快速傅里叶变换FFT
快速傅里叶变换（FFT）详解
⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。
)定义设a ,b 为实数，i 2=−1，形如a +bi 的数叫复数，其中i 被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，x 代表实数，y 轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)到(a ,b )的向量表⽰复数a +bi模长：从原点(0,0)到点(a ,b )的距离，即√a 2+b 2幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从x 轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：(a +bi )∗(c +di )=ac +adi +bci +bdi 2=ac +adi +bci −bd=(ac −bd )+(bc +ad )i单位根下⽂中，默认n 为2的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，1为半径作圆，所得的圆叫单位圆。
以圆点为起点，圆的n 等分点为终点，做n 个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为ωn ，称为n 次单位根。
根据复数乘法的运算法则，其余n −1个复数为ω2n ,ω3n ,…,ωn n 注意ω0n =ωn n =1（对应复平⾯上以x 轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决ωk n =cos k ∗2πn +i sin k ∗2πn例如图中向量AB 表⽰的复数为8次单位根单位根的幅⾓为周⾓的1n在代数中，若z n =1，我们把z 称为n 次单位根单位根的性质ωk n =cos k2πn +i sin k 2πn （即上⾯的公式）ω2k 2n =ωk n证明：ω2k 2n =cos2k ∗2π2n +i sin2k ∗2π2n =ωk nωk +n2n =−ωk n ωn2n =cos n 2∗2πn +i sin n 2∗2πn =cos π+i sin π=−1ω0n =ωn n =1讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要
本章目录
直接计算DFT的问题及改进的途径 按时间抽取的基2-FFT算法 按频率抽取的基2-FFT算法 快速傅里叶逆变换(IFFT)算法 Matlab实现
2
5.1 引言
DFT在实际应用中很重要: 可以计算信号的频
谱、功率谱和线性卷积等。
直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很
9
5.3.1 算法原理
设N＝2L，将x(n)按 n 的奇偶分为两组：
x(2r ) x1 (r )
x(2r 1) x2 (r )
r
N =0，1，…， 1 2
则
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WNnk
n 0
N 1
n 0 n为偶数
x(n)W
N 1
x1 (r )W
r ( N 2 k ) N 2
rk x1 (r )WN 2 X 1 (k ) r 0
N 2 1
同理可得
N k ) X 2 (k ) 2
12
考虑到 及前半部分X(k)
( N 2 k ) N 2 k k WN WN WN WN
k X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k )
运算前
A(k ) X 1 (k ) X (k )
运算后
A(k )
A(k
N ) X 2 (k ) 2
k WN
N A(k N ) X (k ) 2 2
30
观察原位运算规律
31
蝶形运算两节点间的距离
蝶形运算两节点间的距离
以N=8为例： 第一级蝶形，距离为： 第二级蝶形，距离为： 第三级蝶形，距离为： 1 2 4
快速傅里叶变换FFT
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
matlab 快速傅里叶变换
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在数字信号处理和数值分析中广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），从而在频域中分析信号的频谱特性。
而在matlab中，使用FFT函数可以方便地进行快速傅里叶变换的计算和处理。
1. FFT的基本原理在介绍matlab中的FFT函数之前，我们先来了解一下FFT的基本原理。
FFT算法是一种分治法的思想，在计算傅里叶变换时通过将原始信号分解为奇偶部分，然后递归地进行计算，最终得到傅里叶变换的结果。
