集合与函数复习讲义
集合与函数概念复习
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例3:已知集合A x | ax2 3x 2 0, x R,a R.
(2)若A中只含有一个元素求 a的值,并求出这个元素 ;
当a
=
0
时,方程有一解
x
2 3
;
当a ≠0 时,
即△=9－8a = 0 时,
对于式子３ f (x),应使f (x) R 对于式子[f(x)]０,应使f (x) 0
对于实际问题，应实际问题有意义如S=vt,t须大于或等于零
求值域常用的方法 1.观察法如y=2x+1 2.配方法如y=x2+2x+3 3.换元法如y=x+ 2x 1 4.分离常数法如
y x2 x 1
5.图象法如： y x2 2x 1(x [0,1])
3.元素与集合的关系： a ∈ A a A
4.数集及有关符号: 正整数集 记作 N 或 N 非负整数集（或自然数集）记作N
有理数集 记作Q 实数集 记作R 整数集 记作Z 5. 集合的表示方法: (１)列举法 (2)描述法
集合的基本关系
1.子集的定义：对于两个集合A，B 如果集合A中 任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为
(3).传递性：若A B, B C，则A C .
(4).若集合A的元素个数为n ，则它的子集有 2n.
集合的运算
1.并集的定义: A B {x | x A,或x B}
2.交集的定义: A∩B={x|x∈A,且x∈B}
3.几个结论: (1).A∪A =A ,A∩A =A ; (2).A∪φ=A, A∩φ= φ; (3).若 A B,则A B B, A B A
集合与函数概念复习(知识点)
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汇报人姓名
集合
含义与表示
基本关系
基本运算
输入内容一
输入内容二
列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集 交集 补集
2、元素与集合 的关系：
集合的含义与表示
（一）集合的含义
一．集合：把研究对象称为元素， 把一些元素组成的
○ 总体叫做集合
0
1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何
1
一个元素都是集合B的元素，我们称A
为B的子集.
若集合中元素有n个，则其子集个数为
真子集个数为
0
3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任
非空真子集个数为
2 何非空集合的真子集
A B且B A A B
集合的并集、交集、 全集、补集
全1、集：A某集B合含有{x | x A或x B}
添加标题
用定义证明函数单调性的步骤:
添加标题
取值，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2;
添加标题
作差， f(x1)－f(x2) ;
添加标题
变形，通过因式分解等转化为易于判断符号的形式
添加标题
判号， 判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
添加标题
下结论.
１、函数
的单调区间y是 a（a 0） x
添加标题
已知函数y=f(x)的定义域是[0， 5)，求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的 定义域
添加标题
抽象函数的定义域
二、函数的表示法
(1)已知f (x) x2 4x 3, 求f 1、解 析 法 (x 1)
例
2、列 表 法
高一数学集合与函数概念讲义新人教A版必修1
高一数学集合与函数概念讲义新人教A版必修1讲义一： 集合的含义与表示（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝；∅；｛∅｝,｛0｝3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。
●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=-32▲★课堂练习：1、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。
(解：x=-1)2、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。
（解：a=0)二、集合的表示---------列举法和描述法★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n|n=2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x|x=2k,k ∈N,k ≤3｝；（3）、3A =｛x|x=4k ＋1,或x=4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。
高中数学必修一集合与函数的概念复习资料
必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B I{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =I （2）A ∅=∅I （3）A B A ⊆I A B B ⊆I BA并集A B U{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A =U （2）A A ∅=U （3）A B A ⊇U A B B ⊇U BA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且（1）()U A A =∅I ð（2）()U A A U =U ð（3）()()()U U U A B A B =I U 痧? （4）()()()U U U A B A B =U I 痧?【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应关系．③只有定义域相同，且对应关系也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：（求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化）①()f x 是整式型或奇次方根式型函数，定义域为全体实数。
