反比例函数的概念
初中：反比例函数基础
反比例函数基础【知识要点与方法】1、反比例函数的定义一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成ky x=（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数. 反比例函数(0)ky k x=≠还可以写成：1(0)y kx k -=≠或(0)xy k k =≠. 反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 为常数，0k ≠；（2）kx中分母x 的指数为1； （3）自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数； （4）因变量y 的取值范围是0y ≠的一切实数.2、用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 3、反比例函数的图象和性质：反比例函数)0(≠=k xky k 的符号 0k > 0k <图象性质①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴)(x y ±=，对称中心是坐标原点．4、k 的几何意义（1）k 与面积的关系如图1，设点P （a ，b ）是双曲线xky =上任意一点，作P A ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是||k （三角形P AO 和三角形PBO 的面积都是||21k ）．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥P A 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为||2k ．图1 图2 （2）k 与图像离原点远近的关系k 越大，双曲线x k y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点.【典型例题】1、反比例函数的概念【例1】下列函数中，是反比例函数的有①x y 5=； ②x y 4.0=； ③2x y =； ④2=xy ； ⑤πxy =； ⑥x y 5-=；⑦b bx y (31-=为常数，)0≠b ； ⑧31-=xy ；⑨)0(2≠=a a x a y 为常数且；⑩xy 52-=；【例2】1、当=k 时，函数132)1(+++=k kx k y 是反比例函数；2、如果自变量取值为1-时，函数值为2，此反比例函数的关系式是 ；3、已知21y y y +=，且1y 与2x 成反比例，2y 与2+x 成正比例，且1=x 时，9=y1-=x 时，5=y .则y 与x 的函数关系式是 .【例3】某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经过测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y （亿度）与)4.0(-x （元）成反比例，且当65.0=x 元时，8.0=y ， （1）求y 与x 之间的函数关系式.（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益比上年度增加20%？2、反比例函数图象的位置与系数的关系 【例4】1、已知反比例函数x k k y 12+-=（k 为常数）则该反比例函数图像位于第 象限.2、函数a ax y +-=与)0(≠-=a xay 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D. 3、已知函数32)1(-++=k kx k y 是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k = ．3、反比例函数的图象与性质【例5】(反比例函数的增减性)1、已知()()()332211,,,,,y x y x y x 是反比例函数xy 4-=的图象上的三个点，且021<<x x ，03>x ，则的大小关系是（ ）A .213y y y <<B .312y y y <<C .321y y y <<D .123y y y <<2、如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线xk y 2=交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式b xk x k +<21的解集是 ．【例6】（反比例函数的对称性）1、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y =xk（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．2、直线kx y =（0<k ）与双曲线xy 2-=交于A ()11,y x ，B ()22,y x 两点，则122153y x y x -= .4、反比例函数比例系数k 与面积问题 【例7】1、如图，已知双曲线xky =（0>x ）经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F E ,，且四边 形OEBF 的面积为2，则=k ．2、如图，两个反比例函数x y 1=和xy 2-=的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形P AB 的面积为___________3、如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数xky =（k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为5、一次函数与反比例函数综合 【例8】若函数22++-=k kx y 与xky =)0(≠k 的图象有两个不同 的交点，则k 的取值范围是 ．【例9】如图，已知反比例函数)0(≠=k x k y 的图象经过点（21，8），直线b x y +-=经过该反比例函数图象上的点Q (4，m )．（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，连结0P 、OQ ，求△OPQ 的面积．【例10】如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，54sin =∠AOB ，反比例函数xky =（k ＞0）在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ． （1）若OA =10，求反比例函数解析式；（2）若点F 为BC 的中点，且△AOF 的面积S =12，求OA 的长和点C 的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F 作EF ∥OB ，交OA 于点E （如图②），点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【课后强化训练】1、双曲线xky =过点)1,3(-，则=k ，双曲线在第 象限内. 2、已知反比例函数102)2(--=m x m y 的图象，在每一象限内y 随x 的增大而减小，则反比例函数的解析式为 . 