FFT快速傅里叶变换 蝶形算法 详解
fft蝶形运算旋转因子变化规律
fft蝶形运算旋转因子变化规律一、引言快速傅里叶变换（FFT）是一种十分重要的算法，它可以高效地计算离散傅里叶变换（DFT），在信号处理、图像处理、通信系统等领域得到了广泛的应用。
而在FFT算法中，蝶形运算是其中的关键步骤，而蝶形运算中的旋转因子则是决定其计算规律的重要元素。
本文将重点探讨FFT蝶形运算中旋转因子的变化规律，深入剖析其含义以及应用。
二、旋转因子的定义和基本原理在FFT的蝶形运算中，每一个蝶形节点都会涉及到一个旋转因子，用来控制信号的频率和相位。
旋转因子的形式为e^(-2πi/n)，其中n表示DFT的长度，i为虚数单位。
在蝶形节点的计算中，旋转因子的作用是通过不同频率和相位对信号进行调制和解调，实现信号在时域和频域之间的转换。
旋转因子的变化规律遵循一定的规则，其主要取决于DFT的长度。
在以2为底的长度为n的DFT中，旋转因子的变化规律可以用一个简单的公式来表示：Wn^k = e^(-2πik/n)，其中k为在0到n-1之间的整数。
这个公式说明了当DFT长度为n时，旋转因子Wn^k的变化规律为周期性的，且随着k的增大而变化。
三、旋转因子的变化规律分析1. 频率间隔的均匀性在FFT的蝶形运算中，旋转因子的变化规律决定了频率间隔的均匀性。
根据Wn^k = e^(-2πik/n)的公式，可以得知旋转因子的实部和虚部都是随着k的增大而周期性地变化，这就意味着频率间隔是均匀的，每一个频率点之间都被均匀地覆盖，保证了FFT计算的准确性和稳定性。
2. 相位角的变化旋转因子中的e^(-2πik/n)表示了相位角的变化规律。
从公式中可以看出，随着k的增大，相位角也会随之变化，这意味着旋转因子可以实现信号的相位调制。
在实际应用中，可以通过改变旋转因子的相位角来实现对信号相位的精确控制，从而满足不同的信号处理需求。
3. 频率分辨率的影响旋转因子的变化规律也对频率分辨率产生影响。
在FFT中，频率分辨率是指DFT所能分辨的最小频率间隔。
ifft蝶形运算
ifft蝶形运算IFFT（Inverse Fast Fourier Transform）是一种蝶形运算，它是FFT（Fast Fourier Transform）的逆运算。
IFFT在信号处理中具有重要的作用，它可以将频域信号转换回时域信号，恢复原始的时域波形。
蝶形运算是一种基于FFT算法的计算方式，它的基本思想是将N点的DFT（离散傅里叶变换）分解为多个子问题，每个子问题的规模较小。
蝶形运算的核心是蝶形结构，它由两个输入和两个输出组成，通过乘以旋转因子和加法运算得到输出。
蝶形运算可以有效地减少计算量，提高计算效率。
为了更好地理解蝶形运算的原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个4点的DFT，我们可以将其分解为两个2点的DFT。
首先，我们将输入序列分为两个部分，每个部分包含两个采样点。
然后，对每个部分进行2点的DFT计算。
接下来，我们可以通过蝶形运算将这两个2点的DFT合并为一个4点的DFT。
蝶形运算的过程如下所示：输入序列：[x0, x1, x2, x3]第一阶段蝶形运算：蝶形1：(x0, x2) -> (X0, X1)蝶形2：(x1, x3) -> (X2, X3)第二阶段蝶形运算：蝶形3：(X0, X2) -> (X'0, X'1)蝶形4：(X1, X3) -> (X'2, X'3)最终输出序列：[X'0, X'1, X'2, X'3]通过上述蝶形运算的过程，我们可以得到一个4点DFT的结果。
在实际计算过程中，蝶形运算可以通过使用旋转因子和加法运算来实现。
旋转因子用于将输入序列进行旋转和缩放，加法运算用于将蝶形运算的结果进行合并。
通过不断重复上述蝶形运算的过程，我们可以将一个大规模的DFT分解为多个小规模的DFT，并最终得到整个DFT的结果。
IFFT作为FFT的逆运算，可以将频域信号转换回时域信号。
傅里叶蝶形变换
傅里叶蝶形变换傅立叶变换（Fourier Transform）是数学中一种非常重要的变换方式，它可以将一个函数从时域转换到频域。
这种变换的一个重要应用就是在信号处理中，通过傅立叶变换可以将信号的频谱分析出来，从而对信号进行处理和提取信息。
在傅立叶变换的基础上，我们还可以引入蝶形运算，从而得到傅立叶蝶形变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
傅立叶蝶形变换是一种快速计算傅立叶变换的算法，它通过将复杂度为O(N^2)的傅立叶变换转化为复杂度为O(NlogN)的计算过程，大大提高了计算效率。
蝶形运算是傅立叶蝶形变换的核心思想，它通过两两配对的方式进行计算，将原始信号分解为多个频率分量，然后再进行合并，得到最终的频谱结果。
