高中数北师大必修四：第1章 §3 弧度制
高一数学北师大版必修4课件1.3 弧度制
1 2
1 2
是弧长.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 弧度制和角度制的区别和联系
1.弧度制是以“弧度 ”为单位度量角的单位制,角度制是以 “度 ”为单位 度量角的单位制,因此弧度制和角度制一样,都是度量角的方法. 2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度 ”两字可以省略不写;以度数为 单位表示角的大小时,度(° )不能省略不写. 3.弧度制比角度制有以下优点 :其一是在进位制上,角度制在度、分、 秒 上是 60 进位制,不便于计算,而弧度制是十进位制,给运算带来方便 ;其二是 在弧长公式与扇形面积公式的表达上,弧度制下的公式远比角度制下的公 式简单,运算起来也方便.
1 1 所对的圆心角,1 弧度的角是圆周的 所对的圆 360 2π
点评 分析判断概念问题,深刻地理解概念的内涵与实质是解决问
题的关键.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二 弧度制和角度制的互化
将角度制化为弧度制时,应用公式 1° =
π 180
rad;
180 π
将弧度制化为角度制时,应用公式 1 rad=
180 π π 180
rad 转化为弧度即可,
° 转化为度即可,单位“° ”不能省略.
(3)当角 α 用度表示时,终边与角 α 终边相同的角的集合可以表示为 S={β| β=α+k×360° ,k∈ Z},当角 α 是用弧度表示时,终边与角 α 终边相同的角 的集合可以表示为 S={β|β=α+2kπ,k∈ Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列说法不正确的是(
)
A.“度”与“弧度 ”是度量角的两种不同的度量单位 B.1 度的角是圆周的 心角 C.根据弧度的定义,180° 一定等于 π rad D.不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关 解析:根据角度、弧度的定义,无论是角度制还是弧度制,角的大小都与 圆的半径长短无关,而与弧长和半径的比值有关,所以 D 选项错误. 答案:D
北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》弧度制
7
抽象概括
4、任意一个0°～ 360°的角的弧度数为：
0 X 2
5、弧度制的定义：用弧度做单位来度量角的
制度叫做弧度制。 6、角度与弧度可以互化：
360 2 rad ;
1
180 rad ;
180 180 1rad ( ) 57.30 5718
得出结论：当圆的半径为1个单位长度时， 圆心角所对的弧长就是一个角的弧度数。所以， 我们可以用角的弧度数来度量角的大小。
6Hale Waihona Puke 抽象概括1、1弧度的角的定义：把长度等于半径长的弧 所对的圆心角叫做1弧度的角.符号是rad。
2、正角的弧度数
负角的弧度数 零角的弧度数
正数
负数 零
3、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所 对的弧长（即圆周长）为2 ，所以周角的 弧度数是2 。
6 4
3
2
3
4
6
2
弧度制下的角与实数建立 一一对应关系
10
弧长与扇形面积公式
1、角度制下的弧长公式 弧度制下的弧长公式
l
n r 180
lr
n r
2
2、角度制下的扇形面积公式 S扇 弧度制制下的扇形面积公式 S 扇
360
1 lr 2
11
练习
2、把下列各弧度化成角度。
（1） 2 ; 2 （ 3） ; 3
换算关系
180 rad
基本关系
180 1rad 57.30 5718 13 导出关系
作业：
课本P11习题1-3 3、7
14
1、1º 的角是怎样规定的？
规定周角的1/360叫做1度的角。
2019-2020学年北师大版必修4 第1章3 弧度制 课件(38张)
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系 任一正角的弧度数都是一个_正__数___；任一负角的弧度数都 是一个_负__数___；零角的弧度数是__0__.
(4)角的弧度数的计算
设 r 为圆的半径，l 是圆心角 α 所对的弧长，则角 α 的弧度 l
数的绝对值满足|α|＝_r_.
