高一数学下-正、余弦函数的周期性与奇偶性.doc
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(教学课件)正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性)
当 = −1时，sin − 2π = sin.
知识梳理
知识点一：
1.函数的周期性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T，使得
对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周
期函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个
方法二（公式法）
1
= 中 = , 所以
2
2
2
=
= 4
1
2
学以致用
反思感悟
求三角函数周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常
2π
数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝|ω|. （常用方法）
2 ；
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
π
x≠kπ＋ ，k∈Z
解 (1)定义域为 x
2
|
，关于原点对称．因为
f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以函数 y＝sin x＋tan x 是奇函数．
学以致用
3x 3π
＋
3x
(2)f(x)＝sin 4
针每经过1小时运行一周.分针、时针的转动是否具有周期性？
它们的周期分别是多少？
具有周期性
分针的周期是1小时，时针的周期是12小时。
新知引入
那么观察正弦函数的图像，是否也具有同样的周期性的规律呢？
= sin
正弦余弦函数的性质奇偶_单调_对称性
正弦函数在每个闭区间[
2k ,
2k ]( k Z )
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
[，、 0] [， 2 ][3 , 4 ] 上时， 当x在区间[3 , 2 ]、
曲线逐渐上升，cosα的值由 1 增大到1 。
10 18 18 10 17 17 23 23 3 cos( ) cos cos (2)、 cos( ) cos cos 5 5 5 4 4 4 3 0 , 且y cos x在[0, ]上是减函数 4 5 3 3 y
cos
(1)cos x 0 : (2)cos x 0 :
3 5 2
2 3
2
(
2
2
O
2k
1
,
2
2
3 2
2
5 2
3
x
2k ) 2k )
kZ kZ
3 ( 2k , 2 2
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2 3
三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 （二）
1.周期性（复习）
(1) y sin x
T 2
2 y A sin( x ) T | |
(2) y cos x
T 2
2 y A cos( x ) T | |
定义域和值域
y
1
3 5 2
高一数学三角函数的像与周期性
高一数学三角函数的像与周期性三角函数是数学中的重要概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们在解决三角学问题、波动现象和周期性问题中有广泛的应用。
本文将重点讨论三角函数的像与周期性。
一、正弦函数的像与周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，用y = sin(x)表示。
它的图像是一条连续的曲线，具有以下特点：1. 像的取值范围：正弦函数的像的取值范围是[-1, 1]，即它的值始终在-1和1之间。
2. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期为2π。
也就是说，当x增加2π时，y的值将重复。
图1展示了正弦函数的图像。
[图1：正弦函数图像]二、余弦函数的像与周期性余弦函数是另一个重要的三角函数，用y = cos(x)表示。
它与正弦函数非常相似，但有一些区别：1. 像的取值范围：余弦函数的像的取值范围也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
2. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期同样为2π。
图2展示了余弦函数的图像。
[图2：余弦函数图像]三、正切函数的像与周期性正切函数是另一个常见的三角函数，用y = tan(x)表示。
它的图像有着特殊的性质：1. 像的取值范围：正切函数的像的取值范围是全体实数。
2. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期为π。
当x增加π时，y 的值将重复。
图3展示了正切函数的图像。
[图3：正切函数图像]综上所述，三角函数的像与周期性是数学中重要的概念。
正弦函数和余弦函数的像取值范围均为[-1, 1]，而正切函数的像取值范围是全体实数。
它们都是周期性函数，其中正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
三角函数在解决各种实际问题中有着广泛的应用。
比如，可以用正弦函数模拟海浪的波动，用余弦函数描述天体运动的周期性，用正切函数分析电路中的变化等等。
了解三角函数的像与周期性对于理解这些现象和解决相关问题至关重要。
总之，高一数学中三角函数的像与周期性是一个重要的内容。
通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以理解它们在图像上的特点以及周期性的规律。
第五章 5.4 5.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课标要求素养要求1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. 利用y＝sin x，y＝cos x的图象，探索y ＝sin x，y＝cos x的周期性、奇偶性，重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.教材知识探究丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V164－8.0 MW，全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21 000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8～12.1 rpm之间，电力输出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7 500个家庭的电力需求.风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益.这种周而复始的转动就是周期现象.问题 1.你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω>0)的周期是多少？2.函数y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？提示 1.对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数，y ＝f (ωx )的周期为Tω. 2.与ω有关，T ＝2π|ω| .1.周期函数 没有特别说明的情况下，周期均指函数的最小正周期条件 ①对于函数f (x )，存在一个非零常数T②当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x ) 结论 函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期条件 如果周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数 结论这个最小正数叫做f (x )的最小正周期函数 y ＝sin x y ＝cos x 周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0)2k π(k ∈Z 且k ≠0)最小正周期 2π 2π 奇偶性奇函数偶函数[微判断]1.周期函数y ＝f (x )的定义域可以为[a ，b ](a ，b ∈R ).(×) 提示 周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.2.任何周期函数都有最小正周期.(×)提示 常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期. 3.若存在正数T ，使f (x ＋T )＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2T .(√) 4.函数f (x )＝sin 2x 是奇函数.(√) 5.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是偶函数.(√)6.y ＝sin x 与y ＝cos x 既是中心对称图形又是轴对称图形.(√) [微训练]1.函数y ＝sin(x ＋π2)是( ) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数解析 因为y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，所以该函数是周期为2π的偶函数. 答案 D2.若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)在R 上为偶函数，则φ可等于( ) A.0 B.