2016-2017年辽宁省鞍山市台安县九年级(上)期中数学试卷和答案

2016-2017学年辽宁省鞍山市台安县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：每小题3分，共24分1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C．D．2．（3分）方程x2﹣25=0的解是（）A．x1=x2=5 B．x1=x2=25 C．x1=5，x2=﹣5 D．x1=25，x2=﹣253．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，则m的值为（）A．m=﹣3 B．m=1 C．m=1或m=﹣3 D．m≠14．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的点，已知∠ABO=40°，则∠ACB 的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°5．（3分）把抛物线y=﹣4x2的图象向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y=﹣4x2﹣3 B．y=﹣4（x+3）2C．y=﹣4（x﹣3）2D．y=﹣4x2+36．（3分）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）如图，AB是⊙O的直径，M，N是⊙O上的两点，且AN=3，∠M=120°，则⊙O的半径为（）A．3 B．5 C．3 D．68．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0二、填空题：每小题3分，共24分9．（3分）若一元二次方程x2﹣6x+b=0可化为（x﹣a）2=1，则b﹣a的值是．10．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，则k的值是．11．（3分）已知二次函数y=x2﹣（m﹣4）x+2m﹣3，当m=时，图象顶点在y轴上．12．（3分）已知点A（a，2）与点B （﹣1，b）关于原点O对称，则的值为．13．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，△DEF是由△ABC旋转得到的，则旋转中心的坐标为．14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦AC=4cm，BC=3cm，CD⊥AB，垂足为D，那么CD的长为cm．15．（3分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为．16．（3分）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是．三、每小题8分，共16分17．（8分）关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）证明：方程有两个不相等的实数根．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B （﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．四、每小题10分，共20分19．（10分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离．（2）求∠APB的度数．20．（10分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．五、每小题10分，共20分21．（10分）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=﹣x2+运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为 2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？22．（10分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ABC的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AB的延长线于F，求证：CF=DB．六、每小题10分，共20分23．（10分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？24．（10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？七、12分25．（12分）图形变换中的数学，问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．探索发现：（1）如图①，BC与BD的数量关系是；猜想验证：（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸：（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图象，并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系．八、14分26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D位抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD，BD，DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S=S四边形OCDB，求△OCE此时P点的坐标．2016-2017学年辽宁省鞍山市台安县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共24分1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）方程x2﹣25=0的解是（）A．x1=x2=5 B．x1=x2=25 C．x1=5，x2=﹣5 D．x1=25，x2=﹣25【解答】解：移项得：x2=25；开方得，x=±5，∴x1=5，x2=﹣5．故选C．3．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，则m的值为（）A．m=﹣3 B．m=1 C．m=1或m=﹣3 D．m≠1【解答】解：把x=0代入（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0得m2+2m﹣3=0，解得m1=﹣3，m2=1，而m﹣1≠0，所以m=﹣3．故选：A．4．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的点，已知∠ABO=40°，则∠ACB 的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=40°；∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=100°；∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故选：D．5．（3分）把抛物线y=﹣4x2的图象向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y=﹣4x2﹣3 B．y=﹣4（x+3）2C．y=﹣4（x﹣3）2D．y=﹣4x2+3【解答】解：抛物线y=﹣4x2的图象向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=﹣4（x+3）2．故选：B．6．（3分）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选：C．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，M，N是⊙O上的两点，且AN=3，∠M=120°，则⊙O的半径为（）A．3 B．5 C．3 D．6【解答】解：连接BN，如图，∵∠M+∠A=180°，∴∠A=180°﹣120°=60°，∵AB为直径，∴∠ANB=90°，∴∠ABN=30°，∴AB=2AN=6，∴⊙O的半径为3．故选：A．8．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴x=﹣=1＞0，则b＜0．抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，所以abc＞0．故A选项错误；B、∵x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0．故B选项错误；C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．故C选项错误；D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，则4ac ﹣b2＜0．故D选项正确；故选：D．二、填空题：每小题3分，共24分9．（3分）若一元二次方程x2﹣6x+b=0可化为（x﹣a）2=1，则b﹣a的值是5．【解答】解：∵x2﹣6x=﹣b，∴x2﹣6x+9=﹣b+9，即（x﹣3）2=9﹣b，则a=3，9﹣b=1，得：a=3，b=8，∴b﹣a=8﹣3=5，故答案为：5．10．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，则k的值是﹣1．【解答】解：把x=2代入x2﹣kx﹣6=0得4﹣2k﹣6=0，解得k=﹣1．故答案为﹣1．11．