东城区2018届初三二模数学试题和答案(官方版)
1 / 16数学试卷 第1页（共16页）东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数 学 试 卷 2018.5学校______________班级______________姓名_____________考号____________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为A. 205万B. 420510⨯ C. 62.0510⨯ D. 72.0510⨯ 2. 在平面直角坐标系xOy 中，函数31y x =+的图象经过A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 正方体4. 七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：甲组 158 159 160 160 160 161 169 乙组 158159160161161163165以下叙述错误．．的是 A. 甲组同学身高的众数是160 B. 乙组同学身高的中位数是161 C. 甲组同学身高的平均数是161 D. 两组相比，乙组同学身高的方差大 5. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()3,4P 在O e 内，则O e 的半径r 的取值范围是A. 0r ＜＜3B. r ＞4C. 0r ＜＜5D. r ＞52 / 16数学试卷 第2页（共16页）6. 如果23510a a +-=，那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是A. 6B. 2C. - 2D. - 67. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是A. 图2B. 图1与图2C. 图1与图3D. 图2与图38. 有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃O e 的直径，且AB ⊥CD . 入口K 位于»AD 中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x ，与入口K 的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是A. A →O →DB. C→A→O → BC. D →O →CD. O→D→B→C 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2.写出一个．．符合条件的点P 的坐标________________.11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. O e 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.3 / 16数学试卷 第3页（共16页）第11题图 第15题图 12. 抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.13．自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5 时52分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为_________ .14. 每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为 ；若该社区有10 000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为 .15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、 y 轴上，30APO ∠=︒ .先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到 线段PC ，连接BC . 若点A 的坐标为()1,0- ，则线段BC 的长为 . 16. 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：4 / 16数学试卷 第4页（共16页）小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是 .三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()332sin 60+2+12--︒-. 18． 解不等式()()41223x x ---＞，并把它的解集表示在数轴上.19. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .(1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =，6BC =时，求DE 的长.5 / 16数学试卷 第5页（共16页）20. 已知关于x 的一元二次方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根.21．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF . （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥.22. 已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.23． 如图，AB 为O e 的直径，直线BM AB ⊥于点B .点C 在O e 上，分别连接BC ，AC ，且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O e 的切线交BM 于点F . （1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =，6BC =，求线段OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对6/ 16数学试卷 第6页（共16页）生态文明建设非常关键 .截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率表2 北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1) 从第________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率； (2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3) 第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a ，全国森林覆盖率21.63%7 / 16数学试卷 第7页（共16页）记为b ，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a 和b 的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整： 建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x 米，篱笆长为y 米.则y 关于x 的函数表达式为 ; 列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x 与y 的几组值，如下表：描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当x = 时，y 有最小值. 由此，小强确定篱笆长至少为 米.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．8 / 16数学试卷 第8页（共16页）27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.9 / 16数学试卷 第9页（共16页）（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t .①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围；②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.10 / 16数学试卷 第10页（共16页）东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CACDDACB二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. x ＞0 10. ()()()()21212121--，，，-，，，，-（写出一个即可） 11. 2 12. ()1,1m -- 13. ()2 1.8250x x ++= 14. 120 ；3 000 15. 22 16. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）3=3-2-8+232⨯17.解：原式 --------------------------------------------------------------------4分 =3-5-------------------------------------------------------------------------------------------------- 5分 18. 解：移项，得()1213x -＜， 去分母，得 23x -＜， 移项，得x ＜5.∴不等式组的解集为x ＜5. --------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分19. 证明：（1） ∵DE 垂直平分AB ,∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分 (2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =， ∴10AB =.∵DE 平分AB ，11 / 16数学试卷 第11页（共16页）∴5AE =.∵ADE ABC △∽△，∴DE AE BC AC= . ∴568DE = . ∴154DE = . ---------------------------------------------------------------------5分 20. 解：（1） 依题意，得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞， 解得k k ≠＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分(2) ∵k 是小于9的最大整数， ∴=8k .此时的方程为28610x x -+=.解得11=2x ，21=4x . ---------------------------------------------------------------------5分21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠.∵ECF α=∠，∴ BCD ECF ∠=∠.∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到，∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分(2) 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥.∴+90ACB EBC ∠=︒∠.∵=EB EC ，12 / 16数学试卷 第12页（共16页）∴=EBC BCE ∠∠.由（1）可知，∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠.∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分22. 解：（1）12k =，22P ⎭，，或22P ⎛-- ⎝⎭，;---------------------------3分 (2) 1k ≥. ---------------------------------------------------------------------5分23. （1）证明：∵AB 是O e 的直径，∴90ACB ∠=︒.∴90DCB ∠=︒.∴90CDB FBC ∠+∠=︒.∵ AB 是O e 的直径，MB AB ⊥，∴MB 是O e 的切线.∵CF 是O e 的切线，∴FC FB =.∴=FCB FBC ∠∠.∵90FCB DCF ∠+∠=︒ ,∴=CDB DCF ∠∠.∴=CF DF . ---------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知，ABC △是直角三角形，在Rt ABC △中，=10AB ，=6BC ， 根据勾股定理求得=8AC .在Rt ABC △和Rt ADB △中，A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，， ∴Rt ABC △∽Rt ADB △.∴AB AC AD AB=.13 / 16数学试卷 第13页（共16页） ∴10810AD = .∴252AD =.由（1）知，∵=CF DF ，=CF BF ，∴=DF BF .∵=AO BO ，∴ OF 是ADB △的中位线.∴125.24OF AD ==---------------------------------------------------------------------5分24. 解：(1)四； ---------------------------------------------------------------------1分（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分（3）5432000ab .------------------------------------------------------5分 25. 解：42y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；----------------------------------------------1分 810，； --------------------------------------------------------3分 如图； ----------------------------------------------------------4分 28，. -----------------------------------------------------------5分14 / 16数学试卷 第14页（共16页）26. 解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a =+-≠， 得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，， 解得12a b ==-，． ∴抛物线的表达式为223y x x =--． -------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '.设直线AB '的表达式为y mx n =+，把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+，得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图，直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '，则 'PN PN =．∵PM PN <，∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间15 / 16数学试卷 第15页（共16页）的部分上．联立223y x x =--与1y x =--，可求得点C 的横坐标为2．又点B 的横坐标为4，∴点P 的横坐标P x 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分27. 解：(1)120°.---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒，∴60.ACP BCP ∠+∠=︒∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N .16 / 16数学试卷 第16页（共16页） ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒，∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴3= 3.2BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+g g )3AD CD =+ 322= 3.=----------------------------------------------------------7分28. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF =∴.AF d CF ≤≤∵=429AF CF ，∴29.d 4≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分 ②33 1.t -2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分。
北京市东城区2018年中考数学二模卷
