2016-2017学年安徽省宿州市高一(下)期末数学试卷与解析word

2016-2017学年安徽省宿州市高一（下）期末数学试卷一.选择题（每题5分）1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b22．（5分）数列，﹣，，﹣，…的一个通项公式为（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+13．（5分）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．3，11，19，27，35 B．5，15，25，35，46C．2，12，22，32，42 D．4，11，18，25，324．（5分）等差数列{a n}中，a4=﹣8，a8=2，则a12=（）A．10 B．12 C．14 D．165．（5分）甲、乙、丙是同班同学，假设他们三个人早上到学校先后的可能性是相同的，则事件“甲比乙先到学校，乙又比丙先到学校”的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）下列命题中，正确的是（）A．函数y=x+的最小值为2B．函数y=的最小值为2C．函数y=2﹣x﹣（x＞0）的最大值为﹣2D．函数y=2﹣x﹣（x＞0）的最小值为﹣27．（5分）不等式≥﹣1的解集为（）A．（﹣∞，]∪（1，+∞）B．[，+∞）C．[，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，]∪[1，+∞）8．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．B．C． D．10．（5分）已知甲、乙两组数据的茎叶如图所示，若它们的平均数相同，则下列关于甲、乙两组数据稳定性的描述，正确的是（）A．甲较稳定B．乙较稳定C．二者相同D．无法判断11．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．612．（5分）宿州市某登山爱好者为了解山高y（百米）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表，由表中数据，得到线性回归方程为y=﹣2x+a，由此估计山高为72（百米）处的气温为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4二.填空题13．（5分）数列{a n}中，若a n=，则其前6项和为．14．（5分）如果实数x，y满足约束条件，那么目标函数z=2x﹣y的最小值为．15．（5分）如图所示，为了求出一个边长为10的正方形内的不规则图形的面积，小明设计模拟实验：向这个正方形内均匀的抛洒20粒芝麻，结果有8粒落在了不规则图形内，则不规则图形的面积为．16．（5分）为响应国家治理环境污染的号召，增强学生的环保意识，宿州市某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了l00学生的成绩进行统计，成绩频率分布直方图如图所示．估计这次测试中成绩的众数为；平均数为；中位数为．（各组平均数取中值计算，保留整数）三.解答题17．（10分）苏州市一木地板厂生产A、B、C三类木地板，每类木地板均有环保型和普通两种型号，某月的产量如下表（单位：片）：按分层抽样的方法在这个月生产的木地板中抽取50片，其中A类木地板10片．（1）求Z的值；（2）用随机抽样的方法从B类环保木地板抽取8片，作为一个样本，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5的概率．18．（12分）函数f（x）=x2+ax+3，已知不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a；（2）若不等式f（x）≥m的解集是R，求实数m的取值范围；（3）若f（x）≥nx对任意的实数x≥1成立，求实数n的取值范围．19．（12分）宿州某中学N名教师参加“低碳节能你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频数分布表：（1）求正整数m，p，N的值；（2）用分层抽样的方法，从第1、3、5组抽取6人，则第1、3、5组各抽取多少人？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加学校之间的宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．20．（12分）判断居民户是否小康的一个重要指标是居民户的年收入，某市从辖区内随机抽取100个居民户，对每个居民户的年收入与年结余的情况进行分析，设第i个居民户的年收入x i（万元），年结余y i（万元），经过数据处理的：=400，=100，=900，=2850．（1）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；（2）若该市的居民户年结余不低于5万，即称该居民户已达小康生活，请预测居民户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？附：在y=bx+a中，b=，a=，其中，为样本平均值．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若a=2，A=，且△ABC的面积S=2，求b，c的值；（2）若sin（C﹣B）=sin2B﹣sinA，试判断△ABC的形状．22．（12分）已知数列{a n+1﹣2a n}是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．（1）证明：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记C n=（n≥2），证明：（）n＜+…+≤1﹣（）n﹣1．2016-2017学年安徽省宿州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题5分）1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，f（x）=在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）=在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）=|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）=x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．2．（5分）数列，﹣，，﹣，…的一个通项公式为（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+1【解答】解：由已知中数列，﹣，，﹣，…可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n+1来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为a n=（﹣1）n+1故选：D．