∵h（x）min=h（1）=a﹣1，∴a≥1，故a的取值范围为[1，+∞）21．已知椭圆+=1（a＞b＞0），其右顶点为A（2，0），上、下顶点分别为B1，B2．直线A B2的斜率为，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于M，N两点（M，N均在y轴右侧）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设四边形M N B1 B2面积为S，求S的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）因为a=2，，所以b=1，可求得椭圆方程（Ⅱ）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN方程为x=my+，将直线x=my+代入椭圆方程得（m2+4）y2+2my﹣1=0，求得面积，利用均值不等式求得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为a=2，，所以b=1，所以椭圆方程为；（Ⅱ）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN方程为x=my+，将直线x=my+代入椭圆方程得（m2+4）y2+2my﹣1=0，则y1+y2=，|y1﹣y2|=∵x1＞0，x2＞0，∴；面积S======；令t=，则==，即S．所以四边形MNB1B2面积S的取值范围为S．22．设函数f（x）=ax+（a，b∈R），若f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1．（Ⅰ）用a表示b；（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣f（x），若g（x）≤﹣1对定义域内的x恒成立，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）对任意的θ∈[0，），证明：g（1﹣sinθ）≤g（1+sinθ）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由f′（1）=1可得结果；（Ⅱ）（ⅰ）g（x）≤﹣1恒成立，等价于g（x）max≤﹣1．由g（1）+1≤0可得a的范围，利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．（ii）由（ⅰ）知，g（x）≤﹣1恒成立，实数a的取值范围为a≥1，令sinθ=t∈[0，1），构造函数p（t）=g（1+t）﹣g（1﹣t），只需证明p（t）≥0恒成立，利用导数进而转化为求函数p（t）的最小值问题，利用导数可求得；【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为f′（x）=a﹣，因为f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1，所以f′（1）=a﹣b=1，解得b=a﹣1；（Ⅱ）因为g（x）=lnx﹣f（x），所以g（x）=lnx﹣f（x）=lnx﹣（ax+），要使g（x）≤﹣1≤﹣1恒成立．则（ⅰ）g（x）≤﹣1恒成立，等价于g（x）max≤﹣1．g（x）≤﹣1恒成立，则g（1）+1=﹣a﹣a+1+1≤0⇒a≥1．当a≥1时，==0⇒x=1，x=﹣1+，﹣1+≤0，x2g′（x）≥0，则x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）max=g（1）=1﹣2a≤﹣1，符合题意，即g（x）≤﹣1恒成立．所以，实数a的取值范围为a≥1．（ⅱ）由（ⅰ）知，g（x）≤﹣1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．令sinθ=t∈[0，1），考虑函数p（t）=g（1+t）﹣g（1﹣t）=ln（1+t）﹣a（1+t）﹣=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2at﹣（a﹣1）[]，+=﹣2a+（a﹣1）[]，下证明p′（t）≥0，即证：﹣2a+（a﹣1）[]≥0，即证明，由，即证1﹣a+（a﹣1）[]≥0，又a﹣1≥0，只需证﹣1+≥0，即证1+t2≥（1+t）2（1﹣t）2⇐t4﹣3t2≤0⇐t2（t2﹣3）≤0，显然成立．故p（t）在t∈[0，1）上单调递增，p（t）min=p（0）=0，则p（t）≥0，得g（1+t）≥g（1﹣t）成立，则对任意的θ∈[0，），g（1﹣sinθ）≤g（1+sinθ）成立．2017年3月11日。
数学---江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期期末考试(理)
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期期末考试（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1．证明不等式“2367-<-”最适合的方法是（ ） A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．数学归纳法2．命题“x R a R ∀∈∃∈，，使得|1||2|n x x >---”的否定形式是（ ） A ．x R a R ∃∈∃∈，，使得|1||2|n x x ≤--- B ．x R a R ∀∈∀∈，，使得|1||2|n x x ≤--- C ．x R a R ∀∈∃∈，，使得|1||2|n x x ≤--- D ．x R a R ∃∈∀∈，，使得|1||2|n x x ≤--- 3．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．经过点(2,4)-且与双曲线2212y x -=有同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．22184y x -= B ．22184x y -= C ．22148x y -= D ．22148y x -= 5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()ln (1)f x x x f '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．eC ． 1-D ． 16．设x ，y ，z 都是正数，则三个数1x y+，1y z +，1z x +（ ）A ． 