圆锥曲线方程知识点总结

⎛ 1⎞ ⎝ 8⎠
（1）椭圆：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是__（答： ( −∞, −1) ∪ (1, ) ） （2）双曲线：由 x , y 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 2 2 ） （2）双曲线（以
x2 y 2 − = 1（ a > 0, b > 0 ）为例）：①范围： x ≤ −a 或 x ≥ a , y ∈ R ； a2 b2
-1-
的方程为_______（答： x2 − y2 = 6 ） （3） 抛物线： 开口向右时 y 2 = 2 px( p > 0) ， 开口向左时 y 2 = −2 px ( p > 0) ， 开口向上时 x 2 = 2 py( p > 0) ， 开口向下时 x 2 = −2 py ( p > 0) 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）如: y = 2 x 2 焦点 ⎜ 0, ⎟
{
点在 y 轴上时
y2 x2 + ＝1（ a > b > 0 ）。方程 Ax2 + By2 = 1 表示椭圆的充要条件是什么？（A，B，同正，A a 2 b2
1 1 x2 y2 （2） + = 1 表示椭圆，则 k 的取值范围为____（答： ( −3, − ) ∪ (− , 2) ）； 3+k 2−k 2 2
≠B）。如（1）已知方程
若 x, y ∈ R ，且 3 x2 + 2 y 2 = 6 ，则 x + y 的最大值是____， x 2 + y 2 的最小值是___（答： 5, 2 ） （2） 双曲线： 焦点在 x 轴上：
x2 y 2 y 2 x2 焦点在 y 轴上： 2 − 2 ＝1 （ a > 0, b > 0 ） 。 方程 Ax2 + By2 = 1 − 2 =1， 2 a b a b
2 2 2 2 2 2
x2 y2 + =1 （a > b > 0） 为例） ： ①范围： − a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b ； ②焦点： 两个焦点 ( ±c, 0) ； a2 b 2
③对称性：两条对称轴 x = 0, y = 0 ，一个对称中心（0,0），四个顶点 ( ±a, 0), (0, ±b) ，其中长轴长为
x2 y2 5 ，且与椭圆 + = 1 有公共 2 9 4
表示双曲线的充要条件是什么？（A ，B 异号）。如（1）双曲线的离心率等于
焦点，则该双曲线的方程_______（答：
x2 2 − y = 1 ）； 4
2 的双曲线 C 过点 P(4,− 10) ，则 C
（2）设中心在坐标原点 O ，焦点 F1 、 F2 在坐标轴上，离心率 e =
2
+ PF 2
2
= 12 （答：C）；

（2）方程 (x − 6)2 + y 2 − (x + 6)2 + y 2 = 8 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离 心率 e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用 第二定义对它们进行相互转化。如 (08 宣武一模 ) 已知 P 为抛物线 y =
2 a ，短轴长为 2 b ；④准线：两条准线 x = ±
a2 c ； ⑤离心率： e = ，椭圆 ⇔ 0 < e < 1 ， e 越小，椭圆越圆； c a
e 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆
x2 y 2 10 ，则 的值是__（答：3 或 25 ）； m + = 1 的离心率 e = 3 5 m 5
PA + PM 的最小值是 _____
1 2 17 x 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M ，点 A 的坐标是 ( 6, ) ，则 2 2 19 （答： ） 2
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在 x 轴上时
x2 y 2 = a cos ϕ + = 1（ a > b > 0 ） ⇔ x 焦 y = b sin ϕ （参数方程，其中 ϕ 为参数）， a2 b2
2011 年圆锥曲线方程知识点总结
1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 2 a ， 且 此常数 2 a 一定要大于 F1 F2 ，当常数等于 F1 F2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ，当常数小于 F1 F2 时，无轨迹；双曲线 中，与两定点 F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a ，且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 | ，定义中的“绝对值” 与 2 a ＜|F 1 F 2 |不可忽视。若 2 a ＝|F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射线，若 2 a ﹥|F 1 F 2 | ，则轨迹不 存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 （1） 已知定点 F1 (−3,0), F2 (3, 0) ， 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A． PF 1 + PF 2 = 4 B． PF 1 + PF 2 = 6 C． PF1 + PF 2 = 10 D． PF 1
2 2
x2 y2 + = 1表示焦 m −1 2 − m
3 2
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F 1 ，F 2 的位置，是椭圆、双曲 线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 a, b ，确定椭圆、双曲线的形状和大 小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中， a 最大， a = b + c ，在双曲线中， c 最大， c = a + b 。 （3）不要思维定势认为圆锥曲线方程都是标准方程 4.圆锥曲线的几何性质： （1） 椭圆 （以