3．（5分）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．3，11，19，27，35 B．5，15，25，35，46C．2，12，22，32，42 D．4，11，18，25，32【解答】解：∵50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，∴每一组号码间距相同．2，12，22，32，42，∴C有可能．故选：C．4．（5分）等差数列{a n}中，a4=﹣8，a8=2，则a12=（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4=﹣8，a8=2，∴，解得，d=，∴a12=﹣=12．故选：B．5．（5分）甲、乙、丙是同班同学，假设他们三个人早上到学校先后的可能性是相同的，则事件“甲比乙先到学校，乙又比丙先到学校”的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲、乙、丙是同班同学，假设他们三个人早上到学校先后的可能性是相同的，基本事件总数n==6，事件“甲比乙先到学校，乙又比丙先到学校”包含的基本事件个数m=1，∴事件“甲比乙先到学校，乙又比丙先到学校”的概率p=．故选：D．6．（5分）下列命题中，正确的是（）A．函数y=x+的最小值为2B．函数y=的最小值为2C．函数y=2﹣x﹣（x＞0）的最大值为﹣2D．函数y=2﹣x﹣（x＞0）的最小值为﹣2【解答】解：对于A：函数y=x+无最小值，故A错误，对于B：函数y===+≥2，当且仅当x2=﹣1时取等号，显然不成立，故B成立，对于函数y=2﹣x﹣（x＞0）=2﹣（x+）≤2﹣2=﹣2，当且仅当x=2时取等号，故最大值为﹣2，故C正确，D错误，故选：C．7．（5分）不等式≥﹣1的解集为（）A．（﹣∞，]∪（1，+∞）B．[，+∞）C．[，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，]∪[1，+∞）【解答】解：∵≥﹣1，∴+≥0，∴≥0，∴x＞1或x≤，故不等式的解集是：（﹣∞，]∪（1，+∞），故选：A．8．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生【解答】解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求．故选：A．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．B．C． D．【解答】解：因为sinC=2sinB，所以由正弦定理得，所以，再由余弦定理可得，所以A=．故选：A．10．（5分）已知甲、乙两组数据的茎叶如图所示，若它们的平均数相同，则下列关于甲、乙两组数据稳定性的描述，正确的是（）A．甲较稳定B．乙较稳定C．二者相同D．无法判断【解答】解：根据茎叶图得，甲的平均数是=×（27+31+35+39）=33，乙的平均数是=×（20+n+32+34+38）=33，解得n=8，∴甲的方差=×[（27﹣33）2+（31﹣33）2+（35﹣33）2+（39﹣33）2]=20，乙的方差=×[（28﹣33）2+（32﹣33）2+（34﹣33）2+（38﹣33）2]=13，∵＞，∴乙组数据较稳定．故选：B．11．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=0满足条件S＜10，执行循环体，S=2°=1，k=1满足条件S＜10，执行循环体，S=2°+21=3，k=2满足条件S＜10，执行循环体，S=2°+21+22=7，k=3满足条件S＜10，执行循环体，S=2°+21+22+23=15，k=4不满足条件S＜10，退出循环，输出k的值为4．故选：B．12．（5分）宿州市某登山爱好者为了解山高y（百米）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表，由表中数据，得到线性回归方程为y=﹣2x+a，由此估计山高为72（百米）处的气温为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4【解答】解：根据表中数据，计算=×（18+13+10﹣1）=10，=×（24+34+38+64）=40，代入线性回归方程y=﹣2x+a中，求得a=40+2×10=60；∴线性回归方程为y=﹣2x+60；当y=72时，x=（72﹣60）÷（﹣2）=﹣6，由此估计山高为72（百米）处的气温为﹣6°C．故选：C．二.填空题13．（5分）数列{a n}中，若a n=，则其前6项和为99．【解答】解：a n=，可得其前6项和为（a1+a3+a5）+（a2+a4+a6）=（1+5+9）+（4+16+64）=15+84=99．故答案为：99．14．（5分）如果实数x，y满足约束条件，那么目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣5．【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣y画出图形：点A（﹣1，0），B（﹣2，﹣1），C（0，﹣1）z在点B处有最小值：z=2×（﹣2）﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．15．（5分）如图所示，为了求出一个边长为10的正方形内的不规则图形的面积，小明设计模拟实验：向这个正方形内均匀的抛洒20粒芝麻，结果有8粒落在了不规则图形内，则不规则图形的面积为40．【解答】解：芝麻落在正方形内不规则图形内的概率为，设正方形内的不规则图形的面积为S，∵正方形的面积为100，∴，得S=40．故答案为：40．16．（5分）为响应国家治理环境污染的号召，增强学生的环保意识，宿州市某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了l00学生的成绩进行统计，成绩频率分布直方图如图所示．估计这次测试中成绩的众数为75；平均数为72；中位数为73．（各组平均数取中值计算，保留整数）【解答】解：由频率分布直方图得：测试成绩在[70，80）内的频率最大，∴众数为：=75．平均数为：=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72．测试成绩在[40，70）内的频率为（0.005+0.015+0.020）×10=0.4，测试成绩在[70，80）内的频率为0.030×10=0.3，∴中位数为：70+≈73．故答案为：75；72；73．三.解答题17．（10分）苏州市一木地板厂生产A、B、C三类木地板，每类木地板均有环保型和普通两种型号，某月的产量如下表（单位：片）：按分层抽样的方法在这个月生产的木地板中抽取50片，其中A类木地板10片．