这种分治的思想使得FFT算法的计算复杂度降低到了O(n log n)，比直接计算DFT的O(n^2)复杂度要低很多，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
2. matlab中的FFT函数在matlab中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换的计算。
fft函数的基本语法如下：```Y = fft(X)```其中，X表示输入的信号序列，可以是实数或复数序列；Y表示经过FFT变换后得到的频谱结果。
在使用fft函数时，最常见的是对时域信号进行FFT变换，然后得到其频谱特性。
3. FFT在信号处理中的应用FFT算法在信号处理中有着广泛的应用，其中最常见的就是对信号的频谱特性进行分析。
通过对信号进行FFT变换，可以得到其频谱图，从而可以直观地了解信号的频域特性，包括频率成分、幅度特性等。
这对于音频处理、振动分析、通信系统等领域都是非常重要的。
4. FFT在图像处理中的应用除了在信号处理中的应用，FFT算法也在图像处理中有着重要的地位。
在图像处理中，FFT可以用来进行频域滤波，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等操作。
通过FFT变换，我们可以将图像从空域转换到频域，在频域中进行滤波操作，然后再通过逆FFT变换将图像恢复到空域，从而达到图像增强、去噪等效果。
5. FFT在数学建模中的应用除了在信号处理和图像处理中的应用外，FFT算法还在数学建模和仿真计算中有着重要的作用。
FFT-快速傅里叶变换
p=6.283185306/n;
pr[1]=cos(p);
pi[1]=-sin(p);
if (l)
pi[1]=-pi[1];
for(i=2;i<=n-1;i++){
p=pr[i-1]*pr[1];
q=pi[i-1]*pi[1];
s=(pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
注：亲测，这个版本无法运行，作者删改了重要内容[1] 请参考源码（2）
//快速傅立叶变换
// 入口参数：
// l: l=0, 傅立叶变换;l=1, 逆傅立叶变换
// il: il=0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il=1,计算模和幅角
// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128，...,1024等
wi = wi*wpr + wtemp*wpi + wi;
}
mmax = istep;
}
}
在C++环境下的源码
bool FFT(complex<double> * TD, complex<double> * FD, int r)
{
//一维快速Fourier变换。
//complex<double> * TD ——指向时域数组的指针; complex<double> * FD ——指向频域数组的指针; r ——2的幂数，即迭代次数
// fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的实部
// fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部
快速傅里叶变换 FFT
因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
fft与傅里叶变换的区别
fft与傅里叶变换的区别FFT（快速傅里叶变换）与傅里叶变换是数字信号处理领域中常用的两种信号变换方法。
它们在频域分析和信号处理中起着重要作用。
虽然它们都基于傅里叶分析理论，但在实际应用中存在一些区别。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
它将一个连续时间域的信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，得到信号的频谱信息。
傅里叶变换可以用于分析信号的频率成分、频谱特性等，适用于连续时间和连续频率的信号。
而FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法。
它通过对离散时间域信号进行有限点数的离散傅里叶变换来实现。
FFT算法利用了信号的周期性和对称性质，将复杂度为O(n^2)的计算简化为O(nlogn)，提高了计算速度。
因此，FFT广泛应用于数字信号处理、频谱分析、图像处理等领域。
傅里叶变换是一种精确的信号分析方法，能够得到信号的精确频谱信息。
但是，傅里叶变换需要进行大量的运算，计算复杂度较高，对于大规模数据处理可能会耗费较长的时间。
而FFT通过采用分治的思想，将大规模的傅里叶变换问题分解为多个小规模的傅里叶变换问题，从而提高了计算效率。
傅里叶变换和FFT在数据处理和实现方式上也存在一些差异。
傅里叶变换通常应用于连续时间和连续频率的信号，需要对信号进行采样和插值处理，以满足变换的要求。
而FFT适用于离散时间和离散频率的信号，可以直接对离散数据进行变换，无需额外处理。
