数列的通项公式与求和的常见方法
数列求和与求通项公式方法总结
数列求和与求通项公式方法总结数列是数学中的一种重要概念，它是由一列按照一定规律排列的数字所组成的序列。
在数列中，求和与求通项公式是两个重要的问题，本文将对这两个问题的方法进行总结。
首先，我们来讨论数列的求和问题。
数列的求和是指对一个给定的数列中的所有元素进行求和的操作。
数列求和的方法主要有以下几种。
1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列求和的公式为Sn=[(a1+an)n]/2，其中an为末项。
这个公式适用于等差数列的求和问题，可以更快地求得数列的和。
2.等差数列求和差法：对于一个等差数列，当项数为n时，可以通过求和的差法Sn=(a1+an)(n/2)来求得数列的和。
这个方法适用于项数较多且公差较小的等差数列。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列求和的公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1、这个公式适用于等比数列的求和问题，可以轻松地求得数列的和。
4.等比数列求和减法：对于一个等比数列，当公比r满足，r，<1时，可以通过求和的减法Sn=a1/(1-r)来求得数列的和。
这个方法适用于公比绝对值小于1的等比数列。
其次，我们来讨论数列的求通项公式问题。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置n来快速计算出数列中相应位置上的数值的公式。
数列求通项公式的方法主要有以下几种。
1.等差数列通项公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
2.等比数列通项公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
数列求和及求通项方法总结
数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1312--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1kn n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项②形如kn n a n ++=1，可裂项成)(1n k n ka n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。
例：已知数列122-+=n a nn ，求前n 项和n S5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。
二、方法剖析1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n s a a n n n例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+则)1(12f a a =- )2(23f a a =-所有等式两边分别相加得：∑-==-111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k nk f a a例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a nn =+ ......累加则)1()......2()1(12312-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：∏-==111)(n k n k f a a 则∏-==111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n nn ，其中{}的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=p b k ，所以有：)1(11-+=-++p ba p pb a n n ，这样就构造出了一个以11-+p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p b a n 。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、nS是数列{}n a的前n项的和11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩【方法】：“1n nS S--”代入消元消n a。
【注意】漏检验n的值(如1n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{}na的前n项的和为nS，且对任意的正整数n满足1na=+，求数列{}na的通项公式。
（2）数列{}na中，11a=对所有的正整数n都有2123na a a a n⋅⋅⋅⋅=L，求数列{}n a的通项公式【作业一】1－1.数列{}na满足21*123333()3nnna a a a n N-++++=∈L，求数列{}na的通项公式．（二）.累加、累乘型如1()n na a f n--=,1()nnaf na-=导等差数列通项公式的方法）【方法】1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n=的情况()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12121()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅L L即1()(1)(2)n a f n f n f a =⋅-⋅⋅L ，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.【例2】. (1) 已知211=a ，)2(1121≥-+=-n n a a n n，求n a .（2）已知数列{}n a 满足12n n n aa n +=+，且321=a ，求n a .【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++.设n na b n =，求数列{}n b 的通项公式（三）.待定系数法1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1n p a c +-为等比数列【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
数列的通项公式与求和公式
数列的通项公式与求和公式数列是数学中一个重要的概念，它是有规律地排列的一串数值。
在解决数学问题时，我们经常需要求数列的通项公式和求和公式。
本文将介绍数列的通项公式与求和公式，并以具体的例子来说明其应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够表示数列第n项与n的关系的公式。
通过通项公式，我们可以直接得到数列中任意一项的数值，而不需要逐个计算。
下面以等差数列和等比数列为例介绍通项公式的求解方法。
1. 等差数列的通项公式等差数列的特点是每一项与其前一项之差都相等。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示数列的第n项。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13...，首项a1=1，公差d=3。
根据通项公式an = a1 + (n-1)d，可以计算得到第10项为a10 = 1 + (10-1)×3 = 28。
2. 等比数列的通项公式等比数列的特点是每一项与其前一项的比值都相等。
设等比数列的首项为a1，公比为r，则其通项公式可以表示为：an = a1 × r^(n-1)。
其中，an表示数列的第n项。
例如，对于等比数列2，4，8，16，32...，首项a1=2，公比r=2。
根据通项公式an = a1 × r^(n-1)，可以计算得到第5项为a5 = 2 × 2^(5-1) = 32。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指能够直接求解数列前n项和的公式。
通过求和公式，我们可以快速计算数列前n项的和而无需逐个相加。
下面以等差数列和等比数列为例介绍求和公式的求解方法。
1. 等差数列的求和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，数列前n项的和表示为Sn。
等差数列的求和公式可以表示为：Sn = (n/2) × (2a1 + (n-1)d)。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13...，首项a1=1，公差d=3。
数列的通项公式与求和的常用方法
解法三
由已知得,(n∈N*) ①， 所以有 ②， 由②式得， 整理得Sn+1－2·+2－Sn=0， 解得， 由于数列{an}为正项数列，而， 因而， 即{Sn}是以为首项，以为公差的等差数列
所以= +(n－1) =n,Sn=2n2， 故an=即an=4n－2(n∈N*)
对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1
(1)求证 {an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足 b1=a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*) 试问当m为何值时，成立？
6 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145
(1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的 前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论
②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有，将ak=4k －2
代入上式，解得2k=，得Sk=2k2， 由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1， 将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)， 整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k， 所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2， 即当n=k+1时，上述结论成立
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn; (3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m， 使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说 明理由
求数列通项公式与数列求和的几种方法
求数列通项公式与数列求和的几种方法数列是由一定规律形成的数的序列，通常可以用数学公式表示。