至少有一个不小于2B ．至少有一个大于2C ．都大于2D ．至少有一个不大于27．若关于x 的不等式|2|||4x x a -++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,6)(2,)-∞-+∞ B ．(6,2)- C ．(,6)(2,)-∞--+∞ D ． (6,2)-- 8．在下列结论中，正确的结论为（ ） ①“p 且q”为真是“p 或q”为真的充分不必要条件②“p 且q”为假是“p 或q”为真的充分不必要条件 ③“p 或q”为真是“p Ø”为假的必要不充分条件 ④“p Ø”为真是“p 且q”为假的必要不充分条件 A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④9．若不等式|23||25|4x x -+-<的解集为(,)a b ，则曲线1y x=与直线3y x =-及直线x a =，x b =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．89B ． ln 3C ．8ln 39+D ．ln 32+10．已知函数()33f x x x =-，若过点()3,M t 可作曲线()y f x =的三条切线， 则实数t 的取值范围是( ) A ．()9,18-B ．()18,18-C ．()18,6-D ．()6,6-11．若关于x 的不等式|||2|0k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．32(,)53B ．32(,]53C ．3(,1)5D ．3(,1]512．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数， ()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时,()()2'01f x xf x x +>-,若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-,则 ()1f =（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若21a i bi +=-，则复数z a bi =+的模||z = ；14．已知函数2()sin 1f x x x =+-，则11()f x dx -=⎰；15．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A ，B 分别是离心率为e 的圆锥曲线221x y m n+= 的焦点，顶点C 在该曲线上．一同学已正确地推得：当0m n >>时，有(sin sin )sin e A B C +=．类似地，当0m >，0n <时，有____________；16．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则1212e e +的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为42{(4x cosa a y sina=+=为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值.18．（本小题满分12分）已知函数()f x x a a =-+.(Ⅰ)若不等式()2f x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知函数321()3f x x ax b =-+在2x =-处有极值. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有一个零点,求实数b 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知数列的前n 项和满足：，且. (I)求；(Ⅱ)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．21．（本小题满分12分）{}n a n S 112n n na S a =+-0,n a n N *>∈123,,a a a {}n a设顶点在原点，焦点在x 轴上的拋物线过点()1,2P ，过P 作抛物线的动弦PA ，PB ，并设它们的斜率分别为PA k ，PB k . (Ⅰ)求拋物线的方程；(Ⅱ)若0PA PB k k +=，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出其值； （III ）若1PA PB k k =，求证：直线AB 恒过定点，并求出其坐标.22．（本小题满分12分）已知函数2()ln 2a f x x x x x a =--+（a R ∈）在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x （12x x <），求证：2111a x x <<.参考答案一、选择题1-12、BDCAC AABDA BC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．5 14．2π15．|sin sin |sin e A B C -= 16．10 三、解答题17．解：（Ⅰ）将方程42{4x cosa y sina=+=消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x cos x y ρρθ+==，代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．………5分（Ⅱ）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 16{ 6ρρθπθ-==消去θ得223120ρρ--=， 根据题意可得12,ρρ是方程223120ρρ--=的两根， ∴121223,12ρρρρ+==-， ∴()21212122215AB ρρρρρρ=-=+-=． ………10分18．解：（Ⅰ） 2x a a -+≤，222a x -≤≤，即得221a -=，得32a =.………5分（Ⅱ）∵()()f n m f n ≤--，∴()()m f n f n ≥+- 33322n n =-+++. ∵min 33(322n n -++=），且存在实数n 使()()f n m f n ≤--， ∴6m ≥.………………12分19．