在实际应用中，由于FFT算法的高效性和优势，它被广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
例如，在音频压缩和解码中，FFT算法可以用于将音频信号从时域转换为频域，提取信号的频谱信息，并进行压缩和解码操作。
而傅里叶变换由于计算复杂度较高，通常在对信号进行精确频谱分析时使用。
FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，相比于傅里叶变换具有计算效率高的优势。
傅里叶变换是一种精确的信号分析方法，适用于连续时间和连续频率的信号。
两者在理论基础和实际应用上有所差异，但都在数字信号处理中起着重要作用。
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设序列x(n)的长度为N，且满足： N 2M , M 为自然数
｛ (1) 按n的奇偶xxxx把xx112212((((((rrxrrrr)))()))n)分xxxxxx((((((解222222rrrrrr为))),,,1两11))),,个, rrNrrrr/200点00,00,,1,11,,的1,1,1,,,,子N2NN22N序2NN2列111111
复数乘次数：M×N/2=N/2×log2N； 复乘和两次复数 复加次数： 2 ×N/2×M= N×log2N。加运算。
可见FFT大大减少了运算次数，提高了运算速度。
4.2 基2FFT算法
4.2.4 DIT―FFT的运算规律及编程思想 1.原位计算 序列长为N=2M点的FFT，有M级蝶形，每级有N/2个蝶形运算。
｛ XX((kk))XX11((kk))WWNkNkXX22(k(k)) kk00,1,,1,N2N211 XX((kkN2N2))XX11((kk))WWNkNkXX22(k(k)) kk00,1,,1,N2N211
4.2 基2FFT算法
(3)第二次分解： ▪ 将x1(r)按r取奇、偶可分解成2个长度为N/4的子序列
X1(k)
X1(k)+ WNkX2(k)
X2(k)
WNk
X1(k)WNkX2(k)
图：蝶形运算符号
完成一个蝶形运算需要 一次复数乘和两次复数 加法运算，经过一次分 解后，共需要复数乘和 复数加的次数为 2(N/2)2+N/2和N2/2
4.2 基2FFT算法
x(0) x(2) x(4) x(6)
N/2 点DFT
XL (J)= XL-1(J)+ WNp X L-1 (J+B) XL (J) = XL-1(J)WNp X L-1 (J+B)
p=J×2M-L， J=0,1,2,… ,2L-1－1
4.2 基2FFT算法
8、 DIT-FFT程序框图
根据DIT-FFT原理和过程，DIT-FFT的完整程序框图 包括以下几部分：
其DFT值，可使乘法次数大大减少；
▪ 利用旋转因子WNk的周期性、对称性进行合并、归类处理，
以减少DFT的运算次数。
lN )
周e期j 2N性 m：W WNmNmlN
eW j 2Nm (mlNlN ) N
e
j 2 j(2mmlN
eN N
)WeNm
j 2 N
mWNWm Nm WNN m
[
对称性：WWNNmmWWNNNNmm
X (2) X (3)
X (4) X (5)
X (6) X (7)
4.2 基2FFT算法
x(0)
x(4)
WN0
x(2)
WN0
x(6) WN0
WN2
x(1)
x(5)
WN0
WN
0
WN1
x(3)
x(7)
WN0
L=1级
WN0
WN2
L=2
WN2 WN3
L=3
N=8点DIT-FFT运算流图
X (0) X (1)
4.2 基2FFT算法
(2)用N/2点X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N点DFT X(k)
X
(
X (k) XX ((kk)) k)
NXn/NNNNNN(2nnnrrrrrk//////2222221)00000偶x111111xxx(x数n(((xxNNxxxx(nnnnr111(((//2)(((22222)))W0rrrWWWrrrr11))))x)))NNNNWWWWkkkk(xxnnnnn1(WWWNNN(N2222)2rWkkkNNNkrrrrkkk)rnnn)NNnNNWkrrn奇///W2N22NNN002rxrrxxN数///111k2N22(((xr0k00/nnnn2111xNxx()))2n22/WWW1Wx2Nxx((()rxrrr(((/W1NNN2kNk2kx)22())02nnnWWWnkrrr1(xNr)k22NNNWn222x(rkkk1r11(rrrNek2))))nWWWWr1jNNNN2k2Nkk)(k((W12r222rrr)kWrN111k)))(Nk2(er2rW1j)12N)N22kkrr
X1 (k+N/2)=X3(k)WN/2kX4(k)
X2(k+N/2) = X5(k) WN/2kX6(k)
k=0,1,…,N/4-1 ；
4.2 基2FFT算法
再次分解，对N=8点，可分解三次。
x(0) x(4)
x(2) x(6)
x(1) x(5)