东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数 学 试 卷 2018.5一、选择题(本题共16分.每小题2分)1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市.面积约2 050 000平方公里.约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为 A. 205万 B. 420510⨯ C. 62.0510⨯ D. 72.0510⨯ 2. 在平面直角坐标系xOy 中.函数31y x =+的图象经过A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限 3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中.主视图不可能．．．是多边形的是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 正方体 4. 七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：以下叙述错误．．的是 A. 甲组同学身高的众数是160 B. 乙组同学身高的中位数是161 C. 甲组同学身高的平均数是161 D. 两组相比.乙组同学身高的方差大 5. 在平面直角坐标系xOy 中.若点()3,4P 在O 内.则O 的半径r 的取值范围是A. 0r ＜＜3B. r ＞4C. 0r ＜＜5D. r ＞56. 如果23510a a +-=.那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是 A. 6 B. 2 C. - 2 D. - 6 7. 在以下三个图形中.根据尺规作图的痕迹.能判断射线AD 平分∠BAC 的是A. 图2B. 图1与图2C. 图1与图3D. 图2与图38. 有一圆形苗圃如图1所示.中间有两条交叉过道AB .CD .它们为苗圃的直径.且AB ⊥CD . 入口K 位于中点.园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x .与入口K 的距离为y .表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示.则该园丁行进的路线可能是O e »AD图2A. A→O→DB. C→A→O→ BC. D→O→CD. O→D→B→C二、填空题(本题共16分.每小题2分)9．若分式22xx+的值为正.则实数x的取值范围是__________________.10．在平面直角坐标系xOy中.点P到x轴的距离为 1.到y轴的距离为 2.写出一个．．符合条件的点P的坐标________________.11. 如图.在△ABC中.AB=AC.BC=8. 是△ABC的外接圆.其半径为5. 若点A在优弧BC上.则tan ABC∠的值为_____________.第11题图第15题图12. 抛物线221y mx mx=++（m为非零实数）的顶点坐标为_____________.13．自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来.截至2018年5月8日5时52分.北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米.求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x亿立方米.依题意.可列一元一次方程为_________ .14. 每年农历五月初五为端午节.中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况.对该社区居民进行了随机抽样调查.并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息.本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为；若该社区有10 000人.估计爱吃鲜肉粽的人数约为 .Oe15. 如图.在平面直角坐标系xOy 中.点A .P 分别在x 轴、 y 轴上.30APO ∠=︒ . 先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB .再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到线段PC .连接BC . 若点A 的坐标为()1,0- .则线段BC 的长为 . 16. 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是 .三、解答题(本题共68分.第17-24题.每小题5分.第25题6分.第26-27.每小题7分.第28题8分)17．计算：()332sin 60+2--︒-18． 解不等式()()41223x x ---＞.并把它的解集表示在数轴上.19. 如图.在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AB 的垂直平分线交AC 于点D .交AB 于点E .(1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =.6BC =时.求DE 的长.20. 已知关于x 的一元二次方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围； (2)写出满足条件的k 的最大整数值.并求此时方程的根.21．如图.在菱形ABCD 中.BAD α∠=.点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α.得到CF .连接DF . （1）求证：BE =DF ； （2）连接AC . 若EB =EC .求证：AC CF ⊥.22. 已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =.求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时.结合函数图象.直接写出实数k 的取值范围.23． 如图.AB 为O 的直径.直线BM AB ⊥于点B .点C 在O 上.分别连接BC .AC .且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O 的切线交BM 于点F .（1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =.6BC =.求线段OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明.建设美丽中国. 十九大报告再次明确.到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障.提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键 .截止到2013年.我国已经进行了八次森林资源清查.其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率表2 北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1) 从第________次清查开始.北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率； (2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图.并在图中标明相应数据；(3) 第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a .全国森林覆盖率21.63%记为b .到2018年第九次森林资源清查时.如果全国森林覆盖率达到27.15%.那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a 和b 的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园.妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程.请补充完整： 建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x 米.篱笆长为y 米.则y 关于x 的函数表达式为 ; 列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式.得到了x 与y 的几组值.如下表：描点、画函数图象：如图.在平面直角坐标系中.描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点画出该函数的图象； 观察分析、得出结论：根据以上信息可得.当x = 时.y 有最小值. 由此.小强确定篱笆长至少为 米.26．在平面直角坐标系中.抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，． （1）求该抛物线的表达式； （2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式； 线.直线与（3）点是轴上的动点.过点作垂直于轴的直该抛物线交于点M .与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时.求点的横坐标P x 的取值范围．xOy xOy P x P x l l P27. 如图所示.点P 位于等边ABC △的内部.且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D .使得PD =PC .连接AD .CD ．①依题意.补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下.若BD 的长为2.求四边形ABCD 的面积．28. 研究发现.抛物线214y x =上的点到点F (0.1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示.若点P 是抛物线214y x =上任意一点.PH ⊥l 于点H .则. 基于上述发现.对于平面直角坐标系x O y 中的点M .记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d.称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时.称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，.2(12)M ，.3(45)M ，.4(04)M -，中.抛物线214y x =的关联点是______ ； （2）如图2.在矩形ABCD 中.点(1)A t ，.点(13)A t +，C ( t .①若t =4.点M 在矩形ABCD 上.求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点.则t 的取值范围是__________. PH PF=东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共16分.每小题2分）二、填空题（本题共16分.每小题 2分）9. x ＞0 10. ()()()()21212121--，，，-，，，，-（写出一个即可） 11. 212. ()1,1m -- 13. ()2 1.8250x x ++= 14. 120 ；3 000 15. 16. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分.17-24题.每题5分.第25题6分.26-27题.每小题7分.第28题8分）=3-22⨯17.解：原式分-------------------------------------------------------------------------------------------------- 5分 18. 解：移项.得()1213x -＜. 去分母.得 23x -＜. 移项.得x ＜5.∴不等式组的解集为x ＜5. --------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分19. 证明：（1） ∵DE 垂直平分AB ,∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠.∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分 (2) ABC Rt △中.8AC =.6BC =. ∴10AB =. ∵DE 平分AB . ∴5AE =. ∵ADE ABC △∽△.∴DE AEBC AC=.∴568DE = . ∴154DE = . ---------------------------------------------------------------------5分20. 解：（1） 依题意.得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞，解得k k ≠＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分(2) ∵k 是小于9的最大整数.∴=8k .此时的方程为28610x x -+=. 解得11=2x .21=4x . ---------------------------------------------------------------------5分21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形.∴=BC DC .BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠.∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到. ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中.BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形.∴ACB ACD ∠=∠.AC BD ⊥. ∴+90ACB EBC ∠=︒∠. ∵=EB EC .∴=EBC BCE ∠∠. 由（1）可知.∵=EBC DCF ∠∠.∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠. ∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分 22. 解：（1）12k =.P ⎭.或P ⎛ ⎝⎭;---------------------------3分 (2) 1k ≥. ---------------------------------------------------------------------5分23. （1）证明：∵AB 是O 的直径.∴90ACB ∠=︒. ∴90DCB ∠=︒.∴90CDB FBC ∠+∠=︒. ∵ AB 是O 的直径.MB AB ⊥.∴MB 是O 的切线. ∵CF 是O 的切线.∴FC FB =. ∴=FCB FBC ∠∠. ∵90FCB DCF ∠+∠=︒ , ∴=CDB DCF ∠∠.∴=CF DF . ---------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知.ABC △是直角三角形.在Rt ABC △中.=10AB .=6BC .根据勾股定理求得=8AC . 在Rt ABC △和Rt ADB △中.A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，， ∴Rt ABC △∽Rt ADB △. ∴AB ACAD AB=. ∴10810AD = . ∴252AD =. 由（1）知.∵=CF DF .=CF BF . ∴=DF BF . ∵=AO BO .∴ OF 是ADB △的中位线. ∴125.24OF AD ==---------------------------------------------------------------------5分 24. 解：(1)四；---------------------------------------------------------------------1分（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分（3）5432000a b.------------------------------------------------------5分 25. 解：42y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；----------------------------------------------1分 810，； --------------------------------------------------------3分如图； ----------------------------------------------------------4分28，. -----------------------------------------------------------5分26. 解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a =+-≠.得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，， 解得12a b ==-，． ∴抛物线的表达式为223y x x =--． -------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '.则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '.设直线AB '的表达式为y mx n =+.把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+.得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图.直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '.则 'PN PN =．∵PM PN <.∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间的部分上．联立223y x x =--与1y x =--.可求得点C 的横坐标为2．又点B 的横坐标为4.∴点P 的横坐标P x 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分27. 解：(1)120°.---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中.60ACB ∠=︒.∴60.ACP BCP ∠+∠=︒∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中.AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分（3）如图2.作BM AD ⊥于点M .BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒，∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=BM BN == 又由（2）得.=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BMCD BN =+)2ADCD =+2==----------------------------------------------------------7分28. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时.()41A ，.()51B ，.()53C ，.()43D ，. 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方. ∴.d MF =∴.AF dCF ≤≤∵=4AF CF，∴d 4≤---------------------------------------------------------------------------------- 5分② 1.t ≤ ------------------------------------------------------------------------8分。