集合与函数概念知识点复习
《集合与函数概念》复习资料一、 知识结构：{}{}{}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=∈∈=∈∈=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⊆⊆≠⊆⊂⊆⊆⊆⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠A x U x x A C B x A x x B A B x A x x B A B A A B B A B A B A B A A A A B A U 且补集：（公共的部分）且交集：（合并的部分）或并集：集合的基本运算，则，且集合相等：若 真子集：子集：集合间的基本关系描述法列举法集合的表示法无限集有限集集合的分类无序性互异性确定性集合中元素的特征集合的含义与表示集合 .),(,,φ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧象法判定方法：定义法，图定义奇偶性象法判定方法：定义法，图定义单调性函数的基本性质图象法列表法解析法函数的表示法区间的概念值域对应法则定义域函数的三要素函数的定义函数及其表示函数知识要点填空：1． 常用的数集及其记法：非负整数集（自然数集）： ；正整数集： ；整数集： ；有理数集： ； 实数集：2． 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作 ；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作 .3． 任何一个集合是它本身的 ，即 .空集是任何集合的 ，即 .对于集合,,,C B A 如果,B A ⊆且,C B ⊆那么 .4． 若集合中有n 个元素，则这个集合的子集有 个，真子集 个，非空子集 个，非空真子集 个。
5． 并集：B A =交集：B A =补集：A C U =6.函数的定义：设B A ,是两个 ，如果按照 ，使对于集合A 中 的 元素x ，在集合B 中都有 元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数。
01第一章：集合与函数概念知识点总结
01第⼀章：集合与函数概念知识点总结第⼀章：集合与函数概念本章知识结构图：本章知识点梳理：1、集合①空集：不含有任何元素的集合，记作Φ（1）集合的分类⑤有限集：含有有限个元素的集合；⽆限集：含有⽆穷多个元素的集合（2）集合元素的特性②有：确定性、互异性、⽆序性。
（3）常⽤数集的专⽤符号⑥：⾃然数集：N ，正整数集：N +或N*，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R 。
（4）集合的表⽰⽅法④：①列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法；②描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。
2、⼦集、交集、并集、补集（1）⼦集⑧定义：设集合A 与B ，如果集合A 中的任何⼀个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的⼦集记作B A ?（或A B ）；如果A 是B 的⼦集，并且B 中⾄少有⼀个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真⼦集，记作B A≠（或A B ≠）（2）交集○14定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的交集，记作B A （如右图），即A x xB A ∈=|{ 且}B x ∈（3）并集○13定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即A a B A ∈={ 或}B a ∈（4）补集○15定义：设I 是⼀个集合，A 是I 的⼀个⼦集，由I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I 中⼦集A 的补集（或余集），记作A C I ，即I x x A C I ∈=|{，且}A x ?如右图所⽰。
3、（1）函数的概念○16①设A 、B 是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的⼀个函数，记作:f A B →．②函数的三要素○17:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念○19及表⽰法①设,a b 是两个实数，且a b <，满⾜a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满⾜a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满⾜a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满⾜,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以⼤于或等于b ，⽽后者必须a b <．