（3分）已知二次函数y=x2﹣（m﹣4）x+2m﹣3，当m=4时，图象顶点在y轴上．【解答】解：△=（m﹣4）2﹣4（2m﹣3）=0，解得：m=4．故答案是：4．12．（3分）已知点A（a，2）与点B （﹣1，b）关于原点O对称，则的值为﹣．【解答】解：根据题意，已知点A（a，2）与点B （﹣1，b）关于原点O对称，则a=﹣（﹣1）=1，b=﹣2，故则的值为﹣．13．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，△DEF是由△ABC旋转得到的，则旋转中心的坐标为（0，1）．【解答】解：如图，旋转中心为点（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦AC=4cm，BC=3cm，CD⊥AB，垂足为D，那么CD的长为 2.4cm．【解答】解：∵AB为⊙o的直径∴∠ACB=90°∵AC=4cm，BC=3cm∴AB=5cm∵CD⊥AB∴CD的长为=2.4cm答案：CD的长为2.4cm．故填空答案：2.4．15．（3分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．【解答】解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故答案为：x1=﹣1或x2=3．16．（3分）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是80°或100°．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故答案为80°或100°．三、每小题8分，共16分17．（8分）关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）证明：方程有两个不相等的实数根．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数．由题知：x1+x2=﹣（m+2）=0，解得：m=﹣2，将m=﹣2代入x2+（m+2）x+2m﹣1=0，解得：x=，∴m的值为﹣2，方程的根为x=．18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B （﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．四、每小题10分，共20分19．（10分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离．（2）求∠APB的度数．【解答】解：（1）连接PQ，由题意可知△ABP≌CBQ则QB=PB=4，∠ABP=∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，故△BPQ为等边三角形，所以PQ=QB=PB=4；（2）∵△ABP≌CBQ，∴QC=PA=3，∠APB=∠BQC，又∵PQ=4，PC=5，利用勾股定理的逆定理可知：∴PQ2+QC2=PC2，则△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP=60°，∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°∴∠APB=∠BQC=150°20．（10分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余∴∠BCD=∠BAC．（3分）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠ACO=∠BCD．（5分）（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，CE=CD=×24=12cm，（6分）在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）解得R=13，∴2R=2×13=26cm．答：⊙O的直径为26cm．（10分）五、每小题10分，共20分21．（10分）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=﹣x2+运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为 2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【解答】解：（1）∵y=﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y=3.05时，﹣0.2x2+3.5=3.05，解得：x=±1.5，∵x＞0，∴x=1.5；当y=2.25时，﹣0.2x2+3.5=2.25，解得：x=2.5或x=﹣2.5，由1.5+2.5=4（m），故他距离蓝筐中心的水平距离是4米．22．（10分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ABC的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AB的延长线于F，求证：CF=DB．【解答】证明：连接AE，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴∠ADC=∠DAB=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∵AC=AB，∴EC=EB，∵AB∥CD，∴ED=EF，∴四边形DBFC是平行四边形，∴CF=DB．六、每小题10分，共20分23．（10分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．24．（10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意得，解得：k=﹣2，b=200，∴y=﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，∵30≤x≤60，∴x=60时，w有最大值为1950元，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．七、12分25．（12分）图形变换中的数学，问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．探索发现：（1）如图①，BC与BD的数量关系是BC=BD；猜想验证：（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸：（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图象，并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBA=60°，BC=AB，∵点D是AB的中点，∴BC=BD，故答案为：BC=BD；（2）BF+BP=BD，理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBA=60°，BC=AB，∵点D是AB的中点，∴BC=BD，∴△DBC是等边三角形，∴∠CDB=60°，DC=DB，∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中，，∴△DCP≌△DBF，∴CP=BF，∵CP+BP=BC，∴BF+BP=BC，∵BC=BD，∴BF+BP=BD；（3）如图③，BF=BD+BP，理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBA=60°，BC=AB，∵点D是AB的中点，∴BC=BD，∴△DBC是等边三角形，∴∠CDB=60°，DC=DB，∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中，，∴△DCP≌△DBF，∴CP=BF，∵CP=BC+BP，∴BF=BC+BP，∵BC=BD，∴BF=BD+BP．八、14分26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D位抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；=S四边形OCDB，求（2）连接CD，BD，DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE此时P点的坐标．【解答】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），∴由题意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．在Rt△OBC中，∵OC=OB=3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°．（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，此时S=S梯形OCDH+S△HBD，四边形OCDB∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，∴S=•（OC+HD）•OH=，梯形OCDHS△HBD=•HD•HB=4，=．∴S四边形OCDB=S四边形OCDB==•OC•OE，∴S△OCE∴OE=5，∴E（5，0）．设l DE：y=kx+b，∵D（1，﹣4），E（5，0），∴，解得：，∴l DE：y=x﹣5．∵DE交抛物线于P，设P（x，y），∴x2﹣2x﹣3=x﹣5，解得x=2 或x=1（D点，舍去），∴x P=2，代入l DE：y=x﹣5，∴P（2，﹣3）．。