北京市东城区2018学年九年级数学第二学期综合练习(一)
北京市东城区2018--2018学年初三数学第二学期综合练习（一）在答题一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1.-2的相反数是 A . 2 B.21 C. 21- D. -2 2.根据国家统计局的公布数据，2018年我国GDP 的总量约为398 000亿元人民币. 将398 000 用科学记数法表示应为A. 398×118B. 0.398×118 C . 3.98×118 D. 3.98×118 3．如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E 等于A . 30° B. 40° C. 60° D . 70°4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 边的中点． 若DE =2，则AB 的长度是A ．6B ．5C ．4D ．35.甲、乙、丙、丁四名学生10次小测验成绩的平均数(单位：分)和方差如下表：则这四人中成绩最稳定的是A.甲 B .乙 C.丙 D.丁 6．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于A ．11πB ．10πC ．9πD ．8π7. 若从10~99这连续90个正整数中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等，则选出的 数其十位数字与个位数字的和为9的概率是 A ．901 B . 101 C. 91 D. 4548. 如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.动点R 从点B 出发，沿B →C →D →F 方向运动至点F 处停止．设点R 运动的路程为x ，EFR △的面积为y ，当y 取到最大值时，点R 应运动到A ．BC 的中点处B ．C 点处C ．CD 的中点处 D ．D 点处二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 若分式53+x 有意义，则x 的取值范围是____________. 10. 分解因式：a 2b -2ab+b =________________.11. 已知A 、B 是抛物线y=x 2-4x +3上关于对称轴对称的两点，则A 、B 的坐标可能 是 .（写出一对即可） 12. 如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）；点n A （ ， ）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算：4sin 45(3)4︒+-π+-．14. 求不等式组46,1(3)22x x +≤⎧⎪⎨->-⎪⎩ 的整数解．15．先化简，再求值：1)1213(22-÷-+-x xxx x x ，其中13-=x .16. 如图，在四边形ABCD 中， AC 是∠DAE 的平分线，DA ∥CE ，∠AEB =∠CEB . 求证：AB=CB .17.列方程或方程组解应用题随着人们节能意识的增强，节能产品进入千家万户，今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米．18．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ． （1）求证：∠BAE =∠DAF ；（2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 某中学的地理兴趣小组在本校学生中开展主题为“地震知识知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：（1）表中的m 的值为_______，n 的值为 ．（2）根据表中的数据，请你计算“非常了解”的频率在下图中所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．（3）若该校有1500名学生，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”的人数约为多少？20. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD 的延长线于C ．（1）求证：AD ＝DC ；（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，求⊙O 的半径．21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=xk2的图象交于A(1,6)，B(a,3)两点 .（1）求k1，k2的值；（2）如图，点D在x轴上，在梯形OBCD中，BC∥OD,OB=DC,过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为18时，求PE：PC的值.22. 如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.（1）请你帮小萍求出x的值.(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知关于x的方程(m-1)x2-(2m-1)x+2=0有两个正整数根.(1) 确定整数m值；(2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程 (m -1)x 2-(2m -1)x +2+xm=0的实数根的个数.24. 等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F .（1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.图1 图2 图325. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx +8（a ≠0）的图像与x 轴交于点A （-2，0），B ，与y 轴交于点C ，tan∠ABC =2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标； （2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得经过点P 的直线PM 垂直于直线CD ，且与直线OP 的夹角为75°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？12.北京市东城区2018--2018学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）13．（本小题满分5分）解04sin 45(3)4︒+-π+-=22422⨯-+1+4 ………………………………………4分 =5． …………………………………… 5分14．（本小题满分5分） 解：由①得：x ≤2. --------1分 由②得：x-3＞-4,x ＞-1. --------2分∴原不等式组的解集为 -1＜x ≤2. --------3分 ∴原不等式组的整数解为 0,1,2. --------5分 15．（本小题满分5分）1)1213(22-÷-+-x x xx x x=xx x x x x x 1]12)1)(1(3[2-⨯--+---------2分 =213-+x x=12+-x x . --------3分 当13-=x 时，3133312-=-=+-x x .--------5分 16．（本小题满分5分）CDE2 31证明：∵AC 是∠DAE 的平分线， ∴∠1=∠2. -------1分 又∵AD ∥EC ，∴∠2=∠3. ------2分 ∴∠1=∠3.∴AE=CE. --------3分 在△ABE 和△CBE 中， ， ∠AEB=∠CEB ， ，∴△ABE ≌△CBE. --------4分 ∴AB=CB. ------5分17．（本小题满分5分）解：设小明家2月份用气x 立方米，则去年12月份用气(x +10) 立方米．-------1分 根据题意，得%251096109690⨯+=+-x x x ． ----------------3分 解这个方程，得x ＝30． ---------------4分 经检验，x ＝30是所列方程的根．答：小明家2月份用气30立方米． -----------------5分 18．（本小题满分5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D.又 AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.---------2分 （2）在Rt △ABE 中，sin ∠BAE=53，AE=4,可求 AB=5. ---------3分 又∵∠BAE=∠DAF ， ∴ sin ∠DAF=sin ∠BAE=53. 在Rt △ADF 中，AF=524, sin ∠DAF =53,可求DF=518-------4分ABCDEF∵ CD=AB=5. ∴CF=5-518=57． …………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）解：（1）0.6；36；------------2分 （2）72°；补全图如下：60%比较了解不太了解2%18%------------4分（3）1500×0.6＝900.答：学生中“比较了解”的人数约为900人 ------------5分 20.（本小题满分5分）（1）证明：在⊙O 中，OD ⊥AB ，CB ⊥AB ，∴AM ＝MB ，OD ∥BC . …………………1分 ∴AD ＝DC . ……………2分 （2）∵DE 为⊙O 切线，∴OD ⊥DE ……………3分 ∴四边形MBED 为矩形.∴DE ∥AB. ……………4分 ∴MB=DE =2，M D=BE ＝EC =1. 连接OB.在Rt △OBM 中，OB 2=OM 2+BM 2.解得 OB=25. …………………5分 21．（本小题满分5分）解：（1）∵点A (1,6),B (a ,3)在反比例函数y =xk 2的图象上， ∴ k 2=1×6=6. --------1分 ∴ a ×3=6，a =2. ∴B (2，3).由点A (1,6),B (2,3)也在直线y=k 1x+b 上，MOA BCDE得⎩⎨⎧=+=+,32,611b k b k解得k 1=-3.∴k 1=-3， k 2=6. -----------------2分 (2) 设点P 的坐标为（m,n ）. 依题意，得21×3（m +2+m -2）=18，m =6. -----------------3分 ∴ C （6,3），E （6,0）. ∵ 点P 在反比例函数y =x6的图象上， ∴ n =1. ------------------4分 ∴PE ：PC =1：2 . ------------------5分22．（本小题满分5分）解： （1）设AD =x ，由题意得，BG=x －2，CG=x-3. 在Rt △BCG 中，由勾股定理可得 222(2)(3)5x x -+-=. 解得 6x =. --------------2分（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EAF=60°，∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4. 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形. ∴ EF=4.∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG.在△EFG中，可求，EG =∴△EFG 的周长＝. --------------5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解： 由方程(m -1)x 2-(2m -1)x +2+xm=0可得)1(22)1(4)12()12(2-⨯-⨯--±--=m m m m xGF ED CBA=)1(2)32(12)1(2)32()12(2-+±-=--±-m m m m m m111-=m x ，.22=x ∵21,x x 均为正整数，m 也是整数， ∴m =2. ----------3分 （2）由（1）知x 2-3x +2+x2=0. ∴x 2-3x +2= -x2. 画出函数y = x 2-3x +2，y = -x2的图象，---------6分 由图象可知，两个函数图象的交点个数是1. ---------7分24. （本小题满分7分）（1）△EPF 为等边三角形. --------------1分 （2）设BP=x ，则CP ＝6－x.由题意可 △BEP 的面积为28x .△CFP 的面积为2(6)2x -.△ABC 的面积为设四边形AEPF 的面积为y.∴ y =2x 2)x -=2+-自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. --------------4分（3）可证△EBP ∽△PCF.∴BP BECF CP=. 设BP=x ， 则 (6)8x x -=. 解得 124,2x x ==.∴ PE 的长为4或分25．（本小题满分8分）解：（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0) 将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax 2+bx +8，⎩⎨⎧=++=+-.08416,0824b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 228y x x ∴=-++配方得y2(1)9x =--+，顶点D （1,9）. ---------3分 （2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，，由(08)(19)C D ，，，求得直线CD 的解析式为8y x =+， 它与x 轴的夹角为45． 过点P 作PN ⊥y 轴于点N.依题意知，∠N PO=30°或∠NPO=60°. ∵P N=2，∴O N=332或23． ∴存在满足条件的点P ，P 的坐标为（2，332 ）和(2，23)．-----------6分 （3）由上求得(80)(412)E F -，，，． 当抛物线向上平移时，可设解析式为228(0)y x x m m =-+++>． 当8x =-时，72y m =-+． 当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．由题意可得m 的范围为072m ∴<≤．∴ 抛物线最多可向上平移72个单位． -----------8分。
北京市八区2018届中考二模数学分类汇编：四边形(含答案)
∵ tan
ACD
1
，
2
∴ tan 1
tan
ACD
1
．
2
∵ 在 Rt△ ABC 中，
ACB
90 ， AC=2 ， tan 1
1
，
2
∴ BC AC 4 ． tan 1
∴ DE=BC= 4．……………………………………………………………
3分 4分
5分
海淀 21．如图，在四边形 ABCD 中， AB CD ， BD 交 AC 于 G ， E 是 BD 的中点，连
东城 21．如图，在菱形 ABCD中， BAD ，点 E 在对角线 BD 上 . 将线段 CE 绕点 C 顺
时针旋转 ，得到 CF，连接 DF. （ 1）求证： BE=DF；
（ 2）连接 AC， 若 EB=EC ，求证： AC CF .
21 . (1) 证明：∵四边形 ABCD是菱形，
∴ BC =DC ， ∠ BAD ∠ BCD . ∵ ∠ ECF ， ∴ BCD ∠ ECF . ∴ BCE = DCF . ∵线段 CF 由线段 CE 绕点 C 顺时针旋转得到， ∴ CE =CF . 在 △ BEC 和 △ DFC 中，
∵ EB =EC ， ∴ EBC = BCE .
由（ 1）可知，
∵ EBC = DCF ， ∴ DCF + ∠ ACD EBC
ACB 90 .
∴ ∠ ACF 90 .
∴ AC CF . --------------------------------------------------------------------∥ BE．………………………………… 1 分
又∵ BE=CD ，
∴ 四边形 CDBE 为平行四边形．…………… 2 分
2018-2019学年北京市东城区九年级二模数学试卷(含答案)
东城区2018-2019学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试卷 2019.6一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 1.若分式31-x 有意义，则x 的取值范围是 A ．3≠xB ．3<xC ． 3>xD ．3=x2.若a= ，则实数a 在数轴上对应的点P 的大致位置是 A. B. C. D.3.下图是某几何体的三视图，该几何体是A ．棱柱B ．圆柱C ．棱锥D ．圆锥4. 二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+22y x y x 的解为A.B.C.D.⎩⎨⎧=-=02y x5.下列图形中，是中心对称图形但不是．．轴对称图形的是A. B., C. D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）.将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（-2，0）．则点B的对应点B'的坐标为A．（5，2）B．（-1，-2）C．（-1，-3）D．（0，-2）7.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离约为A．1000sinα米B．1000tanα米C．1000tanα米D．1000sinα米8.如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为x(s),△PAB的面积为y(cm2).表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为图1 图2 A ．5B ．52C ． 2D ．25二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.分解因式：= ．10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加东城区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数x （单位：分）及方差s 2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．甲 乙 丙 丁 x7 8 8 7 s 211.20.91.811. 如果2x y -=，那么代数式2(2)4(2)x x y y x +-+-的值是 ．12. 如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D 均落在格点上，则∠BAC+∠ACD=________°．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线y 1=－x+a 与直线y 2=bx －4相交于点P （1,－3），则关于x 的不等式－x+a ＜bx －4的解集是 .14.用一组,k b 的值说明命题“若0k >，则一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是k =____________，b =____________.15. 如图，B ，C ，D ，E 为⊙A 上的点，DE ＝5，∠BAC +∠DAE ＝180°，则圆心A 到弦BC的距离为．16.运算能力是一项重要的数学能力。
2018年北京市东城区中考二模数学试卷附答案.docx
东城区 2017-2018 学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试卷2018.5学校 ______________班级 ______________姓名 _____________ 考号 ____________1．本试卷共8 页，共三道大题，28 道小题，满分100 分 .考试时间120 分钟 .考2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号.生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.须4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.知5．考试结束，将本试卷、答题卡一并交回.一、选择题 ( 本题共 16 分，每小题 2 分 )下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1.长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11 省市，面积约 2 050 000 平方公里，约占全国面积的21% .将 2 050 000 用科学记数法表示应为A. 205 万B. 205 104C. 2.05 106D. 2.05 1072.在平面直角坐标系xOy 中，函数 y 3x 1 的图象经过A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是A. 圆锥B. 圆柱C.球D. 正方体4.七年级 1 班甲、乙两个小组的 14 名同学身高（单位：厘米）如下：甲组158159160160160161169乙组158159160161161163165以下叙述错误的是．．A. 甲组同学身高的众数是160B.乙组同学身高的中位数是 161C. 甲组同学身高的平均数是161D.两组相比，乙组同学身高的方差大5. 在平面直角坐标系xOy中，若点P 3,4 在O内，则O的半径 r 的取值范围是A. 0＜ r ＜ 3B. r＞4C. 0＜ r ＜ 5D. r＞56. 如果3a25a 10，那么代数式5a 3a 23a+2 3a 2 的值是A. 6B. 2C. - 2D. - 617. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠ BAC 的是A. 图 2B. 图 1 与图 2C. 图 1与图 3D. 图 2 与图 38. 有一圆形苗圃如图 1 所示，中间有两条交叉过道AB，CD，它们为苗圃e O的直径，且 AB⊥ CD. 入口 K 位?.设该园丁行进的时间为x，与入口 K 的距离为 y，于 AD 中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则该园丁行进的路线可能是图 2A. A→O→DB. C→ A→O→ BC. D→ O→CD. O→ D→ B→C二、填空题( 本题共 16 分，每小题 2 分 )9．若分式x的值为正，则实数x 的取值范围是__________________.x2210．在平面直角坐标系xOy中，点P到 x 轴的距离为，到y轴的距离为写出一个符合条件的点P的坐标1 2.．．________________.11. 如图，在△ ABC 中， AB=AC，BC=8.e O是△ABC的外接圆，其半径为 5.若点A在优弧BC上，则tan∠ABC 的值为_____________.2第 11 题图第15题图12. 抛物线y mx22mx 1 （ m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.13．自 2008 年 9 月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018 年 5 月 8 日 5时 52 分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50 亿立方米 . 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的 2 倍多 1.82 亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为_________ .14.每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为；若该社区有10 000 人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为.15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A，P分别在 x 轴、y 轴上，APO 30.先将线段 PA 沿 y 轴翻折得到线段PB ，再将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转30°得到线段 PC ，连接 BC .若点 A 的坐标为1,0，则线段BC的长为.16.阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：3小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的 .”请回答：小东的作图依据是.三、解答题 ( 本题共 68 分，第17-24 题，每小题5 分，第 25 题 6 分，第 26-27，每小题7 分，第 28 题 8 分 )17．计算： 32sin 60 +2312 . +18．解不等式 1 2 x ＞4x2，并把它的解集表示在数轴上 . 319.如图，在 Rt△ABC 中， C 90 ， AB 的垂直平分线交AC 于点 D ，交 AB 于点 E .(1)求证：△ ADE≌△ ABC ;(2)当 AC 8 ， BC 6 时，求 DE 的长.20.已知关于 x 的一元二次方程 kx 2 6x 1 0 有两个不相等的实数根.(1)求实数 k 的取值范围；(2)写出满足条件的 k 的最大整数值，并求此时方程的根.21．如图，在菱形 ABCD 中，BAD，点E在对角线BD上.将线段CE绕点C顺时针旋转，得到CF，4连接 DF .（1）求证： BE=DF ；（ 2）连接 AC，若 EB=EC ，求证：AC CF .1 的图象与函数y kx k 0的图象交于点P m, n .22. 已知函数yx（ 1）若m2n ，求 k 的值和点P的坐标；（ 2）当 m ≤ n 时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.23．如图， AB 为O 的直径，直线BM AB 于点 B .点C在O 上，分别连接BC ， AC ，且 AC 的延长线交 BM 于点 D . CF 为O 的切线交 BM 于点F .（1）求证：CF DF；（2）连接OF . 若AB 10，BC 6，求线段 OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035 年美丽中国目标基本实现 .森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键.截止到 2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表 1全国森林面积和森林覆盖率5表 2北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1)从第 ________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；(2)补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3)第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为 a，全国森林覆盖率 21.63% 记为 b，到 2018 年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含 a 和 b 的式子表示） .25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为 4 平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整：建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x 米，篱笆长为y 米.则 y 关于x的函数表达式为;列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表：6描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当 x =时， y 有最小值.由此，小强确定篱笆长至少为米 .26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2经过点 A1,0 和点 B 4，5．y ax bx 3 a 0（ 1）求该抛物线的表达式；（ 2）求直线 AB 关于x轴的对称直线的表达式；（ 3）点 P 是x轴上的动点，过点 P 作垂直于x轴的直线l，直线l与该抛物线交于点M ，与直线 AB 交于点 N ．当 PM ＜PN 时，求点 P 的横坐标x P的取值范围．27.如图所示，点 P 位于等边△ABC的内部，且∠ ACP=∠ CBP．(1)∠ BPC 的度数为 ________ °；(2)延长 BP 至点 D ，使得 PD=PC，连接 AD， CD．①依题意，补全图形；②证明： AD +CD =BD ；7(3) 在 (2)的条件下，若 BD 的长为 2，求四边形 ABCD 的面积．28. 研究发现， 抛物线 y1 x2 上的点到点 F(0，1)的距离与到直线 l ： y 1的距离相等 .如图 1 所示， 若点 P14是抛物线 yx 2 上任意一点， PH ⊥l 于点 H ，则 PF PH .4基于上述发现，对于平面直角坐标系 x O y 中的点 M ，记点 M 到点 P 的距离与点 P 到点 F 的距离之和的最小值为 d ，称 d 为点 M 关于抛物线 y1 x2 的关联距离；当 2≤d ≤4 时，称点 M 为抛物线 y1 x2 的关联4 4点 .（ 1）在点 M 1(2，0) ， M 2 (1，2) ， M 3 (4，5) ， M 4 (0， 4) 中，抛物线 y1x 2 的关联点是 ______ ；4（ 2）如图 2，在矩形 ABCD 中，点 A(t ，1) ，点 A(t 1，3) C( t.①若 t=4 ，点 M 在矩形 ABCD 上，求点 M 关于抛物线 y1 x2 的关联距离 d 的取值范围；14②若矩形 ABCD 上的所有点都是抛物线 yx 2 的关联点，则 t 的取值范围是 __________.4东城区 2017-2018 学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷 参考答案及评分标准2018.5一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CACDDACB二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9. x ＞ 0 10.21，，2， -1 ， 21，， 2， -1 （写出一个即可）11. 212.1,1 m 13. x 2x1.825014. 120 ； 3 000 15. 2 2816.三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68 分， 17-24 题，每题 5 分，第 25 题 6 分， 26-27 题，每小题7 分，第 28 题 8 分）17. 解：原式 =3-23-8+2 3 --------------------------------------------------------------------4分2= 3 - 5--------------------------------------------------------------------------------------------------5分18. 解：移项，得1x 2 ＜1，3去分母，得x2＜3 ，移项，得 x＜5 .∴不等式组的解集为x＜5 .--------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分19.证明：（ 1）∵DE垂直平分AB ,∴AED 90 .∴AED C .∵A A ，∴△ ADE ∽△ ABC . --------------------------------------------------------------------2分(2) Rt△ABC中，AC8 ， BC6，∴ AB 10 .∵ DE 平分 AB ，∴ AE 5.∵△ ADE∽△ ABC ，DE AE.∴ACBC∴ DE5.68∴ DE 15. ---------------------------------------------------------------------5分4k0,20. 解：（1）依题意，得264k＞0，解得 k＜9且k 0 . ----------------------------------------------------------------------2分(2)∵ k 是小于9的最大整数，∴ k =8 .9此时的方程为 8x 26x 1 0 .解得 x = 1 ， x = 1.---------------------------------------------------------------------5分122421 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ BC =DC ， ∠BAD∠BCD .∵ ∠ECF ，∴BCD ∠ECF .∴ BCE= DCF .∵线段 CF 由线段 CE 绕点 C 顺时针旋转得到， ∴ CE =CF .在 △BEC 和 △ DFC 中，BC DC ， BCEDCF ，CE CF ，∴ △BEC ≌ △ DFC SAS .∴ BE=DF . ----------------------------------------------------------------------2 分(2) 解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ACB ∠ACD ， AC BD .∴ ACB+∠ EBC 90 . ∵ EB=EC ，∴ EBC= BCE .由（ 1）可知， ∵EBC= DCF ，∴ DCF +∠ACD EBCACB90 .∴ ∠ACF 90.∴ AC CF . ---------------------------------------------------------------------5 分1 ， P ，2，或 P， 2 ;--------------------------- 3 分22. 解：（1） k222 22(2) k ≥1.---------------------------------------------------------------------5 分23. （ 1）证明：∵ AB 是 O 的直径，∴ ACB 90 .∴ DCB 90 .∴CDB FBC 90 .∵AB 是 O 的直径， MB ⊥AB ，10∴ MB 是O 的切线.∵ CF 是O 的切线，∴FC FB .∴FCB = FBC .∵FCB DCF 90,∴CDB = DCF .∴ CF =DF . ---------------------------------------------------------------------3分（ 2）由（ 1）可知，△ABC是直角三角形，在Rt△ABC 中， AB=10 ， BC =6 ，根据勾股定理求得AC=8 .在 Rt△ ABC 和 Rt△ADB 中，，AA ACB，ABD∴Rt△ ABC ∽ Rt△ADB .∴AB AC .AD AB∴108 .AD 1025∴ AD.2由（ 1）知，∵CF =DF ，CF =BF ，∴ DF =BF .∵AO=BO ，∴OF 是△ADB 的中位线.∴ OF1 AD 25.---------------------------------------------------------------------5分2424. 解： (1)四；---------------------------------------------------------------------1分（ 2）如图：---------------------------------------------------------------------3分11（3） 543a.