第2章 随机过程概述
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第2讲 第二章随机过程的概念
它们的互相关函数定义为
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义 设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2
x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试 验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1） 这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量 相互独立） ，所以过程的有限维统计特性由一维确 定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间， 记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为 四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义 设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2
x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试 验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1） 这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量 相互独立） ，所以过程的有限维统计特性由一维确 定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间， 记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为 四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;
随机过程课程第二章 随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4
相关时间 0 小：随机过程随时间变化快 相关时间 0 大：随机过程随时间变化慢
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
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0 100
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两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
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第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
第二章随机过程的概念与基本讲解
例 6、设 { X i , i 1,2,} 是一独立随机变量序列，且有 相同的两点分布
X i -1 1
pi 1/2 1/2
n
令Y (0) 0,Y (n) X i 。 i 1
试求：随机过程 {Y (n),n 0,1,2,} 的均值函数和相关 函数。
§ 2.3 复随机过程
定义 2.5 设 { X t , t T } ，{Yt , t T } 是取实数值的两
例 2 设随机过程
X (t) Y Zt, t 0
其中，Y,Z 是相互独立的 N(0,1)随机变量，求此随机过 程的一、二维概率密度族。
注:二维正态分布的密度函数:
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
第二章 随机过程的概念与基本类型
随机过程---随机信号 随机过程是与确定性过程相对立的一个概念.从信 息论的观点 ,对接收者来讲只有信号表现出某种不可预 测性才可能蕴涵信息.因为如果在信号收到以前接收者 已准确地预测它的一切,则这种信号是毫无用处的.类似 地,若接收者能从信号的过去正确地预测它的将来,将来 的部分信号即成多余。
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
例 3 设 X(t)是实随机过程，x 为任意实数，令
Y
(t)
1, 0,
X (t) X (t)
x, x,
证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别为 X(t)的 一维和二维分布函数。
第2章 随机过程概述
E[ X (t )] mX 常数
(功率有限),且
2
则称
R(t1 , t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( )
(t ), t T X为广义平稳随机过程。
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf ( x, t1; y, t2 )dxdy
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
X i (t j ) X (t j , ei )
随机变量
标量
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程一般表示为{ X (t), t T }。
自相关函数各态历经
T
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
C (0) R(0) m2 2
自相关函数连续的充要条件
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
(功率有限),且
2
则称
R(t1 , t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( )
(t ), t T X为广义平稳随机过程。
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf ( x, t1; y, t2 )dxdy
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
X i (t j ) X (t j , ei )
随机变量
标量
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程一般表示为{ X (t), t T }。
自相关函数各态历经
T
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
C (0) R(0) m2 2
自相关函数连续的充要条件
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
第二章 随机过程基本概念
E = {x : X (t , ω ) = x, t ∈ T , ω ∈Ω}
3.1 随机过程的定义
定义2 是一个实数集。 定义2 设( ,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。 )是一个概率空间， 是一个实数集 X(t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)是定义在 和 上的二元函数。若对于 (, ) ∊Ω) , ∊Ω 是定义在T和 上的二元函数。 任意固定的ω∊Ω 总有一个t 的函数X( , ) 任意固定的 ∊Ω ，总有一个 的函数 (t,ω)（t ∊T）与之对 ） 的函数， 应,对于所有的ω∊Ω ，就得到一族确知的 的函数，则称这一 对于所有的 ∊Ω 就得到一族确知的t的函数 则称这一 的函数的集合{ ( , ), ),t , ∊Ω ∊Ω} 族 t 的函数的集合{X(t,ω), ∊T, ω∊Ω}是( ,ℱ,P)上的随机 )上的随机 过程。 过程。 其中，每一个函数称为样本函数， 其中，每一个函数称为样本函数，或该随机过程的一个 函数称为样本函数 实现。 实现。
i 0 1 X2 1 i 0 Xm 1 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……
3.1 随机过程的定义
电话问题。 ( ≥0)固定时，电话交换站在[0 ] ≥0)固定时 [0， 例2 电话问题。当t(t≥0)固定时，电话交换站在[0，t] 时间内接到的呼唤次数是个随机变量 它可以取非负整数值0 随机变量， 时间内接到的呼唤次数是个随机变量，它可以取非负整数值0， 变到∞ 1，2，…。如果 从0变到∞， t 时刻前接收到的呼唤次数就 。如果t 需要用一族随机变量表示 是一个随机过程 一族随机变量表示， 随机过程。 需要用一族随机变量表示，是一个随机过程。 做一次试验， 做一次试验，可得到一 条表示t 条表示 时刻前接收到的 呼唤次数的非降阶梯曲 样本函数）。 ）。各次 线（样本函数）。各次 试验所得的曲线是随机 所有这些样本函数 的。所有这些样本函数 组成一随机过程 随机过程。 组成一随机过程。
随机过程随机过程的基本概念ppt课件
个“呼叫次数—时间函数”是不可能预先确定的，只有通过测量 才能得到. 由于呼叫的随机性，在相同条件下，每次测量都产生不 同的“呼叫次数—时间函数”.
