数值计算方法比较
气动噪声数值计算方法的比较与应用
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音 的影 响 ， 到 了一个较 为普遍 的结果 ， 为 Ｆ Ｈ 得 称 Ｗ－
常用物理量的估测和估测方法
常用物理量的估测和估测方法物理量的估测是科学实验和工程设计中常见的任务，它涉及到对一些未知或难以直接测量的物理量进行估计。
在实际应用中，常用的物理量估测方法包括数值计算、实验测量和模型拟合等。
一、数值计算方法数值计算方法是通过数学模型和计算机技术对物理系统进行描述和计算。
常用的数值计算方法包括有限元法、有限差分法和蒙特卡洛方法等。
1. 有限元法有限元法是一种基于分段函数逼近的数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学和电磁场等领域。
它将连续的物理空间离散化为有限个小单元，通过求解单元间的方程组来估计物理量的值。
2. 有限差分法有限差分法是一种将连续的偏微分方程转化为差分方程的数值计算方法。
通过将物理区域离散化为网格，将偏导数用差分近似表示，然后求解差分方程组来估计物理量的值。
3. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于概率统计的数值计算方法，通过随机抽样和统计平均来估计物理量的值。
它可以应用于复杂的物理系统，如粒子输运、金融风险评估等。
二、实验测量方法实验测量方法是通过实际的物理实验来获取物理量的值。
常用的实验测量方法包括直接测量、间接测量和比较测量等。
1. 直接测量直接测量是指通过使用仪器设备直接读取物理量的数值。
例如，使用温度计测量温度、使用电压表测量电压等。
2. 间接测量间接测量是指通过测量与待测物理量有关的其他物理量，然后通过数学关系推导出待测物理量的数值。
例如，通过测量物体的质量和体积来间接求解物体的密度。
3. 比较测量比较测量是指通过将待测物理量与已知物理量进行比较，从而估计待测物理量的值。
例如，使用天平比较物体的重量，使用标准电阻与待测电阻进行比较等。
三、模型拟合方法模型拟合是指通过建立数学模型来描述物理系统，并通过与实验数据的比较来估计模型参数和物理量的值。
常用的模型拟合方法包括线性拟合、非线性拟合和最小二乘法等。
1. 线性拟合线性拟合是指将待估计物理量与已知物理量之间的关系建立为线性方程，通过最小化拟合误差来估计待估计物理量的值。
牛顿迭代法与其他迭代法
牛顿迭代法与其他迭代法迭代法是一种常见的数值计算方法，用于求解方程的近似解。
其中，牛顿迭代法是一种较为常用且有效的迭代法。
本文将对牛顿迭代法与其他迭代法进行比较和探讨。
一、牛顿迭代法的原理和步骤牛顿迭代法是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的一种寻找方程近似解的方法。
其基本思想是通过不断逼近函数的零点，找到方程的根。
牛顿迭代法的步骤如下：1.选择一个初始值x0；2.根据当前的近似解x0，利用函数的导数计算切线的斜率；3.通过切线与x轴的交点得到下一个近似解x1；4.重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求为止。
牛顿迭代法的优点在于它通常具有较快的收敛速度，尤其在接近根的地方。
然而，牛顿迭代法可能会收敛到局部极值点，而不是全局极值点，这是其存在的一个不足之处。
二、牛顿迭代法与其他迭代法的比较除了牛顿迭代法，还存在着其他常用的迭代法，比如二分法和割线法。
下面将对牛顿迭代法与这两种方法进行比较。
1. 牛顿迭代法 vs. 二分法二分法是一种简单而广泛使用的迭代法。
它通过不断将搜索区间二分来逐步逼近方程的根。
二分法的步骤如下：- 选择一个初始的搜索区间[a, b]，使得方程的根位于[a, b]之间；- 计算搜索区间的中点c=(a+b)/2；- 比较函数在c处的取值与零的关系来确定下一步搜索的区间，即更新[a, b]为[a, c]或者[c, b]；- 重复上述步骤，直到满足精度要求。
与牛顿迭代法相比，二分法的收敛速度较慢。
然而，二分法具有简单易懂、稳定可靠的特点，在某些情况下仍然被广泛使用。
2. 牛顿迭代法 vs. 割线法割线法是一种类似于牛顿迭代法的迭代法，它通过直线的割线逼近方程的根。
割线法的步骤如下：- 选择两个初始值x0和x1，使得x0和x1分别位于方程的根的两侧；- 计算通过(x0, f(x0))和(x1, f(x1))两点的直线的方程；- 求解该直线与x轴的交点得到下一个近似解x2；- 重复上述步骤，直到满足精度要求。
数据对比公式范文
数据对比公式范文数据对比是指通过观察和比较不同数据之间的差异和相似之处，来分析数据的变化和趋势的方法。
数据对比可以帮助我们理解数据的特征，找出规律性的变化，做出相应的决策和预测。