解: (Ⅰ)2()2f x x ax '=- ，由题意知: (2)440f a '-=+=,得a =1-, …… 2分∴2()2f x x x '=+, 令()0f x '>,得2x <-或0x >, 令()0f x '<,得20x -<<,∴()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(0,)+∞, 单调递减区间是(2,0)-……… 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,321()3f x x x b =++, 4(2)3f b -=+为函数()f x 的极大值,(0)f b =为极小值 ………………… 8分 又∵f (-3)=f (0)=b要使得函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有一个零点则(2)0(3)0f f -<⎧⎨≥⎩, 即180403b b +≥⎧⎪⎨+<⎪⎩ , ∴4183b -≤<-,即b 的取值范围是4[18,)3-- …………………… 12分 20．解： (Ⅰ)，所以. 又因为，所以22122112a S a a a =+=+-，所以 331233112a S a a a a =++=+-，所以 …………………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)猜想，n N +∈.…………………… 6分 下面用数学归纳法加以证明：①当时，由（1）知成立．②假设(k N +∈)时，2121k a k k =+--成立． 当时，111111(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a ++++=-=+--+- 所以,解得：，所以 即当时猜想也成立．111111,2a a s a ==+-113a =-±0n a >131a =-253a =-375a =-2121n a n n =+--1n =131a =-n k =1n k =+11111212111212222121k k k k a a k k k a a k k +++++--=+--=+-++--21122120k k ak a ++++-=12321k a k k +=+-+12(1)12(1)1k a k k +=++-+-1n k =+综上可知，猜想对一切n N +∈都成立．…………………… 12分 21．解：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为()220y px p =>,因拋物线过点()1,2P ，故222,2p p ==，拋物线的方程为24y x =. …………… 2分 (Ⅱ)设()()1122,,,A x y B x y ，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-， 同理21244,,2PB AB k k y y y ==++ 12440,022PA PB k k y y +=∴+=++ ,∴1222y y +=--，124y y +=-. 1241AB k y y ∴==-+，即直线AB 的斜率恒为定值，且值为1-. …………… 7分（III ）1PA PB k k = ，∴1244122y y ⋅=++，∴()12122120y y y y ++-=. 直线AB 的方程为2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()12124y y y y y x +-=.将()1212212y y y y -=+-代入上式得()()()12243y y y x ++=+即为直线AB 的方程， 所以直线AB 恒过定点()3,2--，命题得证. …………… 12分22．解：（Ⅰ）依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根，即，方程在有两个不同根.转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须. 令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以.………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1x ，2x 分别是方程的两个根，即.()f x (0,)+∞'()0f x =(0,)+∞ln 0x ax -=(0,)+∞ln y x =y ax =(0,)+∞ln y x =k 0a k <<00(,ln )A x x 0'1x x k yx ===00ln x k x =000ln 1x x x =0x e =1k e=10a e <<ln 0x ax -=1122ln ,ln x ax x ax ==作差得，2211ln ()xa x x x =-，即2121lnx x a x x =-.所以不等式2111a x x <<，等价于212211ln11x x x x x x <<-，………………8分 下面先证21221ln1x x x x x <-，即证2211122ln 1x x x xx x x ->=-，令21x t x =，∵120x x <<，∴1t >，即证1ln 1t t >-（1t >），令1()ln 1g t t t =+-（1t >），则22111()0t g t t t t -'=-=>， ∴1()ln 1g t t t=+-在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g t g >=，即1ln 1t t >-得证，从而21221ln1x x x x x <-得证；………………10分 再证21211ln1x x x x x <-，即证2212111ln 1x x x xx x x -<=-，即证ln 1t t <-（1t >）， 令()ln 1h t t t =-+（1t >），则11()10th t t t-'=-=<， ∴()ln 1h t t t =-+在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，即ln 1t t <-得证，从而21211ln1x x x x x <-得证，综上所述，212211ln11x x x x x x <<-成立，即2111a x x <<.………………12分。
