2019届高考一轮复习精练题(理科数学)月月考二三角函数、平面向量、数列、不等式含解析
2019年高考数学一轮复习精品试题第四、五模块 三角函数、平面向量
第四、五模块 三角函数 平面向量一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若sin36°cos α－sin54°cos84°＝12，则α值可能为( )A ．96°B ．6°C ．54°D ．84°解析：∵12＝sin30°＝sin(36°－6°)＝sin36°cos6°－cos36°sin6°＝sin36°cos α－sin54°cos84°，∴cos α＝cos6°，故选B. 答案：B2．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝π9B ．x ＝π8C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，再向左平移π6个单位长度后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，其对称轴集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，x ＝π2适合该集合，故选C.答案：C3．函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－23π，θ上的最大值为1，则θ的值是( ) A ．0 B.π3C.π2D ．－π2解析：因为f (x )＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－(cos x －1)2＋2，又其在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，θ上的最大值为1，结合选项可知θ只能取－π2，故选D.答案：D4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12B ．f (x )的图象在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上递减 C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点⎝⎛⎭⎫5π12，0 解析：∵T ＝π，∴ω＝2，即y ＝A sin(2x ＋φ)关于直线x ＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－56π，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，∴φ＝π6，即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 再用检验法一一验证知D 正确． 答案：D5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是()解析：当a ＝0时，f (x )＝1，图象即为C ；当0<a <1时，三角函数的最大值为1＋a <2，且最小正周期为T ＝2πa >2π，图象即为A ；当a >1时，三角函数的最大值为a ＋1>2，且最小正周期为T ＝2πa<2π，图象即为B.故选D. 答案：D6．(2010·东北三校第一次联考)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1(－2≤x <0)2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0≤x ≤8π3)的图象如图，则( )A.k ＝12，ω＝12，φ＝π6B ．k ＝12，ω＝12，φ＝π3C ．k ＝12，ω＝2，φ＝π6D ．k ＝－2，ω＝12，φ＝π3解析：本题中的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k ＝12.另一个是三角函数，三角函数解析式中的参量ω由三角函数的周期决定，由图象可知三角函数的周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫8π3－5π3＝4π，故ω＝12.将点⎝⎛⎭⎫5π3，0代入解析式y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ，得12×5π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π6，k ∈Z ，结合各选项可知，选项A 正确．答案：A7．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝(x,0)，AC ＝(－1，y )，则动点P (x ，y )的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－x ＋1 B ．y 2＝x ＋1 C ．y 2＝x －1 D ．y 2＝－x －1解析：BC AC AB =-＝(－1－x ，y )， 又∵∠C ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴AC BC ＝(－1，y )·(－1－x ，y )＝1＋x ＋y 2＝0， ∴y 2＝－x －1.故选D. 答案：D8．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,2)，则|a ＋λb |(λ∈R)的最小值为( ) A.55B.255C.355D. 5解析：∵a ＋λb ＝(2＋λ，1＋2λ)， ∴|a ＋λb |＝(2＋λ)2＋(1＋2λ)2 ＝5⎝⎛⎭⎫λ＋452＋95≥355.当且仅当λ＝－45时，取“＝”，答案：C9．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且||||||,0,OA OB OC NA NB NC ==++=且,PA PB PB PC PC PA ==则点O ，N ，P 依次是△ABC 的(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心 解析：由||||||OA OB OC ==知，O 为△ABC 的外心； 由0NA NB NC ++=知，N 为△ABC 的重心； ∵,PA PB PB PC =， ∴()PA PC PB -＝0， ∴CA PB ＝0， ∴CA ⊥PB .同理可得BC ⊥PA ，AB ⊥PC .故选C. 答案：C10．在△ABC 中，若AC BC ＝1，AB BC ＝－2，且∠B ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A ．2 3 B. 3 C.32D. 6解析：∵1,AC BC AB BC =＝－2，∴两式相减得()AC AB BC -＝3⇒BC 2＝3⇒|BC |＝ 3. ∵AB BC ＝－2且∠B ＝60°， ∴||||AB BC cos B ＝2，即|AB |×3×12＝2⇒|AB |＝433，∴△ABC 的面积S ＝12|AB |×|BC |×sin B ＝12×433×3×32＝ 3.故选B.答案：B11．设A (a,1)、B (2，b )、C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝4C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：OA 在OC 上的投影为4a ＋541，OB 在OC 上的投影为8＋5b41，∴8＋5b ＝4a ＋5，即4a －5b ＝3，故选A. 答案：A12．(2010·厦门质检题)已知A (2,0)，B (0,1)，O 是坐标原点，动点M 满足OM ＝λOB ＋(1－λ)OA ，并且OM AB >2，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>65C.65<λ<2 D ．1<λ<2 解析：由OM ＝λOB ＋(1－λ)OA ＝(2－2λ，λ)，由OM AB >2得：4λ－4＋λ>2，解得λ>65，故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上． 13．已知tan α＝14，则cos2α＋sin 2α的值为________．解析：cos2α＋sin 2α＝1－2sin 2α＋sin 2α＝cos 2α＝cos 2αcos 2α＋sin 2α＝11＋tan 2α＝1617. 答案：161714．若－π4≤x ≤π3，则函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4的值域为________． 解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π2＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12cos2x ， 又∵－π4≤x ≤π3，∴－π2≤2x ≤2π3，∴结合图象得y ∈⎣⎡⎦⎤－14，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，12 15．在2008年北京奥运会青岛奥帆赛举行之前，为确保赛事安全，青岛海事部门举行奥运安保海上安全演习．为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，3分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________千米/分钟．解析：据已知，在Rt △BCD 中，CD ＝1，CD ＝BD ， ∴BD ＝1，BC ＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝45°，∠ADC ＝30°，CD ＝1. 据正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，∴AC ＝22. 在△ACB 中，据余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ∵AC ＝22，BC ＝2，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝62，∴v ＝623＝66(千米/分钟)．答案：6616．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若,OC xOA yOB =+，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：设∠AOC ＝α，,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB⎧=+⎪⎨=+⎪⎩， 即⎩⎨⎧cos α＝x －12y cos(120°－α)＝－12x ＋y ，∴x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝cos α＋3sin α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6≤2. 答案：2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b sin C －5c sin B cos A ＝0. (1)求sin A ；(2)若tan(A －B )＝－211，求tan C .解：(1)由正弦定理得b sin C ＝c sin B . 又因为3b sin C －5c sin B cos A ＝0， 所以b sin C (3－5cos A )＝0.因为b sin C ≠0，所以3－5cos A ＝0， 即cos A ＝35.又因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.(2)由(1)知cos A ＝35，sin A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43.因为tan(A －B )＝－211，所以tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan(A －B )1＋tan A ·tan(A －B )＝43－⎝⎛⎭⎫－2111＋43×⎝⎛⎭⎫－211＝2.所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－43＋21－43×2＝2.18．(12分)受全球金融危机影响，某外贸出口商品的产销价格波动较大．据市场调查，这种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？解：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得，A ＝2，B ＝6， 又12·2πω＝4，∴ω＝π4，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋6， 将已知点(3,8)或(7,4)代入上式，得φ＝－π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6(1≤x ≤12，且x 为正整数)， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －3π4＋8. (2)由g (x )>f (x )得，sin π4x <22，∴2k π＋3π4<π4x <2k π＋9π4，k ∈Z ，∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z ， ∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3<x <9，∴x ＝4,5,6,7,8； k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12. ∴x ＝4,5,6,7,8,12.则其中4,5,6,7,8,12这六个月份能盈利．19．(12分)若函数f (x )＝sin 3x cos x ＋cos 3x sin x ＋3sin 2x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)已知△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角为A 、B 、C ，且三角形的面积为S ，若32AB BC ＝S ，求f (A )的取值范围．解：(1)f (x )＝sin x cos x (sin 2x ＋cos 2x )＋3sin 2x ＝sin x cos x ＋3sin 2x ＝12sin2x ＋3(1－cos2x )2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )单调递减，∴k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，f (x )单调递减，∴函数f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z)．(2)∵S ＝12|||AB BC |·sin B ＝－32|||AB BC |cos B ，∴tan B ＝－3， ∴B ＝2π3. f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＋32. ∵A ＋C ＝π3，∴0<A <π3，∴－π3<2A －π3<π3，∴0<f (A )< 3.20．(12分)(2011·苏州市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A2，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若||||3||AC AB BC +=，试判断△ABC 的形状．即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2＝3， ∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵||||3||AC AB BC +=， ∴b ＋c ＝3a ，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32，∴0<B <2π3， ∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2，当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．21．(12分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)，令f (k )＝a ·b . (1)求f (k )＝a ·b (用k 表示)；(2)当k >0时，f (k )≥x 2－2tx －12对任意的t ∈[－1,1]恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)由题设得|a |2＝|b |2＝1，对|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方得k 2a 2＋2ka ·b ＋b 2＝3(a 2－2ka ·b ＋k 2b 2)， 整理易得f (k )＝a ·b ＝k 2＋14k(k >0)．