π4 C.π2D.π解析 代入排除，当φ＝π2时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 为偶函数.答案 C3.下列四个函数中，图象关于y 轴对称的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝1＋cos x C.y ＝sin 2xD.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析 图象关于y 轴对称，则为偶函数，故选B. 答案 B [微思考]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？y ＝A cos (ωx ＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？提示 根据诱导公式.当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A cos (ωx ＋φ )为奇函数，当φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A cos (ωx ＋φ)为偶函数(k ≠0).题型一 求三角函数的周期 【例1】 求下列函数的周期： (1)y ＝2sin(12x ＋π6)，x ∈R ； (2)y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R ； (3)y ＝|sin x |，x ∈R .解 (1)∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋4π）＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋4π， 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的周期是4π.(2)∵1－2cos[π2(x ＋4)]＝1－2cos(π2x ＋2π)＝1－2cos(π2x )，∴自变量x 只需并且至少要增加到x ＋4，函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的周期是4. (3)作图如下：观察图象可知最小正周期为π. 规律方法 求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期. 【训练1】 求下列函数的最小正周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.解 (1)∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋2π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3. ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋2π3，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，x ∈R 的周期是2π3.(2)∵函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，而函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象是将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2.题型二 三角函数的奇偶性 首先判断函数的定义域是否关于原点对称 【例2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2 x1＋sin x.解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ). ∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的两个关键点 (1)看函数的定义域是否关于原点对称； (2)看f (－x )与f (x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 【训练2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解 (1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数.(2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.题型三 三角函数的奇偶性与周期性的简单应用【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A.y ＝cos|2x | B.y ＝|sin x | C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π.答案 D(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A.－12B.12C.－32D.32解析 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案 D【迁移1】 若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？解 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－sin π3＝－32. 【迁移2】 若将例3(2)题条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3的值.解 f (2 017π3)＝f (672π＋π3)＝f (π3)＝sin π3＝32，f (2 018π3)＝f (672π＋2π3)＝f (2π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32， 所以f (2 017π3)＋f (2 018π3)＝32＋32＝ 3.规律方法 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.【训练3】 若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π6＝________.解析 f (－17π6)＝f (－17π6＋3π)＝f (π6)＝f (π6－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1. 答案 1一、素养落地1.通过本节课的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.2.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.3.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性. 二、素养训练1.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π，故选C. 答案 C2.下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )解析 对于D ，x ∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数. 答案 D3.函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数解析 由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )可知f (x )是奇函数，但f (－x )≠f (x )，故f (x )不是偶函数. 答案 A4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( )A.f (x )是周期为1的奇函数B.f (x )是周期为2的偶函数C.f (x )是周期为1的非奇非偶函数D.f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析 f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，故选B. 答案 B5.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 解析 T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 答案 ±π基础达标一、选择题1.下列函数中，周期为2π的是( ) A.y ＝sin x2 B.y ＝sin 2x C.y ＝|sin x2|D.y ＝|sin 2x |解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝|sin x2|的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 答案 C2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π5，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15D.20解析 由题意，知T ＝2πω＝π5，所以ω＝10.答案 B3.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A.0B.π4C.π2D.π解析 由题意，得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1，因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2，故选C. 