3、若双曲线xy 2-=与直线3-=kx y 相交于)2(m A ，-，则直线的解析式为 ； 4、已知点（1-，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数xk y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是（ ）A ．321y y y >>B ．231y y y >>C ．213y y y >>D ． 132y y y >>5、三个反比例函数:(1)y =x k1;（2）y =x k 2;（3）y =x k 3在x 轴上方的图象如图所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系是________.6、如图，如果x x >，且0<kp ，那么，在自变量x 的取值范围内，正比例函数kx y =和反比例函数xpy =在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（ ）A B C D7、如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y =x 上，点A 的横坐标为1，正方形ABCD 的边分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线ky x=与正方形ABCD 有公共点，则k 的取值范围为 .8、下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）9、如图，双曲线)0(>=k xky 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．10、如图，函数x y -=与函数xy 4-=的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．则四边形ACBD 的面积为11、如图所示，在反比例函数2(0)y x x=>的图象上有点1234,,,P P P P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ，则123S S S ++= .12、如图，正比例函数11y k x =与反比例函数22k y x=相交于A 、B 点，已知点A 的坐标为（4，n ），BD ⊥x 轴于点D ，且S △BDO =4。
反比例函数讲义
反比例函数一、反比例函数的概念1、概念：反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x =(k为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．2、注意：(1)k 为常数，k ≠0；（2）kx中分母x 的指数为1； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数； （4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数．3、xk y =（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 4、有表格数据判断是否为反比例函数关系时主要判断x 与y 的乘积是否相等。
例题：例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y =（2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y（5）x y 23-=（6）31+=xy （7）y ＝x －4 例2、若函数y ＝（m 2－1）x235m m +-为反比例函数，则m ＝________．课上练习：1.下列函数中哪些是y 是x 的正比例函数？哪些是y 是x 的反比例函数?①1-x 3=y ②22x y = ③xy 1= ④32x y =⑤x y 3= ⑥x y 1-= ⑦xy 31= ⑧x y 23=2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）有下面的关系：那么弹簧总长（cm ）与所挂物体质量（kg ）之间的函数关系式为_____________．3．苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为 4．若函数28)3(m xm y -+=是反比例函数，则m 的取值是5．矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为 6．已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ， 当x ＝－3时，y ＝7．函数21+-=x y 中自变量x 的取值范围是二、反比例函数解析式的确定1、在反比例函数关系式 y= kx 中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y= kx 中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式．2、定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y= kx (k ≠0)；②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程； ③由代入解待定系数k 的值； ④把k 值代人函数关系式y= kx 中.例题：例1．已知：y 与 x 2成反比例，并且当x =3时，y =4， 求: 当x =1.5时，y 的值。
反比例函数概念
反比例函数概念
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
知识点一：反比例函数的有关概念
1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成
知识点二：反比例函数的基本性质
1、反比例函数的图像：
反比例函数的图像是双曲线，是轴对称图形（对称轴是或）；（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交；
2、作图方法：描点法
①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
②描点（有小到大的顺序）
③连线（从左到右光滑的曲线）
3、反比例函数的几何意义：
反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
4、反比例函数的基本性质
反比例函数
的取值质①、的取值范围是；的取值范围是
②、函数图像分别在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小
③、对称轴为直线
④、若点在反比例函数图像上，则点也一定在此反比例函数图像上。
①、的取值范围是；的取值范围是
②、函数图像分别在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大
③、对称轴为直线
④、若点在反比例函数图像上，则点也一定在此反比例函数图像上。
5、反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出。
