快速傅里叶变换FFT2
快速傅里叶变换（FFT）详解
⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。
)定义设a ,b 为实数，i 2=−1，形如a +bi 的数叫复数，其中i 被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，x 代表实数，y 轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)到(a ,b )的向量表⽰复数a +bi模长：从原点(0,0)到点(a ,b )的距离，即√a 2+b 2幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从x 轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：(a +bi )∗(c +di )=ac +adi +bci +bdi 2=ac +adi +bci −bd=(ac −bd )+(bc +ad )i单位根下⽂中，默认n 为2的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，1为半径作圆，所得的圆叫单位圆。
以圆点为起点，圆的n 等分点为终点，做n 个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为ωn ，称为n 次单位根。
根据复数乘法的运算法则，其余n −1个复数为ω2n ,ω3n ,…,ωn n 注意ω0n =ωn n =1（对应复平⾯上以x 轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决ωk n =cos k ∗2πn +i sin k ∗2πn例如图中向量AB 表⽰的复数为8次单位根单位根的幅⾓为周⾓的1n在代数中，若z n =1，我们把z 称为n 次单位根单位根的性质ωk n =cos k2πn +i sin k 2πn （即上⾯的公式）ω2k 2n =ωk n证明：ω2k 2n =cos2k ∗2π2n +i sin2k ∗2π2n =ωk nωk +n2n =−ωk n ωn2n =cos n 2∗2πn +i sin n 2∗2πn =cos π+i sin π=−1ω0n =ωn n =1讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。
matlab 快速傅里叶变换
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在数字信号处理和数值分析中广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），从而在频域中分析信号的频谱特性。
而在matlab中，使用FFT函数可以方便地进行快速傅里叶变换的计算和处理。
1. FFT的基本原理在介绍matlab中的FFT函数之前，我们先来了解一下FFT的基本原理。
FFT算法是一种分治法的思想，在计算傅里叶变换时通过将原始信号分解为奇偶部分，然后递归地进行计算，最终得到傅里叶变换的结果。
这种分治的思想使得FFT算法的计算复杂度降低到了O(n log n)，比直接计算DFT的O(n^2)复杂度要低很多，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
2. matlab中的FFT函数在matlab中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换的计算。
fft函数的基本语法如下：```Y = fft(X)```其中，X表示输入的信号序列，可以是实数或复数序列；Y表示经过FFT变换后得到的频谱结果。
在使用fft函数时，最常见的是对时域信号进行FFT变换，然后得到其频谱特性。
3. FFT在信号处理中的应用FFT算法在信号处理中有着广泛的应用，其中最常见的就是对信号的频谱特性进行分析。
通过对信号进行FFT变换，可以得到其频谱图，从而可以直观地了解信号的频域特性，包括频率成分、幅度特性等。
这对于音频处理、振动分析、通信系统等领域都是非常重要的。
4. FFT在图像处理中的应用除了在信号处理中的应用，FFT算法也在图像处理中有着重要的地位。
在图像处理中，FFT可以用来进行频域滤波，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等操作。
通过FFT变换，我们可以将图像从空域转换到频域，在频域中进行滤波操作，然后再通过逆FFT变换将图像恢复到空域，从而达到图像增强、去噪等效果。
5. FFT在数学建模中的应用除了在信号处理和图像处理中的应用外，FFT算法还在数学建模和仿真计算中有着重要的作用。
matlab的fft函数用法
matlab的fft函数用法MATLAB中的fft函数用于计算快速傅里叶变换（FFT）。
FFT是一种将信号从时域转换为频域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
在本文中，我将一步一步回答有关MATLAB中fft函数的使用方法。
一、基本语法在MATLAB中，fft函数的基本语法如下：Y = fft(X)其中，X是要进行FFT的向量或矩阵，输出结果Y是X的离散傅里叶变换的向量或矩阵。
二、一维FFT首先我们来看一维FFT的使用方法。
假设有一个长度为N的一维向量x，我们将对其进行FFT变换并得到变换结果y。
1. 创建输入向量首先，我们需要创建一个长度为N的向量x，作为FFT的输入。
可以通过以下代码实现：N = 1024; % 向量长度x = randn(N, 1); % 创建长度为N的随机向量2. 进行FFT变换接下来，我们使用fft函数对向量x进行FFT变换，代码如下：y = fft(x);3. 可视化结果为了更好地理解和分析FFT结果，通常会对结果进行可视化。
我们可以使用MATLAB的绘图函数来绘制FFT结果的幅度和相位谱。
