§1.1你能证明它们吗(第2课时)

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠1=
∴∠1=∠2(等式性质). E 在△BDC与△CEB中 ∵ ∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）, 1 B ∠1=∠2（已证）, ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
1 1 ∠ABC,∠2= ∠ACB(已知), 2 2

我能行 2
命 题 的 证 明
A
求证:等腰三角形两腰上的高相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是 △ABC两腰上的高. 求证:BP=CQ.
证明:∵AB=AC(已知), B ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵ ∠BPC=∠CQB（已证）, ∠PCB=∠QBC（已证）, BC=CB（公共边）, ∴△BPC≌△CQB（AAS）. ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等) Q
九年级（上）第一章《证明（二）》
1.1 你能证明它们吗（二） 第2课时
知识的巩固
◆证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论;
(2)根据题意画出相应的图形; (3)根据题设和结论写出已知,求证;
(4)分析证明思路,写出证明过程.
知识要点回顾 定理:等腰三角形的两个底角相等简称:等边对等角 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高线互相重合 (三线合一) 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS） 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS) 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA) 公理:全等三角形的对应边、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角 形全等 (AAS)
E
F
B
j
D
C
我也会用数学
P10
5
如图,一艘船从A处出发,以18节的速度向 正北航行,经过10时到达BC处,分别从A, B望 灯塔C,测得∠NAC=420, ∠NBC=840,求从B处 到灯塔C的距离. N
C
840
B
420
A
再 见
现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶 点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角 形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 90°36°108°
隋堂练习P9 ２
成功者的摇篮
2.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个 内角小于或等于60° 证明:假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角, 且 都大于60°, 则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°, ∴ ∠A+∠B+∠C>180°; 这与三角形的内角和是180o定理矛盾 ∴假设不成立 ∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等 于60°.
1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法, 得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛 盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定 命题的结论正确. 老师建议: 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决 某些问题时常常会有出人意料的作用.
你可要结识“反证法”这个新朋友噢!
E B
● ●
D C
议一议 2
等腰三角形的判定
我们已经证明了“等腰三角形的两个 底角相等”，反过来，有两个角相等的三 角形是等腰三角形吗？你能证明吗？ 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C. A 求证:AB=AC.
1 2
如：作BC边上的中线； 作∠A的平分线 作BC边上的高.
B
D
C
议一议
3
几何的三种语言
作
业
１、基础作业： 课本Ｐ9页习题第1、2、3题 2、预习作业：
课本P10—P12页“做一做”
一试身手P9 1
已知, 如图, ∠CAE是△ABC 的外角, AD//BC, 且∠1=∠2 求证:AB=AC EA 1 2D NhomakorabeaB
C
知识源于悟
P10
4
如图: 在一个风筝ABCD中, AB=AD , BC=DC, 分别在AB, AD的中点E,F处拉两根 彩线EC, FC． A 求证:这两根彩线的长相等
隋堂练习P9 1
成功者的摇篮
1.用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 证明:假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
比一比
在等腰三角形中作出 一些线段（如角平分线、 中线，高线），你能发现 其中一些相等的线段吗？ 你能证明你的结论吗？
例题欣赏 1
命 题 的 证 明
例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平 分线. 求证:BD=CE. 证明:∵AB=AC(已知), A
知识要点:
结论1:等腰三角形两底角的平分线相等. 结论2:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等. 定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边.
反证法认识你吗?
小结
拓展
回 味 无 穷
理解证明的必要性和规范性.
理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.
你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有何进 步. 规范性中的条理清晰,因果相应,言心有据的要求是 否内化为一种技能. 几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高. 关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器. 你准备如何提高证明命题的能力呢?
初 露 锋 芒 心动 不如行动 例1.如何证明这个结论: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且 a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一 个大于或等于1/5.
用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个 数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五 个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不 成立, 原命题成立,即这五个数中至少有一个 大于或等于1/5.
P
C

议一议 1
学
无
止
境
1.已知:如图,在△ABC中, (1)如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3 呢? 由此你能得到一个什么结论? (2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能 得到一个什么结论? A 你能证明得到的结论吗？ 这里是一个由特殊结 论归纳出一般结论的一种 数学思想方法.
A 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 M 又∵CM= 2 AC, BN= 2 AB(已知), N ∴CM=BN(等式性质). B C 在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已知）, CM=BN（已证）, ∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)
开启
智慧
学
无
止
境
A
小明说： 在一个三角形中，如 果两个角所对的边不相等, 那么这两个角也不相等.
C
●
●●
B
即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C.
你认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它吗?
开启
智慧
学
无
止
境
小明是这样想的:
假设∠B=∠C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件是AB≠AC相矛 A 盾，因此假设不成立,原命题成立 即∠B≠∠C.
定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等 A 角对等边）. 在△ABC中 ∵∠B=∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）. 这又是一个判定两条线段相等方法之一.
B C
开启
智慧
证明命题的新思路
路边苦李
古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和 小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多 得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只 有王戍站着没动。小朋友问他为何不去摘，他 说：“树长在路边，如果李子是甜的,那么早没 了,现在李子那么多，肯定李子是苦的，不好 吃。”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。
D
2

C
想一想,做一做 ☞
等腰三角形的两腰上的中线相等 吗？还有其他的结论吗？请你证明它 们，并与同伴进行交流。 等腰三角形的两腰上的高线相等吗？
我能行1
命 题 的 证 明
求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是 △ABC两腰上的中线. 求证:BM=CN.
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你 能 理 解 他 C B 的 小明在证明时，先假设命题的结论不成 推 理 立，然后推导出与定义，公理、已证定理或 过 已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结 程 吗 论一定成立.这种证明方法称为反证法 (reduction to absurdity) ?
开启
智慧
反
证
法
用反证法证明的一般步骤: