刚体1
刚体1(精)
i
J z mi ri 2
i
五、刚体定轴转动的角动量定理
d M z Jz dt
冲量矩
d d ( J z ) dLz M z Jz dt dt dt
I z I z0
Lz J z
----刚体定轴转动的角动量定理
t
t0
M z dt
d (J z ) J z J z0
球体
1 2 J ml 3
2 2 J mr 5
例：一轻绳跨过定滑轮，绳的 两端分别悬挂质量为 m1 , m2 的物体，且 m1` < m2。设滑轮 质量为 m ，半径为 ，其转 轴上所受的摩擦力矩为 M r 。 绳与滑轮间无相对滑动。试 求物体的加速度和绳的张力。
r
[解 ]
研究对象：滑轮m、 物体m1、m2 。
Fr sin f r sin m r
2 i i i i i i i i i i i
M内 内力矩两两相消，即
fi内 f j内
i
ri
M内 0
d
j
rj
O
F r sin f r sin
i i i i i i i
i
mi ri
2 i
第四章
刚体转动
§4-1 刚体的定轴转动
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不
变的物体
物体上任意两点之间的距离保持不变
物理模型
一、刚体运动 平动
转动
平动：若刚体中所有点的运动轨 迹都保持完全相同，或者说刚体内任 意两点间的连线在运动过程当中总是 彼此平行。
刚体平动
质点运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆
机器人操作的数学导论——刚体运动(1——3)
定理2.6 从se(3)到SE（3）的指数变换
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点 由初始位置p(0)∈R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换
上式中p(θ),p(0)均在同一坐标系中表示。类似，若gab(0)表示刚 体相对于A系的起始位姿，，那么现对于A系的最终位姿为：
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为：
简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
两四元数内积：
给定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可获得相应的旋转
描述旋转群还可以使用欧拉角来描述。
对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动， 每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
定理2.7 建立在SE（3）的指数变换是满射变换
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
se(3)中的元素 称为运动旋量
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
将满足这两个性质的3×3矩阵的集合记为SO（3），可 用旋转矩阵表示刚体变换
二、三维空间中的旋转运动
群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。
物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为 群运算的群。 旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵： Rac=RabRbc 上式称为旋转的合成法则
刚体运动
大学物理 1刚体
P
a n r
2
d dt
d d 2 2 dt dt
θ
刚体 r O × 参 考 方 向
dv at r dt
当
const.
定轴
0 t 2 1 ( 0 ) t 2 t 2 2 0 2 ( 0 )
o
· o
2.1.2 角速度和角加速度
ω
v r
P
r
刚体
刚体绕O点的转动其转轴是 可以改变的，为了反映转动 的方向及转动快慢，引入 角速度矢量 和角加速 度矢量
基点O×
转动平面
瞬时轴
v r r// r） r
t 0,
0
dS
O
r