答案 C4.定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A.1B.－1C.0D.2解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.答案 B5.设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A.1 B.22 C.0D.－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2×（－3）＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案 B 二、填空题6.函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________. 解析 f (22)＝f (22－20)＝f (2)＝ 2. 答案27.关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是________(填序号).解析 φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数.答案 ①④8.已知函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋φ，ω≠0，φ∈(－π，π)为奇函数，则φ＝________. 解析 由题意知π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋k π，k ∈Z .∵φ∈(－π，π)，当k ＝0时，φ＝－π3；当k ＝1时，φ＝2π3.答案 －π3或2π3三、解答题9.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2 (2)f (x )＝x ·cos x . 解 (1)f (x )的定义域是R ，且f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，所以f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数.(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数.10.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 能力提升11.设f (x )＝log 31－2sin x 1＋2sin x. (1)求函数f (x )的定义域.(2)判断函数f (x )的奇偶性.(3)试判断f (x )是否为周期函数？若是直接写出f (x )的最小正周期.解 (1)∵1－2sin x 1＋2sin x>0，∴－12<sin x <12， ∴k π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，∴该函数的定义域为{x |k π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }.(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin x 1＋2sin x －1 ＝－log 31－2sin x 1＋2sin x＝－f (x )， ∴该函数为奇函数.(3)f (x )为周期函数，T ＝2π.12.已知函数f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1. (1)求函数f (x )的定义域并判断函数的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小正周期.解 (1)由cos x ＋1≠0，得x ≠2k π＋π，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z }，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝1－cos 2x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝－cos 2x ＋cos x ＋2cos x ＋1＝（cos x ＋1）（2－cos x ）cos x ＋1＝2－cos x .因为f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数.(2)因为f(x)＝2－cos x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，所以f(x)的最小正周期为2π.。
正弦、余弦函数的性质
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 7 )sinx
7 3 tan 1 解： 0 tan 6 6 3
6
单调减区间为 [2k
3 (4) y log1 2 2 解： 定义域 2k x 2k )
2 3 [2k ,2k ], (k Z ) 单调增区间为 2 2 1
江苏省海安高级中学
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
高一数学组
练习：
1.若， 是第一象限的角且 , 则（） A.sin sin C.sin sin 则x的终边范围是 B.sin sin D.不确定 . ，
2.若y sin x是减函数，且y cos x是增函数， 1 3.函数y sin x( x [ , ])的增区间是 2 3 减区间是 。
高一数学组
小
结： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
函数
奇偶性 [
单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
正弦函数 奇函数
余弦函数
偶函数
[ +2k, 2k],kZ [2k, 2k + ], kZ
江苏省海安高级中学
高一数学组
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( ) 18 10
2
解： 2 10 18 sin(
5
又 y=sinx 在[
三角函数的周期性和奇偶性
三角函数的周期性和奇偶性三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将探讨三角函数的周期性和奇偶性，从而帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数的周期是2π（或360°），即f(x) = sin(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。
换句话说，正弦函数在每个2π的间隔内会重复自身的图像。
例如，f(0) = sin(0) = 0，f(2π) = sin(2π) = 0，f(4π) = sin(4π) = 0，以此类推。
这种周期性特征使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用，比如震荡、波动等。
2. 余弦函数的周期性余弦函数的周期同样是2π（或360°），即f(x) = cos(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。
与正弦函数类似，余弦函数也在每个2π的间隔内重复自身的图像。
例如，f(0) = cos(0) = 1，f(2π) = cos(2π) = 1，f(4π) = cos(4π) = 1，以此类推。
余弦函数的周期性可以应用于描述周期性运动、振动等现象。
3. 正切函数的周期性正切函数的周期是π（或180°），即f(x) = tan(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。
不同于正弦函数和余弦函数，正切函数在每个π的间隔内重复自身的图像。
例如，f(0) = tan(0) = 0，f(π) = tan(π) = 0，f(2π) = tan(2π) = 0，以此类推。
正切函数的周期性可以应用于解决角度相关问题，比如角度变换、角度关系等。
二、奇偶性1. 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性体现在函数的对称性上。
具体来说，f(x) = sin(x)是一个奇函数，即f(-x) = -f(x)。
这意味着当自变量的符号取反时，函数值也取反。
例如，f(-π/2) = sin(-π/2) = -1，f(π/2) = sin(π/2) = 1，它们关于y轴对称。
最新人教A版高中数学必修一课件：5.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(3)由11－＋ssiinn
x＞0， x＞0，
得－1＜sin x＜1，
解得定义域为xx∈R
且x≠kπ＋π2
，k∈Z ，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位： cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
()
[解析] (1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
(2)f53π＝f53π－π＝f23π
＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
由图象可知 T＝π.
[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式， 再利用 T＝|2ωπ|求得．
2023新教材高中数学正余弦函数的周期性奇偶性课件新人教A版必修第一册
12．求下列函数的周期： (1)y＝2sin12x＋π6，x∈R； (2)y＝1－2cosπ2x，x∈R； (3)y＝|sinx|，x∈R.