反比例函数
反比例函数反比例函数图象与性质知识点1.反比例函数的概念：一般地，xky =(k 为常数，k≠0)叫做反比例函数，即y 是x 的反比例函数。
(x 为自变量，y 为因变量，其中x 不能为零) 2.反比例函数的等价形式：y 是x 的反比例函数 ←→ )0(≠=k xky ←→ )0(1≠=-k kx y ←→ )0(≠=k k xy ←→ 变量y 与x 成反比例，比例系数为k.3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即k xy =>。
(通常第二种方法更适用)4.反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的； ②选取的点越多画的图越准确；③画图注意其美观性(对称性、延伸特征)。
5.反比例函数性质：①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴(x 轴和y 轴)，但不会与坐标轴相交。
6.反比例函数图象的几何特征:(如图4所示) 点P(x,y)在双曲线上都有||21||21||||k xy S k xy S AOB OAPB ====∆矩形反比例函数的定义及应用【例1】已知函数y = y 1 +y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x -2成正比例，且当x =1时，y = -1,当x = 3时，y = 3. 求y 关于x 的函数解析式.知识精讲P B AOP BA O图4确定反比例函数解析式【例1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点处，得到矩形，与交于点．(1)求图象经过点的反比例函数的解析式；(2)设(1)中的反比例函数图象交于点，求出直线的解析式．反比例函数增减性的应用 【例1】已知反比例函数3m y x-=(m 为常数，且3m ≠)． (1)若在其图象的每一个分支上，y 的值随x 的值增大而减小，求m 的取值范围； (2)若点32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在该反比例函数的图象上． ①求m 的值；②当1x <-时，直接．．写出y 的取值范围．xOy OEFG E ()4,0G ()0,2OEFG O F y N OMNP OM GFA A EFB AB由图形面积求比例系数【例1】如图，已知点A(2，m)是反比例函数y＝kx的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，△ABO的面积为6．(1)求k和m的值；(2)直线y＝2x+a(a≤0)与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F；①若a＝0，已知E(p，q)，则F的坐标为(用含p，q的坐标表示)；②若a＝﹣2．求AC的长．已知反比例函数求面积【例1】已知，反比例函数2yx=和6yx=的部分图象如图所示，点P在6yx=上，PC垂直x轴于点C，交2yx=于点A(2，1)，PD垂直y轴于点D，交2yx=于点B，连接OA，OB．(1)求B点和P点的坐标；(2)求四边形AOBP的面积．题型11．下列函数中，y是x的反比例函数的是( )A．x(y﹣1)＝1B．y＝15x-C．y＝﹣13x﹣1D．y＝21x当堂提升2．若函数2k 31y (3)k k x --=-是反比例函数，那么k 的值是_____．3.函数y=(m ﹣1)21mm x --是反比例函数(1)求m 的值(2)判断点(12，2)是否在这个函数的图象上．4.反比例函数y ＝kx图象经过A (1，2)，B (n ，﹣2)两点，则n ＝( ) A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣35．若反比例函数1y x=的图象经过点A (﹣2，m )，则m ＝_____． 6．数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为2200cm 的矩形学具进行展示.设矩形的宽为cm x ，长为cm y ，那么这些同学所制作的矩形长(cm)y 与宽(cm)x 之间的函数表达式是____________.7．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km /h 时，视野为80度.如果视野f(度)是关于车速(km /h)v 的反比例函数，则f ，v 之间的函数关系式为______；当车速为100km /h 时，视野的度数为______度.8．已知一次函数y ＝kx －1，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 9．对于反比例函数2y x=，下列说法不正确的是( ) A ．点(﹣2，﹣1)在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小10．已知反比例函数y ＝2k x-的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是_____． 11．若反比例函数()31m y m x-=+的图像在第二、四象限，则m 的值是______．12．已知反比例函数21k y x -=的图象经过第一、三象限，则常数k 的取值范围是_____． 13．反比例函数y ＝2m x+的图象上，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_____．14．若反比例函数的图象2ky x在其每个象限内，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围____________. 15．已知A(，1y )，B(2，2y )两点在双曲线32my x+=上，且12y y >，则m 的取值范围是( ) A ．m 0>B ．m 0<C ．3m 2>-D ．3m 2<-16．若A (-3，y 1)、B (-1，y 2)、C (1，y 3)三点都在反比例函数y=kx(k ＞0)的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ． y 1＞y 2＞y 3B ． y 3＞y 1＞y 2C ． y 3＞y 2＞y 1D ． y 2＞y 1＞y 317．点1(1,)A y -，2(2,)B y -在反比例函数3y x=的图象上，则1y ，2y 的大小关系是( ) A ．12y y > B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定18．在函数y ＝kx(k ≠0)的图象上有三点(﹣3，y 1)(﹣1，y 2)(2，y 3)，若y 2＜y 3，那么y 1与y 2的大小关系正确的是( ) A ．.y 1＜y 2＜0B ．.y 2＜y 1＜0C ．.0＜y 2＜y 1D ．0＜y 1＜y 219．一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是( ) A ． B ． C ． D ．20.若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是( )A．B．C．D．21．