(2)f (k )＝k 2＋14k ＝k 4＋14k ≥12，当且仅当k ＝1时取等号．欲使f (k )≥x 2－2tx －12对任意的t ∈[－1,1]恒成立，等价于12≥x 2－2tx －12，即g (t )＝2xt －x 2＋1≥0在[－1,1]上恒成立，而g (t )在[－1,1]上为单调函数或常函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝2x －x 2＋1≥0g (－1)＝－2x －x 2＋1≥0， 解得1－2≤x ≤2－1.故实数x 的取值范围为[1－2，2－1]． 22．(12分)(2010·洛阳模拟题)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12，cos x 2， b ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12，－cos x2，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 函数f (x )＝a ·b .(1)若cos x ＝－35，求函数f (x )的值；(2)将函数f (x )的图象先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位，使平移后的图象关于原点对称，若0<m <π，n >0，试求m ，n 的值．解：(1)∵cos x ＝－35，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，∴sin x ＝45. ∴f (x )＝a ·b ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12－cos 2x 2＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－12(1＋cos x ) ＝12⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x －1＝35－720.(2)由(1)知f (x )＝12⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x －1＝12·sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－12. f (x )的图象向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位后，变为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －m －π6－12＋n ， 由于其图象关于原点对称，故y ＝12·sin ⎝⎛⎭⎫x －m －π6－12＋n ＝±12sin x ， 则⎩⎨⎧－π6－m ＝k π，k ∈Z ，－12＋n ＝0，∴⎩⎨⎧m ＝－k π－π6，k ∈Z ，n ＝12.∵0<m <π，∴k ＝－1时，m ＝5π6. 即m ，n 的值分别为5π6，12.。
2019届高三一轮复习过关题 平面向量
2019届高三数学一轮复习测试卷平面向量本卷测试要点：平面向量的概念、线性运算与数量积运算。
一．填空题：1. 已知向量()4,2a =，向量(),3b x =，且a //b ,则x =________. [解析]4320,x ⨯-⨯=则6x =.2. 设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-， 若,,A B D 三点共线，则=k ．[解析]12(3)(21)BD CD CB k e k e =-=--+，设AB BD λ=.则3(3)k λ=-，2(21)k λ=--，解得94k =-．3． 已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若a b a b +=-，则实数λ的值为 ．[解析] 22222201a b a b a a b b a a b b a b λ+=-⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅=⇒=-．4.已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．【解析】21111112()242424OA OC OA OB OA =+=+⨯⨯-=，设OA →与OC →的夹角为θ，2211142OC OA OA OB OB =++=，则114cos 122θ==，所以OA →与OC →的夹角为θ为60︒。
5. 如图，在△ABC 中，=，P 是BN 上的一点，若=m +，则实数的值为______. 解析 ,设 则， AN 31NC AP AB 112AC m 123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=-,NP NB λ=14AB AC λλ-=344mAB AC -3.11m λ==6. 如图，已知，的夹角为，若， ，为的中点，则= ．[解析]11()322AD AB AC p q =+=-，228,9,6pq p q ==⋅=， 所以222211225(3)93244AD P q p q p q =-=+-⋅=.152AD ∴=． 7.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60A B A C B A C ==∠=︒，点,D E 分别在边,A B A C 上，且2,3AB AD AC AE ==，点F 为DE 中点，则BF DE 的值为 .[解析]1132DE AE AD AC AB =-=-, ()111311226432BF DE BD DF DE AB DE DE AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=-+⋅=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213141883AC AB AB AC =+-⋅=．8.如图，将 45直角三角板和 30直角三角板拼在一起，其中 45直角三角板的斜边与 30直角三角板的30角所对的直角边重合．若DB x DC y DA =⋅+⋅，则,x y 等于 ． [解析]以D 为坐标原点建立直角坐标系，不妨设1==DC DA则)1,0(),0,1(C A ,(,),DB x DC y DA y x →→→∴=+=， 由AC AB BC ===；2222(1)8(1)6y x y x ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，联立两式得1x y =+=（舍负）||22p =||3q =,p q 4π52AB p q =+3AC p q =-D BC ||AD ADFEBC9. 如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为 ．解析 因为点,,F K E 共线， 故可设21(1)52mAK mAE m AF mAB AD -=+-=+ 又()AK AC AB AD λλ==+, 2152mm λ-∴==. 92=∴λ． 10.在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若14A DB E ⋅=-，则λ的值为 ．[解析] 在边长为1的正三角形ABC 中，所以2211,2AB AC AB AC ==⋅=.由已知可得：11()()2AD BE AB AC BC CA λ→→→→→→⋅=+⋅+11()()2AB AC AC AB AC λ→→→→→=+⋅--4143])11[()(21-=-=--⋅+=→→→→λλAB AC AC AB , 3=∴λ．11. 已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆C ：22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN 的最大值为 ．解析：()[].,3,3A m n m ∈-, ()()()()21AM AN AC CM AC CN AC CM AC CM AC ⋅=+⋅+=+⋅-=-()()2222241115(1)12699m m n m m m =-+-=-+--=-+, 3-=∴m 时，取到最大值15.12．在ABC ∆中，若对任意的，||||CA mCB AB -≥恒成立，则ABC ∆的形状为 ． 解析： |||||CB |CA mCB AB CA -=-≥，两边平方整理得到：22222CB m CB mCA CB CB CA -⋅-+⋅0≥.根据题意对任意的m R ∈，不等式恒成立，因此()()222242CB 0CA CBCB CB CA ∆=⋅--+⋅≥，根据向量数量积的定义化简不等式得：cos b C a =，再利用余弦定理得到：2222a b c b a ab+-⋅=，化简即得222a c b +=.故ABC ∆是直角三角形． R m ∈13如图ABC ∆中，3,AB BC CA PQ ===是以A 为圆心，以1为半径的圆的一条直径．问：BC 与PQ 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的最小值为__________________．解析 11,22BP AP AB PQ AB CQ AQ AC PQ AC =-=--=-=-uu r uu u r uu u r uu ur uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r ，()211112242BP CQ PQ AB PQ AC PQ AB AC PQ AC AB⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu ur uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r 211(2)cos 42r bc A PQ BC =-++⋅uu u r uu u r 222211()2cos 22r b c a r a θ=-++-+⋅⋅22221cos ()2ar b c a r θ=++--， 当cos 1θ=-，即πθ=时，()2222min11()(239)131622BP CQb c a r ar ⋅=+---=+---⨯=-uu r uu u r ．14.设O 是ABC ∆的外心，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则B C A O --→--→⋅的范围是 _________________.【解析】设D 为BC 的中点,则AO AD DO =+,得())BC AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅,又由()1,2BC AC AB AD AC AB =-=+ ,则()()()()()22222221111(2)2222BC AD AC AB AC AB AC AB b c b b b b b ⋅=-⋅+=-=-=--=-, 又因2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=-可求得1<24BC AD -≤⋅． 二．解答题： 15.已知向量()22,,sin ,cos ,22m n x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求x tan 的值；（2）若m 与的夹角为π3，求x 的值． 解析 （Ⅰ）0022m n m n x x ⊥⇒⋅=⇒-=，即1tan =x . BQACP（Ⅱ）∵1,m n ==2πsin 11cos 3m n x x ⋅==⋅⋅, π1sin 42x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭. ∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ∴πππ,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴64ππ=-x ,即125π=x ．16.在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ．设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--． （1）若→→n m //，求证：ABC ∆为等腰三角形； （2）已知2,3c C π==，若m p ⊥，求ABC ∆的面积S ．[解析]（1）因为→→n m //所以sin sin a A b B =sin sin a A b B =由正弦定理得22a b =，即a b =. 所以ABC ∆为等腰三角形．（2）因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=，即a b ab +=①，又因为2,3c C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab +-=, 即()234a b ab +-=. 把①代入得()234ab ab -=. 解得4ab =（1ab =-舍去）.所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C == 17．已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值． 解：法一：(1)由m ⊥n 得，2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫552－⎝⎛⎭⎫2552＝－35.(2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 18.已知过点且斜率为k 的直线l 与圆C ：交于N M ,两点. （1）求k 的取值范围；（2），其中O 为坐标原点，求. [解析]（1）由题设，可知直线l 的方程为.因为l 与C 交于两点，所以,解得. （2）设.将代入方程,整理得,所以 21212121224(1)1()81k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=+++=++, 由题设可得，解得，所以l 的方程为.故圆心()3,2C 在直线l 上，所以.19. 已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，)121(,,2<<==→→→→λλλBC BF BA BE , 过点F 作BC DF ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当32=λ时，设→→→→==b BC a BA ,，用向量→→b a ,表示；（2）当λ为何值时，AE FC ⋅取得最大值，并求出最大值．[解析]（1）由题意可知：2,3BF b →→=且2,BF →=4,BE →=，()1,0A ()()22231x y -+-=12OM ON ⋅=MN 1y kx=+1<k <1122(,),(,)M x y N x y 1y kx =+()()22231x y -+-=22(1)-4(1)70k x k x +++=1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++24(1)8=121k k k +++=1k 1y x =+||2MN =故4433BE BA a →→→==， 4233EF BF BE a b →→→→→=-=-+ .（2）由题意，3,33BF FC λλ→→==-，6,63BE AE λλ→→==-，2279(63)(33)c o s 60922AE FC λλλλ→→⋅=--=-+-. 当27312,19242λ⎛⎫=-=∈ ⎪-⨯⎝⎭时，→→⋅FC AE 有最大值169．20．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B .(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．解：(1)因为m ·n ＝3b cos B ， 所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ， 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B . 因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C . 因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223. 所以1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin A ＋Csin A sin C＝sin B sin A sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324.。
高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)
B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。
2020届高考复习高中数学【理】月月考(二)：三角函数、平面向量、数列、不等式(解析版)
A．－ B.