3. 用积分法求力矩。
r不同时，v不同，力不同，力 臂也不同，需要划分微元求M
m
在半径为r、宽度为dr的面积元dS上的质元 具有相同的线速度v。则dS上阻力的大小为:
0
dF f dS f 2 r dr
f11
r m
f11 r f f⊥ M r f11 f r 对转动没影响 M r f r f f 应理解为在转动平面内 大小： M r f sin 方向：沿r f
2.1.3 定轴转动刚体的转动惯量
一、转动惯量的定义
J
J
m
2 mi ri
2
(分立)
J r dm
2
r
dm
m
体积
r
2
dv r ds r d l
刚体成立的条件
刚体成立的条件刚体是一种物理学上的理想化概念，用来描述没有形变的物体。
当一个物体不受外力作用时，如果它的每一点在运动过程中相对于其他点的位置关系始终保持不变，那么这个物体被称为刚体。
1.无形变：刚体的最基本特征是在外力作用下不发生形变。
这意味着刚体的内部各部分之间的相对位置关系在运动过程中始终保持不变。
例如，如果一个桌子上放置了几本书，当不受外力作用时，书本之间的相对位置关系是保持不变的。
2.稳定的内部结构：刚体的内部结构是稳定的，各个微观粒子之间的相对位置关系基本保持不变。
由于刚体内部微观粒子之间的相互作用力较强，可以认为刚体的内部结构不会发生变化。
这使得刚体能够保持形状和位置的不变。
3.保持刚体形状的受力：刚体受力作用的方式也有一定的条件。
如果一个物体的各个点受到的外力都通过一个共同的作用点，并且外力的合力为零，那么该物体就可以被视为一个刚体。
也就是说，刚体受力作用的方式必须满足力偶为零的条件。
例如，一个圆盘在平面上受到的重力是垂直向下的，而各个位置所受的力沿不同方向，但它们通过共同的作用点（圆盘的质心）并满足力偶为零的条件。
4.刚体的运动：刚体的运动分为平动和转动。
对于平动，刚体上各点的速度矢量的方向和大小都是相等的，也就是刚体上任意两点的位移矢量在方向和大小上是相等的。
对于转动，刚体既可以绕一个轴旋转，也可以绕一个固定点旋转。
在转动过程中，刚体上各点的位移矢量的方向和大小并不相等，但是刚体上各点之间的相对位置关系保持不变。
总结起来，刚体成立的条件包括无形变、稳定的内部结构、保持刚体形状的受力和刚体的平动和转动。
这些条件是理想化的，并不能完全适用于现实世界中的物体。
在实际问题中，可以通过考虑刚体的形状和材料特性，以及物体所受的外力和力矩等因素来分析和描述物体的运动和变形。
第5章1刚体力学1
B
B’
A’
A
如果在某一瞬时刚体上某点P的速度为零， v P 0 则称该点P为刚体在该瞬时的瞬心。选P点为基点，那么
vB vP RBP RBP
即刚体上任意质元在该瞬时的运动仅仅是绕瞬心P的转动。
10
i
i
i
定于转动轴的位置以及刚体的质量分布。
12
第5章(1) 刚体力学
[例] 选z轴固定轴，写出定轴转动刚体角动量的直角坐标表达式。 [解] 由质点角动量的定义，可得定轴转动刚体的角动量： L Li mi ri vi mi ri ( ri )
20
第5章(1) 刚体力学
二、刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
ex dL 将质点系对轴的角动量定理 M , 应用于刚体的定轴转动， dt 令转动轴与z轴重合，则有
dLz d Mz ( I z ) dt dt
M z 表示作用于刚体上的外力对z轴的合力矩.
如图，力对O点力矩 z Mz
xi
在直角坐标系中， L Lx i Ly j Lz k ( Lx , Ly , Lz )
( xi zi , yi zi , xi2 yi2 )
Lx mi ( xi zi ), Ly mi (yi zi ),
Lz
m ( x
F
F//
则力对z轴的力矩：
M z r F r0 F
2 i )
Ri
vi
mi
Liz mi ri sin i cos(
mi (ri2 sin2 i ) mi Ri2
刚体与非刚体的区别与应用
刚体与非刚体的区别与应用引言：在我们的日常生活中，我们经常听到物体的刚体和非刚体的概念。
那么，什么是刚体？什么是非刚体？它们之间有什么区别和应用呢？本文将深入探讨刚体与非刚体的区别与应用。
一、刚体的定义和特点刚体是指在受力作用下，形状和体积保持不变的物体。
刚体的特点有三个方面：首先，刚体的形状和体积不会发生变化，即使受到外力的作用；其次，刚体的内部各个点之间的相对位置保持不变；最后，刚体的各个部分之间的相对位置也保持不变。