6
2.1 随机过程的定义
例2.1.2 电子元件或器件由于内部微观粒子 （电子）的随机热噪声引起的端电压称为热 噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变 量，记为V(t). 如果t 从0变到+∞，t 时刻的热 噪声电压需要用一族随机变量{V(t), t ∈[0, +∞]}来表示，则该随机变量就是一个随机过 程. 对某种装置做一次试验，便可得到一个 “电压—时间函数”v(t) . 这个“电压—时间 函数”是不可能预先确知的，只有通过测量才 能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一 次测量，则得到的记录是不同的.
; 取V=0,则
x(t)=0;取V3=1，则x(3t)=cosωt. 这些都是 t 的
确定函数，即随机过程的样本函数.
12
2.1 随机过程的定义
(2) 当t=0时，X(0)=V，故X(0)的概率密度函 数就是V的概率密度函数，即
1,0 x 1 fX (0) (x) 0,其他
当 故
1,0 v 1 fV (v) 0,其他
(1) 画出{X(t) ,﹣∞<t<+∞}的几条样本曲线；
(率2)密求度t 函 0数, 4;
,
3 4
,
时随机变量X(t)的概
(3)求
t
2
时X(t)的分布函数
11
2.1 随机过程的定义
解
(1) 取 V 2 则x(t) 2 cost
定义2.1.3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，则 当ω ∈ Ω固定时， X(t)是定义在上T不具有 随机性的普通函数，记为x(t), 称为随机过 程的一个样本函数. 其图像成为随机过程 的一条样本曲线（轨道或实现）.
6
2.1 随机过程的定义
例2.1.2 电子元件或器件由于内部微观粒子 （电子）的随机热噪声引起的端电压称为热 噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变 量，记为V(t). 如果t 从0变到+∞，t 时刻的热 噪声电压需要用一族随机变量{V(t), t ∈[0, +∞]}来表示，则该随机变量就是一个随机过 程. 对某种装置做一次试验，便可得到一个 “电压—时间函数”v(t) . 这个“电压—时间 函数”是不可能预先确知的，只有通过测量才 能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一 次测量，则得到的记录是不同的.
; 取V=0,则
x(t)=0;取V3=1，则x(3t)=cosωt. 这些都是 t 的
确定函数，即随机过程的样本函数.
12
2.1 随机过程的定义
(2) 当t=0时，X(0)=V，故X(0)的概率密度函 数就是V的概率密度函数，即
1,0 x 1 fX (0) (x) 0,其他
当 故
1,0 v 1 fV (v) 0,其他
(1) 画出{X(t) ,﹣∞<t<+∞}的几条样本曲线；
(率2)密求度t 函 0数, 4;
,
3 4
,
时随机变量X(t)的概
(3)求
t
2
时X(t)的分布函数
11
2.1 随机过程的定义
解
(1) 取 V 2 则x(t) 2 cost
定义2.1.3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，则 当ω ∈ Ω固定时， X(t)是定义在上T不具有 随机性的普通函数，记为x(t), 称为随机过 程的一个样本函数. 其图像成为随机过程 的一条样本曲线（轨道或实现）.