C. D．－4
答案：A
解析：∵a＋b＝1，∴－ － ＝－ － ＝－ － ，∵a>0，b>0，∴ ＋ ≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－ － ≤－ －2＝－ ，∴－ － 的上确界为－ ，故选A.
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3 － － |＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，G为BC的中点，则 ＋ ＝2 ，∵|3 － － |＝0，
∴3 － － ＝0，
∴3 ＝ ＋ ＝2 ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又S△ABG＝ S△ABC，
∴△ABM与△ABC的面积之比等于 × ＝ .故选C.
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sinα＝ ，cosα＝ .
∴sin ＝－sin ＝－sin ＝－cosα＝－ .故选B.
3．若α为锐角，且3sinα＝tanα＝ tanβ，则tan2β等于()
A. B.
C．－ D．－
答案：D
解析：因为3sinα＝tanα＝ ，α为锐角，所以cosα＝ ，sinα＝ ＝ ，所以tanα＝ ＝2 ＝ tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝ ＝ ＝－ .
A．f(x)在 上单调递减
B．f(x)在 上单调递减
C．f(x)在 上单调递增
D．f(x)在 上单调递增
答案：D
解析：由题意得f(x)＝ sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin .∵函数f(x)的图象经过点 ，
2019年高考(理科)数学一轮复习专题强化训练全套试题(含答案及解析)
2019年高考（理科）数学一轮复习专题强化训练全套试题01函数与导数(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x +x 2-x, g(x)=x 2+ax+b,a,b ∈R. (1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l 与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c 的值. (3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b 的最大值.2.(12分)已知函数f(x)=a x +x 2-xln a-b(a, b ∈R, a>1),e 是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数. (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.3.(12分)已知函数f(x)=(k+4k)ln x+4-x 2x,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k ∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),使曲线y=f(x)在M,N 两点处的切线互相平行,试求x 1+x 2的取值范围.4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+a x(0<x ≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x 0,y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e -2<x<e,g(x)≤m,求m 的取值范围.(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性.2.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-35.(1)求cos A 的值. (2)若a=4√2,b=5,求向量在方向上的投影.3.(12分)设函数f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x 的集合.(2)已知△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=32,b+c=2,求a 的最小值.4.(12分)设函数f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值. (2)求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值.(45分钟48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且a42=9a1a5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=(1+log√3a n)·a n,求数列{b n}的前n项和T n.2.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+3,n∈N*.(1)求证:数列{a n+3}是等比数列.(2)求数列{na n}的前n项和S n.3.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=2a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若对任意的n∈N*,不等式k(S n+1)≥2n-9恒成立,求实数k的取值范围.4.(12分)数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a3+1,a4成等差数列.世纪金榜导学号12560596(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.04立体几何(45分钟 48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为平行四边形,其中∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,等边△ADE 所在平面与平面ABCD 垂直,FC ⊥平面ABCD,且FC=32.(1)点P 在棱AE 上,且AP PE=2,Q 为△EBC 的重心,求证:PQ ∥平面EDC.(2)求平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值.2.(12分)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,∠BCC 1=π3,AB=BC=2,BB 1=4,点D 在棱CC 1上,且CD=λCC 1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系. (1)当λ=12时,求异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,求λ的值.3.(12分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠BCD=2π3,四边形ACFE 为矩形,且CF ⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1. (1)求证:EF ⊥平面BCF.(2)点M 在线段EF(含端点)上运动,当点M 在什么位置时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM 是矩形,∠DAB=π3,AB=2,AM=1,E 是AB 的中点.(1)求证:DE ⊥平面ABM.(2)在线段AM 上是否存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4?若存在,求出AP 的长;若不存在,请说明理由.05解析几何(45分钟 48分)1.(12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点(√62,-1),左右焦点分别为F 1,F 2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,过点F 2作OQ 的平行线交椭圆C 于M,N 两个不同的点,|MN ||OQ |2的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.2.(12分)已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点(2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C 相交于P,Q 两点,试问在x 轴上是否存在定点N,使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由.3.(12分)已知F 1,F 2是椭圆Ω:x 24+y 2b 2=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P 是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-54,求点P 的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x 轴上且焦距为2时,若直线l :y=kx+m 与椭圆Ω相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且3x 1x 2+4y 1y 2=0,求证:△AOB 的面积为定值.4.(12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上位于第一象限的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D.(1)若当点A 的横坐标为3,且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形,求C 的方程. (2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x 0,0)(x 0≥12),记点B 关于x 轴的对称点为E,AE 交x 轴于点P,且AP ⊥BP,求证:点P 的坐标为(-x 0,0),并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.06概率与统计(45分钟50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a的值.(2)估计该次考试的平均分x(同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”(参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X的数学期望.3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占35,采用微信支付的占23,40岁以上采用微信支付的占14.(1)请完成下面并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少? 参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),n=a+b+c+d. 参考数据:2019年高考（理科）数学一轮复习强化训练全套试题答案及解析01函数与导数(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x +x 2-x, g(x)=x 2+ax+b,a,b ∈R. (1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l 与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c 的值. (3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b 的最大值.【解析】(1) F(x)=e x-2x-b,则F ′(x)=e x-2.(1分)令F ′(x)=e x-2>0,得x>ln 2,所以F(x)在(ln 2,+∞)上单调递增.令F ′(x)=e x-2<0,得x<ln 2, 所以F(x)在(-∞,ln 2)上单调递减. (4分)(2)因为f ′(x)=e x+2x-1,所以f ′(0)=0,所以l 的方程为y=1.依题意,g ′(x)=2x+a,g ′(1)=2+a=0,所以-a 2=1, c=1.于是l 与抛物线g(x)=x 2-2x+b 切于点(1,1),由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.(3)设h(x)=f(x)-g(x)=e x -(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h ′(x) =e x-(a+1).(6分) ①当a+1≤0时,因为h ′(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 若a+1=0,则当b ≤0时满足条件,此时a+b ≤-1;(7分) 若a+1<0,取x 0<0且x 0<1-ba+1,此时h(x 0)=ex 0-(a+1)x 0-b<1-(a+1)1-ba+1-b=0,所以h(x)≥0不恒成立.不满足条件;(8分)②当a+1>0时,令h ′(x)=0,得x=ln (a+1).由h ′(x)>0,得x>ln (a+1);由 h ′(x)<0,得x<ln (a+1).所以h(x)在(-∞,ln (a+1))上单调递减,在 (ln (a+1),+∞)上单调递增.(10分)要使得“h(x)=e x-(a+1)x-b ≥0恒成立”,必须有“当x=ln (a+1)时, h(x)min =(a+1)-(a+1)ln (a+1)-b ≥0”成立.所以b ≤(a+1)-(a+1)ln (a+1).则a+b ≤2(a+1)-(a+1)ln (a+1)-1.令G(x)=2x-xln x-1,x>0,则G ′(x)=1-ln x. 令G ′(x)=0,得x=e.由G ′(x)>0,得0<x<e;由G ′(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在 (e,+∞)上单调递减,所以,当x=e 时, G(x)max =e-1.从而,当a=e-1,b=0时, a+b 的最大值为e-1.综上, a+b 的最大值为e-1.(12分)2.(12分)已知函数f(x)=a x +x 2-xln a-b(a, b ∈R, a>1),e 是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数. (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】 (1)f(x)=e x +x 2-x-4,所以f ′(x)=e x+2x-1,所以f ′(0)=0,(1分)当x>0时, e x>1,所以f ′(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数,(2分)当x<0时, e x<1,所以f ′(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数,(3分)f(1)=e-4<0, f(2)= e 2-2>0,所以存在x 1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;(4分)f(-2)=1e 2+2>0, f(-1)=1e -2<0,所以存在x 2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点,所以f(x)的零点个数为2.