平顶山许昌新乡三市2012年高三第二次调研考试--数学文

平顶山许昌新乡三市2012年高三第二次调研考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(2)1i i i＋－2等于A ．iB ．－iC ．1D ．－12．设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜x 2－x －30＜0｝，B ＝｛x ｜cos 3x ＝12｝，则A ∩B 等于A ．{－1，1，5}B ．{－1，1，5，7}C ．{－5，－1，1，5，7}D ．{－5，－1，1，5}3．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生是A ．42名B ．38名C ．40名D ．120名4．如图是一几何体的三视图，它的正视图是由一个矩形和一个半圆组成，则该几何体的体积为A ．96＋8π3米 B ．64＋8π3米 C ．96＋16π3米 D ．64＋16π3米5．在等差数列{n a }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10＝A ．9B ．10C ．11D ．126．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量m sinA ，sinB ），n ＝（cosA ），若m ·n ＝1＋cos （A ＋B ），则C ＝A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7．已知变量x ，y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤＋－≤则x ＋y 的最大值是A ．2B ．5C ．6D ．88．如果执行右面的框图，输入N ＝12，则输出的数等于A ．2425B ．1327C ．1225D ．11239．若椭圆218xm2y＋＝的焦距为2，则m 的值为A ．9B ．9或16C ．7D ．9或7 10．已知定义在R 上的偶函数f （x ），满足f （4＋x ）＝f （x ），且在区间[0，2]上是增函数．那么f （0）＜0是函数f （x ）在区间[0，6]上有3个零点的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件 11．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．11212．已知四棱锥S －ABCD 的底面是中心为O 的正方形，且SO ⊥底面ABCD ，SA ＝，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为A ．1 BC ．2D ．3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题、第23题、第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数y ＝sin （x －6π）cosx 的最小值是___________．14．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为______________． 15．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C相交于A ，B 两点，且｜AB ｜＝6，则圆C 的方程为___________．16．已知函数f （x ）＝2x x ＋（x ＞0）.观察下列计算：1f （x ）＝f （x ）＝2xx ＋，2f （x ）＝f （1f （x ））＝34x x ＋，3f （x ）＝f （2f （x ））＝78xx ＋，4f （x ）＝f （3f （x ））＝1516x x ＋，……， 根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ﹡且n ≥2时，n f （x ）＝f （1n f （x ））＝_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知{n a }是正数组成的数列，a 1＝1,1n a ＋）（n ∈N ﹡）在函数y ＝x 2＋1的图象上．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）若数列{n b }满足b 1＝1，1n b ＋＝n b ＋2na ，求证：nb ·2n b ＋＜12n b ＋．18．（本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ，且F 是CD 的中点． （Ⅰ）求证AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）设AB ＝1，求多面体ABCDE 的体积． 19．（本小题满分12分）某高校选派了8名广州亚运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓英语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、英语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A 1被选中的概率；（Ⅱ）求B 1和C 1不全被选中的概率．20．（本小题满分12分）设F 是抛物线G ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过F 且与抛物线G 的对称轴垂直的直线被抛物线G 截得的线段长为4． （Ⅰ）求抛物线G 的方程；（Ⅱ）设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足FA ⊥FB ，延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C 、D ，求四边形ABCD 面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝x e （ax 2＋x ＋1）． （Ⅰ）设a ＞0，讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）设a ＝－1，证明：对1x ，2x ∈[0，1]，都有｜f （1x ）－f （2x ）｜＜2．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－l ：几何证明选讲如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 是两圆的外 公切线，A ，B 为切点，AB 与O 1O 2的延长线相交于 点C ，延长AP 交⊙O 2于点D ，点E 在AD 的延长线 上．（Ⅰ）求证：△ABP 是直角三角形；（Ⅱ）若AB ·AC ＝AP ·AE ，AP ＝4，PD ＝94，求E CA C 内值．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝θ． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ．若点P 的坐标为（3，求｜PA ｜＋｜PB ｜．