例如，可以使用如下代码绘制幅度谱：f = (0:N-1)./N; % 频率轴amp = abs(y); % 幅度谱figure;plot(f, amp);xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Amplitude');title('Amplitude Spectrum');同样，可以使用如下代码绘制相位谱：phase = angle(y); % 相位谱figure;plot(f, phase);xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Phase');title('Phase Spectrum');三、二维FFT除了一维FFT，MATLAB中的fft函数还支持二维FFT。
快速傅里叶变换fft原理
快速傅里叶变换fft原理
快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform，FFT）是一种将时域信号转变为频
域信号的数字信号处理方法。
它通常比傅里叶变换（Fourier Transform，FT）更快、更方便。
它通过将高维度的折叠为低维度，将傅里叶变换从背景计算量O（N2）优化到O（NlogN），并延长空间采样前的信号。
FFT可以理解为若干特殊形式的数学公式，用于将复数的时域函数转换为它们
的频域表示形式的变换，即其频域图像。
例如，我们可以将一个正弦信号的时域图像转换为它的频域图像，从而可以获得关于这个信号的频率的一些有用信息。
FFT的运算思想和FT一样，它们都使用复数的形式将时域信号变换成频域信号，但FFT采用更加高效的算法，以缩短复杂度为O（NlogN）。
它还允许用户以
恒定频率对信号进行采样，然后分析其时域运动规律。
因此，FFT应用于诸如脉冲
调制、音频信号分析等复杂的应用场景，广泛的地增强了计算能力。
快速傅里叶变换例题讲解
快速傅里叶变换过程
合并结果
最后，我们将所有子问题的结果合并起来，得到整个信号的傅里叶变换
3
计算结果
计算结果
通过快速傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱。在这个例子中，我们得到的频谱是 从频谱中可以看出，信号中存在频率为0Hz(直流分量)，1Hz、2Hz、3Hz和4Hz的成分以及
5Hz、6Hz、7Hz和8Hz的成分。这些成分的幅度分别为4、0、-2、-2、0、0、2和2
-
THANK YOU
ENGLISH
可爱/简约/卡通
快速傅里叶变换过程
蝶形运算
快速傅里叶变换过程
对于每个长度为N的子信号，我 们可以进行一系列的蝶形运算来 计算其傅里叶变换。蝶形运算是 一种高效计算复数乘积的方法， 它利用了复数的对称性和周期性
快速傅里叶变换过程
迭代计算
通过重复上述步骤，我们可以计算出整个 信号的傅里叶变换。这个过程是迭代的， 每次迭代都会将问题分解为更小的子问题
下面我们通过一个简单的例子来讲解快速傅里叶变换
1
问题描述
问题描述
考虑一个由8个采样点组成的离散时间信号，我们希望通过快速傅里叶 变换来分析这个信号的频谱
假设我们的采样时间为T，并且采样频率为f=1/T。采样点如下
x
[
n] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } 我们的目标是计算这个信号的频谱，也就是信号中每个频率成分的强度。
快速傅里叶变换 例题讲解
-
问题描述
目录
计算结果
快速傅里叶变换例题讲解
傅里叶变换(Fourier Transform，FT)是数学和工程学中用于将一个信号从时域转换到频 域的一种方法。傅里叶变换的计算成本非常高，因为它需要计算信号中每个点的复数指 数。快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)是一种高效计算傅里叶变换的算法， 它比直接的傅里叶变换计算方法快很多
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要
所以 整个N点DFT运算共需要：
实数乘法次数： 4 N2
实数加法次数： N×2(2N-1)= 2N(2N-1)
6
DFT运算量的结论
N点DFT的复数乘法次数举例 N 2 4 8 16 32 N2 4 16 64 256 1028 N 64 128 256 512 1024 N2 4049 16384 65 536 262 144 1 048 576
（2）周期性 （3）可约性 另外，
( n N ) k n( k N ) nk WN WN WN
mnk nk WmN WN
nk nk / m WN WN /m
( k N / 2) k WN WN
N /2 WN 1
8
5.3 按时间抽取的基2-FFT算法
算法原理 按时间抽取基-2FFT算法与直接计算 DFT运算量的比较 按时间抽取的FFT算法的特点 按时间抽取FFT算法的其它形式流程图
23
FFT算法与直接DFT算法运算量的比较
N N2
N log 2 N 2
计算量 之比M
N
N2
N log 2 N 2
计算量 之比M
2
4 8 16 32 64
4
16 64 256 1028 4049
1
4 12 32 80 192
fft2缩放因子
fft2缩放因子
FFT（快速傅里叶变换）是一种在数字信号处理中常用的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
在二维FFT中，缩放因子是一个重要的概念，用于校正由于离散傅里叶变换（DFT）导致的幅度误差。
在二维FFT中，对于一个大小为N×N的输入信号，其频域表示为X(k, l)，其中k和l 分别是频域的行和列索引。
然而，由于DFT的限制，实际计算的X(k, l)可能存在幅度误差。
为了校正这个误差，通常会引入一个缩放因子，记为s。
缩放因子的计算公式如下：
s = 1 / (N * N)
通过将X(k, l)乘以s，可以得到更精确的频域表示。
需要注意的是，缩放因子的引入并不改变频域信号的相位。
此外，缩放因子的大小与FFT算法的实现有关。
不同的FFT算法（如Cooley-Tukey、Radix-2、Radix-4等）可能具有不同的缩放因子。