(6分)(2)f ′(x)=a x ln a+2x-ln a =2x+(a x-1)ln a,(7分)当x>0时,由a>1,可知a x -1>0, ln a>0,所以f ′(x)>0,当x<0时,由a>1,可知a x-1<0, ln a>0,所以f ′(x)<0,当x=0时, f ′(x)=0,所以f(x)是[-1,0]上的减函数, [0,1]上的增函数,所以当x ∈[-1,1]时, f(x)min =f(0), f(x)max 为f(-1)和f(1)中的较大者.而f(1)-f(-1)=a-1a-2ln a,设g(x)=x-1x-2ln x(x>1),因为g ′(x)=1+1x 2-2x =(1x-1)2≥0(当且仅当x=1时等号成立),(8分)所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,(10分)所以当x>1时, g(x)>0,即a>1时, a-1a-2ln a>0,所以f(1)>f(-1).所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-ln a.(12分) 3.(12分)已知函数f(x)=(k+4k)ln x+4-x 2x,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k ∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),使曲线y=f(x)在M,N 两点处的切线互相平行,试求x 1+x 2的取值范围. 【解析】(1)由已知得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f ′(x)=k+4k x-4x2-1=-x 2-(k+4k )x+4x 2=-(x -k )(x -4k )x 2(k>0),(2分)①当0<k<2时, 4k>k>0,且4k>2,所以x ∈(0,k)时, f ′(x)<0; x ∈(k,2)时, f ′(x)>0.所以,函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;(3分)②当k=2时, 4k=k=2, f ′(x)<0在区间(0,2)内恒成立,所以f(x)在(0,2)上是减函数;(4分)③当k>2时, 0<4k <2,k<4k,所以x ∈(0,4k)时, f ′(x)<0; x ∈(4k,2)时,f ′(x)>0, 所以函数在(0,4k)上是减函数,在(4k,2)上是增函数.(6分)(2)由题意,可得f ′(x 1)=f ′(x 2), x 1x 2>0且x 1≠x 2,即k +4k x 1-4x 12-1 = k +4k x 2-4x 22-1,化简得, 4(x 1+x 2)=(k+4k)x 1x 2,(8分)由x 1x 2<(x 1+x 22)2,得4(x 1+x 2)<(k+4k)(x 1+x 22)2,即x 1+x 2>16k+4k对k ∈[4,+∞)恒成立,(10分) 令g(k)=k+4k ,则g ′(k)=1-4k 2=k 2-4k 2>0对k ∈[4,+∞)恒成立,所以g(k)在[4,+∞)上单调递增,则g(k)≥g(4)=5,所以16k+4k≤165,所以x 1+x 2>165,故x 1+x 2的取值范围为(165,+∞).(12分)4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+a x(0<x ≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x 0,y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e -2<x<e,g(x)≤m,求m 的取值范围.【解析】(1)F(x)=f(x)+a x=ln x+a x,x ∈(0,3],则有F ′(x 0)=x 0-a x 02≤12在x 0∈(0,3]上恒成立,(2分) 所以a ≥(-12x 02+x 0)max,(4分)x 0∈(0,3],当x 0=1时,-12x 02+x 0取得最大值12,所以a ≥12. (6分)(2)因为x ∈(0,+∞),令g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x=0,则(x 2-2x)ln x+ax 2=x, 即a=1-(x -2)lnxx,(7分) 令h(x)=1-(x -2)lnxx,则h ′(x)=-1x 2-1x+2-2lnx x 2=1-x -2lnxx 2,(8分)令t(x)=1-x-2ln x,t ′(x)=-1-2x=-x -2x,因为t ′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为t(1)=h ′(1)=0,所以当0<x<1时,h ′(x)>0,当x>1时,h ′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以h(x)max =h(1)=1,因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.(10分)当a=1时,g(x)=(x 2-2x)f(x)+x 2-x,若e -2<x<e,g(x)≤m,则g(x)max ≤m, g ′(x)=(x-1)(3+2ln x), 令g ′(x)=0得x=1或x=e -32,又因为e -2<x<e,所以函数g(x)在(e -2,e-32)上单调递增,在(e-32,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,又g(e-32)=-12e -3+2e-32,g(e)=2e 2-3e,因为g(e-32)<g(e),所以g(x)max =g(e)=2e 2-3e,所以m ≥2e 2-3e.(12分)02三角(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性.【解析】 (1)f(x)=4cos ωx·sin (ωx +π4)=2√2sin ωx·cos ωx+2√2cos 2ωx =√2(sin 2ωx+cos 2ωx)+√2 =2sin (2ωx+π4)+√2.(2分)因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0, 从而有2π2ω=π,故ω=1.(4分)(2)由(1)知,f(x)=2sin (2x +π4)+√2.若0≤x≤π2,则π4≤2x+π4≤5π4.当π4≤2x+π4≤π2,即0≤x≤π8时,f(x)单调递增; (8分) 当π2<2x+π4≤5π4,即π8<x≤π2时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间[0,π8]上单调递增,在区间(π8,π2]上单调递减. (12分)2.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-35.(1)求cos A 的值. (2)若a=4√2,b=5,求向量在方向上的投影.【解析】 (1)由2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)·sin B+cos (A+C)=-35,得[cos (A-B)+1]cos B-sin (A-B)sin B-cos B=-35,(2分)即cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin B=-35,则cos (A-B+B)=-35,即cos A=-35. (4分)(2)由cos A=-35,0<A<π,得sin A=45.(6分)由正弦定理,有asinA =bsinB,所以sin B=bsinA a =√22.(8分) 由题意知a>b,则A>B,故B=π4.根据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5×c×(-35),解得c=1或c=-7(舍去). 故向量在方向上的投影为||cos B=√22.(12分)3.(12分)设函数f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x 的集合.(2)已知△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=32,b+c=2,求a 的最小值. 【解析】 (1)因为f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x=cos (2x+π3)+1,所以f(x)的最大值为2.(3分) f(x)取最大值时,cos (2x+π3)=1,2x+π3=2k π(k ∈Z),故x 的集合为{x|x=k π-π6,k ∈Z}. (5分)(2)由f(B+C) =cos [2(B+C )+π3]+1=32,可得cos (2A -π3)=12,由A ∈(0,π),可得A=π3.(8分)在△ABC 中,由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos π3=(b+c)2-3bc,由b+c=2知bc≤(b+c 2)2=1,当b=c=1时bc 取最大值,此时a 取最小值1. (12分)4.(12分)设函数f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值. (2)求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值.【解析】 (1)f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx=√32-√3·1-cos2ωx 2- 12sin 2ωx=√32cos 2ωx -12sin 2ωx=-sin (2ωx -π3).(4分)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,又ω>0,所以2π2ω=4×π4.因此ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=-sin (2x -π3).当π≤x≤3π2时,5π3≤2x -π3≤8π3.所以-√32≤sin (2x -π3)≤1.(10分)因此-1≤f(x)≤√32.故f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值分别为√32,-1. (12分)03数列(45分钟 48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n }满足a 1,2a 2,a 3+6成等差数列,且a 42=9a 1a 5. (1)求数列{a n }的通项公式. (2)设b n =(1+log √3a n )·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设正项等比数列{a n }的公比为q(q>0),由a 42= 9a 1 a 5 = 9a 32,(2分)故q 2 = a 42a32= 9,(3分)解得q=±3,因为q>0,所以q=3.又因为a 1, 2a 2, a 3+6成等差数列,所以a 1+(a 3+6)-4a 2=0, 解得a 1=3,(4分)所以数列{a n }的通项公式为a n =3n .(6分) (2)依题意得b n =(2n+1)·3n ,则T n =3·31+5·32+7·33+…+(2n+1)·3n ,①(7分) 3T n =3·32+5·33+7·34+…+(2n -1)·3n +(2n+1)·3n+1,② 由②-①得2T n =(2n+1)·3n+1-2·(32+33+…+3n )-32 =(2n+1)·3n+1-2·32-3n+11-3-32=2n·3n+1,(10分)所以数列{b n }的前n 项和T n =n·3n+1.(12分)2.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +3,n ∈N *. (1)求证:数列{a n +3}是等比数列. (2)求数列{na n }的前n 项和S n .【解析】(1)a n+1+3a n +3=2a n +3+3a n +3=2,(n ∈N *),因此数列{a n +3}是等比数列,且公比为2. (4分)(2)由(1)及题设可知,数列{a n +3}是首项为4,公比为2的等比数列,因此a n +3=4×2n-1=2n+1,于是a n =2n+1-3; 所以n·a n =n·2n+1-3n.(6分) 设b n =n·2n+1,c n =-3n,并设它们的前n 项和分别为T n ,R n . 则T n =1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①(8分) 所以2T n =1×23+2×24+…+(n -1)·2n+1+n·2n+2 ② ②-①得T n =-22-23-24-…-2n+1+n·2n+2=n·2n+2-4·1-2n 1-2=(n-1)·2n+2+4,(10分)又R n =-3+(-3n )2·n=-32n 2-32n,故S n =T n +R n =(n-1)·2n+2-32n 2-32n+4.(12分)3.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =2a n -1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式.(2)若对任意的n ∈N *,不等式k(S n +1)≥2n -9恒成立,求实数k 的取值范围. 【解析】 (1)令n=1,S 1=2a 1-1=a 1, 解得a 1=1.(2分) 由S n =2a n -1,有S n-1=2a n-1-1, 两式相减得a n =2a n -2a n-1,化简得a n =2a n-1(n≥2),所以数列{a n }是以首项为1,公比为2 的等比数列,所以数列{a n }的通项公式a n =2n-1.(4分) (2)由k(S n +1)≥2n -9,整理得k≥2n -92n,令b n =2n -92n,则b n+1-b n =2n -72n+1-2n -92n =11-2n2n+1, n=1,2,3,4,5时,b n+1-b n =11-2n2n+1>0,所以b 1<b 2<b 3<b 4<b 5. n=6,7,8,…时,b n+1-b n =11-2n2n+1<0,(8分)即b 6>b 7>b 8>….因为b 5=132<b 6=364, 所以b n 的最大值是b 6=364.所以实数k 的取值范围是[364,+∞).(12分)4.(12分)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 3+1,a 4成等差数列. 世纪金榜导学号12560596 (1)求数列{a n }的通项公式.(2)设b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ,求使(n-8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围. 