数列求通项公式及求和9种方法

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求数列通项公式+求数列前 N项和的常用方法

求数列通项公式+求数列前    N项和的常用方法
例题2:求数列
的前n项和Sn 解:
点拨:这道题只要经过简单整理,就可以很明显 的看出:这个数列可以分解成两个数列,一个等差 数列,一个等比数列,再分别运用公式求和,最后 把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使 得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前 n项和。
例题3:求数列
(n∈N*)的和 解:
点拨:此题先通过求数列的通项找到可以裂项的 规律,再把数列的每一项拆开之后,中间部分的项 相互抵消,再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于
等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 {an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在 和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后 即可以求出前n项和。
例题4:求数列{nan}(n∈N*)的和 解:设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则:aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得:(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an nan+1③ 若a = 1则:Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
求数列 前N项和的常用方法 核心提示:求数列的前n项和要借助于通项公式,即先有通项公式, 再在分析数列通项公式的基础上,或分解为基本数列求和,或转化为 基本数列求和。当遇到具体问题时,要注意观察数列的特点和规律, 找到适合的方法解题。
一.用倒序相加法求数列的前n项和

数列通项公式的九种求法

数列通项公式的九种求法

1数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强 的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

笔者总结出九种求解 数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 类型的题目.2例1 .等差数列{an}是递增数列,前n 项和为S1,且引,*3,a9成等比数列,S 5^*5.求 数列{a n}的通项公式 解:设数列{an}公差为d(d >0)2•/a1,a 3,a 9 成等比数列,••• a 3 =a1a9 ,2 2即 @1 +2d)=印@1 +8d),得 d =a 1d...d H0 a1=d--S s = a](n -1)n ,1a3 -a2 = ---这种方法适应于已知数列5a 1 +5*4d =⑻ +4d)2a1=3 —5 =3 -5 由①②得:3 •••an —5点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。

二、累加法求形如a n -a n 」= f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, …n — 1得到n — 1个式子累加求得通项。

+ (n-1)3 =-n 5可用累加法,即令 n=2, 3,例2.已知数列{a n }中, an _an4解:由已知得a 1=1,对任意自然数 1an = an4 中n 都有n(n+1),求 an .—n(n+1),an ~ an-2 1a 2y,13^4 ,丄+ an_ q _ 2x3+■(n-2)(n —1) (n —1)n n(n+1)31…a=2 n +1 ,点评:累加法是反复利用递推关系得到n —=丄n(n+1) nn +1个式子累加求出通项,这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的和,要注意求和的技巧.三、迭代法求形如a n* =q a n +d(其中q,d为常数)的数列通项,可反复利用递推关系迭代求出。

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型、S n 是数列{a n }的前n 项的和【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况【例1】.(1)已知正数数列{a n }的前n 项的和为S n, 且对任意的正整数n 满足2足 a n1 ,求数列{%}的 通项公式。

(2)数列{引中,为1对所有的正整数n 都有 a 〔 a ? a 3L a 。

n 2 ,求数列{a n }的通项公式【作业一】1-1.数列 a n 满足 a1 3a2 32% L3n1an?(n N *),3求数列a n 的通项公式.a 一(二).累加、累乘型如a namf(n),或f(n)a n【方法】:S 1 (n 1) S n S ni (n 2)S n S ni”代入消兀消a n o型一:I a n a nif (n),用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法)【方法】a n a n 1 f(n),an 1 a n 2f(nD,a 2 a i f (2) n 2,从而 a n a i f (n) f(n 1) L f (2),检验 n 1 的情 况 型二:|勉f(n),用累乘法求通项公式(推导等比an 1数列通项公式的方法)【方法】n 2,鬼业L 色f(n) f(n 1) L f(2)a n 1 a n 2a即冬f(n) f(n 1) L f(2),检验n 1的情 q况【小结】一般情况下,“累加法”(“累乘法”)里只有 n 1个等式相加(相乘).11【例 2】.(1)已知 a12 , an an 1 n^W(n 2),求a n .n2 (2)已知数列a n 满足an1 =an,且a1 - ?n 23求an .【例3】.(2009广东高考文数)在数列{a n}中,, 一1、n 1 b冬…a 1,a ni (1n)a n "2厂.设b n n,求数列{b n}的通项公式n 1 n (c,p为非零常数,c 1,p 1)【方法】构造a n 1 x c(a n x),即a n 1 ca n (c 1)x ,故(c 1)x p,即{a n 卫}为 c 1等比数列【例4】.a1 1 , a n 1 2a n 3,求数列{a n}的通项公式。