第二章随机过程的基本概念
个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一 起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则 {Xn, n=0,1,2….}是随机过程。
例: 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上 的微小粒子不断进行无规则的运动。这种运 动叫做Brown运动，它是分子大量随机碰撞的
结果。记 X t ,Y t 为粒子于时刻t在平面
为t T 的函数，x(t,ω0 )是一个定义在T 上的
普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
x(t,ω1) x(t,ω2) x(t,ω3)
t1
t2
tn
例5 X(t,ω) = acos(bt+Θ), Θ~U(0, 2π)
ω1 =5.4938 ω2 = 1.9164
ω3 = 2.6099
定义2.1.2 对每一固定ωΩ，称Xt (ω) 是随 机过程 {X (t,), t T }的一个样本函数.
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
（3）马尔可夫过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn P( X (tn ) xn | X (tn1 ) xn1 ，…，X (t1 ) x1 )
X (t)
t, 3
et ,
如果t时取得红球 如果t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求概率密度
解 对每一个确定的时刻 t，X (t) 的概率密度为
t
X (t)
3
t
e
P
所以
F (t1；x1 ) P( X (t1 ) x1 )
21
例: 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上 的微小粒子不断进行无规则的运动。这种运 动叫做Brown运动，它是分子大量随机碰撞的
结果。记 X t ,Y t 为粒子于时刻t在平面
为t T 的函数，x(t,ω0 )是一个定义在T 上的
普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
x(t,ω1) x(t,ω2) x(t,ω3)
t1
t2
tn
例5 X(t,ω) = acos(bt+Θ), Θ~U(0, 2π)
ω1 =5.4938 ω2 = 1.9164
ω3 = 2.6099
定义2.1.2 对每一固定ωΩ，称Xt (ω) 是随 机过程 {X (t,), t T }的一个样本函数.
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
（3）马尔可夫过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn P( X (tn ) xn | X (tn1 ) xn1 ，…，X (t1 ) x1 )
X (t)
t, 3
et ,
如果t时取得红球 如果t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求概率密度
解 对每一个确定的时刻 t，X (t) 的概率密度为
t
X (t)
3
t
e
P
所以
F (t1；x1 ) P( X (t1 ) x1 )
21
第二章 随机过程基本概念
随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。
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RXY (t1, t2 ) mX (t1)mY (t2 )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 需要强调的地方 ➢ 相互独立 F (x, y;t1,t2 ) P[ X (t 1) x,Y (t2 ) y]
➢ 正交
f (x, y;t1,t2 ) f X (x, t1) fY ( y,t2 )
平稳随机过程和非平稳随机过程
✓ 按记忆特性分类
➢纯粹随机过程
n
Fn (x1,t1; x2,t2;L ; xn,tn ) F1(x j ,t j )
➢马尔可夫过程
j 1
Fn (xn , tn | xn1, tn1; xn2 , tn2;L ; x2 , t2; x1, t1) Fn (xn , tn | xn1, tn1)
➢ 均值 ➢ 方差
E[ X (t)] xf1(x)dx mX
D[X (t)] E [X (t) mX ]2
(x
mX
)2
f1 ( x)dx
2
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ n=2时:
f (x1, x2;t1, t2 ) f (x1, x2;t1 t2 ) f (x1, x2; )
0
工程上认为不相关
三、平稳随机过程的各态历经性
1、时间平均
X (t) lim 1
T
x(t)dt
T 2T T
随
机 变
X 2 (t) lim 1 T x2 (t)dt T 2T T
量
时间均值 平均功率
X (t )X (t) lim 1
T
x(t )x(t)dt
确定性过程：这类过程具有明确形式的变化过程，或者说具有必然的变化规律。 用数学语言来说，就是事物的变化过程可以用一个确定函数来描述。 eg:匀速运动的小车