（1）求Z的值；（2）用随机抽样的方法从B类环保木地板抽取8片，作为一个样本，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5的概率．【解答】解：（1）Z=50×﹣（100+300+150+450+600）=400；（2）样本平均数为（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．则与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数有6个；则概率为P==0.75．18．（12分）函数f（x）=x2+ax+3，已知不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a；（2）若不等式f（x）≥m的解集是R，求实数m的取值范围；（3）若f（x）≥nx对任意的实数x≥1成立，求实数n的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+3，且f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴a=﹣4；（2）由（1）得：f（x）=x2﹣4x+3，∴f（x）=（x﹣2）2﹣1，∴f（x）最小值为﹣1，∴不等式f（x）≥m的解集为R，实数m的取值范围为m≤﹣1；（3）∵f（x）≥nx对任意的实数x≥1都成立，即x2﹣4x+3≥nx对任意的实数x≥1都成立，两边同时除以x得到：x+﹣4≥n对任意的实数x≥1都成立，令g（x）=x+﹣4，x≥1，g′（x）=1﹣=，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：x＜，故g（x）在[1，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）min=g（）=﹣4+2，故n≤g（x）min=﹣4+2．19．（12分）宿州某中学N名教师参加“低碳节能你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频数分布表：（1）求正整数m，p，N的值；（2）用分层抽样的方法，从第1、3、5组抽取6人，则第1、3、5组各抽取多少人？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加学校之间的宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相同，所以m=25．且p=25×=100．总人数N==250．…4分（2）因为第1，3，5组共有25+100+25=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×=1，第3组的人数为6×=4，第5组的人数为6×=1，所以第1，3，5组分别抽取1人，4人，1人．…8分（3）由（2）可设第1组的1人为A，第3组的4人为B 1，B2，B3，B4，第5组的1人分别为C，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（B1，A），（B1，C），（B2，A），（B2，C），（B3，A），（B3，C），（B4，A），（B4，C），（A，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（B1，A），（B1，C），（B2，A），（B2，C），（B3，A），（B3，C），（B4，A），（B4，C），共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为．…12分20．（12分）判断居民户是否小康的一个重要指标是居民户的年收入，某市从辖区内随机抽取100个居民户，对每个居民户的年收入与年结余的情况进行分析，设第i个居民户的年收入x i（万元），年结余y i（万元），经过数据处理的：=400，=100，=900，=2850．（1）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；（2）若该市的居民户年结余不低于5万，即称该居民户已达小康生活，请预测居民户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？附：在y=bx+a中，b=，a=，其中，为样本平均值．【解答】解：（1）由题意知n=100，===4，===1，b===0.4，a==﹣0.6，所以线性回归方程为y=0.4x﹣0.6；…8分（2）令y=0.4x﹣0.6≥5，解得x≥14，由此可预测该居民户的年收入最低为14．…12分21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若a=2，A=，且△ABC的面积S=2，求b，c的值；（2）若sin（C﹣B）=sin2B﹣sinA，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：a=2，A=，△ABC的面积S=2，∴S=bcsinA=2，可得：bc=8；…•①由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入化简得：（b+c）2=36，∴b+c=6；…②连立①②得：b=2，c=4或b=4，c=2；…6分（2）由题意知：sin（C﹣B）=sin2B﹣sinA，∴sin（C+B）+sin（C﹣B）=sin2B，化简得：sinCcosB=sinBcosB，∴cosB=0或sinC=sinB；又A，B∈（0，π），所以B=或C=B；即ABC为直角三角形或等腰三角形．…12分22．（12分）已知数列{a n+1﹣2a n}是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．（1）证明：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记C n=（n≥2），证明：（）n＜+…+≤1﹣（）n﹣1．【解答】解：（1）由已知得a n﹣2a n=（a2﹣2a1）•2n﹣1=2n…2分+1两端同除2n+1得：=，所以数列{}是以首项为，公差为的等差数列…4分（2）由（1）知=n，所以a n=n•2n﹣1，S n=1•20+2•21+…+n•2n﹣1，则2S n=2•21+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，相减得：﹣S n=1•20+21+…+2n﹣1﹣n•2n，所以﹣S n=﹣n•2n，即S n=（n﹣1）2n+1．…8分（3）C n=2n﹣2，（n≥2）∵=，∴+…++…+==﹣，当≥2时，∵2n+1﹣2n=2n≥4，∴2n+1﹣4≥2n⇒，∴，∴+…++…+==1﹣所以原不等式得证．…12分赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。