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2017-2018学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）证明不等式“”最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．数学归纳法2．（5分）命题“∀x∈R，∃a∈R，使得n＞|x﹣1|﹣|x﹣2|”的否定形式是（）A．∃x∈R，∃a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|B．∀x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|C．∀x∈R，∃a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|D．∃x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|3．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）经过点（2，﹣4）且与双曲线有同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=lnx+x2f′（1），则f′（1）=（）A．﹣1B．e C．﹣e D．16．（5分）设x，y，z都是正数，则三个数（）A．都大于2B．至少有一个不小于2C．至少有一个大于2D．至少有一个不大于27．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x+a|＞4的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）B．（﹣6，2）C．（﹣∞，﹣6）∪（﹣2，+∞）D．（﹣6，﹣2）8．（5分）在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件④“￢p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．A．①②B．①③C．②④D．③④9．（5分）若不等式|2x﹣3|+|2x﹣5|＜4的解集为（a，b），则曲线与直线y=x﹣3及直线x=a，x=b所围成的封闭图形的面积为（）A．B．ln3C．D．ln3+2 10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x，若过点M（3，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣9，﹣8）B．（﹣18，18）C．（﹣18，6）D．（﹣6，6）11．（5分）若关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）=（）A．B．0C．D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+2i=1﹣bi，则复数z=a+bi的模|z|=．14．（5分）已知函数，则=．15．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（）=sinC．16．（5分）共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．18．（12分）已知函数f（x）=|x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=在x=﹣2处有极值．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=+﹣1，且a n＞0，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．（12分）设顶点在原点，焦点在x轴上的拋物线过点P（1，2），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．（Ⅰ）求拋物线的方程；（Ⅱ）若k PA+k PB=0，求证：直线AB的斜率为定值，并求出其值；（III）若k PA k PB=1，求证：直线AB恒过定点，并求出其坐标．22．（12分）已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），求证：．2017-2018学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）证明不等式“”最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．数学归纳法【解答】解：欲证明不等式”，只要证明+＜+，分别求出左右两式的平方，再比较出两平方式的大小．从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不等式所用的最适合的方法是分析法．故选：A．故选：B．2．（5分）命题“∀x∈R，∃a∈R，使得n＞|x﹣1|﹣|x﹣2|”的否定形式是（）A．∃x∈R，∃a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|B．∀x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|C．∀x∈R，∃a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|D．∃x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|【解答】解：命题“∀x∈R，∃a∈R，使得n＞|x﹣1|﹣|x﹣2|”的否定形式是：∃x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|．故选：D．3．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵==，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（），位于第三象限角．故选：C．4．（5分）经过点（2，﹣4）且与双曲线有同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意与双曲线有同渐近线的双曲线方程设为：，把点（2．﹣4）代入中，求得m=﹣4，∴双曲线的方程为：．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=lnx+x2f′（1），则f′（1）=（）A．﹣1B．e C．﹣e D．1【解答】解：根据题意，f（x）=lnx+x2f′（1），则f′（x）=+2xf′（1），令x=1可得：f′（1）=1+2f′（1），解可得：f′（1）=﹣1，故选：A．