随机过程：没有确定的变化形式，即每次测量结果没有一个确定的变化规律。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程：没有确定的变化形式，即每次测量结果没有一个确定的变化规律。 Eg:观察通信信道中的噪声，假设进行了四次观测，得到下图：
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 ✓ 多维分布
多维概率分布函数 Fn (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn) P[X (t1) x1, X (t2) x2,L , X (tn) xn]
多维概率密度函数
fn (x1, x2 ,L , xn ;t1, t2 ,L , tn ) n Fn (x1, x2 ,L , xn ;t1, t2 ,L , tn ) x1x2 L xn
s2 (t)d 1
2
F() d
2
当时间趋于无穷时,能量型信号的平均功率趋于零
四、平稳过程的功率谱密度
2、功率型信号
每次得到的结果不同 每次的变化规律均无法用确定的函数来描述
一、随机过程的概念
Eg:观察具有随机振幅A或者随机相位 的交流发电机的输出电压波形， 交流发电机的输出电压波形可用下式表示：
一次观察，得到时间t的确定函数。 重复独立多次观察，每次所得结果均不同。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
[定义] 设 E {e是} 一个样本空间，若对每一时刻 t T ，都有定义在上的随机变量 X (t, e) 与之对应，则称依赖t的一族随机变量 { X (t, e), t T , eE }是一个随机 过程，简记为随机过程 { X (t), t T }。
xyf (x, t1; y, t2 )dxdy CX (t1,t2 ) E X (t1) mX (t1) X (t2 ) mX (t2 )
RX (t1,t2 ) mX (t1)mX (t2 )
CXY (t1, t2 ) E X (t1) mX (t1)Y (t2 ) mY (t2 )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 均值
m(t) E[ X (t)] xf (x,t)dx
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 方差
2 (t) D[ X (t)] E{[ X (t) m(t)]2}
一、随机过程的概念
4、平稳随机过程自相关函数的性质
✓非负定性
n
R(i j )aia j 0
i, j1
自相关函数的曲线图示：
R( )
2 R(0)
m2
0
t
二、平稳随机过程
5、互相关函数及其性质 ✓定义
RXY ( ) E[ X (t)Y (t )]
✓性质
RXY ( ) RYX ( )
1、当e和t都是变量时，X(t)是一族时间的函数，它表示一个随机过程； 2、当e给定，t为变量时，X(t)是一个时间t的函数，称它为样本函数，有时也称为一次实现。 3、当t给定，e为变量时，X(t)是一个随机变量。 4、当e、t均给定时，X(t)是一个标量或者矢量。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
E[ X (t1)Y (t2 )] 0
➢ 互不相关
CXY (t1, t2 ) cov[ X (t1),Y (t2 )] RXY (t1, t2 ) mX (t1)mY (t2 ) 0
✓ 结论：相互独立必定互不相关，反之不一定。
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 ✓ 按统计特性分类
➢ 自相关函数
R(t,t ) E[X (t)X (t )]
x1x2 f (x1, x2; )dx1dx2 R( )
➢ 协方差
C( ) E[X (t) mX ][X (t ) mX ] R( ) mX 2
二、平稳随机过程
✓ 各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
lim 1
T T
2T 0
(1
2T
)[RX
( )
mX2
]d
0
三、平稳随机过程的各态历经性
三、平稳随机过程的各态历经性
2、各态历经性
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
1
lim T T
2T 0
(1
➢独立增量过程
X (ti1) X (ti ) X (ti ,ti1) 相互独立
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 ✓ 按概率分布分类
高斯随机过程和非高斯随机过程
✓ 按功率谱特性分类 白噪声过程和有色噪声过程
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ 定义
设
X (t为),t一T随 机过程，若对任意正整数 ,任意
2、随机过程的概率分布 ✓ 二维分布
二维概率分布函数
F (x1, x2;t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
二维概率密度函数
f
(x1,
x2 ;
t1,
t2
)
2
F
(x1, x2;t1, x1x2
t2
)
相互独立
F (x1, x2;t1, t2 ) FX1 (x1, t1)gFX2 (x2 , t2 )
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程 二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
