华夏精英教育--数列的求和
数列求和常用方法
数列求和常用方法数列求和是数学中的一个重要内容，它涉及到数学中的序列和级数的概念。
数列求和常用的方法有多种，包括公式求和法、递推公式法、夹逼定理法等，下面将为大家详细介绍这些方法。
一、公式求和法公式求和法是一种常用的数列求和方法，它适用于一些特殊的数列。
在应用这种方法求和时，首先需要找到数列的通项公式，然后利用该公式，通过变量的代入与简化运算，得到数列的和。
以等差数列为例，假设等差数列的首项为a1，公差为d，它的通项公式为an=a1+(n-1)d。
此时，可以根据等差数列和的公式Sn=n(a1+an)/2来求得等差数列的和。
例如，求等差数列1，4，7，10，13，16，……的前n项和。
根据等差数列的通项公式an=1+(n-1)3，可得：Sn=n(1+1+(n-1)3)/2=n(2+3n)/2=(3n²+2n)/2通过利用公式Sn=n(2+3n)/2，可以求得等差数列的和。
同样的方法，可以利用等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)和等比数列和的公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，来求解等比数列的和。
二、递推公式法递推公式法是利用数列的递推关系求解数列的和，它适用于那些不能通过通项公式求和的数列。
递推公式法通常需要利用数列的递归关系和已知的初始项来定义一个逐项相加的函数，从而得到数列的和。
例如，求斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……的前n项和。
首先可以得到斐波那契数列的递归关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1然后可以利用这个递归关系，定义一个逐项相加的函数S(n)，表示斐波那契数列的前n项和。
初始条件为S(1)=1，S(2)=2那么根据递推公式可以得到S(n)=S(n-1)+f(n)，其中f(n)表示斐波那契数列的第n项。
通过递推公式法，可以求解斐波那契数列的和。
三、夹逼定理法夹逼定理法适用于求解一些无限项和的问题，它是通过将无限项和的部分项与一个已知的无限项和进行夹逼，从而求出无限项和的方法。
数列求和的几种常见方法
数列求和的几种常见方法数列求和是数学中一种常见的问题，主要目的是计算给定数列的所有项的和。
在数学中，有许多不同的方法可以解决这个问题。
下面将介绍几种常见的数列求和方法。
1.数学归纳法：数学归纳法是一种常见的求和方法。
它基于数学归纳法的思想，即从其中一条件的正确性推出下一个条件的正确性。
当我们想计算一个数列的和时，可以尝试使用归纳法进行推导。
首先，我们假设数列的和为S(n)，即前n个项的和。
然后，我们找到S(n+1)与S(n)的关系，例如通过观察求和式的规律。
最后，我们使用归纳法证明S(n+1)与S(n)的关系成立，并找到S(n)的表达式。
2.公式求和法：一些数列具有明确的求和公式，通过使用这些公式，可以直接计算数列的和。
例如，等差数列的求和公式为S(n) = n(a1 + an) / 2，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
类似地，等比数列的求和公式为S(n) = a1(1 - r^n) / (1-r)，其中a1为首项，r为公比。
利用这些公式，我们可以快速计算出数列的和。
3.差分法：差分法是另一种常见的数列求和方法。
它通过求取数列的差分数列来简化求和问题。
差分数列是指将数列中每个相邻的项相减得到的新数列。
通过计算差分数列的和，我们可以得到原始数列的和。
差分法的思路是将原本的复杂数列转化为更加简单的等差或等比数列。
4.数列分解法：数列分解法是一种将复杂的数列拆分为更简单的数列的方法。
通过拆分数列，我们能够找到更简单的求和规律，从而快速计算出数列的和。
数列分解法常用于特殊数列的求和，例如和差数列、间隔数列等。
5.递推法：递推法是通过逐步迭代计算数列的每一项来求和的方法。
我们首先计算出数列的前几个项，然后利用递推关系计算出下一个项，并将其加入到已有的和中。
通过不断迭代，我们可以逐步计算出所有项的和。
递推法常用于递推数列或递归数列的求和。
除了以上提到的求和方法，还有一些其他的方法，如等差数列的部分和、等比数列的部分和、级数求和、积分求和等。
数列求和公式方法总结
数列求和公式方法总结数列求和是高中数学中一个重要的概念和计算方法，可以通过公式来计算数列的和。
在求和过程中，我们常常需要运用数列的性质和特点，选取合适的方法进行计算。
本文将对数列求和的公式方法进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
首先，我们先回顾一下数列的基本定义。
数列是指由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
数列的一般形式可以表示为{a₁，a₂，a₃...an}，其中a₁，a₂，a₃...表示数列的各项，n表示数列的项数。
对于简单的等差数列（即各项之间差值相等的数列），我们可以利用求和公式来计算其和。
等差数列的求和公式是Sn=n/2×（a₁+an），其中Sn表示数列的前n项和，n表示项数，a₁表示首项，an表示末项。
这个公式的推导思路是将数列分成对称的两部分，每一项与其对应的对称项的和相等，然后将这些和相加得到所求的和。
如果需要计算数列的某一部分（如从第m项到第n项）的和，我们可以利用Sn - Sm-1 = am +am+1 + ... + an这个公式。
对于等比数列（即各项之间比值相等的数列），我们同样可以利用求和公式来计算其和。
等比数列的求和公式是Sn = a₁(1-qⁿ)/(1-q)，其中Sn表示数列的前n项和，a₁表示首项，q表示公比。
这个公式的推导思路是将数列的每一项乘以一个系数，使得其比值等于公比，然后将这些式子相加得到所求的和。
除了等差数列和等比数列，我们还遇到了一种比较特殊的数列，即调和数列。