6．（5分）设x，y，z都是正数，则三个数（）A．都大于2B．至少有一个不小于2C．至少有一个大于2D．至少有一个不大于2【解答】解：三个数中至少有一个不小于2．下面利用反证法证明：x，y，z都是正数，假设三个数都小于2．则6＞x++y++z+=x+++y++z≥2+2+2=6，当且仅当x=y=z=1时取等号．即6＞6，矛盾，因此假设不成立，∴三个数中至少有一个不小于2．故选：B．7．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x+a|＞4的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）B．（﹣6，2）C．（﹣∞，﹣6）∪（﹣2，+∞）D．（﹣6，﹣2）【解答】解：由于|x﹣2|+|x+a|表示数轴上的x对应点到2和﹣a的距离之和，它的最小值等于|2+a|，由题意可得|2+a|＞4，解得a＞2，或a＜﹣6，故选：A．8．（5分）在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件④“￢p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：①“p且q”为真，则p，q同时为真，“p或q”为真，则p，q至少有一个为真，则“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件，正确．②当p，q同时为假时，满足“p且q”为假，但“p或q”为真不成立，即“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件，错误，③当p假q真时，“p或q”为真，但“￢p”为假不成立，即充分性不成立，若￢p为假，则p为真，此时，“p或q”为真，即必要性成立，则“p或q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件，正确，④“￢p”为真，则p为假，则“p且q”为假的，此时充分性成立，故④错误，故选：B．9．（5分）若不等式|2x﹣3|+|2x﹣5|＜4的解集为（a，b），则曲线与直线y=x﹣3及直线x=a，x=b所围成的封闭图形的面积为（）A．B．ln3C．D．ln3+2【解答】解：∵不等式|2x﹣3|+|2x﹣5|＜4的解集为（a，b），∴x≥时，2x﹣3+2x﹣5＜4，解得：x＜3，＜x＜时，2x﹣3+5﹣2x＜4，成立，x≤时，3﹣2x+5﹣2x＜4，解得：x＞1，故不等式的解集是（1，3），故a=1，b=3，故（﹣x+3）dx=（lnx﹣x2+3x）=ln3+2，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x，若过点M（3，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣9，﹣8）B．（﹣18，18）C．（﹣18，6）D．（﹣6，6）【解答】解：设切点为（a，a3﹣3a），∵f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3，∴切线的斜率k=f′（a）=3a2﹣3，由点斜式可得切线方程为y﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（x﹣a），∵切线过点M（3，t），∴t﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（3﹣a），即2a3﹣3a2=﹣t﹣9，∵过点M（3，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴关于a的方程2a3﹣3a2=﹣t﹣9有三个不同的根，令g（x）=2x3﹣3x2，∴g′（x）=6x2﹣6x=0，解得x=0或x=1，当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=﹣1，关于a的方程2a3﹣3a2=﹣t﹣9有三个不同的根，等价于y=g（x）与y=﹣t﹣9的图象有三个不同的交点，∴﹣1＜﹣t﹣9＜0，∴﹣9＜t＜﹣8，∴实数t的取值范围为（﹣9，﹣8）．故选：A．11．（5分）若关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可得，0＜k＜1，函数y=k|x|与y=﹣|x﹣2|的图象如下，由0＜k＜1，可得x A＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由⇒x B=，故＜k≤；故选：B．12．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）=（）A．B．0C．D．1【解答】解：当x＞0且x≠1时，，可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0；0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0．令g（x）=x2f（x），x∈（0，+∞），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]．可得：x＞1时，g′（x）＞0；0＜x＜1时，g′（x）＜0．可得函数g（x）在x=1处取得极值，∴g′（1）=2f（1）+f′（1）=0，由f′（1）=﹣1，可得f（1）=，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+2i=1﹣bi，则复数z=a+bi的模|z|=．【解答】解：由a+2i=1﹣bi，得a=1，b=﹣2．∴复数z=a+bi的模|z|=．故答案为：．14．（5分）已知函数，则=．【解答】解：f（x）=sinx+，∴=sinxdx+dx，∵sinxdx=﹣cosx|=0，dx表示以原点为圆心，半径为1的圆的面积的二分之一，∴dx=，∴=sinxdx+dx=，故答案为：15．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n ＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（|sinA ﹣sinB| ）=sinC．【解答】解：设△ABC中角A，角B，角C所对的边长分别为a，b，c．∵△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上，∴m＞0＞n时，曲线是双曲线，离心率e=，由双曲线定义|b﹣a|=2，∴e|b﹣a|=c，由正弦定理，得e|sinA﹣sinB|=sinC．