【解析】 (1)由题意,S n =2a n -a 1,则当n≥2时,S n-1=2a n-1-a 1,两式相减得a n =2a n-1(n≥2),所以a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1,a 4=2a 3=8a 1,又a 1,a 3+1,a 4成等差数列,所以2(4a 1+1)=a 1+8a 1,解得a 1=2,(4分) 所以数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n =2n .(6分) (2)b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n =1+2+3+…+n=n (n+1)2,由(n-8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立,知(n -8)(n+1)2≥k 对n ∈N *恒成立,(8分)设c n =12(n-8)(n+1)=12(n 2-7n-8),则当n=3或4时,c n 取得最小值,为-10,所以k≤-10.(12分)04立体几何(45分钟 48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为平行四边形,其中∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,等边△ADE 所在平面与平面ABCD 垂直,FC ⊥平面ABCD,且FC=32.(1)点P 在棱AE 上,且AP PE=2,Q 为△EBC 的重心,求证:PQ ∥平面EDC.(2)求平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)如图,在棱BE 上取点M,使得BM=2ME;连接BQ 并延长,交CE 于点N.则在△ABE 中,又AP=2PE,所以PM ∥AB,(2分)又四边形ABCD 为平行四边形,所以AB ∥CD,所以PM ∥CD. 在△BCE 中,Q 为重心, 所以BQ=2QN,又BM=2ME,(3分)所以MQ ∥EC.又因为PM∩MQ=M,CD∩EC=C,所以平面MPQ ∥平面DEC.又PQ ⊂平面MPQ,所以PQ ∥平面EDC.(4分)(2)在△ABD 中,∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,由余弦定理可得.BD 2=AB 2+AD 2-2AB·ADcos ∠BAD=12+(√3)2-2×1×√3cos π6=1.所以BD=1.(6分)取AD 的中点O,连接EO,OB.在△EAD 中,EA=ED=AD=√3,所以EO ⊥AD,且EO=√32AD=32.又因为平面EAD ⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,所以EO ⊥平面ABCD.又在△ABD 中,AB=BD=1,AD=√3,所以OB ⊥AD,且OB=12.如图,以O 为坐标原点,分别以OA,OB,OE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.(8分)则A (√32,0,0),D (-√32,0,0),B (0,12,0), E (0,0,32),C (-√3,12,0),F (-√3,12,32).则=(-√32,12,0),=(-√32,0,32), =(√32,0,32),=(-√32,12,32).设平面ABE 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则由可得整理得{√3x 1-y 1=0,√3x 1-3z 1=0.令z 1=1,则x 1=√3,y 1=3.所以m =(√3,3,1)为平面ABE 的一个法向量.设平面DEF 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则由可得整理得{x 2+√3z 2=0,√3x 2-y 2-3z 2=0.令z 2=-1,则x 2=√3,y 2=6.所以n =(√3,6,-1)为平面DEF 的一个法向量. (10分)所以cos<m ,n >==√3×√3+3×6+1×(-1)√(√3)2+32+12×√(√3)2+62+(-1)2=√13013, 设平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角为θ,则cos θ=cos<m ,n >=√13013. (12分) 2.(12分)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,∠BCC 1=π3,AB=BC=2,BB 1=4,点D 在棱CC 1上,且CD=λCC 1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系. (1)当λ=12时,求异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,求λ的值.【解析】(1)易知A(0,0,2),B 1(0,4,0),A 1(0,4,2).因为BC=CD=2,∠BCC 1=π3,所以C(√3,-1,0),当λ=12时,D(√3,1,0).所以=(0,4,-2),=(√3,-3,-2).(3分)所以cos<,>==0×√3+4×(-3)+(-2)×(-2)√42+(-2)2·√(√3)2+(-3)2+(-2)2=-√55.(5分) 故异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值为√55. (6分)(2)由CD=λCC 1可知,D(√3,4λ-1,0) , 所以=(-√3,5-4λ,0),由(1)知,=(0,4,-2).设平面AB 1D 的法向量为m =(x,y,z),则即{4y -2z =0,(5-4λ)y -√3x =0.令y=1,解得x=5-4λ√3,z=2,所以平面AB 1D 的一个法向量为m =(5-4λ√3,1,2).(7分)设平面A 1B 1D 的法向量为n =(x′,y′,z′),则即令y′=1,解得x′=√3,z′=0,所以平面A 1B 1D 的一个法向量为n =(√3,1,0). (8分)因为二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,所以|cos<m ,n >|==|√3×√3+1×1+2×0|√(√3)2+12+22·√(√3)2+12=√22, 即(5-4λ)2=9,解得λ=12或λ=2(舍),故λ的值为12.(12分)3.(12分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠BCD=2π3,四边形ACFE 为矩形,且CF ⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1. (1)求证:EF ⊥平面BCF.(2)点M 在线段EF(含端点)上运动,当点M 在什么位置时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.【解析】(1)在梯形ABCD 中,因为AB ∥CD,AD=CD=BC=1,又因为∠BCD=2π3,所以AB=2,(2分)所以AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cos 60°=3.所以AB 2=AC 2+BC 2.所以BC ⊥AC. 因为CF ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以AC ⊥CF,(4分)而CF∩BC=C,所以AC ⊥平面BCF,因为EF ∥AC,所以EF ⊥平面BCF. (6分) (2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF 为x 轴,y 轴, z 轴的空间直角坐标系如图所示,(8分)AD=CD=BC=CF=1, 令FM=λ(0≤λ≤√3),则C(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1), 所以=(-√3,1,0),=(λ,-1,1),设n 1=(x,y,z)为平面MAB 的一个法向量,由得{-√3x +y =0,λx -y +z =0,取x=1,则n 1=(1,√3,√3-λ),因为n 2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量,(9分)所以cos θ==√1+3+(√3-λ)2×1=√(λ-√3)2+4,(10分)因为0≤λ≤√3,所以当λ=0时,cos θ有最小值√77,所以点M 与点F 重合时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为√77.(12分)4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM 是矩形,∠DAB=π3,AB=2,AM=1,E 是AB 的中点.(1)求证:DE ⊥平面ABM.(2)在线段AM 上是否存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4?若存在,求出AP 的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接BD,因为四边形ABCD 是菱形,∠DAB=π3,E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB,(2分)因为四边形ADNM 是矩形,平面ADNM ⊥平面ABCD 且交线为AD,所以MA ⊥平面ABCD,又DE ⊂平面ABCD,所以DE ⊥AM,又AM∩AB=A,所以DE ⊥平面ABM.(4分)(2)由DE ⊥AB,AB ∥CD,可得DE ⊥CD,因为四边形ADNM 是矩形,平面ADNM ⊥平面ABCD 且交线为AD,ND ⊥AD,所以ND ⊥平面ABCD,以D 为原点,DE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)则D(0,0,0),E(√3,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),设P(√3,-1,m)(0≤m≤1),则=(-√3,2,0),=(0,-1,m),因为ND ⊥平面ABCD,平面ECD 的一个法向量为=(0,0,1),(7分)设平面PEC 的法向量为n =(x,y,z),n ·=n ·=0,即{-√3x +2y =0,-y +mz =0,取z=1,可得n =(√3,m ,1),(8分)假设在线段AM 上存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4,则cos π4==1√4m 23+m 2+1,解得m=√217,(11分)所以在线段AM 上,符合题意的点P 存在,此时AP=√217. (12分)05解析几何(45分钟 48分)1.(12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点(√62,-1),左右焦点分别为F 1,F 2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,过点F 2作OQ 的平行线交椭圆C 于M,N 两个不同的点,|MN ||OQ |2的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.【解析】(1)原点O 与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1,则√2=1,所以b=√2.因为点(√62,-1)在椭圆上,所以32a 2+12=1,所以a=√3, 所以椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1. (3分)(2)设Q(x 0,y 0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),OQ 的方程为x=my,则MN 的方程为x=my+1,由{x =my ,x 23+y 22=1得{x 2=6m 22m 2+3,y 2=62m 2+3,即{x 02=6m 22m 2+3,y 02=62m 2+3.所以|OQ|=√1+m 2|y 0|=√6√1+m2√2m 2+3, (6分)由{x =my +1,x 23+y 22=1,得(2m 2+3)y 2+4my-4=0. 所以y 1+y 2=-4m2m 2+3,y 1y 2=-42m 2+3, (8分)|MN|=√1+m 2|y 1-y 2|=√1+m 2·√16m 2(2m 2+3)2+162m 2+3=√1+m 2·4√3√1+m 22m 2+3=4√3(1+m 2)2m 2+3. (10分)所以|MN ||OQ |2=4√3(1+m 2)2m 2+36(1+m 2)2m 2+3=2√33. 所以|MN ||OQ |2的值是常数2√33. (12分)2.(12分)已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点(2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C 相交于P,Q 两点,试问在x 轴上是否存在定点N,使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意得b=2,a 2=8,故椭圆C 的方程为y 28+x 24=1.(4分)(2)假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ 与x 轴不垂直时,设PQ 的方程为y=k(x-1), 代入椭圆方程化简得:(2+k 2)x 2-2k 2x+k 2-8=0,(6分) 设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 22+k 2,x 1x 2=k 2-82+k 2,所以k PN +k QN =y 1x 1-m +y 2x 2-m=k (x 1-1)x 1-m+k (x 2-1)x 2-m=k (x 1-1)(x 2-m )+k (x 2-1)(x 1-m )(x 1-m )(x 2-m )=k [2x 1x 2-(1+m )(x 1+x 2)+2m ](x 1-m )(x 2-m ),(8分)因为2x 1x 2-(1+m)(x 1+x 2)+2m=2(k 2-8)2+k 2-2(1+m )k 22+k 2+2m=4m -162+k 2,(10分)所以当m=4时,k PN +k QN =0,直线PN 与直线QN 关于x 轴对称,当PQ ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线PN 与直线QN 关于x 轴对称,综上可得,在x 轴上存在定点N(4,0),使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称.(12分) 3.(12分)已知F 1,F 2是椭圆Ω:x 24+y 2b 2=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P 是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-54,求点P 的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x 轴上且焦距为2时,若直线l :y=kx+m 与椭圆Ω相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且3x 1x 2+4y 1y 2=0,求证:△AOB 的面积为定值. 【解析】(1)当b=1时,椭圆方程为x 24+y 2=1,则F 1(-√3,0),F 2(√3,0)(1分).