调和数列是指数列的倒数序列，则其和的公式是Sn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。
调和数列的求和公式是一个无限级数，不难发现，随着n的增大，数列的和趋于无穷大。
对于其他一些特殊的数列，我们可能需要采用其他的方法来计算其和。
例如，对于斐波那契数列（每一项是前两项之和），我们可以通过列式方法、递推关系、矩阵乘法等方法来计算其和。
对于级数和（无穷级数）的计算，我们可以通过收敛准则来判断级数是否收敛，进而决定是否可以计算其和。
数列求和累加知识点总结
数列求和累加知识点总结一、基本概念1、数列的定义数列是按照一定规律排列起来的一串数，其一般形式为a1，a2，a3，……，an，其中ai表示第i个数。
数列中的每个数称为这个数列的项，数列的项数称为这个数列的长度。
2、数列的常见类型数列可以根据项与项之间的关系和规律进行分类，常见的数列类型有等差数列、等比数列、等差-等比数列等。
3、数列的通项公式对于给定的数列，如果能够找到一个关于n的表达式an，使得当n取不同的值时，an分别对应数列中的不同项，那么这个表达式就被称为这个数列的通项公式。
4、数列的部分和数列的部分和是指数列中前n项的和，通常用Sn表示。
5、数列求和的基本原理数列求和的基本原理是利用数列的特定规律和性质，通过递推或利用通项公式，解出数列的部分和，从而得到数列的和。
二、求和公式1、等差数列的求和公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，根据等差数列的性质可以得到等差数列的部分和公式：Sn=n/2(a1+an)2、等比数列的求和公式对于等比数列an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，对等比数列的部分和求和同样可以得到公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)3、等差-等比数列的求和公式对于等差-等比数列，其通项公式为an=a1+((n-1)d)*q^(n-1)，部分和的求和公式较复杂，通常需要分别求得等差部分和和等比部分和，然后相加得到总的部分和。
4、特殊数列的求和公式对于一些特殊的数列（如斐波那契数列、调和数列等），其求和公式由于其特殊的规律会有相对应的公式。
三、常见类型1、等差数列求和等差数列是最为常见的数列类型之一，其性质和规律非常明确，根据等差数列的求和公式，我们可以很容易地求得等差数列的部分和，并由此得到整个数列的和。
2、等比数列求和与等差数列相似，等比数列同样有明确的求和公式，可以通过等比数列的通项公式和部分和公式求得等比数列的部分和。
数列求和的几种方法
数列求和的几种方法数列是数学中的重要概念，求和是数列中常见的问题之一、在数学中，求和通常用符号Σ来表示，它的形式为Σan，表示从n=1到n=N的所有项an的和。
下面将介绍数列求和的几种方法。
一、等差数列求和等差数列是一种常见的数列形式，其中每一项与前一项的差值都是固定的。
等差数列的求和可以通过以下几种方法进行计算：1. 直接求和法：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
可以直接将等差数列的每一项相加即可求得总和Sn。
例如，等差数列1, 3, 5, 7, 9的和可以直接计算为S5 = 1 + 3 + 5 +7 + 9 = 252. 利用等差数列的性质：等差数列的前n项和Sn可以通过公式Sn= n/2 * (a1 + an)来计算，其中a1为首项，an为前n项的最后一项。
例如，等差数列1, 3, 5, 7, 9的和可以计算为S5 = 5/2 * (1 + 9) = 25、这种方法适用于已知首项和公差的等差数列。
3.利用公式：等差数列的和也可以通过公式Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)来计算，其中a1为首项，d为公差。
这个公式可以通过展开Sn的表达式得到。
同样以等差数列1,3,5,7,9为例，可以计算为S5=5/2*(2*1+(5-1)*2)=25、这种方法适用于已知首项和项数的等差数列。
二、等比数列求和等比数列是一种每一项与前一项的比值都是固定的数列形式。
等比数列的求和可以通过以下几种方法进行计算：1. 直接求和法：对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以直接将等比数列的每一项相加即可求得总和Sn。
例如，等比数列2, 4, 8, 16的和可以直接计算为S4 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30。
2.利用等比数列的性质：等比数列的前n项和Sn可以通过公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中a1为首项，r为公比。
数列求和方法总结
数列求和方法总结数列是数学中常见的一个概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。
在数列中，常常需要求和，即将数列中的所有元素相加得到一个总和。
求和是数列中的一个重要问题，有着多种方法和技巧，本文将对数列求和方法进行总结。
首先，我们来介绍一些常见的数列求和公式。
1.等差数列求和公式：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d为公差，可以使用以下公式求和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中Sn表示前n项和。
2.等比数列求和公式：对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，n为项数，r为公比，可以使用以下公式求和：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)其中Sn表示前n项和。
3.调和数列求和公式：调和数列是指an = 1/n，其中n为正整数。