故答案为：|sinA﹣sinB|．16．（5分）共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为．【解答】解：设椭圆的短半轴是b1，双曲线的虚半轴是b2，它们的半焦距都是c；则b1=2b2，∴椭圆的长半轴是a1==，双曲线的实半轴是a2=；∴椭圆的离心率为e1=，双曲线的离心率为e2=；∴=+==；∵0＜b2＜c，∴0＜＜1，设=x，x∈（0，1），则函数y=+，x∈（0，1）；求导数y′=•+•，令y′=0，解得x=，∴x=时，函数y取得最大值为y max=，的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（a为参数），消去参数α得x2+y2=16，∴曲线极坐标方程为ρ2=16，即ρ=4．…（5分）（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为（ρ∈R），∴直线l的直角坐标方程为y=x，联立，得或，∴|AB|==8．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=|x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）|x﹣a|+a≤2，2a﹣2≤x≤2，即得2a﹣2=1，得．（2）∵f（n）≤m﹣f（﹣n），∴m≥f（n）+f（﹣n）=．∵，且存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n），∴m≥6．19．（12分）已知函数f（x）=在x=﹣2处有极值．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣2ax由题意知：f′（﹣2）=4+4a=0，得a=﹣1，∴f′（x）=x2+2x，令f′（x）＞0，得x＜﹣2或x＞0，令f′（x）＜0，得﹣2＜x＜0，∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间是（﹣2，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=，f（﹣2）=为函数f（x）极大值，f（0）=b为极小值．∵函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，∴或或或或，即，∴，即b 的取值范围是．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =+﹣1，且a n ＞0，n ∈N*．（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3；（Ⅱ）猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解答】解：（Ⅰ）a 1=S 1=+﹣1，所以a 1=﹣1±；又因为a n ＞0，所以a 1=﹣1+；，所以a 2=﹣；，所以a 3=﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想a n =﹣，n ∈N +．下面用数学归纳法加以证明：①当n=1时，由（1）知a 1=﹣1+成立；②假设n=k （k ∈N +）时，成立．当n=k +1时，=+﹣﹣=+﹣所以a k +12+2a k +1﹣2=0，解得a k +1=﹣，即当n=k +1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n ∈N +都成立．21．（12分）设顶点在原点，焦点在x 轴上的拋物线过点P （1，2），过P 作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．（Ⅰ）求拋物线的方程；（Ⅱ）若k PA+k PB=0，求证：直线AB的斜率为定值，并求出其值；（III）若k PA k PB=1，求证：直线AB恒过定点，并求出其坐标．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设所求拋物线的方程为y2=2px（p＞0），因拋物线过点P（1，2），故22=2p，p=2，拋物线的方程为y2=4x．…（2分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，同理，∵k PA+k PB=0，∴，∴y1+2=﹣y2﹣2，y1+y2=﹣4．∴，即直线AB的斜率恒为定值，且值为﹣1．…（7分）（III）∵k PA k PB=1，∴，∴y1y2+2（y1+y2）﹣12=0．直线AB的方程为，即（y1+y2）y﹣y1y2=4x．将﹣y1y2=2（y1+y2）﹣12代入上式得（y1+y2）（y+2）=4（x+3）即为直线AB的方程，所以直线AB恒过定点（﹣3，﹣2），命题得证．…（12分）22．（12分）已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），求证：．【解答】解：（Ⅰ）依题，函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以方程f′（0）=0在（0，+∞），有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞），有两个不同根．转化为：函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞），上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，解得，x0=e，于是k=，所以0＜a＜．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得，，即．所以不等式，等价于，…（8分）下面先证，即证，令，∵0＜x1＜x2，∴t＞1，即证（t＞1），令（t＞1），则，∴在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即得证，从而得证；…（10分）再证，即证，即证lnt＜t﹣1（t＞1），令h（t）=lnt﹣t+1（t＞1），则，∴h（t）=lnt﹣t+1在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）=0，即lnt＜t﹣1得证，从而得证，综上所述，成立，即．…（12分）。