------------------------------------------------------5分2000b25. 解：y 2 x 4；----------------------------------------------1分x8 ，10 ；--------------------------------------------------------3分如图；----------------------------------------------------------4分2，8 .-----------------------------------------------------------5分26. 解：（ 1）把点 ( 1，0) 和 (4，5)分别代入 y ax2bx 3(a 0) ，，0 a - b - 3得，5 16a 4b - 3解得 a 1， b 2．∴抛物线的表达式为y x22x 3 ．-------------------------------------------------------------2分（ 2）设点B 4，5关于x轴的对称点为 B ，则点 B 的坐标为 4， - 5 .∴直线 AB 关于x轴的对称直线为直线AB .设直线 AB 的表达式为y mx n ，把点 ( 1，0) 和 (4， 5) 分别代入y mx n，120m n，得5 4m n，解得 m1，n1．∴直线 AB 的表达式为y x 1．即直线 AB 关于x轴的对称直线的表达式为y x 1 . --------------------------------------4分（ 3）如图，直线AB 与抛物线y x22x 3 交于点C.设直线 l 与直线AB 的交点为 N ，则PN ' PN ．∵ PM PN ，∴PM PN ' .∴点 M 在线段NN '上（不含端点）．∴点 M 在抛物线y x22x 3 夹在点C与点B之间的部分上．联立 y x22x 3 与y x 1 ，可求得点 C 的横坐标为2．又点 B 的横坐标为4，∴点 P 的横坐标x P的取值范围为 2 x P4．--------------------------------------------------7分27.解：(1)120°.--------------------------------------------------- 2 分(2)①∵如图 1 所示 .②在等边△ ABC 中，ACB60 ，∴ACPBCP 60 .∵ACP= CBP，∴CBPBCP 60 .∴BPC 180CBPBCP 120 .∴CPD 180BPC 60 .13∵ PD =PC ，∴ △CDP 为等边三角形 .∵ACD ACP ACPBCP 60 ，∴ ACD BCP.在 △ACD 和 △ BCP 中，AC BC ， ACDBCP ，CD CP ，∴ △ACD ≌△ BCP SAS .∴ AD BP.∴ AD CDBP PD BD. ----------------------------------------------------------------- 4分（ 3）如图 2，作 BM ⊥ AD 于点 M ， BN ⊥DC 延长线于点 N .∵ ADB =ADC PDC 60 ，∴ ADB = CDB 60 .∴ ADB = CDB 60 .∴ BM =BN3BD3.2又由（ 2）得， AD CD BD=2，S四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD1AD BM1CD BN3AD CD2223 2 3.7 分228. (1) M 1， M 2 ；-----------------------------------------------------------------2 分（ 2）①当 t 4 时， A 41， ， B 51， ， C 5，3 ， D 4，3 ， 此时矩形 ABCD 上的所有点都在抛物线 y1x 2 的下方，4∴ dMF .∴ AF ≤ d ≤ CF .14∵ AF =4， CF =29 ，∴ 4≤ d≤ 29.----------------------------------------------------------------------------------5分② -2 3≤ t ≤ 2 3 1. ------------------------------------------------------------------------8分15。
2018年北京市东城区中考二模数学试卷含精品解析
数 学 试 卷 2018.5学校______________班级______________姓名_____________考号____________一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为A. 205万B. 420510⨯ C. 62.0510⨯ D. 72.0510⨯ 2. 在平面直角坐标系xOy 中，函数31y x =+的图象经过A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 正方体4. 七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：以下叙述错误．．的是 A. 甲组同学身高的众数是160 B. 乙组同学身高的中位数是161 C. 甲组同学身高的平均数是161 D. 两组相比，乙组同学身高的方差大 5. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()3,4P 在O 内，则O 的半径r 的取值范围是A. 0r ＜＜3B. r ＞4C. 0r ＜＜5D. r ＞56. 如果23510a a +-=，那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是A. 6B. 2C. - 2D. - 67. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是A. 图2B. 图1与图2C. 图1与图3D. 图2与图38. 有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃O e 的直径，且AB ⊥CD . 入口K 位于»AD 中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x ，与入口K 的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是A. A →O →DB. C→A→O → BC. D →O →CD. O→D→B→C 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若分式22xx 的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2.写出一个．．符合条件的点P 的坐标________________.11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. O e 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.第11题图 第15题图12. 抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.13．自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5 时52分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为_________ .14. 每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为 ；若该社区有10 000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为 .15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、 y 轴上，30APO ∠=︒ .先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到 线段PC ，连接BC . 若点A 的坐标为()1,0- ，则线段BC 的长为 . 16. 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是 .三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()332sin 60+2--︒-18． 解不等式()()41223x x ---＞，并把它的解集表示在数轴上.19. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .(1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =，6BC =时，求DE 的长.20. 已知关于x 的一元二次方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根.21．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF . （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥.22. 已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.23． 如图，AB 为O 的直径，直线BM AB ⊥于点B .点C 在O 上，分别连接BC ，AC ，且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O 的切线交BM 于点F .（1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =，6BC =，求线段OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键.截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率表2 北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1) 从第________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；(2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3) 第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a，全国森林覆盖率21.63%记为b，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a 和b 的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整： 建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x 米，篱笆长为y 米.则y 关于x 的函数表达式为 ;列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x 与y 的几组值，如下表：描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当x = 时，y 有最小值. 由此，小强确定篱笆长至少为 米.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t .①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围；②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. x ＞0 10. ()()()()21212121--，，，-，，，，-（写出一个即可）11. 2 12. ()1,1m -- 13. ()2 1.8250x x ++= 14. 120 ；3 000 15. 16. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）=3-217.解：原式 --------------------------------------------------------------------4分 -5-------------------------------------------------------------------------------------------------- 5分18. 解：移项，得()1213x -＜， 去分母，得 23x -＜， 移项，得x ＜5.∴不等式组的解集为x ＜5. --------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分19. 证明：（1） ∵DE 垂直平分AB ,∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分 (2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =， ∴10AB =.∵DE 平分AB ， ∴5AE =. ∵ADE ABC △∽△，∴DE AEBC AC = . ∴568DE = . ∴154DE = . ---------------------------------------------------------------------5分20. 解：（1） 依题意，得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞，解得k k ≠＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分(2) ∵k 是小于9的最大整数， ∴=8k .此时的方程为28610x x -+=. 解得11=2x ，21=4x . ---------------------------------------------------------------------5分21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠，∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分(2) 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥.∴+90ACB EBC ∠=︒∠.∵=EB EC ，∴=EBC BCE ∠∠.由（1）可知，∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠.∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分22. 解：（1）12k =，P，或P ⎛ ⎝⎭;---------------------------3分 (2) 1k ≥. ---------------------------------------------------------------------5分23. （1）证明：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∴90DCB ∠=︒.∴90CDB FBC ∠+∠=︒.∵ AB 是O 的直径，MB AB ⊥，∴MB 是O 的切线.∵CF 是O 的切线，∴FC FB =.∴=FCB FBC ∠∠.∵90FCB DCF ∠+∠=︒ ,∴=CDB DCF ∠∠.∴=CF DF . ---------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知，ABC △是直角三角形，在Rt ABC △中，=10AB ，=6BC ， 根据勾股定理求得=8AC .在Rt ABC △和Rt ADB △中，A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，，∴Rt ABC △∽Rt ADB △. ∴ABACAD AB =. ∴10810AD = . ∴252AD =.由（1）知，∵=CF DF ，=CF BF ，∴=DF BF .∵=AO BO ，∴ OF 是ADB △的中位线. ∴125.24OF AD ==---------------------------------------------------------------------5分24. 解：(1)四； ---------------------------------------------------------------------1分（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分（3）5432000ab .------------------------------------------------------5分25. 解：42y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；----------------------------------------------1分 810，； --------------------------------------------------------3分如图； ----------------------------------------------------------4分28，. -----------------------------------------------------------5分26. 解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a =+-≠， 得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，， 解得12a b ==-，．∴抛物线的表达式为223y x x =--． -------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '.设直线AB '的表达式为y mx n =+，把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+， 得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图，直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '，则 'PN PN =．∵PM PN <，∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间的部分上．联立223y x x =--与1y x =--，可求得点C 的横坐标为2．又点B 的横坐标为4，∴点P 的横坐标P x 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分27. 解：(1)120°.---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒，∴60.ACP BCP ∠+∠=︒∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒，∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=BM BN == 又由（2）得，=2AD CD BD +=， ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CDBN =+)ADCD =+2==----------------------------------------------------------7分28. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF =∴.AF dCF ≤≤∵=4AF CF，∴d 4≤ ----------------------------------------------------------------------------------5分② 1.t ≤ ------------------------------------------------------------------------8分。
市东城区中考数学二模卷