定义新运算：1(0)(0)bba babb⎧>⎪⎪⊕=⎨⎪-<⎪⎩，则函数2(0)y x x=⊕≠的图象大致是()A．B．C．D．反比例函数的应用知识点一、利用反比例函数解决实际问题1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.2. 一般步骤如下：(1)审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示.(2)由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. (3)写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. (4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.二、反比例函数在其他学科中的应用1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.反比例函数和一次函数综合【例1】如图，直线11y x =+与双曲线2ky x=(k 为常数，k ≠0)交于A ，D 两点，与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，点A 的坐标为(m ，2)． (1)求反比例函数的解析式．(2)结合图象直接写出当12y y <时，x 的取值范围．知识精讲【例2】已知A(﹣4，2)、B(n，﹣4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx+b﹣mx＞0的解集．反比例函数的几何综合【例1】如图，A(4，3)是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA(B在A右侧)，连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．(1)求反比例函数y=kx的表达式；(2)求点B的坐标；(3)求△OAP的面积．反比例函数实际问题与图象【例1】某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长为y (单位：m)随另一边长x (单位：m)的变化而变化的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【例2】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，则动力F (单位：N )关于动力臂l(单位：m )的函数解析式正确的是( ) A ．1200F l=B ．600F l=C ．500F l=D ．0.5F l=【例3】如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为410m 3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S (单位：m 2)与其深度d (单位：m )的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【例4】如图，反比例函数k(0)xy x =>经过A 、B 两点，过点A 作AC y ⊥轴于点C ，过点B 作BD y ⊥轴于点D ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，连结AD ，已知AC 1=、BE 1=、4BDOE S =．则ACDS＝_______．【例5】图，点P 是双曲线C ：4y x=(0x >)上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：122y x =-于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动,且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是______.【例6】如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A(0,4)，B(6，0)，若一个反比例函数的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为___.利用反比例函数解决实际问题【例1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(3m )的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa 时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应( )A ．不小于35m 4B ．大于35m 4C ．不小于35m 4D ．小于35m 4【例2】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间(min)的关系如图，为了在上午第一节下课时(8：45)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的A ．7：20B ．7：30C ．7：45D ．7：50【例3】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y (℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？1．如图，反比例函数k y x的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，矩形OABC 的对角线OB ，AC 交于点E (1，2)，则k 的值为( )当堂提升A ．4B ．8C ．﹣4D ．﹣82.在同一直角坐标系中，函数y kx k =+与(0)k y k x-=≠的图象大致为( )． A ．B ．C ．D ．3．如图，一次函数y 1＝k 1+b (k 1≠0)的图象分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，与反比例函数222(0)k y k x=≠的图象交于C (﹣4，-2)，D (2，4)．当x 为( )时，12y y <．A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣4C ．x ＜﹣4 或0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜24．如图，一次函数 1y ax = 与反比例函数 2k y x =的图象交于 ()1,1A ，()1,1B -- 两点．(1)若 12y y =，则 x = ____________；(2)若 12y y >，则 x 的取值范围是____________；(3)若 k ax x<，则 x 的取值范围是______________．5．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于(6,1)A ，(2,)B n -两点，连接 OA ，OB ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求AOB 的面积；(3)根据图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()kPa p 是气体体积()3m V 的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出这一函数的表达式；(2)当气体体积为31m 时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？。