二、平稳随机过程
3、二阶矩过程
➢ 定义
若一个随机过程 X (t),t,如T果 对于一切 t T ,总有: E[ X 2 (t)]
则称此过程为二阶矩过程。
对于二阶矩过程
2、广义平稳过程
➢ 定义 设 X(t),t 是T 一随机过程,
(功率E[有X 2限(t)]),且
1 2 E[ X (t)] mX 常数
R(t1,t2 ) E[ X (t) X (t )] R( ) t1 t2
则称 X(t),t T为广义平稳随机过程。
综上，随机过程分为四大类： 1、连续型随机过程 2、离散型随机过程 3、连续型随机序列 4、离散型随机序列
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 ✓ 一维分布
一维概率分布函数 一维概率密度函数
F (x, ti ) P[ X (ti ) x]
f
(x, ti )
F (x, ti x
)
一、随机过程的概念
均值
mX (t) E[ X (t)]
自协方差函数
总是存在的。CX (t1,t2) E(X (t1) mX (t1))(X (t2) mX (t2))
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质
✓极值性
R( ) R(0)
✓对称性 R( ) R( )
则称 为严格平稳随机过程。
n 1, 2,L
严格平稳X条(t)件等价于
fn (x1, x2 ,L , xn;t1, t2,L tn ) fn (x1, x2,L , xn;t1 , t2 ,L tn )
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ n=1时:
f (x,t) f (x,t ) f (x) 与时间t无关
的实数 n
与 ,随机t1变,t2 ,量L ,tn
的维
分布函数与X (t1), X (t2 ),L , X (tn ) 同，即 X (t1 ), X (t2 ),L , X (tn )
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 需要强调的地方 ➢ 相互独立 F (x, y;t1,t2 ) P[ X (t 1) x,Y (t2 ) y]
➢ 正交
f (x, y;t1,t2 ) f X (x, t1) fY ( y,t2 )
平稳随机过程和非平稳随机过程
✓ 按记忆特性分类
➢纯粹随机过程
n
Fn (x1,t1; x2,t2;L ; xn,tn ) F1(x j ,t j )
➢马尔可夫过程
j 1
Fn (xn , tn | xn1, tn1; xn2 , tn2;L ; x2 , t2; x1, t1) Fn (xn , tn | xn1, tn1)
➢ 均值 ➢ 方差
E[ X (t)] xf1(x)dx mX
D[X (t)] E [X (t) mX ]2
(x
mX
)2
f1 ( x)dx
2
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ n=2时:
f (x1, x2;t1, t2 ) f (x1, x2;t1 t2 ) f (x1, x2; )
0
工程上认为不相关
三、平稳随机过程的各态历经性
1、时间平均
X (t) lim 1
T
x(t)dt
T 2T T
随
机 变
X 2 (t) lim 1 T x2 (t)dt T 2T T
量
时间均值 平均功率
X (t )X (t) lim 1
T
x(t )x(t)dt
确定性过程：这类过程具有明确形式的变化过程，或者说具有必然的变化规律。 用数学语言来说，就是事物的变化过程可以用一个确定函数来描述。 eg:匀速运动的小车
随机过程：没有确定的变化形式，即每次测量结果没有一个确定的变化规律。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程：没有确定的变化形式，即每次测量结果没有一个确定的变化规律。 Eg:观察通信信道中的噪声，假设进行了四次观测，得到下图：
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 ✓ 多维分布
多维概率分布函数 Fn (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn) P[X (t1) x1, X (t2) x2,L , X (tn) xn]
多维概率密度函数
fn (x1, x2 ,L , xn ;t1, t2 ,L , tn ) n Fn (x1, x2 ,L , xn ;t1, t2 ,L , tn ) x1x2 L xn
s2 (t)d 1
2
F() d
2
当时间趋于无穷时,能量型信号的平均功率趋于零
四、平稳过程的功率谱密度
2、功率型信号
每次得到的结果不同 每次的变化规律均无法用确定的函数来描述
一、随机过程的概念
Eg:观察具有随机振幅A或者随机相位 的交流发电机的输出电压波形， 交流发电机的输出电压波形可用下式表示：
一次观察，得到时间t的确定函数。 重复独立多次观察，每次所得结果均不同。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
[定义] 设 E {e是} 一个样本空间，若对每一时刻 t T ，都有定义在上的随机变量 X (t, e) 与之对应，则称依赖t的一族随机变量 { X (t, e), t T , eE }是一个随机 过程，简记为随机过程 { X (t), t T }。
xyf (x, t1; y, t2 )dxdy CX (t1,t2 ) E X (t1) mX (t1) X (t2 ) mX (t2 )