设P(x,y)(x>0,y>0),则=(-√3-x,-y),=(√3-x,-y),(2分)由·=-54,得x 2+y 2=74,(3分)与椭圆方程联立解得x=1,y=√32,即点P 的坐标为(1,√32).(4分) (2)当椭圆Ω的焦距为2时,c=1.则b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆Ω的方程为x 24+y 23=1.由{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得:(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.(6分)因为Δ=64k 2m 2-16(3+4k 2)(m 2-3)=48(3+4k 2-m 2)>0,所以3+4k 2-m 2>0, 所以x 1+x 2=-8km3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2.所以y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3m 2-12k 23+4k 2.由3x 1x 2+4y 1y 2=0,得3·4(m 2-3)3+4k 2+4·3m 2-12k 23+4k 2=0.(8分)所以2m 2=3+4k 2. 因为|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√48(3+4k 2-m 2)(3+4k 2)2 =√1+k 2·√48(2m 2-m 2)(2m 2)2 =√1+k 2·√12m2.(10分) 又点O 到直线AB 的距离 d=|m |√1+k 2=√m 2√1+k 2,所以S △AOB =12·|AB|·d=12·√1+k 2·√12m 2·√m 21+k2=√3.即△AOB 的面积为定值.(12分) 4.(12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上位于第一象限的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D.(1)若当点A 的横坐标为3,且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形,求C 的方程. (2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x 0,0)(x 0≥12),记点B 关于x 轴的对称点为E,AE 交x 轴于点P,且AP ⊥BP,求证:点P 的坐标为(-x 0,0),并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.【解析】(1)由题知F (p 2,0),|FA |=3+p 2,(2分)则D(3+p,0),FD 的中点坐标为(32+3p 4,0),(3分)则32+3p 4=3,解得p=2,故C 的方程为y 2=4x.(4分)(2)依题可设直线AB 的方程为x=my+x 0(m≠0), A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则E(x 2,-y 2),由{y 2=4x ,x =my +x 0消去x,得y 2-4my-4x 0=0,因为x 0≥12.所以Δ=16m 2+16x 0>0,y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4x 0,(6分) 设P 的坐标为(x P ,0),则=(x 2-x P ,-y 2),=(x 1-x P ,y 1),由题知∥,所以(x 2-x P )y 1+y 2(x 1-x P )=0,即x 2y 1+y 2x 1=(y 1+y 2)x P =y 22y 1+y 12y 24=y 1y 2(y 1+y 2)4,显然y 1+y 2=4m≠0,所以x P =y 1y 24=-x 0,即证x P (-x 0,0),由题知△EPB 为等腰直角三角形,所以k AP =1, 即y 1+y 2x 1-x 2=1,也即y 1+y 214(y 12-y 22)=1,(8分)所以y 1-y 2=4,所以(y 1+y 2)2-4y 1y 2=16,即16m 2+16x 0=16,m 2=1-x 0,x 0<1, 又因为x 0≥12,所以12≤x 0<1,d=|0-x 0|√1+m 2=√1+m 2=√2-x 0,令√2-x 0=t ∈(1,√62],x 0=2-t 2,d=2(2-t 2)t =4t-2t,(10分)易知f(t)=4t -2t 在(1,√62]上是减函数,所以d ∈[√63,2).(12分)06概率与统计(45分钟 50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a 的值.(2)估计该次考试的平均分x (同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”(参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d)【解析】(1)10=1,故a=0.005.(2)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],其中点分别为55,65,75,85,95,对应的频率分别为0.05,0.30,0.40, 0.20,0.05,故可估计平均分x =55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74(分).(3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25, 故晋级成功的人数为100×0.25=25(人),列联表如下(10分)假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得K 2的观测值 k=100×(16×41-34×9)225×75×50×50≈2.613>2.072,所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关.(12分)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据: P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6 P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X 为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X 的数学期望.【解析】(1)因为通过计算可得这20个数据的平均数为x =90,所以由题可得μ=90-0.9=89.1,σ=√49.9-0.9=7. (3分)(2)①因为μ=89.1,σ=7,所以(82.1,103.1)=(μ-σ,μ+2σ),所以该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.6826+0.95442=0.818 5. (6分)②由题可得X服从二项分布B(10 000,0.8185),所以E(X)=10 000×0.818 5=818 5. (12分)3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)求生长速度y关于温度t的线性回归方程.(斜率和截距均保留为三位有效数字).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:【解析】(1)由题可知于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为:y=3.560+0.305t.(8分)(2)利用(1)的线性回归方程可以发现,月平均气温从-5℃至20℃时该植物生长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长3.560+0.305×2=4.17 mm.(13分)4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占35,采用微信支付的占23,40岁以上采用微信支付的占14.(1)请完成下面并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少? 参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),n=a+b+c+d. 参考数据:【解析】(1)由已知可得,40岁以下的有100×5=60人,使用微信支付的有60×23=40人,40岁以上使用微信支付的有40×14=10人.(2分)所以2×2列联表为:(4分)由列联表中的数据计算可得K 2的观测值为k=100×(40×30-20×10)260×40×50×50=503,(6分)由于503>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”.(8分)(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,这两人使用微信支付分别记为A,B,则P(A)=P(B)=23,从“40岁以上”的人中抽取1人,这个人使用微信支付记为C,则P(C)=14,显然A,B,C 相互独立,则至少有一人使用微信支付的概率为1-P(ABC )=1-13×13×34=1112,故至少有一人使用微信支付的概率为1112.(13分)。
2019新高三第一次月考测试卷(理科数学参考答案)
新高三理科数学试题参考答案1.【答案】D【解析】命题的否命题是把原命题的条件和结论分别否定作为否命题的条件和结论，220x y +=的否定为220x y +≠，“都等于”的否定词为“不都等于”，故选D.2.【答案】A【解析】首先要分清“条件p ”(此题中是选项A 或B 或C 或D)和“结论q ”(此题中是“x >2”)，p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q 且q ⇒p ，显然只有A 满足．3.【答案】D【解析】¬p ：2∉A ∪B ，即2∈(∁U A )∩(∁U B )，故选D ．4.【答案】B【解析】当1x =时，()210x -=，显然选项B 错误，故选B.5.【答案】B 【解析】由△ABC 的周长为20，且顶点()0,4B -，()0,4C ，可得12AB AC BC +=>，所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中212,28,6,4,a c a c ==∴==2361620,b ∴=-=方程为2212036x y +=.因为三点,,A B C 构成三角形，三点不能共线，所以0x ≠，故轨迹方程为()22102036x y x +=≠.6.【答案】D【解析】由题意可知126MF MF -=，126F F = ，1212MF MF F F ∴-=，因此点M的轨迹是两条射线，故选D.7.【答案】D【解析】本题考查了抛物线y 2＝2px 的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y 2＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12＋(3)2＝1.8.【答案】C【解析】易知定义域为R ，可得导函数为()()233311y x x x '=-=+-．由0y '<得，11<<-x ，所以函数的单调递减区间为()1,1-．故选C ．9.【答案】5%【解析】因为随机变量K 2的观测值k ＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故这种判断出现错误的可能性为5%.10.【答案】0.29-【解析】将x ＝160代入ˆ0.8582.71yx =-，得ˆ0.8516082.7153.29y =⨯-=，所以残差ˆˆ5353.290.29.ey y =-=-=-11.【答案】1【解析】因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有3,219,x y x x y y +=--⎧⎨-=-⎩解得4,5,x y =-⎧⎨=⎩所以x ＋y ＝1.12.【答案】12【解析】由题意得12y ax x'=-，因为曲线在点()1,a 处的切线平行于x 轴，所以210a -=，解得12a =．13.【解析】（1）由题意知,22,2c e c a ===解得1,a c ==又222a b c -=，222,1a b ∴==．故椭圆的方程为2212x y +=．（2）联立得220,1,2x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2234220.x mx m ++-=则()221612220m m m ∆=-->⇒<设()()1122,,,M x y N x y ，则124,3m x x +=-则122.3m y y +=∴MN 中点坐标为2,33m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为MN 的中点不在圆221x y +=内，所以2221335m m m ⎛⎫⎛⎫-+≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或5m ≤-，综上，可知5m <≤-或5m ≤<14.【解析】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，()()1110x f x x x x -'=-=>，令()0f x '>，解得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增；令()0f x '<，解得1x >，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减；所以当1x =时取极大值，极大值为()12f =，无极小值.（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1f x a x '=-.当0a ≤时，1()0f x a x'=->在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<，解得1x a >，所以函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
2019届高三全国大联考月考试卷(数学理科).docx