（3）函数的表⽰⽅法○20表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（4）映射的概念○23①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定⼀个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 4、函数的基本性质（1）函数的单调性○25函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最⼤（⼩）值定义○26①⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最⼤值，记作m ax ()f x M =．②⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最⼩值，记作m a x ()f x m=．（3）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．（2）利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k><=→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =→=-轴()()y y f x y f x =→=-轴()()y f x y f x =→=--原点 1()()y xy f x y f x -==→=直线()(||)y y y y f x y f x =→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =→=保留轴上⽅图象将轴下⽅图象翻折上去知识点1：集合与元素知识点2：集合中元素的三个特性知识点3：元素与集合的两种关系知识点4：集合的三种表⽰法知识点5：有限集和⽆限集知识点6：特定集合的表⽰知识点7：Venn 图与数轴法表⽰集合知识点8：⼦集知识点9：集合相等知识点10：真⼦集知识点11：空集知识点12：集合的⼦集的数⽬知识点13：并集知识点14：交集知识点15：补集知识点16：函数的概念知识点17：函数的两个要素知识点18：函数的值域及其求法知识点19：区间的概念知识点20：函数的三种表达⽅法知识点21：函数图象知识点22、分段函数知识点23：映射的定义知识点24：增函数与减函数的定义知识点25：单调性与单调区间知识点26：函数的最⼤（⼩）值知识点27：奇函数与偶函数的概念知识点28：利⽤定义判断函数奇偶性的⼀般步骤知识点29：奇偶函数的图象的性质知识点30：奇偶函数的单调性部分知识点详细解释：知识点1：集合与元素1、元素：⼀般地，我们把研究对象统称为元素（element ），元素常⽤⼩写字母 c b a ,,表⽰。
集合与函数综合 知识点整理
集合与函数综合 知识点整理+纠错知识点框架：一、集合的符号表示自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 复数集：C 交集：A B I 并集：A B U 补集：U C A（不）属于：()a A ∈∉ （真）子集：()A B ⊆Ø 相等：A B = 空集：∅ 二、命题的关系函数的表示——映射：:f A B →对于任意一个集合A 中的数x ，在集合B 中都只有唯一的一个数()f x 与之对应。
函数的定义域和值域：几个特殊函数的记忆（()0f x x =；()log a f x x =；()tan f x x =等） 函数的增减性：（常考比较函数值大小、解不等式、求最值）1、导数法证明函数增减性：对于任意的[],x a b ∈，()()'0f x f x >⇔在[],a b 上为增函数；()()'0f x f x <⇔在[],a b 上为减函数；2、作商作差（定义法证明）；定理一：关于直线对称问题——若已知函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称：()()()()f a x f b x f a b x f x ⇔+=-⇔+-=将定理一缩小到特殊情况：①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称()()()()2f a x f a x f a x f x ⇔+=-⇔-=②函数()y f x =的图像关于y 轴对称（偶函数）()()f x f x ⇔=- ③函数()y f x a =+的图像是偶函数()f x ⇔关于直线x a =对称定理二：关于点对称问题——若已知函数()y f x =的图像关于点(),a b 对称：()()()()222f x b f a x f a x f a x b ⇔=--⇔++-=将定理二缩小到特殊情况：①函数()y f x =的图像关于点(),0a 对称()()2f x f a x ⇔=-- ②函数()y f x =的图像关于原点对称（奇函数）()()f x f x ⇔=--③函数()y f x a =+的图像关于原点对称（奇函数）()f x ⇔关于点(),0a 对称定理三：（性质）1、若函数()y f x =的图像有两条铅直对称轴x a =和x b =（a b ≠），那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为2a b -2、若函数()y f x =的图像有一个对称中心(),M m n 一条铅直对称轴x a =，那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为4a m -3、若函数()y f x =的图像有两个对称中心(),A a c 和(),B b c （a b ≠），那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为2a b -4、若一个函数的反函数是他本身，那么它关于直线y x =对称。
集合与函数概念知识点归纳
集合与函数概念知识点归纳
一、集合
1、定义：集合是一种特殊的数学概念，由一组无序的、相互独立的、具有相同特征的对象构成的。
2、术语：元素是集合中的每一个成员，例如：集合{1,2,3}中1,2,3
都是它的元素。
一个集合的元素称为它的子集，可以用一对大括号表示：{x,y,z}。
3、集合的关系：
（1）子集：如果一个集合包含另一个集合中的全部元素，称前者是
后者的子集。
（2）真子集：如果一个集合中包含另一个集合中的其中一元素，称