解 (1)∵2sin12x＋4π＋π6＝2sin12x＋6π＋2π＝2sin12x＋π6，∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x＋4π，
函数 y＝2sin12x＋π6，x∈R 的值才能重复出现，
知周期 T＝π2；选项 C，周期 T＝21π＝8π；选项 D，周期 T＝24π＝2π.故选 BD. 4
9．f(x)＝cosωx－π6 的最小正周期为π5，其中 ω>0，则 ω＝________.
答案 10 解析 ∵T＝2ωπ＝π5，∴ω＝10.
10．已知函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期是32π，当 x∈－π2，π时，
答案 A
解析 分别作出函数 y＝|cosx|与 y＝sin|x|的图象，观察可得，y＝|cosx| 是周期函数，y＝sin|x|不是周期函数．故选 A.
8．(多选)下列函数中，周期为π2的是(
)
A．y＝sin2x B．y＝|sin2x|
C．y＝cos4x D．y＝cos4x
答案 BD
解析 选项 A，周期 T＝21π＝4π；选项 B，作出函数 y＝|sin2x|的图象易 2
解析 根据周期函数的定义，任意非零有理数都是 f(x)的周期．
2．(多选)下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中是周期函 数的是( )
答案 ABC
解析 显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而 A， C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过 2 个单位长度， 图象重复出现．所以 A，B，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．故 选 ABC.
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一、复习引入
1、正、余弦函数的图象 重复出现的变化规律
2、因为sin（x+2kπ）=sinx cos（x+2kπ）=cosx
所以正、余弦函数不断重复地取值
二、新授
1、周期函数 一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么，函数f（x）就叫做周期函数 T叫做周期
6）y=|cosx|
5、正、余弦函数的奇偶性
因为：
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
从图象上认识正、余弦函数的奇偶性
1）对称轴
2）对称中心
y=sin（x+ ）的对称轴为
y=sin（2x+ ）的对称中心为
6、判断下列函数的奇偶性
1）y=sin（ -2x） 2）y=lg（sinx + ）
巩固，练习P565、6
2、y=sinx的周期是2π，4π，……和-2π，-4π，……
2kπ是正、余弦函数的周期
最小正周期 对于一个周期函数f（x），如果它的所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。
y=sinx y=cosx的最小正周期是2π
3、求下列函数的周期
1）y=3cosx x∈R 2）y=sin2x x∈R
3）y=2sin（ ）x∈R
一般地，函数y=Asin（ωx+φ）的周期是为什么？
y=Acos（ωx+φ）呢？
教学过程
教学内容
备课札记
4、求下列函数的周期
1）y=3cos（ x- ）
2）y=4sin（3x+ ）+3
3）y=sinx+cosx
4）y=2sinxcosx-2sin2x+1
5）y=2cos23x-1
（4）y=cos与y=cos（-x）的图象关于y轴对称，
其中，正确命题的序号是
10、判断函数y=log3（sinx+ 的奇偶性
小结：
作业： 另附
翔宇教育集团数学专用作业纸
班级
高一（）
姓名
学号
课题
正余弦函数的周期与奇偶性
1、函数y=sin4x的最小正周期是
2、函数y=cos（ x+ ）的最小正周期是
3、函数y=2cos3x-1的最小正周期
4、函数y=- （ ）
Ａ 是奇函数 Ｂ是偶函数 Ｃ既不是奇函数也不是偶函数 Ｄ不能确定
5、函数f（x）=sin（2x+ ）的奇偶性是
课时设计活页纸
主备人：查永超
总 课 题
三角函数的图象和性质
总课时
7
第 4 课时
课 题
正、余弦函数的周期性与奇偶性
课 型
新授
教学目标
1、理解周期函数及最小正周期的概念
2、会求正、余弦函数的最小正周期
3、会判断正、余弦函数的奇偶性
教学重点
正、余弦函数的周期性和奇偶性
教学难点
最小正周期的求法探讨
教学过程
教学内容
6、下列函数中，（1）y=-|sinx|；（2）y= ；（3）y=cos| |；
（4 4个
7、求下列函数的周期
（1）y=sin （2）y=cos
（3）y= sin （4）y=3sin（
8、下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？为什么？
（1）y=-sinx，x R（2）y=|sinx|，x R
（3）y=3cosx+1，x R（4）y=sinx-1，x R
9、关于三角函数的图象，有下列命题：
（1）y=sin|x|与y=sinx的图象关于y轴对称
（2）y=cos（-x）与y=cos|x|的图象相同；
（3）y=|sinx|与y=sin（-x）的图象关于x轴对称