x(3) x(7)
WN0
WN0 WN0
WN0
L=1级
▪ 将x2(r)按r取奇、偶可分解成2个长N/4的子序列 x5(l)= x2(2l) ， l=0,1,…，N/4 x6(l) = x2(2l+1) ； 同理得 X2(k) = X5(k)+ WN/2kX6(k)， k=0,1,…,N/4-1 ； X2(k+N/2) = X5(k) WN/2kX6(k), k=0,1,…,N/4-1；
We j22kNr 2kr N /2
r0r0 r0
r0 r0r0
N / 21
N / 21
X (k)
N / 21
r 0
xx11((rr))WNkWr/ 2 Nk
N
Wk rN0
/
2x1 2x(2r()rW)WN2Nkkr/r2
X1(k )
WNk X 2 (k )
r0
r0
注意：这里的k的取值范围为0，1，…，N-1
输入序列x(n)经过M级时域奇、偶抽选后，输出序列X(k)的 顺序和输入序列的顺序关系为倒位关系。
4.2 基2FFT算法
7、蝶形运算的规律 序列经过时域抽选后，存入数组中，如果蝶形运算的两个
输入数据相距B个点，应用原位计算，蝶形运算可表示成如下 形式：
XL-1(J) X L-1 (J+B) WNp
4.2 基2FFT算法
3、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目 第L级FFT运算中，同一旋转因子用在2M-L个蝶形中；
4、同一级中，蝶形运算使用相同旋转因子之间相隔的“距离” 第L级中，蝶距：D=2L。
5、同一蝶形运算两输入数据的距离 在输入倒序，输出原序的FFT变换中，第L级的每一个蝶形
的2个输入数据相距：B=2L-1。 6、码位颠倒
x3(l)= x1(2l)、 l=0,1,…，N/4-1； x4(l) = x1(2l+1)， 根据上面推导可得：X1 (k)= X3(k)+ WN/2kX4(k)， k=0,1,…,N/2-1
X1 (k)=X3(k)+WN/2kX4(k)， k=0,1,…,N/4-1；
X1 (k+N/2)=X3(k)WN/2kX4(k)， k=0,1,…,N/4-1；
J=0 J=0,1 J=0,1,2,3
对于N＝2M 的一般情况，第L级共有2L-1个不同的旋转因子：
WNp =W2LJ J=0,1,2,… ,2L-1－1
2L =2LM2M = N2LM
故： WNp =W2LJ =WNJ 2L-M = WNJ2M-L
p=J×2M-L， J=0,1,2,… ,2L-1－1 按照上面两式可以确定第L级运算的旋转因子。
4.2 基2FFT算法
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
k
WN
N 2
WNk, X(k)又可表示为:
｛对XX上XXXX((式((kk((kk)kk的))N2运XN2N2)X1算X())1k1(用()Xkk1下)X)X(Wk11图(()WNWkkkX所)N)NkWk2X示X(WNkk2W2X的()N(kkNk2kX)流(X)kk2图()2kk(kk符)0k,)10号,k,01来0k,,1,N12,0表,,N102示,,1N12N2,1N211N2这解D1F样为T1将两N个点ND/2F点T分的
[W[WNNNNmm]]WWNmNm
m N
WN 2
WNm
3不、断F地FT把算长法W序思WNm列N想mN2的N2DFWTWN分mNm解成几个短序列的DFT，并利用旋转
因子的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
4.2 基2FFT算法
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(简称DIT-FFT)和 频域抽取法FFT(简称DIF―FFT)。 1、时域抽取法FFT的算法思想：
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子的变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子的指数。N＝8 ＝23 时各级的旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ
的一般情况，对某一 个k值，直接按上式 计算X(k)值需要N次 复数乘法、(N-1)次复 数加法。
思路：N点DFT的复乘次数等于N2。把N点DFT分解为几个
较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子WmN 具有周期性和对称性。
4.2 基2FFT算法
方法：
▪ 分解N为较小值：把序列分解为几个较短的序列，分别计算
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步减少运算量的措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接计算DFT的 计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切 实际的。