调和数列没有一个简单的求和公式，但它满足以下性质：Sn=1+1/2+1/3+...+1/nSn = ln(n) + γ + O(1/n)接下来，我们将介绍一些常见的数列求和方法。
1.逐项相加法：这是最简单的求和方法，即将数列中的每一项逐个相加得到和。
例如，对于数列1,2,3,4,5，可以逐项相加得到152.折半相加法：这是一种针对特定数列的求和方法。
对于一些具有对称性质的数列，可以将数列折半后再进行求和。
例如，对于数列1,2,3,4,5，可以将其折半为1,5,3，再相加得到93.和差法：这是一种将数列拆分为两个子数列，并利用数列之间的关系求和的方法。
例如，对于等差数列1,2,3,4,5，可以将其拆分为两个等差数列1,3,5和2,4，并利用等差数列求和公式求和后再相加。
4.差分法：对于一些特定数列，其前后项之间存在一定的差值关系。
通过求得这种差值关系，我们可以将数列转化为差分数列，并利用差分数列的性质进行求和。
例如，对于数列1,4,9,16,25，可以发现相邻项之间的差值为3,5,7，可以将其转化为差分数列3,5,7，并利用等差数列求和公式求和后再进行相加。
数列求和方法
数列求和方法数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
数列求和是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍数列求和的常见方法，包括等差数列求和、等比数列求和以及其他常见数列求和方法。
一、等差数列求和。
等差数列是指数列中相邻两项之间的差是一个常数的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。
对于等差数列求和，我们可以使用以下的公式：Sn = n/2 (a1 + an)。
其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
通过这个公式，我们可以很方便地求得等差数列的和。
二、等比数列求和。
等比数列是指数列中相邻两项之间的比是一个常数的数列。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中公比为2。
对于等比数列求和，我们可以使用以下的公式：Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)。
其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。
通过这个公式，我们可以很方便地求得等比数列的和。
三、其他常见数列求和方法。
除了等差数列和等比数列之外，还有一些其他常见的数列求和方法，例如调和数列、斐波那契数列等。
对于这些数列，求和的方法各有不同，需要根据数列的特点来选择合适的求和方法。
对于调和数列，我们可以使用以下的公式来求和：Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。
对于斐波那契数列，我们可以使用递推公式来求和：Sn = F(n+2) 1。
其中，F(n)表示斐波那契数列的第n项。
四、数列求和的应用。
数列求和在数学中有着广泛的应用，特别是在数学分析、概率论、统计学等领域。
例如，在概率论中，我们经常需要计算一些特定数列的和来求解概率分布函数；在统计学中，我们经常需要计算一些特定数列的和来求解统计指标。
因此，掌握数列求和的方法对于我们解决实际问题具有重要意义。
总之，数列求和是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
通过本文的介绍，相信读者对数列求和的方法有了更深入的了解，希望本文对读者有所帮助。
求数列求和的方法
求数列求和的方法数列求和是数学中的一个重要问题，它涉及到数列的性质和求解方法。
在数学中，数列求和有多种方法，下面将为您介绍最常用的数列求和方法。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
等差数列求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的第一项，an表示等差数列的第n项，n表示等差数列的项数。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
等比数列求和的公式如下：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、算术级数求和算术级数是指数列中每一项与前一项的差为一个固定的数d的数列，它可以看作是等差数列的变形。
算术级数求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示算术级数的前n项和，a1表示算术级数的第一项，an 表示算术级数的第n项，n表示算术级数的项数。
四、几何级数求和几何级数是指数列中每一项与前一项的比为一个固定的数q的数列，它可以看作是等比数列的变形。
几何级数求和的公式如下：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示几何级数的前n项和，a表示几何级数的第一项，q表示几何级数的公比，n表示几何级数的项数。
五、调和级数求和调和级数是指数列的每一项都是倒数数列的项的数列，它的求和公式如下：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n其中，Sn表示调和级数的前n项和，n表示调和级数的项数。
六、费马数列求和费马数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前一项的平方。
费马数列求和的公式如下：Sn=(a1^(n+1)-1)/(a1-1)其中，Sn表示费马数列的前n项和，a1表示费马数列的第一项，n 表示费马数列的项数。
七、斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。
数列求和的最简单方法和技巧