数列递推公式的九种方法

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中,31=a ,)1(11++=+n n a a n n ,求通项公式n a .解:原递推式可化为:1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ,……,n n a a n n 1111--+=-逐项相加得:n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列,且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n (n=1,2,3…),则它的通项公式是n a =▁▁▁(2000年高考15题)解:原递推式可化为:)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1>0,11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……,nn a a n n 11-=-逐项相乘得:na a n 11=,即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a },其中913,3421==a a ,且当n≥3时,)(31211----=-n n n n a a a a ,求通项公式n a (1986年高考文科第八题改编).解:设11---=n n n a a b ,原递推式可化为:}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列,9134913121=-=-=a a b ,公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得:nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a },其中2,121==a a ,且当n ≥3时,1221=+---n n n a a a ,求通项公式n a 。

数列求和各种方法总结归纳

数列求和各种方法总结归纳

故数列{an}的通项公式为an=2-n.
an (2)设数列{ n-1}的前n项和为Sn, 2 a2 an 即Sn=a1+ 2 +…+ n-1,① 2 Sn a1 a2 an 故S1=1, 2 = 2 + 4 +…+2n,② 所以,当n>1时,①-②得
a2-a1 an-an-1 an Sn 2 =a1+ 2 +…+ 2n-1 -2n
- - -
(2)由题意知bn-an=3n 1,所以bn=3n 1+an=3n 1-2n+21. Tn=Sn+(1+3+…+3
n-1
3n-1 )=-n +20n+ 2 .
2
[冲关锦囊]
分组求和常见类型及方法
(1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解; (2)an=a·n-1,利用等比数列前n项和公式直接求解; q (3)an=bn±cn,数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列, 采用分组求和法求{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式; 第三行
(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求 {bn}的前2n项和S2n
[自主解答]
(1)当a1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意; 当a1=10时,不合题意. 因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3,
2 3a2=1,a3=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{b }的前n项和. n
[自主解答]
(1)设数列{an}的公比为q.由a2=9a2a6得 3 9 3
1 1 2 2 2 a3=9a4,所以q = .由条件可知q>0,故q= . 1 由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得a1=3. 1 故数列{an}的通项公式为an=3n.

常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法(总10页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题。

要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式,为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一:1()n na a f n +=+(()f n 可以求和)−−−−→解决方法累加法 例1、在数列{}n a 中,已知1a =1,当2n ≥时,有121n n a a n -=+-()2n ≥,求数列的通项公式。

解析:121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得: ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注:一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】1、已知11a =,1n n a a n -=+(2≥n ),求n a 。

2、已知数列{}n a ,1a =2,1n a +=n a +3n +2,求n a 。

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+,,求数列}a {n 的通项公式。

4、已知}{n a 中,n n n a a a 2,311+==+,求n a 。

5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈,则求这个数列的通项公式 8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+,,求数列}a {n 的通项公式。

数列求通项公式的9种方法

数列求通项公式的9种方法


9:已知数列{an} 满足 a1
1 , an1

an an
2
,求{an} 的通项公式.
例 10(拓展).设由 a1
1, an

an1
2n 1an1
n
1

2,3,定义数列an ,试将 an 用 n 来表示
变式训练 11
已知数列 {an }
满足
a1

1 , an1
变式训练 14
已知数列{an} 满足 a1
2 , an1

1 2 an
2n ,求{an} 的通项公式.
变式训练 15 已知数列{an} 满足 a1 1 , an1 2an 3 2n1 ,求{an} 的通项公式.
七、型如 an1 pan A0n B0 的数列
四、加法构造
型如 an1 kan b ( k、b 为常数)的数列构造{an } 为等比数列
例 7 已知数列{an} 满足 a1 2 , an1 2an 3 ,求{an} 的通项公式.
变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 1 , an1 3an 2 ,求{an} 的通项公式.
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式: an=a1+ (n-1)d an=am+(n-m)d
2、等比数列通项公式: an= a1·qn-1 am= a1·qn-m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
an=SS1n,-Sn-1,
n=1, n≥2.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn,求数列{an}的通项公式.(1)Sn=2n-1;(2)Sn=2n2+ n+3.
变式训练 10