前者是后者的真子集。
（3）并集：并集是指两个集合中元素的总和，称为两个集合的并集。
（4）交集：交集是指两个集合中都包含的元素，称为两个集合的交集。
（5）补集：补集是指一个集合之外的其他元素，称为另一个集合的
补集。
4、集合的操作：
（1）加法：将元素加入到一些集合中，使得其包含的元素增加。
（2）减法：从一些集合中删除元素，使其包含的元素减少。
（3）求幂：将一些集合中的元素以其中一种方式考虑，得到一个新
的集合。
（4）合并操作：将两个集合中的元素合并成一个集合。
二、函数
1、定义：函数是一种特殊的数学概念，它表示两个变量之间的关系，当给定一个输入时，它可以将输入映射到一个输出。
2、术语：函数由函数表达式组成。
集合与函数概念复习_提纲
第一章集合与函数概念§1.1 集合【知识梳理】一：集合的含义及其关系一般地，我们把 集合中的每个对象 统称为元素,把 指定的某些对象的全体 叫做集合．1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、图示法（韦恩图与数轴）；3.集合中元素与集合的关系：）三：集合的基本运算及常用性质1.2.①，，则②，；③；， ④，；⑤，； ⑥⑦；⑧ 集合的所有子集的个数为，所有真子集的个数为.§1.2 函数及其表示【知识梳理】一．函数的概念1．函数的定义与函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念（表示映射的方法，计算映射的个数）二、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法三、分段函数与复合函数是看待函数结构特点的一个角度，更是解决函数问题的一种思维方式★求定义域的方法：1根据解析式有意义求定义域：⑴整式：⑵分式：分母不等于0 ⑶偶次根式：被开方数大于或等于0⑷含0次幂、负指数幂：底数不等于0 ⑸对数：底数大于0，且不等于1，真数大于03实际问题中，根据自变量的实际意义确定定义域．★求值域的几种常用方法（1）配方法 （二次型函数） （2）换元法（具有基本函数形式结构的函数）（3）分离常数法（常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数的值域）（4）函数的单调性 （5）分段函数的值域（6）数形结合（图象与几何意义） （7）利用重要不等式★掌握求函数的解析式的一般常用方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）代入法（4）构造关于的方程组去解. (例如：函数满足，求)§1.3 函数的基本性质【知识梳理】一．函数的单调性与最值注意：单调性的概念即性质理解单调性离不开图象复合函数的单调性例：（1）已知是上的减函数，则的取值范围是（2）函数的单调递减区间是二、函数的奇偶性和周期性二者的定义式具有相似性，这就决定了在二者的综合问题中要联立求解。
集合与函数概念知识点总结
集合与函数概念知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素构成的整体。
集合中的元素可以是任意对象，可以是数字、字母、符号、词语等。
集合的表示方式有两种：列举法和描述法。
集合的元素之间没有顺序关系，每个元素在集合中只能出现一次。
1.1 集合的符号表示集合用大写字母表示，例如A、B、C等。
如果一个元素x属于集合A，则用x∈A 表示；如果一个元素y不属于集合A，则用y∉A表示。
1.2 集合的列举法集合的列举法是将集合的所有元素一一列举出来。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示A是由元素1、2、3、4组成的集合。
1.3 集合的描述法集合的描述法是通过描述集合元素的共同特征来表示集合。
例如，集合A={x|x是正整数，x<5}表示A是由小于5的正整数组成的集合。
二、集合的运算集合之间可以进行多种运算，包括并集、交集、差集和补集。
2.1 并集两个集合A和B的并集，表示为A∪B，包含了A和B中的所有元素，且每个元素只出现一次。
2.2 交集两个集合A和B的交集，表示为A∩B，包含了同时属于A和B的所有元素。
2.3 差集两个集合A和B的差集，表示为A-B，包含了属于A但不属于B的所有元素。
2.4 补集对于给定的全集U，集合A相对于U的补集，表示为A’，包含了属于U但不属于A的所有元素。
三、函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个集合中的元素和另一个集合中的元素之间的对应关系。
函数可以看作是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
3.1 函数的符号表示函数用小写字母表示，例如f、g、h等。
如果集合A中的元素x经过函数f的映射得到了集合B中的元素y，则用f(x)=y表示。
3.2 定义域和值域函数的定义域是指函数中所有可能的输入值的集合，也就是函数的自变量的取值范围。
函数的值域是指函数中所有可能的输出值的集合，也就是函数的因变量的取值范围。
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集合与函数复习讲义
考点一：集合的概念
知识点：集合的三个特性（确定性、无序性、互异性）
经典例题：（2007全国1）设a,b ∈R ，集合｛1,a+b,a ｝=｛0,a
b ,b ｝则b-a=___________; 方法归纳：1.利用已知条件建立方程（组）；2.验证（必须满足三个特性）。
考点二：元素与集合、集合与集合的关系、集合的运算
经典例题：
例1.下列式子中正确的个数是（ ）
（1）0}0{∈ （2）φ=}0{ （3）}0{⊆φ （4）0}0{⊆
A 1
B 2
C 3
D 4
例2.已知集合},,1|{},,1|{22R x x y y B R x x y x A ∈-==∈-== C },1|),{(2R x x y y x ∈-==，则下列关系：①A ∩C=φ;②A=C;③A=B;④B=C.其中正确的是序号为________.