2019届高三全国大联考月考试卷数学（理科）时臺：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 -设复数z=x+yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，若亡=%+i ，则复数z 的共辘 复数在复平面内对应的点位于（）A •第一象限B.第二象限 C •第三象限 D.第四象限JI2 •已知向量a 与b 的夹角是了,且|创=1，|创=4，若Qa+Ab ）J.a ，则实数久的值为（B ）A 3门3小2小 2 A ，2 B. —2 C 亍D. —j 3 •下列说法中正确的是（）A •若样本数据兀I ，x 2，…，x “的平均数为5，则样本数据2X| + 1，2X 2+12x fl +］ 的平均数为10B •用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27， 38，49，则该班学生人数可能为60C •某种圆环形零件的外径服从正态分布N （4，0.25）（单位：cm ），质检员从某批零件屮随 机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ・对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样 本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病 A ・ _84C • -245.已知函数ZU ）是定义在R 上的奇函数，且./W 在R 上单调递增 喏a ，b ，c 成等差数列， 且b ＞0，则下列结论正确的是（）A ・〃）＞（），且/（a ）+j （c ）＞0B ・弘）＞0，且C ・."）＜0,且.他/）+张）＞0D •妙＜0，且 fia ）+f （c ）＜06 •设x 为区间［—2，2］内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区 INPUT A ：IF x<=0 THENy=2 xELSEEND IFPRINT yEND C.£ D.1间㊁，3内的概率为（）1B. D. 8424A 3 厂5 J " A4 B-8 C2 D-87・已知函数Xx） = sin2x-2sin2x+l 给出下列四个结论：（）①两数./U ）的最小正周期是2 JI ；②函数./U ）在区间+，斗上是减函数；③函数./U ）的兀— L 兀图象关于直线■对称；④函数./U ）的图象可由函数y=yj2s'm 2x 的图象向左平移才个单位 得到.其中正确结论的个数是A • 1 B. 2C - 3 D. 48.已知命题/?：若a>2Rb>2 » WJ a+b<ab ；命题q ： |无>0，使（兀一 1）公=1，则下列 命题中为真命题的是（A ）A • pf\q B.（絲 p ）/\qC ・〃/\（綁 g ） D.（綁 “）A （綁 q ）9 •己知实数兀，y 满足W +，则z=2|x| —创的最大值为（）A - 5 B. 4C - 3 D. 210 •如图，在平面四边形A BCD 中，AB=AD=CD=] » AB1AD ，BD 丄CD 将该四边形 沿对角线3D 折成一个直二面角A-BD-C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A 净B.》C • 2 JI D. 3H2 ?11 -设双曲线升一”=l （Q>0，b>0）的左、右焦点分别为尺，F 2，0为坐标原点，若双曲 线上存在点M 满足\MF ｝\ = 2\MO\=2\MF 2\，则双曲线的离心率为（）A - 6 B. 3 C.V6 D 萌12 •对于给定的正整数n ，设集合乙=｛ 1，2，3，…r ｝，A ，且AH •记/（A ） 为集合A 中的最大元素，当4取遍X”的所有非空子集时，对应的所有/（A ）的和记为SS ），则 S （2 018）=（）A ・ 2 018X22018+l B. 2 （）18X220I 7+1C ・ 2 017X220,7+l D. 2 017X220,8+lm 的值为_・15 •已知函数fiix ） = \2x —l\—a ，若存在实数兀|，兀2（七工兀2），使得/（兀1）=几丫2）= — 1，则a 的取值范围是_（1，2）_ •16・设数列｛為｝的前n 项和为已知心=1，且5=4—（1+令讪詁），则数列｛如 的通项公式是a n = _____________ .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（—）必考题：60分.17・（本小题满分12分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=4，AD=2，ZBAD=60° ，ZBC£>= 120° .⑴若BC=2也，求ZCBD 的大小；二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.1 13 •已知14 亍，则 •如图，在△4BC 中，AD=jDC ，P 是线段BD 上一点，^AP=mAB+^AC ，则实数（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围.18・(本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC中，明丄底面ABC ^AB=2，AC=4，ZBAC=\20°，D为BC 的中点.(1)求证：AD±PB；(2)若二面角A — PB—C的大小为45°‘求三棱锥P-ABC的体积.19•(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的FI工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员侮单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题:(i )求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ii)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.20•(本小题满分12分)'-2 , 已知椭圆C：孑+”=l(a>b>0)的一个焦点与抛物线)?=4萌兀的焦点重合，且直线y=- x与圆?+/- 10x+20=0 相切.(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为£ II不过原点的直线/与椭圆C相交于4、B两点，0为坐标原点，直线Q4，OB的斜率分别为，k2，若k「k，他成等比数列，推断|OAF + |OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.21•(本小题满分12分)已知函数/!>)=『一a(x—l)，Q UR，e为自然对数的底数.(1)若存在x o e(l，+oo)，使心0)<0，求实数a的取值范圉; ⑵若夬兀)有两个不同零点X\ 'X2y证明：X\+X2>X\X2.（二）选考题：共10分•请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22•（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平而直角坐标系xOy屮、以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴、建立极坐标系、已知曲线G的极坐标方程为/?=4cos°，直线/的参数方程为S （r为参数）.（1）求曲线G的直角坐标方程及直线/的普通方程；%—2cos a ‘JX （2）若曲线C2的参数方程为（«为参数），点P在曲线C】上，其极角为莎‘y=sin a q点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线I的距离的最大值.23•（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数fix）=\x+a\ + \x~2\，其中d为实常数.⑴若函数7U）的最小值为3，求a的值；（2）若当兀丘［1 » 2］时，不等式4|恒成立»求d的取值范围.。
2019年高考高三年级数学一轮统考综合训练题理科
高三理科数学一轮统考综合训练题（五）一、选择题：共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1AD24.AD5．是两个不同的平面，则下列命题正确的是A BC D6.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1.2+C.7..若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为()A.8B.15C.16D.328．设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A ．3-B ．6-C ．3D ．69．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，若12,(,63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()f x x +=A ． 1B ．21C ．22D ．2310．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 A ．34种 B ．48种C ．96种D ．144种11. 函数2()ln(2)f x x =+的图象大致是12．如图，从点0(,4)M x 发出的光线，沿平行于抛物线28y x =的 对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线:100l x y --=上 的点N ，经直线反射后又回到点M ，则0x 等于A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．圆22:2440C x y x y +--+=的圆心 到直线:3440l x y ++=的距离d = ; 14．如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为 ;15．已知,x y 均为正实数，且3xy x y =++， 则xy 的最小值为__________；16. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1x y e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在数列{}n a )N (*∈n 中，其前n 项和为n S ，满足22n n S n -=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=k n n n k n n b n a n 2,2112,22（k 为正整数）,求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.18．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中, PA ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BD 、PD 的中点，=1EA EB AB ==，PFEAD2PA =.（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ；（Ⅱ）求面PBD 与面AEF 所成锐角的余弦值. 20．（本小题满分12分） 已知函数()1x f x e x =--． （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间.设2()(()1)(1)g x f x x '=+-，试问函数()g x 在(1,)+∞上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4.（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,若CE EM λ=, 求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅NQ NP ,求实数t 的值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. 22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线),0(cos 2sin:2>=a a C θθρ过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：)( 224222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于N M 、两点．（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PN MN PM 、、成等比数列，求a 的值． 23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f . （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．数学一轮统考综合训练题（五）答案一、选择题： C A D A D B C B D C D B 二、填空题： 13. 3 14. 2315．9 16．②③ 三、解答题： 17．解:(Ⅰ)由题设得:22n n S n -=,所以)2()1(1221≥---=-n n n S n所以n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n ……………2分当1=n 时，011==S a ,数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列 故n a n -=1.……………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-k n n n k n n b n n 2,)2(112,21 ……………6分 n n b b b b T 23212++++=02462212325272(21)2n n ----⎡⎤=⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-+-+)22121()8161()6141()4121(21n n 02462212325272(21)24(1)n n n n ----⎡⎤==⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅+⎣⎦+ ……………9分设246221325272(21)2n T n ----=+⋅+⋅+⋅++-⋅则2246822222325272(23)2(21)2n n T n n -------⋅=+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅两式相减得：2468222312(22222)(21)24n n T n ------⋅=++++++--⋅229n C C 整理得：2202420992nn T +=-⋅ ……………11分 所以222024209924(1)n n n n T n +=-+⋅+ ……………12分 18．解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为 ……………2分由题意知229512n C C =，化简得2300n n --=．解得6n =或5n =-（舍去）……………………5分 故袋中原有白球的个数为6……………………6分 （Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4. 2(1)3P X ==； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：……………10分所求数学期望为211110()12343414847E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………12分19． (Ⅰ)因为E 、F 分别为BD 、PD 的中点， 所以EF ∥PB ……………………2分 因为EF ⊂面AEF ，PB ⊄面AEF 所以PB ∥面AEF ……………………4分 （Ⅱ）因为=1EA EB AB == 所以60ABE ∠= 又因为E 为BD 的中点所以ADE DAE ∠=∠所以2()180BAE DAE ∠+∠=得90BAE DAE ∠+∠=，即BA AD ⊥……………6分因为=1EA EB AB ==，所以AD 分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立坐标系所以1(1,0,0),(0,0,2),(2B D P F E 则133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,2PB PD AE AF =-=-==………8分 设1111(,,)n x y z =、2222(,,)n x y z =分别是面PBD 与面AEF 的法向量则11112020x z z -=⎧⎪-=，令1n =又22220102y z x y +=⎨⎪+=⎪⎩，令2(n =……………11分所以12121211cos ,19n n n n n n ⋅==……………12分20．