数列求和的最简单方法和技巧数列求和的最简单实用的方法和技巧导语：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对数列的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
下面是小编为大家整理的,数学知识，更多相关信息请关注CNFLA学习网!1数列求和的基本方法和技巧一.公式法如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.注意等比数列公示q的取值要分q=1和q≠1.二.倒序相加法如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.三.错位相减法如果一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.用裂项相消法求和时应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能前面剩两项,后面也剩两项,前后剩余项是对称出现的.五.分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.六.并项求和法一个数列的前n项和中,若可两两结合求解,则称之为并项求和法.形如类型,可采用两项合并求解.数列知识整合1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。
2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的`知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。
进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。
3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111n n a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式: （1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21n k k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++；（3）31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=. 例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
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华夏精英教育--数列的求和（一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236nk n n n kn =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n nn n ；1111()(2)22n n nn =-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。
7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求和：①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(nnn xxxxxx S ++++++=③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S nnn -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n②)21()21()21(224422+++++++++=nnn xx x xxx Sn xxxx xxnn2)111()(242242++++++++=（1）当1±≠x 时，n xxx xn xx x xx x S nn nnnn 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+---（2）当n S x n 4,1=±=时③k kk k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
2．错位相减法求和例2．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a an a a n ，求前n 项和。
思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列12,,,,-n a a a a 对应项积，可用错位相减法求和。
解：()1)12(53112--++++=n n a n a a S ()2)12(5332nnan aaa aS-++++=()()nn na n aaaa S a )12(22221)1(:21132--+++++=---当nn n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21)1()12()12(1a an an a S n nn --++-+=+当2,1n S a n ==时 3.裂项相消法求和 例3.求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解: )121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n 练习:求nn an aaaS ++++=32321 答案: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=)1()1()1()1()1(2)1(2a a a a n a a a n n S n nn4.倒序相加法求和例4求证：nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++思路分析：由m n n m n C C -=可用倒序相加法求和。