二、非刚体的定义和特点非刚体是指在受力作用下，形状和体积会发生变化的物体。
与刚体不同，非刚体的形状和体积会随着外力的作用而发生变化。
非刚体的特点有两个方面：首先，非刚体的形状和体积会随着外力的作用而发生变化；其次，非刚体的内部各个点之间的相对位置也会发生变化。
三、刚体与非刚体的区别刚体与非刚体之间的区别主要体现在形状和体积的变化上。
刚体在受力作用下形状和体积保持不变，而非刚体则会发生形状和体积的变化。
此外，刚体的内部各个点之间的相对位置保持不变，而非刚体的内部各个点之间的相对位置会发生变化。
四、刚体与非刚体的应用刚体和非刚体在生活中有着广泛的应用。
下面以一些实际例子来说明：1. 刚体的应用：（1）建筑结构：在建筑领域中，我们常常使用刚体来构建建筑物的框架结构，如钢筋混凝土结构。
刚体的特性使得建筑物能够承受外部的重力和风力，保证建筑物的稳定性和安全性。
（2）机械工程：在机械工程中，我们常常使用刚体来设计和制造机械设备，如汽车、机器人等。
刚体的特点使得机械设备能够保持稳定的运动状态，提高工作效率和精度。
（3）运动学分析：在物理学中，我们使用刚体模型来研究物体的运动。
通过分析刚体的运动，我们可以了解物体的速度、加速度等运动参数，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 非刚体的应用：（1）弹性材料：在工程领域中，我们常常使用非刚体材料来设计和制造弹簧、橡胶等弹性元件。
非刚体的特性使得这些弹性元件能够在外力作用下发生形变，并具有恢复原状的能力。
建筑力学-单元1 刚体静力学
体约束的中心线且背离物体(为拉力)。这种约束反 力通常用T表示。
（2） 两个相互接触的物体，如果接触面上的摩擦力很小
而略去不计，那么由这种接触面所构成的约束，称为 光滑接触面约束。
光滑接触面的约束反力通过接触点，其方向沿着接 触面的公法线且指向物体。通常用N表示(图1.15)。
和活荷载； 3、按作用的大小和方向是否随时间而发生变化可分
为静荷载和动荷载。 主要讨论集中荷载、均布荷载问题。
集 中 荷 载
汽车通过轮胎作用在桥面上的力
分 布 荷 载
桥面板作用在钢梁的力
均布荷载
1.3 约束与约束反力
1.3.1 约束与约束反力的概念
在工程结构中，每一构件都根据工作要求 以一定的方式和周围的其他构件相互联系着， 它的运动因而受到一定的限制。一个物体的运 动受到周围物体的限制时，这些周围物体称为 该物体的约束。
推论 作用在刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任一 点，而不改变该力对刚体的作用效应。 证明：设力F作用在刚体的A点，如图1.6所示。 在实践中，经验也告诉我们，在水平道路上用水平 力F推车(图1.7(a))或沿同一直线拉车(图1.7(b))，两者对 车(视为刚体)的作用效应相同。
2.加减平衡力系公理
•
力使物体运动状态发生改变，称为力的外
效应。而力使物体形状发生改变，称为力的内
效应。
•
在分析物体受力情况时，必须分清哪个是
受力物体，哪个是施力物体。
1 .力的三要素
•
实践证明，力对物体的作用效应决定于三
个要素：(1) 力的大小；(2) 力的方向；(3) 力的
作用点。这三个要素称为力的三要素。
第3章-1刚体
dr r
z ( )
O R
d M J dt dM df r dmg r
M J
df
v
m 2mrdr dm dS 2π r dr 2 2 πR R
2mgr dr dM 2 R 2 R 2 mgr dr 2 M dM mgR 2 0 R 3
2zjrm?d2mr2dsrrdorx?rdrdds2zjrs?dr?r?rdrd??质量为m长为l的均匀细棒绕一端且垂直于棒的轴的转动惯量的均匀细棒绕一端且垂直于棒的轴的转动惯量213zjml质量为m长为l的均匀细棒绕质心且垂直于棒的轴的转动惯量的均匀细棒绕质心且垂直于棒的轴的转动惯量2112cjml222113122zljmlmlmmrzz平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为jjc则刚体对与该轴相距为则刚体对与该轴相距为dd的平行轴zz的转动惯量jjzz是2mdjjcz221mrjc2221mrmrjz223mr举例