在数据分析和统计学中，有许多常用的公式和方法可以用来进行数据对比，下面将介绍其中一些常用的方法和公式。
1. 平均值（Mean）平均值是指将一组数据全部相加后再除以数据个数的结果。
平均值是数据对比中最常用的一种方法，可以用来表示一组数据的整体水平。
公式：Mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n2. 中位数（Median）中位数是指将一组数据从小到大排序后，位于中间位置的数值。
中位数可以用来表示一组数据的分布情况，不易受极端值的影响。
公式：如果数据个数为奇数,则中位数为排序后的中间值；如果数据个数为偶数，中位数为排序后中间两个值的平均值。
3. 众数（Mode）众数是指一组数据中出现次数最多的数值。
众数可以用来表示一组数据的典型值，特别适用于描述离散型数据。
公式：众数是根据出现次数最多的数值来确定的，可以通过计数或者统计软件来计算。
4. 方差（Variance）方差是指一组数据与其平均值之间差异的平方和的平均值。
方差可以用来表示数据的离散程度，方差越大，表示数据之间的差异越大。
公式：Variance = ((x1 - mean)^2 + (x2 - mean)^2 + ... + (xn- mean)^2) / n5. 标准差（Standard Deviation）标准差是指方差的平方根。
标准差可以衡量数据的变异性，标准差越大，表示数据之间的差异越大。
公式：Standard Deviation = sqrt(Variance)6. 相对标准差（Coefficient of Variation）相对标准差是标准差与平均值的比值，可以用来衡量数据的变异性相对于平均值的大小。
公式：Coefficient of Variation = (Standard Deviation / Mean) * 100%7. 百分位数（Percentile）百分位数是指一组数据中一些百分比处的数值。
结构动力响应数值计算方法对比分析
结构动力响应数值计算方法对比分析作者：李涵来源：《青年生活》2019年第21期摘要：中心差分法、纽马克法、威尔逊-法是结构动力学中常用的三种方法，为了系统的比较其优缺性，本文针对一个双自由度的体系，首先根据已知条件计算出振动微分方程，运用Matlab计算出可求出12个步长内相应的位移值，即精确解。
然后分别运用中心差分法，纽马克法，威尔逊-法求出其近似解;最后通过三种方法的近似解与精确解相对比，进而分析出三种计算方法的优缺性，为结构动力计算提供依据。
关键词：动力计算、中心差分法、纽马克法、威尔逊-法1、动力体系概况2、精确解推导针对该双自由度体系，理论推导出系统的位移表达式，通过代入各时刻周期得出位移在各时刻的具体数值，即位移精确解。
对位移方程求一阶导数得出速度方程，求二阶导数求出加速度方程。
代入各时刻的周期值，通过Matlab计算得出位移、速度、加速度的数值如下：3、三种数值计算方法3.1、中心差分法中心差分法是基于用有限差分代替位移对时间的求导，对位移一阶求导得到速度，对位移二阶求导得加速度。
通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
3.2、纽马克法纽马克-β法是一种将线性加速度方法普遍化的方法。
通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
3.3威尔逊-法通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
4、近似解与精确解对比分析从上述结构的位移、速度、加速度可以看出，三种方法都能大致表示该体系大体运动趋势，并且误差较小。
其中，在描述物体位移时，中心差分法较后两种方法更为精确。
然而在描述速度和加速度时，中心差分法表现出了较大的误差，而纽马克和威尔逊法则能更详尽的表征物体速度和加速度。
5、结论中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法均是结构动力计算中的常用方法。
本文针对具体的计算实例，分别计算出三种方法的动力响应结果，并与精确解进行对比。
经过分析，中心差分法能更精确的表示物体位移响应，而纽马克和威尔逊法在表征物体速度和加速度方面相较于中心差分法更为精确，三种方法，各有其优缺点，应视具体情况采用相应的计算方法。
气动噪声数值计算方法的比较与应用
气动噪声数值计算方法的比较与应用气动噪声是指由空气流动引起的噪声，广泛存在于飞机、汽车、风力发电等工程环境中，对人们的工作和生活带来了不舒适和危害。
因此，研究气动噪声数值计算方法及其应用具有重要的理论和实践意义。
本文将对气动噪声数值计算方法进行比较，并介绍其在工程中的应用。
气动噪声数值计算方法主要有两类：基于声源和基于传播路径的方法。
基于声源的计算方法通过模拟气动噪声产生的源头，进而计算噪声传播路径上的声压级。