解：（Ⅰ）求导数，得()1x f x e =-'．令0()f x '=，解得0x =． ……………2分当0x <时，0()f x '<，所以()f x 在()0-∞，上是减函数； 当0x >时，0()f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数． 故()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． ……………6分 （Ⅱ）函数()g x 在()1,+∞上不存在保值区间,证明如下： 假设函数()g x 存在保值区间[],a b ,由2()(1)x g x x e =-得：2()(21)xg x x x e '=+-因1x >时， ()0g x '>，所以()g x 为增函数，所以22()(1)g()(1)abg a a e ab b e b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 即方程2(1)xx e x -=有两个大于1的相异实根 ……………9分 设2()(1)(1)xx x e x x ϕ=-->2()(21)1x x x x e ϕ'=+--因1x >，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(1,)+∞上单增所以()x ϕ在区间()1,+∞上至多有一个零点 ……………11分这与方程2(1)xx e x -=有两个大于1的相异实根矛盾所以假设不成立，即函数()h x 在()1,+∞上不存在保值区间. ……………12分21．解:（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c由题意得AB 的方程为:)(3c x y -=因1F 到直线AB 的距离为3,所以有31333=+--cc ,解得3=c ……………2分所以有3222==-c b a ……① 由题意知:42221=⨯⨯b a ,即2=ab ……② 联立①②解得:1,2==b a所求椭圆D 的方程为1422=+y x ……………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆D 的方程为1422=+y x 设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λλλλ+=+-=∴1,111my x ……………6分 又E 是椭圆D 上的一点,则1)1(4)1(22=+++-λλλm 所以04)2)(23(2≥++=λλm解得：23λ≥-或2λ≤- ……………8分（Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182kk x +-=,=+=)2(11x k y 2414k k + 所以线段PQ 的中点坐标为,418(22k k +-)4122k k + (1)当0=k 时, 则有)0,2(Q ,线段PQ 垂直平分线为y 轴于是),2(),,2(t NQ t NP -=--=由442=+-=⋅t NQ NP ,解得:22±=t ……………10分(2) 当0≠k 时, 则线段PQ 垂直平分线的方程为-y +-=+x k k k (14122)41822k k+因为点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线的一点 令0=x ,得:2416k kt +-=于是),(),,2(11t y x NQ t NP -=--=由4)41()11516(4)(2222411=+-+=---=⋅k k k t y t x NQ NP ,解得:714±=k 代入2416k kt +-=,解得: 5142±=t 综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t . ……………12分.2,2)Ⅰ(.222-==x y ax y ……………5分).(224222)Ⅱ(为参数的参数方程为直线t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-= ),4(8),4(22,0)4(8)4(222212122a t t a t t a t a t ax y +=⋅+=+=+++-=则有，得到代入,2PN PM MN ⋅= ,4)()(2121221221t t t t t t t t =⋅-+=-∴).(41.0432舍去或解得即-===-+a a a a ……………10分23.解：(Ⅰ)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x<－12.WORD格式整理故不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．……………5分(Ⅱ)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. ……………10分专业技术参考资料。
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月月考二 三角函数、平面向量、数列、不等式
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2018·河北衡水中学四调)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋2b 与2a －b 平行，则m ＝( )
A ．－72
B ．－12 C.32 D.52
答案：B
解析：∵a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，向量a ＋2b 与2a －b 平行，∴(－1＋2m )×3＝4×(－2－m )，解得m ＝－12.故选B.
2．(2018·湖南郴州第二次质监)已知a ，b 均为单位向量，且
(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( )
A.π6
B.π4
C.3π4
D.5π6
答案：A
解析：设向量a ，b 的夹角为θ.因为|a |＝|b |＝1，所以(2a ＋b )·(a
－2b )＝－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，即cos θ＝32，θ＝π6.故选A.
3．(2018·深圳二模)如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC
的中点，若AC
→＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( ) A.43
B.53
C.158
D ．2
答案：B
解析：因为AC
→＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧
λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B. 4．(2018·合肥一模)已知在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则角C 的大小为( )
A.π6
B.5π6
C.π6或5π6
D.π3或2π3
答案：A
解析：已知两式平方和得9＋16＋24sin(A ＋B )＝37，因而
sin(A ＋B )＝12.在△ABC 中，sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12，
因而C ＝π6或5π6，又3cos A ＋4sin B ＝1化为4sin B ＝1－3cos A >0，所以cos A <13<12，则A >π3，故C ＝π6，故选A.
5．(2018·福建六校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝( ) A ．2或0 B ．0
C ．－2或0
D ．－2或2
答案：D
解析：由函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，可知函数图象的一条对称轴为直线x ＝12×π3＝π6.根据三角函
数的性质可知，当x ＝π6时，函数取得最大值或者最小值．
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝2或－2.故选D. 6．(2016·天津卷，7)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中
ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )
A ．ω＝23，φ＝π12
B ．ω＝23，φ＝－11π12
C ．ω＝13，φ＝－11π24
D ．ω＝13，φ＝7π24
答案：A
解析：本题考查三角函数的图象和性质．
∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π8＝0，f (x )的最小正周期大于2π，∴T 4＝11π8－5π8＝3π4，得T ＝3π，
则ω＝2πT ＝23，
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×5π8＋φ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12＋φ＝1. ∴5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，
∴φ＝2k π＋π12，k ∈Z .
∵|φ|<π，∴φ＝π12，故选A.
7．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31 km 的公路B 处有一个人正沿着此公路向A 走去，走20 km 到达D ，此时测得CD 距离为21 km ，若此人必须在20分钟内从D 处到达A 处，则此人的最小速度为( )
A ．30 km/h
B ．45 km/h
C ．14 km/h
D ．15 km/h
答案：B
解析：由已知得∠CAB ＝25°＋35°＝60°，BC ＝31，CD ＝21，
BD ＝20，可得cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ×BD ＝312＋202－2122×31×20
＝2331，那么sin B ＝12331，
于是在△ABC 中，AC ＝BC ×sin B sin ∠CAB
＝24， 在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos60°，即312＝242＋AB 2－24AB ，解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)，因此AD ＝AB －BD ＝35－20＝15.
故此人在D 处距A 处还有15 km ，若此人必须在20分钟，即13小时内从D 处到达A 处，则其最小速度为15÷13＝45(km/h)．
选B.
8．(2018·天津静海一中调考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则下列式子一定成立的是( )
A.1x －y
－1y >0 B ．2x －3y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y －x <0 D ．ln x ＋ln y >0
答案：C
解析：A 选项中，根据题目条件取特殊值x ＝2，y ＝1，于是1x －y
－1y ＝0，故A 选项不成立；B 选项中，当x ＝3，y ＝2时，23<32，故B 选项不成立；C 选项中，因为x >y >0，所以y －x <0,0<⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x <1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y －x >1，故C 选项成立；D 选项中，当0<y <x <1时，ln x ＋ln y <0，故D 选项不成立．故选C.
9．(2018·延边质检)已知a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的值是( ) A.1＋52 B.±1＋52 C.±1＋32 D.－1＋32
答案：B
解析：因为公比q 不为1，所以删去的数不是a 1，a 4.①若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，又a 1≠0，所以2q 2＝1＋q 3，整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，所以q 2＝q
＋1，又q >0，得q ＝1＋52；②若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得
2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，又a 1≠0，所以2q ＝1＋q 3，整理得q (q ＋1)(q －
1)＝q －1.又q ≠1，则可得q (q ＋1)＝1，又q >0，得q ＝－1＋52.综上所述，q ＝±1＋52，故选B.
10．(2018·湖南衡阳一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝( )
A ．2 011
B ．2 012
C ．2 013
D ．2 014
答案：C
解析：因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 016＝2 014－1＝2 013，故选C.
11．(2018·新乡一模)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n
＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，b n ＝1a n ＋a n ＋1
，记数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3，则n 的值是( )
A ．99
B ．33
C ．48
D ．9
答案：B
解析：∵2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，∴数列{a 2n }为等差数列，
首项为1，公差为22－1＝3，∴a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.又a n >0，
∴a n ＝3n －2，∴b n ＝1a n ＋a n ＋1＝13n －2＋3n ＋1
＝13(3n ＋1－3n －2)，故数列{b n }的前n 项和S n ＝13[(4－1)＋(7－4)
＋…＋(
3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)，由S n ＝13(3n ＋1－1)＝3，解得n ＝33，故选B.
12．某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，。