市东城区中考数学二模卷 It was last revised on January 2, 2021东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数 学 试 卷一、选择题(本题共16分，每小题2分)1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为A. 205万B. 420510⨯C. 62.0510⨯D. 72.0510⨯ 2. 在平面直角坐标系xOy 中，函数31y x =+的图象经过 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 正方体4. 七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：以下叙述错误的是A. 甲组同学身高的众数是160B. 乙组同学身高的中位数是161C. 甲组同学身高的平均数是161D. 两组相比，乙组同学身高的方差大 5. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()3,4P 在O 内，则O 的半径r 的取值范围是A. 0r ＜＜3B. r ＞4C. 0r ＜＜5D. r ＞56. 如果23510a a +-=，那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是 A. 6 B. 2 C. - 2 D. - 67. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是 A. 图2 B. 图1与图2 C. 图1与图3 D. 图2与图38. 有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃O 的直径，且AB ⊥CD . 入口K 位于AD 中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x ，与入口K 的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是图2A. A →O →DB. C→A→O → BC. D →O →CD. O→D→B→C 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2.写出一个．．符合条件的点P 的坐标________________.11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. O 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.第11题图 第15题图 12. 抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.13．自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5时52分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为_________ .14. 每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为 ；若该社区有10 000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为 .15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、 y 轴上，30APO ∠=︒ . 先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到线段PC ，连接BC . 若点A 的坐标为()1,0- ，则线段BC 的长为 . 16. 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题： 小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是 .三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()332sin 60+2+12--︒-18． 解不等式()()41223x x ---＞，并把它的解集表示在数轴上. 19. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .(1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =，6BC =时，求DE 的长.20. 已知关于x 的一元二次方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围； (2)写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根.21．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF .（1）求证：BE =DF ； （2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥.22. 已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.23． 如图，AB 为O 的直径，直线BM AB ⊥于点B .点C 在O 上，分别连接BC ，AC ，且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O 的切线交BM 于点F . （1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =，6BC =，求线段OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键 .截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率 表2 北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1) 从第________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率； (2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3) 第八次清查的全国森林面积（万公顷）记为a ，全国森林覆盖率%记为b ，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a 和b 的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整： 建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x 米，篱笆长为y 米.则y 关于x 的函数表达式为 ;列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x 与y 的几组值，如下表： 描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当x = 时，y 有最小值. 由此，小强确定篱笆长至少为米.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，． （1）求该抛物线的表达式； （2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式； （3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积． 28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点. （1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t .①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围；②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. x ＞0 10. ()()()()21212121--，，，-，，，，-（写出一个即可） 11. 212. ()1,1m -- 13. ()2 1.8250x x ++= 14. 120 ；3 000 15. 2216. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）3=3-2-8+23⨯17.解：原式 --------------------------------------------------------------------4分 =3-5-------------------------------------------------------------------------------------------------- 5分18. 解：移项，得()1213x -＜， 去分母，得 23x -＜， 移项，得x ＜5.∴不等式组的解集为x ＜5. --------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分19. 证明：（1） ∵DE 垂直平分AB ,∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分 (2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =， ∴10AB =. ∵DE 平分AB ， ∴5AE =.∵ADE ABC △∽△，∴DE AEBC AC =. ∴568DE = .∴154DE = . ---------------------------------------------------------------------5分20. 解：（1） 依题意，得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞， 解得k k ≠＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分 (2) ∵k 是小于9的最大整数， ∴=8k .此时的方程为28610x x -+=.解得11=2x ，21=4x . ---------------------------------------------------------------------5分21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠， ∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥.∴+90ACB EBC∠=︒∠.∵=EB EC，∴=EBC BCE∠∠.由（1）可知，∵=EBC DCF∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB∠=∠+∠=︒∠.∴90ACF=︒∠.∴AC CF⊥. ---------------------------------------------------------------------5分22. 解：（1）12k=，22P⎭，，或22P⎛-⎝⎭，;---------------------------3分(2) 1k≥. ---------------------------------------------------------------------5分23. （1）证明：∵AB是O的直径，∴90ACB∠=︒.∴90DCB∠=︒.∴90CDB FBC∠+∠=︒.∵AB是O的直径，MB AB⊥，∴MB是O的切线.∵CF是O的切线，∴FC FB=.∴=FCB FBC∠∠.∵90FCB DCF∠+∠=︒ ,∴=CDB DCF∠∠.∴=CF DF. ---------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知，ABC△是直角三角形，在Rt ABC△中，=10AB，=6BC，根据勾股定理求得=8AC.在Rt ABC △和Rt ADB △中，∴Rt ABC △∽Rt ADB △. ∴AB AC AD AB =. ∴10810AD = . ∴252AD =. 由（1）知，∵=CF DF ，=CF BF ，∴=DF BF .∵=AO BO ，∴ OF 是ADB △的中位线. ∴125.24OF AD ==---------------------------------------------------------------------5分 24. 解：(1)四； ---------------------------------------------------------------------1分（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分（3）5432000a b .--------------------------------------------5分 ----------解：42y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；---------------25.---------------------1分----------810，； --------------------------------------------------------3分如图； ----------------------------------------------------------4分28，. -----------------------------------------------------------5分26. 解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a =+-≠，得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，， 解得12a b ==-，．∴抛物线的表达式为223y x x =--． -------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '.设直线AB '的表达式为y mx n =+，把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+，得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图，直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '，则 'PN PN =．∵PM PN <，∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间 的部分上．联立223y x x =--与1y x =--，可求得点C 的横坐标为2．又点B 的横坐标为4，∴点P 的横坐标P x 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分27. 解：(1)120°. ---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒，∴60.ACP BCP ∠+∠=︒∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中，∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒， ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴3= 3.2BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，32= 3.=----------------------------------------------------------7分28. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF =∴.AF d CF ≤≤∵=429AF CF ， ∴29.d 4≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分②33 1.t -2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分。
2018届中考数学二模试卷(带答案) (18)
2018年中考数学二模试卷一、．选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分1．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b62．下列各式中，不成立的是（）A．|﹣3|=3 B．﹣|3|=﹣3 C．|﹣3|=|3| D．﹣|﹣3|=33．在实数﹣，0，，，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°5．如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（）A．B．C．D．6．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．20157．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（）A．B．C．D．8．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（）A．1 B．2 C．D．49．某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（）A．B．C．D．10．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c11．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A．B． C． D．712．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．因式分解：x2﹣2xy+y2=．14．将三角板（不是等腰的）顶点放置在直线AB上的O点处，使AB∥CD，则∠2的余弦值是．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为．16．方程x2﹣2x﹣1=0的解是．17．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是．18．猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是．三、选修题、本小题满分6分，请在下列两个小题中，任选其一完成即可19．（1）解方程组：（2）解不等式组：．四、解答题：本大题共7个小题，满分54分．解答时请写出必要的演推过程．20．计算﹣2sin45°+（﹣2）﹣3+（）0．21．为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（2007•台州）如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）23．海丰塔是无棣灿烂文化的象征（如图①），喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：海丰塔，史称唐塔，原名大觉寺塔，始建于唐贞观十三年（公元639年），碑记为“尉迟敬德监建”，距今已1300多年，被誉为冀鲁三胜之一．小伟决定用自己所学习的知识测量海丰塔的高度．如图②，他利用测角仪站在B处测得海丰塔最高点P的仰角为45°，又前进了18米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小伟算算海丰塔的高度．（测角仪高度忽略不计，≈1.7，结果保留整数）．24．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．25．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，点M为圆心，A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（4，0），D点的坐标为（0，﹣4）．（1）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；（2）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式吗？