基于传播路径的方法则通过模拟气动噪声的传播路径上的声学特性，如反射、衍射、传播衰减等，来计算噪声产生源头的声压级。
下面将对这两类方法进行详细介绍。
基于声源的方法主要有声源模型法和数值模拟法。
声源模型法是指通过对气动噪声产生源头进行物理和数学模型建模，进而计算噪声传播路径上的声压级。
常用的声源模型法包括Point Source Model、Dipole Source Model和Quadrupole Source Model等。
数值模拟法则是通过在计算流体力学基础上，利用声学方程对气动噪声进行数值求解。
数值模拟法具有较高的计算精度和空间分辨率，常用的方法有有限元法、有限差分法和边界元法等。
基于声源的方法依赖于对噪声源头的精确建模，因此对计算精度要求较高，适用于研究气动噪声产生机理和优化设计。
而基于传播路径的方法则更加简化，适用于噪声传播路径复杂、计算量大的情况。
常用的基于传播路径的方法有室内声学计算方法和室外声学计算方法。
室内声学计算方法主要包括几何声学法和统计能量分析法，通过建立室内声学模型，并分析声波在室内的传播和衰减来计算噪声水平。
室外声学计算方法则通过模拟声波在室外的传播路径上的反射、衍射和干涉等特性，计算噪声传播路径上的声压级。
气动噪声数值计算方法的应用主要涉及工程领域的噪声控制和优化设计。
例如，在飞机设计中，通过数值模拟法可以评估不同构型和参数对气动噪声的影响，从而优化飞机的设计。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法一、梯形法则（Trapezoidal Rule）：梯形法则是一种常见的确定积分的数值计算方法。
它的基本思想是通过将函数曲线上的曲线段看作是一系列梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似表示定积分的值。
具体来说，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间内的梯形面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
梯形法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b))梯形法则的优点是简单易懂，容易实现，并且对于一般的函数都能达到较好的近似效果。
然而，它的缺点是精度较低，需要较大的划分数n才能得到较准确的结果。
二、辛普森法则（Simpson's Rule）：辛普森法则是一种比梯形法则更高级的确定积分方法，它通过将函数曲线上的曲线段看作是由一系列抛物线组成的，然后计算这些抛物线的面积之和来近似表示定积分的值。
与梯形法则类似，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每两个相邻小区间内的抛物线面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
辛普森法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) +4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b))辛普森法则相较于梯形法则具有更高的精度，尤其对于二次或更低次的多项式函数来说，可以得到非常准确的结果。
但是，辛普森法则在处理高次多项式或非多项式函数时可能会出现误差较大的情况。
三、高斯求积法（Gaussian Quadrature）：高斯求积法是一种基于插值多项式的数值积分方法。
牛顿迭代法与二分法
牛顿迭代法与二分法数学中，有用的方法和技术有很多，其中牛顿迭代法和二分法是两种经典的数值计算方法。
这两种方法都可以用于求解各种类型的方程和问题，在不同场合下往往有不同的适用范围和性质。
在本文中，我们将对这两种方法进行简单介绍和比较，以加深读者对它们的理解和应用。
一. 牛顿迭代法牛顿迭代法，又称牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），是一种用于寻找函数零点的一种迭代算法。
它的基本思想是从一个初始近似值开始，使用函数的导数来逐步改进这个近似值，直到满足所需的精度要求为止。
具体步骤如下：1. 选定一个初始值 $x_0$ ，计算函数 $f(x)$ 在这个点的值和导数 $f'(x)$；2. 计算迭代公式 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，即用当前点的函数值和导数值确定一个切线，并将其与 $x$ 轴交点作为下一个近似值；3. 如果迭代满足要求，则停止，否则返回第二步。
牛顿迭代法的优点是迭代速度较快，可以高效地求解接近函数原始根的方程。
例如，如果要求 $\sqrt{a}$ 的值，可令 $f(x) = x^2 - a$，则零点为 $\sqrt{a}$。