t2
t1
M z d t L2 L1
Mz 0
时
Lz Jω 恒量
刚体对定轴的角动量守恒定律：
当刚体所受的外力矩在转轴方向上投影的代 数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。 注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕 定轴转动的任意物体系统。
说明：
（1）物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动 惯量和角速度的乘积不变。 （2） 几个物体组成的系 统，绕一公共轴转动，则 对该公共转轴的合外力矩 为零时，该系统对此轴的 总角动量守恒。
P M
3-1-6 刚体的定轴转动动能和动能定理
一、转动动能
名词解释刚体的概念
名词解释刚体的概念刚体是一个物理学中的重要概念，它是一个理想化的物体模型。
在三维空间中，刚体是指无论接受到多大的外力或外力矩，其形状、大小和体积都不会发生变化的物体。
本文将从不同角度解释和探讨刚体的概念。
一、定义刚体是指在外力作用下不会发生形状、大小和体积变化的物体。
也就是说，刚体在受到外力时，内部各部分之间的相对位置保持不变。
这个定义要求刚体具有精确的几何形状，且不受约束。
二、运动与静止刚体可以进行平动和转动两种运动。
平动是指整个刚体沿一个直线或曲线移动，而转动是刚体绕一个固定轴旋转。
无论是平动还是转动，刚体的几何形状不会发生变化。
三、刚体的惯性刚体具有惯性的特性。
惯性是指物体继续保持原来状态的性质。
刚体由于具有惯性，所以在没有外力作用时，保持静止或匀速直线运动。
这个性质是牛顿第一定律的基础。
四、刚体力学基本定律刚体力学基本定律包含平衡定律和运动学定律。
平衡定律主要包括平衡条件和力矩平衡条件。
平衡条件要求刚体的合力为零，力矩平衡条件要求刚体的合力矩为零。
运动学定律主要包括质心运动定律和角动量定律。
五、刚体的应用刚体的概念在物理学和工程学中有广泛的应用。
在物理学中，刚体概念常用于解释刚体物理学中的各种现象与规律。
在工程学中，刚体的概念被应用于机械设计、结构工程和材料力学等领域。
例如，刚体的概念在建筑物的结构设计中发挥重要作用，确保建筑物在外力作用下保持稳定。
六、刚体的限制与现实世界的差异虽然刚体是一个理想化的模型，但实际物体很难完全符合刚体的定义。
现实世界的物体通常都有一定的柔软性和变形性。
即使是最坚硬的材料也会在受到极大外力时发生一些微小的变形。
这种变形可能是临时的，也可能是永久性的。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况进行刚体假设的简化。
综上所述，刚体是一个理想化的物体模型，它在物理学和工程学中起着重要的作用。
刚体的定义、运动学特性和力学定律是深入研究和理解刚体的关键。
尽管现实世界的物体不太可能完全符合刚体的定义，但刚体模型仍然具有广泛的应用价值。
第三章 刚体力学1
1
v v v rvc = 0 v v J = rc × m v c + J ′ → = J ′
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角速度 与其本身的叉积。 与其本身的叉积。 ωv
v
dA v v = ω× A dt
例: 单位矢量的微商公式 v v
di v v =ω×i dt
v dj v v dk v v 后面要用！ = ω × k 后面要用！ = ω× j dt dt
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第三章 刚体力学
§3.3 欧勒角
： 静系 o −ξηζ
v v ∆n v v v v v v r → r ′ = r + ∆r = r + ∆n × r
(1)
v v ∆ n′ v v v v r → r ′ = r + ∆n′ × r
v v ∆n v v v v v v v v v r′ → r ′′ = r + ∆n′ × r + ∆n × r + ∆n × (∆n′ × r ) (2) v v 比较(1)、 ， 很小时， 比较 、(2)，只有 ∆ n 与 ∆ n ′ 很小时，二阶小量忽
v v v M = r ×F
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v v v F2 = −F = F 1