能，请写出过程，不能，请说明理由．参考答案与试题解析一、．选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分1．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．下列各式中，不成立的是（）A．|﹣3|=3 B．﹣|3|=﹣3 C．|﹣3|=|3| D．﹣|﹣3|=3【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的意义选择．【解答】解：A中|﹣3|=3，正确；B中﹣|3|=﹣3，正确；C中|﹣3|=|3|=3，正确；D中﹣|﹣3|=﹣3，不成立．故选D．【点评】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．3．在实数﹣，0，，，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：=3，=﹣2，无理数有：，，共2个．故选B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．4．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】先根据邻补角的定义求出∠BOC，再利用圆周角定理求解．【解答】解：∵∠AOC=130°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣130°=50°，∴∠D=×50°=25°．故选B．【点评】本题利用了圆周角定理和邻补角的概念求解．5．如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形．故选C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．7．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（）A．B．C．D．【考点】三角形的内切圆与内心；切线长定理．【专题】压轴题．【分析】首先根据切线的性质和切线长定理证得四边形OECD是正方形，那么AC+BC﹣AB即为2R（⊙O 的半径R）的值，由此可得到OD、CD的值，进而可在Rt△OBD中求出∠OBD的正切值．【解答】解：∵BC、AC、AB都是⊙O的切线，∴CD=CE、AE=AF、BF=BD，且OD⊥BC、OE⊥AC；易证得四边形OECD是矩形，由OE=OD可证得四边形OECD是正方形；设OD=OE=CD=R，则：AC+BC﹣AB=AE+R+BD+R﹣AF﹣BF=2R，即R=（AC+BC﹣AB）=1，∴BD=BC﹣CD=3﹣1=2；在Rt△OBD中，tan∠OBD==．故选C．【点评】此题考查的是三角形的外切圆，切线长定理以及锐角三角形函数的定义，难度适中．8．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（）A．1 B．2 C．D．4【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OC=OA，又由点E 是BC边的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA，∵点E是BC边的中点，即BE=CE，∴OE=AB，∵OE=1，∴AB=2．故选B．【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．9．某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】让不含辣椒的盒饭数除以总盒饭数即为从中任选一盒，不含辣椒的概率．【解答】解：配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒，全部是80盒，不含辣椒的有70盒，所以从中任选一盒，不含辣椒的概率是=．故选A ．【点评】本题比较容易，考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A ．a=c B ．a=b C ．b=c D ．a=b=c 【考点】根的判别式． 【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b 2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a ﹣c ，代入b 2﹣4ac=0得（﹣a ﹣c ）2﹣4ac=0，化简即可得到a 与c 的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a ﹣c ，代入b 2﹣4ac=0得（﹣a ﹣c ）2﹣4ac=0，即（a+c ）2﹣4ac=a 2+2ac+c 2﹣4ac=a 2﹣2ac+c 2=（a ﹣c ）2=0， ∴a=c ． 故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．11．如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）A．B． C． D．7【考点】勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC==，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=×=2；故选A．【点评】此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形．运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．因式分解：x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题．【分析】根据完全平方公式直接解答即可．【解答】解：原式=（x﹣y）2．故答案为（x﹣y）2．【点评】本题考查了因式分解﹣﹣运用公式法，熟悉因式分解是解题的关键．14．将三角板（不是等腰的）顶点放置在直线AB上的O点处，使AB∥CD，则∠2的余弦值是．【考点】特殊角的三角函数值；平行线的性质．【专题】探究型．【分析】先根据平行线的性质及直角三角板的特点求出∠2的度数，再根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：由三角板的特点可知，∠D=60°，∵AB∥CD，∴∠D=∠2=60°，∴cos∠2=cos60°=．故答案为：．【点评】本题考查的是直角三角板的特点及平行线的性质、特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为45°．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】计算题．【分析】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB，易求∠BCD的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°（已知）∴∠ABC=∠ACB==75°∵DE垂直平分AC，∴AD=CD；∴∠A=∠ACD=30°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD，∴∠BCD=45°；故答案为：45°．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，难度一般．16．方程x2﹣2x﹣1=0的解是x1=1+，x2=1﹣．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数项2移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，然后开方即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，∴x2﹣2x+1=2，∴（x﹣1）2=2，∴x=1±，∴原方程的解为：x1=1+，x2=1﹣．故答案为：x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程．解题时注意配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．17．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是76．【考点】勾股定理；正方形的性质．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴由勾股定理得：AB==10，∴正方形的面积是10×10=100，∵△AEB的面积是AE×BE=×6×8=24，∴阴影部分的面积是100﹣24=76，故答案是：76．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．18．猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据分数的分子是2n，分母是2n+3，进而得出答案即可．【解答】解：∵分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，…分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…∴第n个数是．故答案为：．【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键．三、选修题、本小题满分6分，请在下列两个小题中，任选其一完成即可19．（1）解方程组：（2）解不等式组：．【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）①+②得：4x=20，即x=5，把x=5代入①得：y=1，则方程组的解为；（2），由①得：x＜﹣1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为x＜﹣1．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题：本大题共7个小题，满分54分．解答时请写出必要的演推过程．20．计算﹣2sin45°+（﹣2）﹣3+（）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用二次根式性质化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣1﹣2×﹣+1=﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（2）易知选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人．记选择音乐类的4人分别是A1，A2，A，小丁；选择美术类的3人分别是B1，B2，小李．可画出树状图如下：由树状图可知共有12种选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是或列表：由表可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是；（3）由（1）可知问卷中最喜欢体育运动的学生占40%，由样本估计总体得得500×40%=200名．所以该年级中最喜欢体育运动的学生约有200名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图及用样本估计总体等知识的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【专题】几何综合题．【分析】（1）由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径所以直线CD与⊙O相切；（2）根据已知可求得OC，CD的长，则利用S阴影=S△COD﹣S扇形OCB求得阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线CD 与⊙O 相切， ∵在⊙O 中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°， 又∵OB=OC ， ∴△OBC 是正三角形， ∴∠OCB=60°， 又∵∠BCD=30°， ∴∠OCD=60°+30°=90°， ∴OC ⊥CD ， 又∵OC 是半径， ∴直线CD 与⊙O 相切．（2）由（1）得△OCD 是Rt △，∠COB=60°， ∵OC=1， ∴CD=，∴S △COD =OC •CD=，又∵S 扇形OCB =，∴S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OCB =．【点评】此题主要考查学生对切线的性质及扇形的面积公式的理解及运用．23．海丰塔是无棣灿烂文化的象征（如图①），喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：海丰塔，史称唐塔，原名大觉寺塔，始建于唐贞观十三年（公元639年），碑记为“尉迟敬德监建”，距今已1300多年，被誉为冀鲁三胜之一．小伟决定用自己所学习的知识测量海丰塔的高度．如图②，他利用测角仪站在B 处测得海丰塔最高点P 的仰角为45°，又前进了18米到达A 处，在A 处测得P 的仰角为60°．请你帮助小伟算算海丰塔的高度．（测角仪高度忽略不计，≈1.7，结果保留整数）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设海丰塔的高OP=x，在Rt△POB中表示出OB，在Rt△POA中表示出OA，再由AB=18米，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设海丰塔的高OP=x，在Rt△POB中，∠OBP=45°，则OB=OP=x，在Rt△POA中，∠OAP=60°，则OA==x，由题意得，AB=OB﹣OA=18m，即x﹣x=18，解得：x=27+9，故海丰塔的高度OP=27+9≈42米．答：海丰塔的高度约为42米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．24．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）利用两角对应相等可证出△ABE∽△ADF；（2）利用（1）的结论，先证出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD是菱形．【解答】证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90度．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF．∴△ABE∽△ADF．（2）∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG=∠DAH．∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，从而∠AGB=∠AHD，∴△ABG≌△ADH，∴AB=AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定．25．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，点M为圆心，A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（4，0），D点的坐标为（0，﹣4）．（1）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；（2）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式吗？能，请写出过程，不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．（2）先设出切线与x轴交于点E．利用直角三角形相应的三角函数求得EM的长，进而求得点E坐标，把C、E坐标代入一次函数解析式即可求得所求的解析式．（3）设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让跟的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k．【解答】解：（1）如图，设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，∴CM⊥CE，又∵A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（4，0），AB为半圆的直径，点M为圆心，∴M点的坐标为（1，0），∴AO=2，BO=4，OM=1．又因为CO⊥x轴，所以CO2=AO•OB，解得：CO=2，又∵CM⊥CE，CO⊥x轴，∴CO2=EO•OM，解之得：EO=8，∴E点的坐标是（﹣8，0），∴切线CE的解析式为：y=x+2；（2）根据题意可得：A（﹣2，0），B（4，0）；则设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）（a≠0），又∵点D（0，﹣4）在抛物线上，∴a=；∴y=x2﹣x﹣4自变量取值范围：﹣2≤x≤4；（3）设过点D（0，﹣4），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx﹣4（k≠0），由题意可知方程组只有一组解．即kx﹣4=x2﹣x﹣4有两个相等实根，∴k=﹣1，∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣x﹣4；【点评】本题以半圆与抛物线合成的封闭图形“蛋圆”为背景，考查一次函数、二次函数有关性质，解题过程中涉及解一元一次方程、一元二次方程、方程组相关知识与技能，是一道综合性很强的试题．。
2018年北京东城初三二模数学试题与答案word版