经过一定次数的迭代，可以得到很高精度的近似值。
然而，牛顿迭代法也有一些局限性，如收敛性和迭代次数等问题，需要根据具体问题和条件进行评估和调整。
二. 二分法二分法（bisect method）是一种寻找函数零点的一种简单算法，其基本思想是不断缩小区间，直到找到目标区间的根。
具体步骤如下：1. 选定一个有根区间 $[a, b]$，并计算函数 $f(a)$ 和 $f(b)$ 在两个端点的值；2. 计算区间中点$c = \frac{a+b}{2}$，并计算函数$f(c)$ 的值；3. 判断函数值的符号，并用二分法将 $[a, b]$ 划分为两个子区间，其中一个包含了零点，另一个不包含，即更新区间 $[a, b]$ 为$[a, c]$ 或 $[c, b]$；4. 重复步骤 2-3 直到找到满足误差要求的近似根。
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有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。
有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。
注：差分格式：（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法：构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。
另外它还有编制不出通用程序的困难。
有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是与该相邻的几点，而不是全部的空间点。
是发展较早且比较成熟的数值方法广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized DifferenceMethod）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。
1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。
其中的未知数是网格点上的因变量的数值。
为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
广义差分法应用最多的领域之一是电磁场的计算，另一个应用最多也最成功的领域是流体力学和地下流体力学。
广义差分法的优点：既最大限度的保持了差分法的简单性，又兼有有限元法的精确性(1)网格剖分灵活(包括三角剖分、四边形剖分)，几何误差小，便于处理自然边值条件．(2)工作量比有限差分法大，比有限元法小．但精确度比有限差分法高，与有限元法的收敛阶相同(计算表明精确性略低于有限元法)．(3)保持物理量的局部守恒．这对流体及地下流体计算是重要的．(4)广义差分法的理论几乎和有限元法达到同样完善的程度．特别是，由一次元广义差分法的误差估计便导致有限差分法和不规刚网格差分法的一般理论．(5)广义差分法的变分形式(广义Galerkin形式)有助于沟通有限元法和差分法的理论和算法．有限体积法和有限差分法的区别：一个区别就是有限体积法的截断误差是不定的（跟取的相邻点有关，积分方法离散方程），而有限差分就可以直接知道截断误差（微分方法离散方程）。
有限体积法和有限差分法最本质的区别是，前者是根据积分方程推导出来的（即对每个控制体积分），后者直接根据微分方程推导出来，所以前者的精度不但取决于积分时的精度，还取决与对导数处理的精度，一般有限体积法总体的精度为二阶，有限体积法对于守恒型方程导出的离散方程可以保持守恒型；而后者直接由微分方程导出，不涉及积分过程，各种导数的微分借助Taylor展开，直接写出离散方程，当然不一定有守恒性，精度也和有限体积法不一样，一般有限差分法可以使精度更高一些。
当然二者也有联系，有时导出的形式一样，但是概念上是不一样的。
有限元法（FEM：Finite Element Method）是R.Courant于1943年首先提出的，20世纪50年代有航空结构工程师们说发展，随后逐渐波及到土木结构工程，到了60年代，在一切连续领域都愈来愈广泛地得到应用。
有限元方法侧重于定态问题（椭圆形问题）。
它是用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。
有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构（由若干杆件组成的结构，在土木、建筑、机械、船舶、水利等工程中应用很广）的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。
在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