反比例函数
课题反比例函数的复习教学目标 1.系统复习本章节的知识体系及知识内容。
重难点透视1．反比例函数的应用教学内容知识整理1.反比例函数的概念:一般地,形如kyx=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.确定反比例函数的解析式:设反比例函数的解析式为kyx=,代入自变量与函数值,解方程求出k的值,得出解析式.三种表达式：①kyx=②xy=k ③1y kx-=3．反比例函数的图像和性质当k>0时，函数的图像分别位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，函数的图像分别位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；反比例函数的图像是轴对称图形。
当k>0时，对称轴是y=x;当k<0时，对称轴是y=-x;反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点。
4.|k|的意义：反比例函数上的点与x轴和y轴围成的矩形的面积。
例题：如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为．基础训练1、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．2、如图,已知点A. B分别在反比例函数1yx=(x>0),4-yx=的图象上,且OA⊥OB,则OBOA的值为( )A. 2B. 2C. 3D.43、若直线y=m(m为常数)与函数2(2)8(2)x xyxx⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围_________.4、如图,已知函数3yx=-与y=ax2+bx+c(a>0,b>0)的图象相交于点P,且点P的纵坐标为1,则关于x的方程23ax bxx++=的解是_____________.5、已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧。
反比例函数概念与性质
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。
第六章反比例函数的概念及基本性质
反比例函数的概念及基本性质教学目标掌握反比例函数的概念、性质、图象，熟悉反比例函数与一次函数的关系 重难点分析重点：1、反比例函数的概念； 2、反比例函数的图形特征。
难点：1、求反比例函数的解析式； 2、根据图形特征比较大小。
知识点梳理1、反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成xk y =(k 为常数，0≠k )的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
一般形式：xk y = (k 为常数，)注意：（1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k(也叫做比例系数k)，分母中含有自变量x ，且x 的指数是1，若写成1-=kx y 。
则x 的指数是－1。
（2）比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分。
（3）自变量x 的取值范围是的一切实数。
（4）函数y 的取值范围也是一切非零实数。
2、待定系数法求反比例函数的解析式。
3、反比例函数图象（双曲线）的画法：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
4、反比例函数的性质：（1）当0>k 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；（2）当0<k 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升．也就是说，在每个象限内，随的增大而增大。
知识点1：反比例函数的概念【例1】判断下列说法是否正确1．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增大时，y 就减小 【 】 2．当x 与y 乘积一定时，y 就是x 的反比例函数，x 也是y 的反比例函数 【 】 3．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数 【 】 4．y 与2x 成反比例时，y 与x 并不成反比例 【 】 5．y 与x 2成反比例时，y 与x 也成反比例 【 】 6．已知y 与x 成反比例，又知当2=x 时，3=y ，则y 与x 的函数关系式是6xy = 【 】 【随堂练习】1、已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h =__________，这时h 是a 的__________。
反比例函数的概念与性质
反比例函数在经济学中的应用
描述供求关系：反比例函数可以用来描述经济学中的供求关系，帮助分析 市场上的供需变化。
解释边际效用递减规律：反比例函数可以解释经济学中的边际效用递减规 律，即随着消费量的增加，单位消费所带来的效用逐渐减少。
反比例函数与二次函数的联系与区别
反比例函数与二次函数都是非线性函数，具有不同的函数图像和性质。
反比例函数的图像位于x轴和y轴之间，而二次函数的图像可能位于x轴上 方或下方。
反比例函数的导数在x=0处不存在，而二次函数的导数在x=0处存在。
反比例函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增，而二次函数在x<0时 单调递减，在x>0时单调递增。
反比例函数与幂函数的联系与区别
反比例函数与幂函数在形式上的联系：两者都是形如y=k/x（k为常数）的函数，具有反比例关 系的函数形式。
反比例函数与幂函数在性质上的区别：反比例函数的图像分布在第一、三象限，而幂函数的图 像根据幂次的不同分布在各象限；反比例函数的图像是关于原点对称的，而幂函数的图像则关 于：双曲 线，位于两轴之 间
图像位置：取决于 比例常数k，k>0 时位于一三象限， k<0时位于二四象 限
图像变化趋势： 随着x的增大或减 小，y值逐渐减小 或增大
图像与坐标轴的 交点：原点 O(0,0)和点(k,0)
反比例函数的解析式
定义：形如 y = k/x (k为常数且k≠0) 的函数称为反比例函数 解析式：y = k/x (k为常数且k≠0) 图像：双曲线，位于x轴和y轴的两侧 性质：当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限
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数的定义可知变量y是变量x的函数.再根据反比例函数的表达式可知y是x的反比例函数.