数列递推公式的九种方法

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列{n a }中,31=a ,)1(11++=+n n a a n n ,求通项公式n a .解:原递推式可化为:1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ,……,n n a a n n 1111--+=-逐项相加得:n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列,且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n (n=1,2,3…),则它的通项公式是n a =▁▁▁(2000年高考15题) 解:原递推式可化为:)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1>0,11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……,n n a a n n 11-=- 逐项相乘得:n a a n 11=,即n a =n1. 三、换元法例3 已知数列{n a },其中913,3421==a a ,且当n ≥3时,)(31211----=-n n n n a a a a ,求通项公式n a (1986年高考文科第八题改编).解:设11---=n n n a a b ,原递推式可化为: }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列,9134913121=-=-=a a b ,公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得:nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a },其中2,121==a a ,且当n ≥3时,1221=+---n n n a a a ,求通项公式n a 。

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数列求通项公式及求和
9种方法
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式
根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、
n
S是数列{}n a的前n项的和
1
1
(1)
(2)
n
n n
S n
a
S S n
-
=

=⎨
-≥

【方法】:“
1
n n
S S
-
-”代入消元消n a。

【注意】漏检验n的值 (如1
n=的情况
【例1】.(1)已知正数数列{}
n
a的前n项的和为n
S,
且对任意的正整数n满足1
n
a
=+,求数列{}
n
a
的通项公式。

(2)数列{}
n
a中,1
1
a=对所有的正整数n都
有2
123n
a a a a n
⋅⋅⋅⋅=,求数列{}n a的通项公式
【作业一】
1-1.数列{}
n
a满足
21*
123
333()
3
n
n
n
a a a a n N
-
++++=∈,求数列{}n a的通项公式.
(二).累加、累乘型如
1
()
n n
a a f n
-
-=,
1
()
n
n
a
f n
a
-
=
1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法)
【方法】
1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……,
21(2)a a f -=2n ≥,
从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+
+,检验1n
=的情

()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比数列通项公式的方法)
【方法】2n ≥,12
121
()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅
即1
()(1)(2)n a f n f n f a =⋅-⋅⋅,检验1n =的情况
【小结】一般情况下,“累加法”(“累乘法”)里只有1n -个等式相加(相乘).
【例2】. (1) 已知2
11=a ,)2(1
1
21≥-+=-n n a a n n ,求
n a .
(2)已知数列
{}n a 满足1
2
n n n a
a n +=+,且32
1=a ,求n a .
【例3】.(2009广东高考文数)在数列{}n a 中,
1111
1,(1)2
n n n n a a a n ++==++.设n n a b n =,求数列{}
n b 的通项公式
(三).待定系数法
1n n a ca p +=+ (,1,1c,p c p ≠≠为非零常数)
【方法】构造1()n n a x c a x ++=+,即
1(1)n n a ca c x +=+-,故(1)c x p -=, 即{}1
n p a c +-为
等比数列
【例4】. 11a =,123n n a a +=+,求数列{}n a 的通项公式。

(四).倒数法
1n
n n
ka a ca p +=+ (,,k p c 为非零常数)
【方法】两边取倒数,得111n n p c
a k a k
+=⋅+, 转化为待
定系数法求解
【例5】. 已知数列{}n a 的首项为13
5a =,
1
321
n n n a a a +=+,1,2,n =,求{}n a 的通项公式
数列专题2:数列求和
1.数列a 1+2,…,a k +2k ,…,a 10+20共有十项,且其和为240,则a 1+…+a k +…+a 10之值为 ( ) A .31 B .120 C .130 D .185
练习1.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -1
2n ,
其前n项和S n=321
64,则项数n等于 ()
A.13 B.10 C.9 D.6
2.设函数f(x)=x m+ax的导函数f′(x)=2x+1,
则数列{1
f(n)}(n∈N*)的前n项和是 ()
练习2. 数列a n=
1
n(n+1),其前n项之和为
9
10,则
在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为 ()
A.-10 B.-9 C.10 D.9
3.求和:S n=1
a+
2
a2+
3
a3+…+
n
a n.
练习3(2010·昌平模拟)设数列{a n}满足a1+3a2+
32a3+…+3n-1a n=n
3,n∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式;
n
(2)设b n=
a n,求数列{
b n}的前n项和S n.。

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