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f （x ）和g （x ）的图象关于原点对称，且f （x ）＝x 2＋2x ． （Ⅰ）求函数g （x ）的解析式；（Ⅱ）解关于x 的不等式g （x ）≥f （x ）－｜x －1｜；文科数学参考答案一、选择题：DACA CCCB DCBC ．二、填空题：13．34- 14．315．22(1)10x y +-= 16．()(21)2n nnx f x x =-+．三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得11n n a a +=+，即11n n a a +-=，又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列．故1(1)1n a n n =+-⨯=． …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a n =从而12n n n b b +-=，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+…122221n n --=++++ (12)2112nn-==--．因为221221(21)(21)(21)n n n n n n b b b ++++-=---- 222221(2221)(2221)n n n n n ++++=--+--+ 5242n n =-+ 20n=-<，所以221n n n b b b ++< ． …………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ， ∵F 为CD 的中点，∴FP//DE ，且FP =12DE ．……2分又AB//DE ，且AB =.21DE∴AB//FP ，且AB=FP ， ∴ABPF 为平行四边形，∴AF //BP ． …………5分 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，∴AF //平面BCE ． …………7分 （II ）∵直角梯形ABED 的面积为12232+⨯=，C 到平面ABDE 22= …………10分∴四棱锥C －ABDE 的体积为133V =⨯⨯=．即多面体ABCDE……12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）从8人中选出日语、英语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，，132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． …………7分（Ⅱ）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得 15()1()166P N P N =-=-=．…………12分20．（本小题满分12分） 解：（I ）∵抛物线G 的焦点为(,0)2p F ， ……………1分∵直线2p x =与G 的交点为(,)2p p ，(,)2p p -， ……………3分∴依题意可得24p =，∴2p =， ……………4分 ∴抛物线G 的方程为24y x =． ……………5分 （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，，由题意知，直线AC 的斜率k 存在，且0k ≠，∵直线AC 过焦点(1,0)F ，所以直线AC 的方程为(1)y k x =-． ……………6分 ∵点A C ，的坐标满足方程组2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，∴消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=， ……………7分 由根与系数的关系得：12212421.x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，∴AC ==214(1)k=+． ……………8分因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k-，从而BD 的方程为1(1)y x k=--．同理，可以求得：24(1)BD k =+． ……………9分 ∴22118(2)322ABCD S AC BD k k=⋅=++≥，当且仅当21k =时，等号成立，所以，四边形ABCD 面积的最小值为32． ……………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2'()(121)(2)(1)xxf x e ax x ax e x ax =++++=++． …………3分令'()0f x >，得(2)(1)0x ax ++>，注意到0a >， ∴当1(0,)2a ∈时，()f x 在1(,)a-∞-上递增，在1(,2)a--上递减，在(2,)-+∞上递增； 当12a =时，()f x 在(,)-∞+∞上递增；当1(,)2a ∈+∞时，()f x 在(,2)-∞-上递增，在1(2,)a --上递减，在1(,)a-+∞上递增．…………8分（Ⅱ）∵1a =-，由（Ⅰ）'()(2)(1)x f x e x x =-+-，∴()f x 在[0,1]单调增加，故()f x 在[0,1]的最大值为(1)f e =，最小值为(0)1f =．从而对任意1x ，2x [0,1]∈，有12()()12f x f x e -≤-<． …………12分 （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲证明：（Ⅰ）过点P 作两圆公切线PN 交AB 于N ，由切线长定理得NB NA NP ==，∴△P AB 为直角三角形． ………… 4分（Ⅱ）∵AE AP AC AB ⋅=⋅，∴ACAE APAB =，又EAC PAB ∠=∠，∴PAB ∆∽CAE ∆，∴,900=∠=∠APB ECA 即EC AC ⊥． ………… 7分 由切割线定理，AD AP AB ⋅=2，∴,3,5==PB AB AC EC PA PB :4:3:==，∴43=ACEC ． ………… 10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的标准方程为22(5x y +-=． …………4分（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3))522t -+=，即240t -+=．由于△24420=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以1212 4.t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，又直线l过点(3P ，故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=． …………10分（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，∴2()()(2)g x f x x x =--=--，∴2()2,g x x x x =-+∈R ． …………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可以将原不等式化为2210x x --≤．上面不等价于下列二个不等式组：21210x x x ≤⎧⎨+-≤⎩ …… ①，或21210x x x >⎧⎨-+≤⎩……②，由①得112x -≤≤，而②无解．∴原不等式的解集为1[1,]2-． …………10分。