所以－20 是第四象限角，终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋(8π
－20)，k∈Z}．
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
【方法总结】 解决此类问题的关键是角度制与弧度制的 互化关系：π rad＝180°，再由公式18π0°＝这这个个角角的的弧度度数数 得：
(1)度数×1π80＝弧度数； (2)弧度数×1π80°＝度数．将角度制化为弧度制，当角度制
第一章 三角函数
)
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
类型 2 弧长公式及扇形面积公式的应用 例 2 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的
弧度数． 【解】 设扇形的半径为R，弧长为l，
则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，
根据扇形面积公式S＝12lR，
得1＝12(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
第一章 三角函数
解：设圆的半径为r，A︵CB的长为l，则l＝23πr， ∵OA＝OB，OC与弦AB垂直， ∴∠AOC＝π3， ∴△AOC为等边三角形， ∵AD⊥OC，∴OD＝CD，
栏目 导引
数学 必修4 配北师大版
∴r＝2CD＝2a，
2017-2018学年高中数学北师大版四教学案：第一章§3弧度制含答案
［核心必知］1．度量角的单位制（1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2）弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角,它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制．2．角度与弧度的互化（1）角度制与弧度制的互化（换算)180°＝π_rad;1°＝错误!rad＝0.017 45 rad；1 rad＝错误!＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l，α为其圆心角，则［问题思考]1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式｜α|＝错误!中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制,2是弧度制,2 rad约为115°。
3．390°可以写成360°＋错误!吗?提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．（1）把112°30′化为弧度；（2)－错误!rad化为度．［尝试解答］(1）∵1°＝错误!rad，∴112°30′＝112。
5°＝112.5×π180rad＝错误!rad.（2）∵1 rad＝错误!°，∴－错误!rad＝－错误!×错误!°＝－75°.1．将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒"单位时，应先将它们统一转化为“度”,再利用1°＝错误!rad化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式,如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化．(1）20°；（2)错误!；（3）8 rad解:（1)20°＝20×错误!＝错误!，(2)错误!＝错误!×180°＝165°。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制教案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学教案
1.3 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小1,记作1°.可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的360通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位又是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.推进新课新知探究提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.我们知道,半径不同时,同样的圆心角所对的弧长是不相等的,但通过度量和计算发现,当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,这个常数我们称为该角的弧度数.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师引导学生进一步探究,对任意一个0°—360°的角,我们以它的顶点为圆心,画单位圆就能得到它的弧度数.不难看出,不同的角,其弧度数一定不相同,而且角越大,它的弧度数越大.因此,我们可以用角的弧度数来度量角的大小.我们规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫作弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半l=1.径r,所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即r图1讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.②能,用弧度制.提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连接圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)1;第三,无论是以“弧度”还是以的大小,而1°的角是周角的360“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.1;将角度化为弧②α=r度:360°=2πrad,1°=180πrad≈0.01745rad,将弧度化为角度:2πrad=360°,1rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=(π180)°,n°=n 180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? ②:填写下列的表格,并找出某种规律. 的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数 πr逆时针方向 2πr逆时针方向 r1-2-π180° 360°活动:教师先点明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图像对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.通过学生合作交流,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书.教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行必要的提示.