RX (t1,t2 ) mX (t1)mX (t2 )
CXY (t1, t2 ) E X (t1) mX (t1)Y (t2 ) mY (t2 )
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 均值
m(t) E[ X (t)] xf (x,t)dx
一、随机过程的概念
3、随机过程的数字特征
✓ 方差
2 (t) D[ X (t)] E{[ X (t) m(t)]2}
一、随机过程的概念
4、平稳随机过程自相关函数的性质
✓非负定性
n
R(i j )aia j 0
i, j1
自相关函数的曲线图示：
R( )
2 R(0)
m2
0
t
二、平稳随机过程
5、互相关函数及其性质 ✓定义
RXY ( ) E[ X (t)Y (t )]
✓性质
RXY ( ) RYX ( )
1、当e和t都是变量时，X(t)是一族时间的函数，它表示一个随机过程； 2、当e给定，t为变量时，X(t)是一个时间t的函数，称它为样本函数，有时也称为一次实现。 3、当t给定，e为变量时，X(t)是一个随机变量。 4、当e、t均给定时，X(t)是一个标量或者矢量。
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
E[ X (t1)Y (t2 )] 0
➢ 互不相关
CXY (t1, t2 ) cov[ X (t1),Y (t2 )] RXY (t1, t2 ) mX (t1)mY (t2 ) 0
✓ 结论：相互独立必定互不相关，反之不一定。
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 ✓ 按统计特性分类
➢ 自相关函数
R(t,t ) E[X (t)X (t )]
x1x2 f (x1, x2; )dx1dx2 R( )
➢ 协方差
C( ) E[X (t) mX ][X (t ) mX ] R( ) mX 2
二、平稳随机过程
✓ 各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
lim 1
T T
2T 0
(1
2T
)[RX
( )
mX2
]d
0
三、平稳随机过程的各态历经性
三、平稳随机过程的各态历经性
2、各态历经性
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
1
lim T T
2T 0
(1
➢独立增量过程
X (ti1) X (ti ) X (ti ,ti1) 相互独立
一、随机过程的概念
3、随机过程的基本分类 ✓ 按概率分布分类
高斯随机过程和非高斯随机过程
✓ 按功率谱特性分类 白噪声过程和有色噪声过程
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ 定义
设
X (t为),t一T随 机过程，若对任意正整数 ,任意
2、随机过程的概率分布 ✓ 二维分布
二维概率分布函数
F (x1, x2;t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
二维概率密度函数
f
(x1,
x2 ;
t1,
t2
)
2
F
(x1, x2;t1, x1x2
t2
)
相互独立
F (x1, x2;t1, t2 ) FX1 (x1, t1)gFX2 (x2 , t2 )
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程 二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
二、平稳随机过程
3、二阶矩过程
➢ 定义
若一个随机过程 X (t),t,如T果 对于一切 t T ,总有: E[ X 2 (t)]
则称此过程为二阶矩过程。
对于二阶矩过程
2、广义平稳过程
➢ 定义 设 X(t),t 是T 一随机过程,
(功率E[有X 2限(t)]),且
1 2 E[ X (t)] mX 常数
R(t1,t2 ) E[ X (t) X (t )] R( ) t1 t2
则称 X(t),t T为广义平稳随机过程。
综上，随机过程分为四大类： 1、连续型随机过程 2、离散型随机过程 3、连续型随机序列 4、离散型随机序列
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 ✓ 一维分布
一维概率分布函数 一维概率密度函数
F (x, ti ) P[ X (ti ) x]
f
(x, ti )
F (x, ti x
)
一、随机过程的概念
均值
mX (t) E[ X (t)]
自协方差函数
总是存在的。CX (t1,t2) E(X (t1) mX (t1))(X (t2) mX (t2))
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质
✓极值性
R( ) R(0)
✓对称性 R( ) R( )
则称 为严格平稳随机过程。
n 1, 2,L
严格平稳X条(t)件等价于
fn (x1, x2 ,L , xn;t1, t2,L tn ) fn (x1, x2,L , xn;t1 , t2 ,L tn )
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ n=1时:
f (x,t) f (x,t ) f (x) 与时间t无关
的实数 n
与 ,随机t1变,t2 ,量L ,tn
的维
分布函数与X (t1), X (t2 ),L , X (tn ) 同，即 X (t1 ), X (t2 ),L , X (tn )