PO2 F2 − PO1F1 = O1O2F P v M : 可作用于力偶面上的任一
点，亦称为自由矢量。 亦称为自由矢量。 自由矢量 （3）空间力系求和 ） 为作用在刚体A点上的一 设: A 为作用在刚体 点上的一 个力， 为空间任一点 为空间任一点。 个力，P为空间任一点。
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2
1 2 R mR 2
3
[例4]一长为a、宽为b的匀质矩形薄平板，质 量为m，试求:(1)对通过平板中心并与长边平 行的轴的转动惯量; (2)对与平板一条长边重 合的轴的转动惯量 解：垂直向上为y轴 板的质量面密度为
y
b
dy
m ab
a
在板上取长为a、宽为dy的小面元
dm ds ady b2 2 J1 y ady b 2 1 1 3 2 ab mb 12 12
过 C ： Jz
Z'与Z平行的任意轴，两轴距h。
C x
h
y
P
2 J Z J Z Mh
即：刚体对任意已知轴的转动惯量，等于刚体通过 质心并与该已知轴平行的质心轴的转动惯量加上刚 体质量与两轴垂直距离h平方之积。
据平行轴定理 ，在已知刚体对质心轴转动惯量情况下（可 查），可方便地算出该刚体对与质心轴平行的任意轴的转动惯量。
J r 2dr 2r dr 2r 3 dr
3 3 R1
2r dr 2r dr J Z J Z
3 3 0 0
R2
R1
J Z 2r 3dr
0
R2
J Z 2r 3dr
0
R1
表明：为求内、外半径为 R1 和R2 匀质 圆环对Z轴的转动惯量，只要求以R2为半 径的匀质圆盘对轴的转动惯量，再加上 一个假想以R1为半径质量为负的匀质圆 盘对轴的转动惯量即可。
2 2 n 2 2 4 2
4
注意 （ 1）
v、 a rM
（2） 对刚体上所有点都同，即与半径夹角 都一样，但注意并非都同。
5、角速度矢量
z
（1）定义
r o
M
沿转轴画出： 长—— 的大小
指向——与转向成右手法则 （2）用
r r sin R r 方向正好与 M的速度相同
Z
I
P
=f(t) ——运动方程
II
1、角速度
d ' lim f (t ) t 0 t dt
Z
大小描述快慢 正负表示转动方向
I
沿正向转动 0 规定： 沿负向转动 0
P
● 通过刚体内所做的任意动平面， 在同一时间间隔内转过的角度（角 位移 ）必相等。 ● 是描述整个刚体绕定轴转动的 物理量。任意时刻，绕定轴转动的刚 体只有一个角速度。
4、绕定轴转动刚体各点的速度、加速度
a
a
rM
v
M
（1）速度
v rM
（2）加速度
o
an
a at an n
dv d a (rM ) rM dt dt
v rM 2 an rM 2 rM rM
2 2
a a a a rM rM a tg 2 an
分解为：
P
F
F
F// — 不改变转动状态 —— F 可理解为 F
3、 对固定点的力矩
F
O— 矩心 r— O到作用点A的矢经
y
o
r
x
α
A
M 0 r F
M o Fr sin
方向： 垂直两矢量所组成 的平面，按右手法 则
o
r
F
y
x
α
A
注意：虽然上面讲的力对轴和对点之矩，都是通 过作用在刚体上的力和刚体中的转轴、矩心定义 的，但①、②式给出的力矩定义事实上是普遍适 用的 ，即不论刚体有无转动或转轴、矩心是否 在刚体内部都是适用的。
k
mk rk
2
—是与刚体本身性质有关的量，称 转动惯量。
即：绕定轴转动刚体的动能，等于刚 体对轴的转动惯量与其2之积的一半。
二、转动惯量（rotational inertia）
J mk rk
k
2
刚体质量连续分布：
J r dm
2 V
V—遍及刚体整个体积
决定的因素： ①、转轴位置 ②、质量 ③、质量对轴的分布
定轴O
·
m
t
R 绳 v0=0Βιβλιοθήκη h =1.5 m，绳轮无相对滑动，绳 不可伸长，下落时间t =3 s。
求：轮对 O 轴 J=？
解：动力学关系：
h R G
N
T′ = -T
对轮： TR J
对 m： mg T ma (1), (2)
a T
m mg
a 运动学关系：
R 1 2 h at (4) 2 gt 2 1) mR2 (1)~(4)联立解得： J ( 2h 9.8 32 ( 1) 1 0.2 2 114 . kg m2 2 15 .