2)根据人均占有耕地面积等于总耕地面积除以总人数得m=380/n .给定一个n的值,就相应地确定了一个m的值,因此m是n的函数,又m= 380/n符合反比例函数的形式,所以是反比例函数.
（三）、例题分析：
1．下列函数中，，当x>0时，y随x的增大而减小的是 （ ）
A、y=x B、y=x/8 C、y=-x/4 D、y=x2
例2、填空：
1、若反比例函数y=3/x的图象经过点A（a，15），则a=________
2、反比例函数y=－2/x的图象位于第象限。
例3、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，4），已知点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍.
C、一、三、四象限D、二、三、四象限
3解答题：
1、已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图像经过点（4，3），求当x=6时，y的值,反比例函数表达式？
2、已知一次函数y= -x+8和反比例函数y = k/x
(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有
两个交点？
( 2 )如果其中一个交点为（－1，9），求另一个交点坐标。
⑴求点P的坐标.；
⑵求正比例函数、反比例函数的解析式.
（四）、巩固训练：
选择题：
1、下列函数中，y是x的反比例函数的为
A：y＝－3x B：y＝2x+1 C：y＝3/x D：y＝－x/3
2、如果正比例函数y=kx（k≠0），y随x的增大而减小，那么相应的一次函数y=kx+b（b<0）经过（）
A、一、二、三象限B、一、二、四象限
（二）、新课讲解
1.反比例函数定义。
看方才的问题，(1)你能用含有t的代数式表示v吗?
(2)当t分别为20，40，60，80，100时，v分别为多大？
当t越来越大时,v怎样变化?当t越来越小呢?
(3)变量t是v的函数吗?为什么?
师生讨论后给出：一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.
（五）.课后作业
已知y-1与x+2成反比例,且当x=1时,y=4,求y与x的函数表达式,并判断是哪类函数
课后反思
在讲课的过程中，与学生的互动较少，没有充分调动起学生的积极性，自己也有点紧张，导致只顾自己讲完，留给学生思考的时间较少。在数次不停修改教学设计的过程中，自己的认识也在不断提高，题目设计水平也有了提高。
过程与方法
(1）经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念.
(2)结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数表达式。
情感、态度、价值观
从现实情境和已有知识经验出发研究两个变量之间的相互关系，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。体验数学来源于生活实际，激发学生学习数学的热情和兴趣。
天府新区煎茶中学数学学科教学设计
教学设计人
罗世清
使用教师
罗世清
教学内容
反比例函数概念
教学目标
知识与技能
1现实情境和已有知识出发，讨论两个变量的相互关系，加深对反比函数概念的理解
2探索现实生活中数量间的反比例关系，能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想
小结：求正比例函数和一次函数的表达式.在y=kx中,要确定关系式的关键是求得非零常数k的值,因此需要一个条件即可;在一次函数
y=kx+b中,要确定关系式实际上是要求得b和k的值,有两个待定系数因此需要两个条件.同理,在求反比例函数的表达式时,实际上是要确定k的值.因此只需要一个条件即可,也就是要有一组x与y的值确定k的值.
教学重点
经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念.
教学难点
领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。
教学环节
教学过程
二次使用修改
一、知识链接：
函数、一次函数和正比例函数定义、性质等。
二、.创设问题情境,引入新课
（一）、我们在前面学过一次函数和正比例函数,知道一次函数的表达式为y=kx+b.其中k,b为常数且k≠0,正比例函数的表达式为y=kx,其中k为不为零的常数.但是在生活中,并不是只有这两种类型的表达式.如从A地到B地的路程为1600km,某人开车要从A地到B地,汽车的速度v(km/h)和时间t(h)之间的关系式为vt=1600,则t和v之间的关系是什么呢？肯定不是正比例函数和一次函数的关系,那么它们之间的关系究竟是什么关系呢?这就是本节课我们要揭开的奥秘.
从中可知x作为分母,所以x不能为零.
2.做一做1）.一个矩形的面积为200平方厘米,相邻的两条边长分别为x cm和y cm,那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
2）.某村有耕地380公顷,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?