东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数 学 试 卷 2018.5学校______________班级______________姓名_____________考号____________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为 A. 205万 B. 420510⨯ C. 62.0510⨯ D. 72.0510⨯ 2. 在平面直角坐标系xOy 中，函数31y x =+的图象经过A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 正方体4. 七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：甲组 158 159 160 160 160 161 169 乙组158159160161161163165以下叙述错误．．的是 A. 甲组同学身高的众数是160 B. 乙组同学身高的中位数是161 C. 甲组同学身高的平均数是161 D. 两组相比，乙组同学身高的方差大 5. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()3,4P 在O 内，则O 的半径r 的取值范围是A. 0r ＜＜3B. r ＞4C. 0r ＜＜5D. r ＞56. 如果23510a a +-=，那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是A. 6B. 2C. - 2D. - 67. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是A. 图2B. 图1与图2C. 图1与图3D. 图2与图38. 有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃O e 的直径，且AB ⊥CD . 入口K位于»AD 中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x ，与入口K 的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是图2A. A →O →DB. C→A→O→ BC. D →O →CD. O→D→B→C 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2.写出一个．．符合条件的点P 的坐标________________.11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. O e 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A 在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.第11题图 第15题图 12. 抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.13．自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5时52分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为_________ .14. 每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为 ；若该社区有10 000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为 .15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、 y 轴上，30APO ∠=︒ .先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到 线段PC ，连接BC . 若点A 的坐标为()1,0- ，则线段BC 的长为 . 16. 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是 .三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()332sin 60+2+12--︒-. 18． 解不等式()()41223x x ---＞，并把它的解集表示在数轴上.19. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .(1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =，6BC =时，求DE 的长.20. 已知关于x 的一元二次方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根.21．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF .（1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥.22. 已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.23． 如图，AB 为O 的直径，直线BM AB ⊥于点B .点C 在O 上，分别连接BC ，AC ，且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O 的切线交BM 于点F .（1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =，6BC =，求线段OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键 .截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率表2 北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1) 从第________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率； (2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3) 第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a ，全国森林覆盖率21.63%记为b ，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a 和b 的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整： 建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x 米，篱笆长为y 米.则y 关于x 的函数表达式为 ;列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x 与y 的几组值，如下表：描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当x = 时，y 有最小值. 由此，小强确定篱笆长至少为 米.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，． （1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =. 基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t .①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CACDDACB二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. x ＞0 10. ()()()()21212121--，，，-，，，，-（写出一个即可） 11. 2 12. ()1,1m -- 13. ()2 1.8250x x ++= 14. 120 ；3 000 15. 22 16. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）3=3-2-8+232⨯17.解：原式--------------------------------------------------------------------4分=3-5-------------------------------------------------------------------------------------------------- 5分 18. 解：移项，得()1213x -＜， 去分母，得 23x -＜， 移项，得x ＜5.∴不等式组的解集为x ＜5.--------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分19. 证明：（1） ∵DE 垂直平分AB ,∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分(2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =， ∴10AB =.∵DE 平分AB ， ∴5AE =. ∵ADE ABC △∽△，∴DE AEBC AC =. ∴568DE = .∴154DE = . ---------------------------------------------------------------------5分20. 解：（1） 依题意，得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞，解得k k ≠＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分(2) ∵k 是小于9的最大整数，∴=8k .此时的方程为28610x x -+=.解得11=2x ，21=4x . ---------------------------------------------------------------------5分21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠，∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥. ∴+90ACB EBC ∠=︒∠. ∵=EB EC ，∴=EBC BCE ∠∠. 由（1）可知，∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠. ∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分 22. 解：（1）12k =，222P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，或222P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，;---------------------------3分 (2) 1k ≥. ---------------------------------------------------------------------5分23. （1）证明：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∴90DCB ∠=︒.∴90CDB FBC ∠+∠=︒. ∵ AB 是O 的直径，MB AB ⊥，∴MB 是O 的切线. ∵CF 是O 的切线，∴FC FB =. ∴=FCB FBC ∠∠.∵90FCB DCF ∠+∠=︒ ,∴=CDB DCF ∠∠.∴=CF DF . ---------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知，ABC △是直角三角形，在Rt ABC △中，=10AB ，=6BC ，根据勾股定理求得=8AC .在Rt ABC △和Rt ADB △中，A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，，∴Rt ABC △∽Rt ADB △. ∴AB AC AD AB=. ∴10810AD = . ∴252AD =. 由（1）知，∵=CF DF ，=CF BF ，∴=DF BF .∵=AO BO ，∴ OF 是ADB △的中位线. ∴125.24OF AD ==---------------------------------------------------------------------5分 24. 解：(1)四； ---------------------------------------------------------------------1分（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分（3）5432000a b.------------------------------------------------------5分 25. 解：42y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；----------------------------------------------1分 810，； --------------------------------------------------------3分如图； ----------------------------------------------------------4分28，. -----------------------------------------------------------5分26. 解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a =+-≠，得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，， 解得12a b ==-，． ∴抛物线的表达式为223y x x =--． -------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '.设直线AB '的表达式为y mx n =+，把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+，得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图，直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '，则 'PN PN =．∵PM PN <，∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间的部分上．联立223y x x =--与1y x =--，可求得点C 的横坐标为2．又点B 的横坐标为4，∴点P 的横坐标P x 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分27. 解：(1)120°.---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒，∴60.ACP BCP ∠+∠=︒∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分 （3）如图2，作B M A D ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N . ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒，∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴3= 3.2BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+()32AD CD =+ 322=⨯ 3.=----------------------------------------------------------7分28. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF =∴.AF d CF ≤≤∵=4=29AF CF ，，∴29.d 4≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分②33 1.t --2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分。
2018年东城区初三二模数学试卷
北京市东城区2018--2019学年第二学期初三综合练习（二）数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 9的算术平方根是A ．-9B ．9C ．3D ．±3 2. 如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是3. 下列运算正确的是A ．532a a a =+B ．532a a a =⋅C ．3332)(b a ab = D ．5210a a a =÷4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为奇数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．125. 如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是 A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形6. 在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的香蕉价格进行调查．四个城市5个月香蕉价格的平均值均为3.50元，方差分别为2S 甲＝18.3，2S 乙＝17.4，2S 丙＝20.1，2S 丁＝12.5．一至五月份香蕉价格最稳定的城市是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为A ．1B ．2C ．3D ．48. 如右图，正方形ABCD 的顶点(0,2A ，(2B ，顶点C D 、位于第一象限，直线:(0l x t t =≤≤将正 方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面 积为S ，则S 关于t 的函数图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. x 的取值范围是 ．10. 一个扇形的圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ． 11. 观察下列等式： 1=1，2+3+4=9， 3+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第5个等式为 ． 12. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON ， 使∠MON ＝90°，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H , 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 0(4)6cos302-π-+-．14. 解方程组212x y x y +=⎧⎨-=⎩，．15. 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB的平分线． 求证：AB =DC ．16. 先化简，再求值：2212111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭，其中2x =-． 17. 列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m 、宽6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x 值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数ky x=的图像交于点A(-3,4),AC ⊥x 轴于点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)当直线AB 绕着点A 转动时,与x 轴的交点为B(a,0),并与反比例函数ky x=图象的另一支还有一个交点的情形下,求△ABC 的面积S 与a 之间的函数关系式.并写出自变量a 的取值范围．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．在母亲节来临之际，某校团委组织了以“学会生存，感恩父母”为主题的教育活动，在学校随机调查了若干名同学平均每周在家做家务的时间，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：根据上述信息回答下列问题：（1）a= ，b= ;（2）在扇形统计图中，B 组所占圆心角的度数为 ;（3）全校共有1000名学生，估计该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有多少人？20． 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．21．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为 半径的O ⊙与AD ，AC 分别交于点E ，F ，∠ACB =∠DCE ．（1）请判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论； （2）若 DE:EC=12BC =，求⊙O 的半径．22. 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i 3=i 2·i =-1×i =-i ，则i 4= ， i 2018=______________，i 2018=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=． （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．24. 已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC上，且60MON ∠=．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN三者之间的数量关系；（2） 如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0) （1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.。