证：令)1()12(53210n nn n n n C n C C C S +++++=则)2(35)12()12(0121n nn n n n n n C C C C n C n S ++++-++=- mn nmn C C -=n n n n n n C n C n C n C n S )22()22()22()22(2:)2()1(210++++++++=+∴ 有 nnn n n n n n C C C C n S 2)1(])[1(21⋅+=+++++=∴ 等式成立5．其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
例5．已知数列{}n n n n S n a a 求],)1([2,---=。
思路分析：n n n a )1(22---=，通过分组，对n 分奇偶讨论求和。
解：nn n a )1(22-+-=，若∑=-+++++-===mk km n m S S m n 212)1(2)2321(2,2 则)1(2)12()2321(2+-=+-=++++-=n n m m m S n若)12(22)12(])1(2[22)12(,1222212-++-=--++-=-==-=-m m m m m m a S S S m n m m m m n 则22)1()1(224222---=-+++-=-+-=n nn n m m⎩⎨⎧---+-=∴)(2)()1(2为正奇数为正偶数n n n n n n S n 预备：已知n nn a a a a x a x a x a x f ,,,,)(321221且+++=成等差数列，n 为正偶数，又n f n f =-=)1(,)1(2，试比较)21(f 与3的大小。
解：⎩⎨⎧=+-+-+-=-=++++=-n a a a a a f na a a a f nn n 13212321)1()1( ⎩⎨⎧==+∴⎪⎩⎪⎨⎧==+∴2222)(121d na a nd n nn a a n n12122)1(111-=∴=∴⎩⎨⎧==-++∴n a a d n d n a a n n nn f xn x xx x f )21)(12()21(5)21(321)21()12(53)(3232-++++=-++++= 可求得nn n f )21)(12()21(3)21(2---=-，∵n 为正偶数，3)21(<∴f（四）巩固练习：1．求下列数列的前n 项和n S ：（1）5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…； （2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+ ；（3）11n a n n =++； （4）23,2,3,,,na a a na ；（5）13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+ ； （6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++．解：（1）555555555n n S =++++ 个5(999999999)9n =++++个235[(101)(101)(101)(101)]9n=-+-+-++-235505[10101010](101)9819nnn n =++++-=--．（2）∵1111()(2)22n n n n =-++， ∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++．（3）∵1111(1)(1)n n na n n n n n n n n +-===+-+++++-∴11121321n S n n=+++++++(21)(32)(1)n n =-+-+++- 11n =+-．（4）2323n n S a a a n a =++++ ， 当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=，当1a ≠时，2323n S a a a =+++…nna + ，23423n a S a a a =+++ (1)n na++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)1(1)1nnn n a a a n a n aa++-+-=--，∴212(1)(1)n n n n an a aS a ++-++=-．（5）∵2(2)2n n n n +=+，∴ 原式222(123=+++ (2))2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=．（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++ ， 又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++ ， ∴ 289S =，892S =．2．已知数列{}n a 的通项65()2()n nn n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列； 当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项，∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n 项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423nnn nn n n S +----=+=+-，所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n nn n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数．四、小结：1．掌握各种求和基本方法；2．利用等比数列求和公式时注意分11≠=q q 或讨论。