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是rl 这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师点拨:角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3 或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ (k∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ (k∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=l 21R. ② 的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数 πr逆时针方向 π 180° 2πr逆时针方向 2π 360° r逆时针方向 1 57.3° 2r顺时针方向 -2 -114.6° πr顺时针方向 -π -180° 0未施转 0 0° πr逆时针方向 π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360°应用示例思路1例1 下列各命题中,是真命题的是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作一弧度的角.对照各项,可知D为真命题.答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( )A.半圆所对的圆心角是πradB.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案:D例2 把45°化成弧度.解:45°=180π×45rad=4πrad. 例3 把53πrad 化成度. 解:53πrad=53×180°=108°. 例4 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α〔k∈Z ,α∈［0,2π)〕的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-23. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β|β=kπ,k∈Z },{β|β=2π+kπ,k∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为:{β|2kπ＜β＜2kπ+2π,k∈Z }, {β|2kπ+2π＜β＜2kπ+π,k∈Z }, {β|2kπ+π＜β＜2kπ+,k∈Z },{β|2kπ+23π＜β＜2kπ+2π,k∈Z }. 解:①-415π=-4π+4π,是第一象限角.②332π=10π+32π,是第二象限角. ③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α〔k∈Z ,α∈［0,2π)〕的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z ,|α|∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式;(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β. 解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π＜2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π. (2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k∈Z. 又∵β∈［-4π,0),∴β1=-92π,β2=-920π. 思路21.已知0＜θ＜2π,且θ与7θ终边相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3πk . 又∵0＜θ＜2π,∴0＜3πk ＜2π. ∵k∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π 点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α〔k∈Z ,α∈［0,2π)〕的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角.例2 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充.函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值.解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r. ∴S=21l·r=21 (a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a )2+162a .∵r＞0,l=a-2r ＞0,∴0＜r ＜2a . ∴当r=4a 时,max S =162a 此时,l=a-2·4a =2a ,∴α=r1=2. 故当扇形的圆心角为2rad时,扇形的面积取最大值162a 点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练已知一个扇形的周长为98 +4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=94π,∴扇形的弧长为94πr,由已知,94πr+2r=98π+4,∴r=2,∴S=21,94πr 2=98π故扇形的面积为点评:求解扇形问题的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练习题1—3 1、2、3、4、5. 课堂小结由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=πrad 这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.作业习题1—3 6、8.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.备课资料一、密位制度量角度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用密位制.密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的60001所对的圆心角(或这条弧)的大小.因为360°=6 000密位,所以1°=3606000密位≈16.7密位, 1密位=6000360︒=0.06°=3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线,例如7密位写成0—07,读作“零,零七”,478密位写成4—78,读作“四,七八”. 二、备用习题1.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.3π B.6π C.1 D.π2.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍3.下列表示的为终边相同的角的是( )A.kπ+4π与2kπ+4π(k∈Z ) B.2πk 与kπ+2π(k∈Z )C.kπ-32π与kπ+3π(k∈Z ) D.(2k+1)π与3kπ(k∈Z )4.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形的中心角的弧度数. 5.若α∈(-2π,0),β∈(0,2π),求α+β,α-β的范围,并指出它们各自所在的象限.6.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图3所示).图37.(1)角α,β的终边关于直线y=x 对称,写出α与β的关系式; (2)角α,β的终边关于直线y=-x 对称,写出α与β的关系式. 参考答案:1.A 2.B 3.C4.