2m1m2 Mm2 2 T2 g 1 m1 m2 M 2
m1 m2 g 1 m1 m2 M 2 1 m1 m2 g R m m 1M 1 2 2 a
1 2m1m2 Mm1 2 T1 g 1 m1 m2 M 2
例2、已知： R=0.2 m， m =1 kg， v o=0 ，
如例1中
I Z Ml
2
12
IZ
例 2中
z
l 2 1 2 I Z M ( ) Ml 2 3
1 J Z MR 2 2
过边缘任一点， 盘的轴 Z
C
Z’
·
·
1 3 2 2 2 J Z J Z MR MR MR MR 2 2
2
看出：刚体在某一方向上的平行轴中， 以过质心轴的转动惯量最小。
v r
表示任意点的 v
：
§2 转动动能 转动惯量
一、定轴转动动能
vk
设t: ,
△ k
rk
M
取 mk 、rk的质点k
vk rk
K的动能为：
1 1 2 2 2 mk vk mk rk 2 2
整个刚体动能
1 1 2 1 2 2 2 2 Ek mk rk mk rk J k 2 2 k 2
1 2 2 J r dm r 2rdr M ( R1 R2 ) V R 2 M 2 2 ( R2 R1 ) —为环质量面密度
2 R2
1
2
看出，将同样M 的材料，制成环，J 增大， 在机械上常看到飞轮是为了增大J。 负质量法求例2中的J
R2 R1 0 R2 0
[例3]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径 转轴的转动惯量
解：圆环的质量密度为
m 2R
在环上取质量元dm，dm距转 轴r
d
r dm
R
dm dl Rd r R cos
J r dm
2 m
d
2
r
R
dm
2 R cos Rd
2 2
乘 rk ,整理求和 2 ( mk rk ) k
Fk rk
k
Fk rk
k
f k rk k
Z Z
mk ak mk rk Fk f k
轴之矩总和(外力矩 M Z ) 轴之矩总和
-------------外力对
f k rk
k
---------------内力对
运动中各点都绕同一直线作圆周运动， 直线——（转轴）。
▲定轴转动（rotation about a fixed axis）：
刚体的转轴相对参照系固定不动。
v
刚体的一般运动=平动+转动
二. 刚体定轴转动的描述
I——与轴固定 II——过P 所做平面 ——两平面夹角（自I算
起，上看逆正）——角坐标
说明：对形状复杂的刚体，理论不易求得， 常用实验测定。
例1． 长l，质量M的均匀细杆，求杆对通过中心 并与杆垂直的轴的转动惯量。
Y’
y
解：取O为坐标原点， oxy坐标系
dx
O’
x
l 2 2
J r 2 dm
V
o
取x处取一个杆元dx
M dm dx L
讨论：求绕y’轴 M dm dx l
II
2、角加速度
d d 2 lim 2 f ' ' (t ) t 0 t dt dt
0, 在转动正向 ，加速或在负向 代数量： 0, 在转动正向 或在反向
● 描述整个刚体定轴转动的物理量 ,任时刻，绕 定轴转动的刚体只有一个角加速度。 3、定轴转动的匀、匀变速转动 匀：=常， =0 0 t 匀变： =常 1 2 、、 和圆周运动一样： ( 0 ) t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
§3 力矩 转动定律
一、力矩
力 — 引起质点或平动物体。
力矩— 转动。
1、在 轴的平面内
M z( F ) Fd
z
O d
M z( F ) : 沿转轴，指向按右手法则。
Fr sin
r
①
P
F
M rF
2、力不在垂直轴的平面内
z
O
r
F F//
M 1 J Y x dm x dx Ml 2 l l l 12 2 2
2 2
l
M 1 2 J y x dm x dx Ml 0 0 l 3