变式：若集合},1|{},,1|{2R x x y x B R x x y y A ∈+==∈+==，则=B A __ 。
若集合},1|),{(},,1|),{(2R x x y y x B R x x y y x A ∈+==∈+==，则=B A 。
注意：应正确区分点集和数集。
3.已知A ＝｛x ︳x ≤-3或x ≥-1｝，B=}12|{-<<a x a x ．
（Ⅰ）若=B A φ，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若A B A = ，求a 的取值范围．
方法归纳：1.分类讨论的思想；2.记住结论：B A A B A ⊆⇒= ;A B A = A B ⊆⇒.
考点三：函数的概念及其表示
知识点：
1.函数的概念应把握：①A 、B 为非空数集；②A 中任一元素x 按某种对应关系y=f(x)在集合B 中总有而且有唯一的元素y 与之对应(可以是一对一，也可以是多对一而不能是一对多)。
2.函数的三要素（是判断两函数是否为同一函数的依据）：定义域、对应法则、值域；
3.函数的表示法：列表法、图像法、解析式法。
经典例题：
例1.下列式子能否确定y 是x 的函数？
①x 2+y 2=2;②111=-+-y x ;③x x y -+-=12
例2. 设函数.)2(,2)2(,2)(2⎩
⎨⎧>≤+=x x x x x f （1）求)9(f 的值；（2）若8)(0=x f ，求.0x 例3.求解析式
①已知f(x-2)=2x 2-9x+13,求f(x);
②已知2f(x)+f(-x)=3x+2, 求f(x)；
③已知函数f(x)为二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)
考点四：函数性质的应用
知识点：
1.单调性（证明方法目前主要是定义法，作差比较；判断单调性或找单调区间的方法有定义法、图像法） 单调递增：对于区间D 内的任意x 1,x 2，且x 1<x 2,若有f(x 1)< f(x 2)或（x 1-x 2）（f(x 1)- f(x 2)）>0或（f(x 1)- f(x 2)）/（x 1-x 2）>0则函数y=f(x)在区间D 上单调递增；
单调递减学生自己归纳。
2.三种初等函数的单调性：（常借助图形研究这三类函数的单调区间，而且这些单调区间作为常识性的结论应记住，并可直接应用。
）
①一次函数：y=kx+b(k ≠0)当k>0时，_______________;当k<0时，___________________.
②二次函数：y=ax 2+bx+c(a ≠0),其单调性与开口方向和对称轴x=a
b 2-有关，当a>0时,递增区间为_____________；递减区间为：______________.当a<0时，递增区间为_____________；递减区间为：______________.
③反比例函数：y=x
k (k ≠0),当k>0时,___________________;当k<0时，________________. 经典例题：已知函数222++=ax x y x ∈[-5,5]，①求a 的取值范围，使该函数在[-5,5]上是减函数； ②求f(x)的最小值。
2.奇偶性
①首先看定义域是否关于原点对称；②判断偶函数的条件：对于定义域内任意x 有f(-x)=f(x)； 判断奇函数的条件：对于定义域内任意x ，有f(-x)=-f(x)，特别的，若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0(此结论解题常常用到).③偶函数图像关于y 轴对称；奇函数图像关于原点对称.④函数f(x)=c （c 为常数）是偶函数，特别地，C=0时，该函数既是奇函数又是偶函数。
经典例题：
例1.判断下列函数的奇偶性
（1）33)(2+=x x x f ;(2)2222-+-x x ; (3)122)(2++=x x x x f (4)⎪⎩
⎪⎨⎧>-+-=<++=)0(32)0(0)0(32)(22x x x x x x x x f 例2.已知函数b x ax x f ++=
32)(2是奇函数，且3
5)2(=f ①求a,b 的值；②判断函数f(x)在（-1,-∞]的单调性并证明。
方法归纳：此类问题常用赋值法.
例3.设定义在[-2,2]上的奇函数，f(x)在[0,2]上单调递减，若0)1()(>-+m f m f ，求m 的取值范围。
变式：若将条件改为设定义在[-2,2]上的偶函数，有如何呢？
例4.已知函数f(x)在R 上为奇函数，当x<0时，x x x f 2)(2+=，求f(x)的解析式。
方法归纳：求谁则设谁
考点五：定义域、值域、复合函数的单调性（由于涉及到基本的初等函数，特安排在第二章复习）。