解:设扇形所在圆的半径为R,扇形的中心角为α,依题意有αR+2R=6,且21αR 2=2, ∴R=1,α=4或R=2,α=1. ∴α=4或1.5.解:-2π＜α+β＜2π,∴α+β在第一象限或第四象限,或α+β的终边在x 轴的非负半轴上.-π＜α-β＜0,∴α-β在第三象限或第四象限,或α-β的终边在y 轴的非正半轴上.6.解:(1){θ|2kπ-6π＜θ＜2kπ+125π,k∈Z };(2){θ|2kπ-43π＜θ＜2kπ+43π,k∈Z };(3){θ|2kπ+6π＜θ＜2kπ+2π,k∈Z }∪{θ|2kπ+67π＜θ＜2kπ+23π,k∈Z }={θ|nπ+6π＜θ＜π+2π,n∈Z }. 7.解:(1)β=2π-α+2kπ,k∈Z ;(2)β=2π+α+2kπ,k∈Z.三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念,在日常生活中有着广泛的应用,我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动,其实质都反映了角的变化.时间的度量单位时、分、秒分别与角2π (rad),30π(rad),1800π(rad)相对应,只是出于方便的原因,才用时、分、秒.时钟上的数学问题比较丰富,下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨.例题 在一般的时钟上,自零时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)? 甲生:自零时(此时时针与分针重合,均指向12)开始到分针与时针再一次重合,设时针转过了x 弧度,则分针转过了2π+x 弧度,而时针走1弧度相当于经过π6h=π360min,分针走1弧度相当于经过π30min,故有π360x=π30(2π+x),得x=112π,∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是112π+π2+2π=1124π(rad).乙生:设再一次重合时,分针转过弧度数为α,则α=12(α-2π)(因为再一次重合时,时针比分针少转了一周,且分24π,针的旋转速度是时针的12倍),得α=1124π(rad).∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是11点评:两名同学得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解,而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α-2π与时针所转过的弧度数相等,利用弧度数之间的关系列出方程求解.。
高中数学 1.3 弧度制课件 北师大版必修4
1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 π rad ＝180°是解题的关键．
2．一些特殊角 30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与 度数的对应制今后常用，应熟记．
3．弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如 β＝ 2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．
把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π. 【解】 ∵－1 480°＝1π80×(－1 480)＝－794π. 又∵－749π＝－10π＋196π，且 0≤196π<2π. ∴－1 480°＝2×(－5)π＋196π.
一般地对于概念客观题的判定，要紧扣概念的本质及概 念中的易错、易混的词，同时要区分相近概念的异同点．
下列各说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小等于 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度
【解析】 根据 1 rad 的定义：我们把长度等于半径长的 弧所对的圆心角叫 1 rad 的角．
对照选项，知 A、B、C 正确，D 项错误．
【答案】 D
角度制与弧度制的互化
将下列各角度与弧度互化． (1)22.5°；(2)112°30′；(3)94π；(4)－3 rad. 【思路探究】 依据换算关系 π rad＝180°逐个角进行转 化．
【自主解答】 (1)22.5°＝1π80rad×22.5＝π8rad. (2)112°30′＝112.5°＝1π80rad×112.5＝58πrad. (3)94π＝94×180°＝405°. (4)－3 rad＝－3×(1π80)°≈－3×57.30°＝－171.90°.
弧度制
弧长公式
高中数学北师大版必修4 1.3 教学课件 《弧度制》(数学北师大高中必修4)
22
谢谢观看！
探究点2 弧度制与角度制的换算 因为周角的弧度数是2 π，而在 角度制下它是360°，所以
360°= 2π rad
l=2 π r O r A (B)
180°= π rad
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
由180°=πrad还可得
把角度换成弧度
π
1°= —1— 80 rad ≈ 0．017 45 rad.
在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心
角为1__弧__度__的__角__，它的单位符号是rad,读作弧度. B l=r
则∠AOB= l = 1弧度. r
1弧度
Or A
若l=2r， 则∠AOB= l =2弧度.
r
B
l=2r
2弧度
Or A
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
若l=2πr， 则∠AOB= l =2π弧度.
把弧度换成角度
1rad =（—18—0 ）°≈ 57．30°=57°18′.
π
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
例1 把45°化成弧度.
解: 45°= 45 rad rad.
180
4
例2 把 3 rad 化成度.
5
解: 3 rad 3 180 108 .
5
5
方法：用弧度与角度的相互转化公式求解
第一章 · 三角函数
弧度制
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十 进制，总给我们带来困难．那么我们能否重新选择角单位， 使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
第一章3弧度制-北师大版高一数学必修4课件(共19张PPT)
正角 零角 负角
角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
三、新旧融合 知识重建
一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度
数 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 360o
弧
0 度
0
数
64
3
2
2 3 5 346
2
注：1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程 北师大版 高中数学 必修4
第一章 三
角度制
用周角的 1 作为一个单位，称为 1 度角，
360
用度作为单位来度量角的单位制，就叫角度制.
扇形弧长、面积公式
l nR 180
S nR2 360
一、回忆旧知 提出问题
省略不写，但用“度（ o）”为单位时不能省略;
2.用弧度制表示角时，通常写成“多少 ”的形式，如
无特别要求，不用将其化成小数;
3.弧度与角度不能混用．即不可写成
形式.