在实际应用中，为了获得更精确的结果，需要根据所使用的FFT算法选择合适的缩放因子。
值得注意的是，缩放因子在信号处理、图像处理、频谱分析等领域中都有广泛的应用。
除了二维FFT外，缩放因子也适用于其他类型的DFT和FFT算法。
因此，了解缩放因子的概念和使用方法对于数字信号处理领域的专业人员来说非常重要。
2维FFT算法实现——基于GPU的基2快速二维傅里叶变换
2维FFT算法实现——基于GPU的基2快速⼆维傅⾥叶变换上篇讲述了⼀维FFT的GPU实现（），后来我⼜由于需要做了⼀下⼆维FFT，⼤概思路如下。
⾸先看的肯定是公式：如上⾯公式所描述的，2维FFT只需要拆分成⾏FFT，和列FFT就⾏了，其中我在下⾯的实现是假设原点在F(0,0)，由于我的代码需要原点在中⼼，所以在最后我将原点移动到了中⼼。
下⾯是原点F(0,0)的2维FFT的伪代码：//C2DFFT//被执⾏2DFFT的是⼀个N*N的矩阵，在source_2d中按⾏顺序储存//⽔平⽅向FFTfor (int i=0;i<N;i++){fft1(&source_2d[i*N],&source_2d_1[i*N],N);}//转置列成⾏for (int i=0;i<N*N;i++){int x = i%N;int y = i/N;int index = x*N+y;source_2d[index] = source_2d_1[i];}//垂直FFTfor(int i=0;i<N;i++){fft1(&source_2d[i*N],&source_2d_1[i*N],N);}//转置回来for (int i=0;i<N*N;i++){int x = i%N;int y = i/N;int index = x*N+y;source_2d[index] = source_2d_1[i];}GPU实现⽆⾮把这些东西转换到GPU上。
我基于OpenGL的fragment shader来计算fft；数据都存放在纹理或者FBO⾥⾯。
和1维fft不同的是，NXN的数据⾥⾯，只是对当前列或者当前排做⼀维FFT，所以bit反转表只需要⼀个1*N的buffer就可以了。
对应的蝴蝶图数据也只需要1*N即可。
所以我们有如下的分配：static ofFbo _fbo_bitrev_table;static ofFbo _origin_butterfly_2d;_fbo_bitrev_table.allocate(N,1,GL_RGBA32F);_origin_butterfly_2d.allocate(N,1,GL_RGBA32F);⾸先要做的是把长度为N的bit反转表求出来，这个只需要求⼀次，所以在最开始的时候就⽤CPU求出来：for(int i=0;i<N;i++){_bitrev_index_2d.setColor(i,0,ofFloatColor(bit_rev(i,N-1),0,0,0));}_bitrev_index_2d.update();//翻转后的索引_fbo_bitrev_table.begin();_bitrev_index_2d.draw(0,0,N,1);_fbo_bitrev_table.end();然后初始化最初的蝴蝶图，这个和1维FFT是⼀样的，只是长度不同⽽已：for(int i=0;i<N;i++){//初始化⼆维蝴蝶图if(i%2==0){_data_2d.setColor(i,0,ofFloatColor(0.f,2.f,0,i+1));}else{_data_2d.setColor(i,0,ofFloatColor(1.f,2.f,0,i-1));}}_data_2d.update();/////////////////2D初始化///////////////////初始化2D蝴蝶图_weight_index_2d[0].begin();_data_2d.draw(0,0,N,1);_weight_index_2d[0].end();//备份2D初始蝴蝶图,⽤于下⼀次新的计算_origin_butterfly_2d.begin();_data_2d.draw(0,0,N,1);_origin_butterfly_2d.end();辅助函数：static unsigned int bit_rev(unsigned int v, unsigned int maxv){unsigned int t = log(maxv + 1)/log(2);unsigned int ret = 0;unsigned int s = 0x80000000>>(31);for (unsigned int i = 0; i < t; ++i){unsigned int r = v&(s << i);ret |= (r << (t-i-1)) >> (i);}return ret;}static void bit_reverse_copy(RBVector2 src[], RBVector2 des[], int len){for (int i = 0; i < len;i++){des[bit_rev(i, len-1)] = src[i];}}下⾯定义计算2维IFFT的函数：void GPUFFT::ifft_2d(ofFbo& in,ofFbo& out,int size);其中in是输⼊，out是输出，size就是N，由初始化的时候传⼊了⼀次，在这⾥写是为了⽅便调试的时候临时改变尺⼨。
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N 2M ,
M
为自然数
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
N x1 ( r ) x(2r ), r 0,1, 1 2 N x2 ( r ) x(2r 1), r 0,1, 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为
kn kn X (k ) x (n )WN x (n )WN n n
i 0
x3 (l )W
kl N /4
W
k N /2
N / 4 1