（1）从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；（2）从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格；（3）从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。
有限元法方面的经典文献有Ciarlet的《The Finite Element Method for Elliptic Problems》和Brenner & Scott的《Mathematical heory of the Finite Element Method》。
有限元方法的优点：有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。
它可以用任意形状的网格分割区域，还可以根据场函数的需要疏密有致地、自如地布置节点，因而对区域的形状有较大的适应性，另外，有限元方法在实用上更大的优越性还在于，它与大容量的计算机相结合，可以编制通用的计算程序。
有限元方法的不足：工作量巨大！注：有限元方法是把微分方程定解问题转化为求一个等价的“变分问题”，其基本问题可以归纳为：1) 把微分方程定解问题转化为变分形式 2) 选定单元的形状，对求解区域做剖分 3) 构造基函数或者单元形状函数 4) 形成有限元方程 5)求解有限元方程边界元法（目前在很多工程技术问题应用）是在有限元之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。
又称边界积分方程。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
谱方法是70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，它具有“无穷阶”收敛性，可采用快速算法，现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多领域，成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法，谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。
其基本思想是把解近似地展开成平滑函数(一般是正交多项式)的有限级数展开式﹐即所谓解的近似谱展开式﹐再根据此展开式和原方程﹐求出展开式系数的方程组。
谱方法实质上是标准的分离变量技术的一种推广。
一般多取切比雪夫多项式和勒让德多项式作为近似展开式的基函数。
对于周期性边界条件﹐用傅里叶级数和调和级数比较方便。
谱方法的精度﹐直接取决于级数展开式的项数。
利用快速傅里叶变换技术﹐可迅速完成求解过程﹐比任何有限阶的有限差分解都更快地收敛到真解。
一般说﹐谱方法远比普通一﹑二阶差分法准确。
由于快速傅里叶变换之类的技术不断发展﹐谱方法的运算量越来越少﹐一般是很合算的。
特别是对于二维以上的问题﹐用差分法计算必须设置足够多的网格点﹐造成计算量的增加﹐而用谱方法一般不需取太多的项就可得到较高精度的解。
因此谱方法在计算流体力学复杂流场的问题中有广泛应用。
双曲型方程：考虑常系数方程0,,0u u ax R t t x∂∂+=∈>∂∂其中a 为给定常数，这是最简单的双曲型方程，一般称其为对流方程。
1. 迎风格式：11110,00,0n nn nj j j j n n n n jjj ju u u u a a h uuuu aa hττ+-++--+=>--+=<这两个差分格式都是条件稳定的，都具有一阶精度的。
2.二阶迎风格式：1112()(1)(2)2n n n n n n nj j j j j j j a u u a u u a u u u λλλ+---=-----+该格式是二阶精度，条件稳定。
3．Lax-Friedrichs 格式首先考虑中心差分格式1112n nn njjj j u u u u ahτ++---+=其截断误差为2()O h τ+，但绝对不稳定，1954年Lax 和Friedrichs 提出了Lax 格式111111()202n n nn njj j j j u u u u u ahτ++-+--+-+=该格式具有一阶精度，条件稳定。
x-Wendroff1960年Lax 和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层差分格式22111112()(2)22n n n n n n njjj j j j j a a uu uuu u u hhττ++-+-=--+-+该格式条件稳定5Wendroff 隐式格式：111111111()()022n nn nnnn n j j j j j j jj u u u u u u u u a hhττ++++--------+++=该格式具有二阶精度，且绝对稳定。