四、巩固新知 加深理解
例 （1）把 45化成弧度；（2）把 600化成弧度．
解 (1)45o 45 rad rad；
180
4
(2)-600o （-600） rad 10 rad.
180
3
四、巩固新知 加深理解
例 (1)把 3 π rad 化成度；（2）把 9 π rad化成度．
5
5
解
3
3 180o
(1) rad
108o;
5
5
(2) 9 rad 9 180o 324o.
5
5
注：角度制与弧度制互化时要抓住 180o rad 这个关键．
2020-2021学年高一数学北师大版必修四第一章1.3 弧度制 课件
12 12
( 225 ) 2
类型二 用弧度表示角及其范围(逻辑推理)
【典例】1.若θ角的终边与 8 的终边相同,则在[0,2π]内终边与 角的终
5
4
边相同的角是________.
2.图中阴影部分表示的角度的集合为________(包括边界).
【思路导引】用终边相同角表示并计算,注意范围.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度的角的大小与其所在的圆的半径的大小有关. ( )
(2)根据弧度的定义,180°一定等于π弧度. ( )
(3)弧度数为2的角所在圆的半径为1,则其所对的弧长为2.
()
提示:(1)×.1弧度的角的大小与圆的大小无关,只要弧长等于半径,则弧所对的
【解题策略】
角度与弧度互化的策略
(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°=
180
算.
rad和1 rad=（ 1 8 0 )
进行换
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=α·（ 1 8 0 ) ;
n°=n· rad.
180
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略
(组)求解.
(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利
圆心角就是1弧度的角.
(2)√.由角度与弧度的互化可知其正确.
(3)√.由弧长公式得弧长为2×1=2.
2.圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 ( )
A. cm2
2
B. 3 cm2
2
C.π cm2
高中数学第一章三角函数3弧度制课件北师大版必修4
(2)在[0°，720°]内找出与25π角终边相同的角. 解 ∵25π＝25π×1π80°＝72°， ∴终边与25π角的终边相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与25π角终边相同的角为 72°，432°.
A.2
B.sin2 1
C.2sin 1
√D.sin4 1
解析 连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度
的线段构成一个直角三角形，半弦长为 2，其所对的圆心角也为 2，故半
径长为sin2 1. 这个圆心角所对的弧长为 2×sin2 1＝sin4 1.
解析 答案
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝12lr＝12|α|r2， 二是 l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把 度化为弧度，再计算.
解答
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； 解 ∵－1 480°＝－1 480×1π80＝－794π， 而－749π＝－10π＋169π，且 0≤α≤2π，∴α＝169π. ∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.
π rad＝_1_8_0_°_
1°＝
π 180
rad≈ 0.017 45
rad
1 rad＝18π0°≈ 57.30°＝57°18′
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30°_4_5_°_ 60°_9_0_°_ 120°_1_3_5_°_ 150°180°_2_7_0_°_ 360°
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解得r＝1或r＝2.当r＝1时，l＝4，圆心角α＝rl＝41＝4；
当r＝2时，l＝2，圆心角α＝rl＝22＝1. 故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．
上一页
返回首页
下一页
[构建·体系]
上一页
返回首页
下一页
1．下列说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误． 【答案】 D
【提示】 S＝12lr.
上一页
返回首页
下一页
如图1－3－3，扇形AOB的面积为4，周长为10，求扇形的圆心角 α(0<α<2π)的弧度数．
图1－3－3 【精彩点拨】 S＝12lr，l＋2r＝周长→求l，r值→α＝rl
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】 设 长为l，扇形半径为r，由题意得：
l＋2r＝10， 12lr＝4，Leabharlann 上一页返回首页下一页
2．角度制与弧度制的互化 (1)弧度数 ①正角的弧度数是一个 正数 ； ②负角的弧度数是一个 负数 ； ③零角的弧度数是 0 ； ④弧度数与十进制实数间存在 一一对应关系 ．
上一页
返回首页
下一页
(2)弧度数的计算
l |α|＝ r .如图1－3－1：
图1－3－1
上一页
返回首页
下一页
已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.