i 0
kl x4 (l )WN /4
k x3 ( k ) WN / 2 X 4 ( k ), k 0,1, N / 2 1
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中 x (k ) 3
N / 4 1
2 kr x2 ( r )WN
2 kr WN /2
所以
X (k )
N / 21
r 0
x1 ( r )W
kr N /20
kr k x2 ( r )WN X ( k ) W /2 1 N X 2 (k )
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，
WN
k
k WN
，所以X(k)又可表示为
(4.2.7)
(4.2.8)
N X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k ) k 0,1, 1 2 N N k X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 2 2
k N
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言
DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换。因直 接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换 ( 简 称 FFT) 出现以前，直接用 DFT 算法进行谱分析和信号 的实时处理是不切实际的。直到 1965 年发现了 DFT 的 一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。
即
X 1 (k ) X 2 (k )
N 2
N / 2 1
r 0 r 0
kr x1 ( r )WN / 2 DFT [ x1 ( r )]
(4.2.5)
N / 2 1
kr x2 ( r )WN / 2 DFT [ x2 ( r )]
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
由于
N / 2 1
r 0
x (2r )W
2 kr N
N / 2 1
r 0
k (2 r 1) x (2r 1)WN
N / 2 1
r 0
x1 ( r ) W
j 2 2 kr N
k N
N / 2 1
2 kr WN e
e
k N
r 0 2 j kr N 2
, k 0,1, , N / 4 1 k X 1 (k N / 4) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
k X 1 (k ) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
i 0 i 0
kl x3 (l )WN / 4 DFT [ x3 (l )]
x4 (k )
N / 4 1
kl x4 (l )WN / 4 DFT [ x4 (l )]
同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和Wm N/2的对称 性 Wk+N/4 N/2=-Wk N/2 最后得到：
N , l 0,1, , 1 x4 (l ) x1 (2l 1) 4
那么，X1(k)又可表示为
X 1 (k )
N / 4 1 N / 4 1
i 0
2 kl x1 (2l )WN /2
N / 4 1
i 0
k (2 l 1) x1 (2l 1)WN /2
X(0) X(1) X(2) X(3)
WN
WN
1
0
X(4) X(5) X(6) X(7)
WN WN
3
2
图4.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4
长的子序列x3(l)和x4(l)，即
x3 (l ) x2 (2l )
e
j
2 m N
m WN
(4.2.2)
其对称性表现为
m WN WNN m
或者 [WN
N m
m ] WN
WN
m
N 2
m WN
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 ： 时 域 抽 取 法 FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取 法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIF―FFT)。 下面先介绍DIF―FFT算法。 设序列x(n)的长度为N，且满足
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
kn X (k ) x(n)WN , k 0,1, , N 1 n 0 N 1
(4.2.1)
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，
直接按(4.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次
复数加法。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
如前所述， N 点 DFT 的复乘次数等于 N2 。显然，
把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大 减少。另外，旋转因子 WmN 具有明显的周期性和对称
性。其周期性表现为
mlN WN e j 2 ( mlN ) N
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
A
A＋ BC
B
C
A－ BC
图4.2.1 蝶形运算符号
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) N/2点 N/2点
X1 (0) X1 (1) X1 (2) DFT X1 (3) X2 (0) X2 (1) X2 (2) DFT X2 (3)