数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。
数列的求和是指将数列中所有项相加的过程。
在数学中，有多种方法可以求解数列的通项公式和数列的求和问题。
下面将介绍一些常见的方法。
一、通过递推关系求解通项公式与求和递推关系是指数列中相邻项之间的数学关系。
通过观察数列中的规律，可以找到数列的递推关系，从而求解通项公式和数列的求和。
1.1等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差是一个常数。
设数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过该递推关系，可以求解等差数列的通项公式和求和。
1.2等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比是一个常数。
设数列的第一项为a1，公比为r，则等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * r^(n-1)。
通过该递推关系，可以求解等比数列的通项公式和求和。
1.3斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
设数列的第一项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2、通过该递推关系，可以求解斐波那契数列的通项公式和求和。
二、通过数学工具求解通项公式与求和2.1代数方法对于一些特定的数列，可以使用代数方法求解通项公式和求和。
例如，对于等差数列和等比数列，可以使用代数方法推导出通项公式和求和公式。
2.2比较系数法比较系数法是一种常用的方法，适用于具体的数列。
通过对比数列中的系数和常数，可以列方程组求解通项公式和求和。
2.3拆分合并法对于一些数列，可以通过拆分合并法求解通项公式和求和。
该方法将数列分为不同的部分进行拆分和合并，从而得到整个数列的通项公式和求和。
三、通过数学工具和技巧求解通项公式与求和3.1差分法差分法是一种常见的求解通项公式和求和的方法。
对于一些特殊的数列，可以通过数列和数列之间的差值来推导出数列的特征，进而求解通项公式和求和。
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。
这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。
通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。
数列通项公式及数列求和的常用方
数列通项公式及数列求和的常用方法邓 飞一．通项公式求法1. 迭乘法：1()n n a a f n += 型例1 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+= ，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n n n a n a a +=+= ，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故132112211221(1)1(1)(2)2112[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n --------+-+++-=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯2. 迭加法：1()n n a a f n +=+ 型例2 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n , 则,211112-+=a a 312123-+=a a ，413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 3. 待定系数法：1n n a pa q +=+ 型――转化为1()n n a x p a x ++=+ 型。
（等比型）例3 已知数列{}n a 满足11236n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设12()n n a x a x ++=+ 比较系数得3,x = 所以 132(3)n n a a ++=+ 又13639a +=+=，则数列{3}n a +是以9为首项，2为公比的等比数列， 则1392n n a -+= ，故1923n n a -=- 。
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常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n na a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
3. 已知数列{}n a 满足11a =，212=a ，11112n n na a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足211=a ，n a a n n 21+=+，*()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n n -=+-，(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+⨯+， *()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。
类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+，(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列 {}n a 满足125nn n a a +=⨯*()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。
类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。
1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23nn S =+，求数列{}n a 的通项公式。
类型五：待定系数法q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ；p a a n n =+++λλ1解出λ，可得数列λ+=n n a b 为等比数列例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=-*()n N ∈，求数列{}na 的通项公式。
2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。
类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。
例：已知数列{}n a 满足11a =，122nn n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =，1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n nac b =求数列{}n c 的通项公式。
类型七：（公式法2） （nn n p pa a ⨯+=+λ1）p>0;解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n p a 为以p λ为公差的等差数列；例. 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式2.已知数列{}n a 满足nn n a a 3431⨯+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。
数列求和的常用方法类型一：公式法例 .已知3log 1log 23=x ，求32x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+nx 的前n 项和. 变式练习1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S .2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=nn S ,求2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法例. 求数列的前n 项和：2321,,721,421,1112-+⋅⋅⋅+++-n n ，…变式练习1.已知数列}{n a 中，nn n a 32+=，求n S .2.已知数列}{n a 中，n n n a 21)12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法例.求οοοο88sin 3sin 2sin 1sin 2222+⋅⋅⋅+++ο89sin 2+的值. 1.已知xx f +=11)(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-⋅-n n n a ，求n S .变式练习 1.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法例.已知数列}{n a 中，)2(1+=n n a n ，求n S .1.求数列11,,321,211++⋅⋅⋅++n n的前n 项和.2.在数列}{n a 中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ， 又12+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和.3.求和求数列的通项与求和作业1.已知数列}{n a 的首项11=a（1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________111{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==⋅+ 已知数列满足，求数列的通项公式（3）若11n n a a n +=++，则n a =__________；（4）若12nn n a a +=⋅，则n a =_______（5）若1)1(++=n n a n na ，则n a =__________； （6）若)2(231≥+=-n a a n n ，则n a =__________；（7）若11nn n a a a +=+，则n a =__________。
3.2 4.5. 等比数列 的前n 项和12-=nn S ，求6.求和：7. 求和：8. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有2(2)1n n S n a =+-．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅L ，求n T ． {}n a 2232221na a a a ++++Λ。