角度制
弧度制
弧长公式
l＝1|n8|π0r°
l＝|α|r
扇形面积公式 S＝|3n6|π0r°2 S＝12l·r＝12|α|r2
上一页
返回首页
下一页
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) (2)1度的角是周角的3160，1弧度的角是周角的21π.( ) (3)根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．( ) (4)不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有 关．( )
上一页
返回首页
下一页
[小组合作型] 弧度制与角度制的互化
将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－151π. 【精彩点拨】 本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换 算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×18π0°＝度数．
上一页
返回首页
下一页
阶
阶
段
段
一
三
§3 弧度制
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
上一页
返回首页
下一页
1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点) 3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
上一页
返回首页
下一页
[基础·初探] 教材整理 弧度制 阅读教材P9～P11，完成下列问题． 1．弧度制的定义 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是 rad ， 读作 弧度 ．以 弧度 作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同 的所有角． 【解】 (1)∵180°＝π rad，
∴α1＝－570°＝－517800π＝－196π＝－2×2π＋56π，
α2＝750°＝715800π＝256π＝2×2π＋π6.
(3)角度制与弧度制的换算
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
3π 2
2π
上一页
返回首页
下一页
3.弧长公式与扇形面积公式
(2)在0°～720°范围内，找出与角25π终边相同的角．
【精彩点拨】 (1)把角度换算为弧度，表示成2kπ＋α(k∈Z)的形式即可求 解；
(2)把弧度换算为角度，写出与其终边相同的角，调整k使待求角在[0°，720°) 内．
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π.
上一页
返回首页
下一页
【解析】 (1)正确． (2)正确.1度的角是周角的3160，1弧度的角是周角的21π. (3)正确．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度． (4)错误．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量 角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
【自主解答】 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)172π＝172×180°＝105°. (4)－151π＝－151×180°＝－396°.
上一页
返回首页
下一页
角度制与弧度制互化的策略 1．原则 牢记180°＝π rad.充分利用1°＝1π80 rad和1 rad＝18π0°进行换算． 2．方法 设一个角的弧度数为α，角度数为n.则α rad＝α·18π0°；n°＝n·1π80 rad.
上一页
返回首页
下一页
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问 2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问 3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________
β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋
k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0.
故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.
上一页
返回首页
下一页
[探究共研型] 扇形的弧长及面积公式
探究1 扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？ 【提示】 |α|＝rl. 探究2 扇形的周长如何计算？ 【提示】 扇形的周长等于相应的弧长与2个半径之和． 探究3 扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？
∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四象限角．
(2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当
k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与
2π 5
角终边相同的
角为72°，432°.
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 2．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3.
上一页
返回首页
下一页
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
解得rl＝＝24，， 或rl＝＝81.， (舍)
故α＝24＝12(rad)，即扇形的圆心角为12 rad.
上一页
返回首页
下一页
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是先分析题目，已知哪 些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求 解．
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 3.(1)已知扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积； (2)已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
上一页
返回首页
下一页
2．已知α＝－2 ，则α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】 ∵1 rad≈57.30°， ∴－2 rad≈－114.60°. 故α的终边在第三象限． 【答案】 C
上一页
返回首页
下一页
3．－2132π rad化为角度应为________.
＝34S.
【答案】
3 4
上一页
返回首页
下一页
5．已知集合A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，求A∩B. 【解】 ∵A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}， 令k＝1，有2π<α<3π，而2π>4； 令k＝0，有0<α<π； 令k＝－1，有－2π<α<－π， 而－2π<－4<－π， 故A∩B＝{α|－4≤a<－π或0<α<π}．