在傅立叶蝶形变换中，首先需要将输入信号分成偶数项和奇数项，然后对每个子序列进行蝶形运算。
蝶形运算的过程可以简单描述为：对于输入序列中的每一对数据，进行乘法运算和加法运算，得到两个输出结果。
其中，乘法运算是对输入信号进行频谱分析的关键步骤，它将时域信号转换为频域信号。
而加法运算则是将频域信号进行合并的过程，将多个频率分量重叠在一起，得到最终的频谱结果。
傅立叶蝶形变换的优势在于其高效的计算速度和精确的频域分析能力。
通过FFT算法，我们可以快速地计算出信号的频谱，从而对信号进行进一步的处理和分析。
在实际应用中，傅立叶蝶形变换被广泛应用于音频处理、图像处理、通信系统等领域。
例如，在音频处理中，我们可以通过傅立叶蝶形变换将音频信号转换为频域信号，然后对频域信号进行滤波、降噪等操作，最后再将频域信号转换回时域信号，得到处理后的音频。
除了傅立叶蝶形变换，还有其他一些变换方式也可以用于频域分析，如小波变换、离散余弦变换等。
每种变换方式都有其特点和适用范围。
傅立叶蝶形变换之所以被广泛应用，主要是因为它具有计算速度快、频域分析精确等优势。
但是，傅立叶蝶形变换也存在一些限制，例如信号长度必须为2的幂次方，否则需要进行数据补零等处理。
蝶形运算实验报告
一、实验目的1. 了解蝶形运算的基本原理和结构。
2. 掌握蝶形运算的实现方法。
3. 通过实验验证蝶形运算在快速傅里叶变换（FFT）中的应用效果。
二、实验原理蝶形运算是一种用于实现快速傅里叶变换（FFT）的基本运算单元。
它通过对输入序列进行分解、相乘、相加和相减等操作，实现序列的分解和重构。
蝶形运算的结构如图1所示。
图1 蝶形运算结构图其中，n为蝶形运算的阶数，xk和yk分别为输入序列和输出序列的第k个元素，ck为第k个蝶形运算的系数。
蝶形运算的基本原理如下：1. 对输入序列进行分解，得到两个子序列：一个包含所有偶数索引的元素，另一个包含所有奇数索引的元素。
2. 对两个子序列分别进行相乘和相加（或相减）操作，得到新的子序列。
3. 将新的子序列合并，得到输出序列。
三、实验内容1. 实现蝶形运算函数。
2. 使用蝶形运算实现快速傅里叶变换（FFT）。
3. 对FFT结果进行分析，验证蝶形运算在FFT中的应用效果。
四、实验步骤1. 实现蝶形运算函数。
```pythondef butterfly_operation(x, y, c):return [x[0] + c[0] y[0] - c[1] y[1], x[1] + c[1] y[0] + c[0]y[1]]```2. 使用蝶形运算实现快速傅里叶变换（FFT）。
```pythondef fft(x):if len(x) == 1:return xelse:even = fft([x[0], x[2], x[4], ...])odd = fft([x[1], x[3], x[5], ...])T = [1, 1j, 1, -1j]return [even[0], butterfly_operation(even[1], odd[1], T[2 i]) + butterfly_operation(even[2], odd[2], T[2 i + 1]), even[3],butterfly_operation(even[4], odd[3], T[2 i]) +butterfly_operation(even[5], odd[4], T[2 i + 1])]```3. 对FFT结果进行分析，验证蝶形运算在FFT中的应用效果。
fft蝶形运算旋转因子变化规律
fft蝶形运算旋转因子变化规律【实用版】目录1.FFT 简介2.蝶形运算在 FFT 中的应用3.旋转因子在蝶形运算中的作用4.旋转因子的变化规律5.FFT 蝶形运算的优化正文1.FFT 简介快速傅里叶变换（FFT）是一种广泛应用于数字信号处理和其他领域的算法，它可以快速地将一个信号从时间域转换到频率域。
由于 FFT 需要进行复杂的数学运算，因此使用 GPU（图形处理器）可以加速其计算过程。
2.蝶形运算在 FFT 中的应用在 FFT 算法中，蝶形运算是一种重要的运算方式。
它通过将输入信号分解成较小的子信号，并对这些子信号进行处理，最终再将处理后的子信号组合成输出信号。
这个过程可以大大减少计算量，提高算法的效率。
3.旋转因子在蝶形运算中的作用在蝶形运算中，旋转因子是一个关键的参数。
它决定了子信号在处理过程中的旋转角度，从而影响最终的输出结果。
因此，正确选择和计算旋转因子是 FFT 算法中一个重要的环节。
4.旋转因子的变化规律根据 FFT 算法的推导过程，可以得到旋转因子的变化规律。
在蝶形运算过程中，旋转因子会按照一定的周期性变化。
具体来说，当子信号的个数为 2 的幂次方时，旋转因子的变化规律为：1, -1, 1, -1,...；当子信号的个数为非 2 的幂次方时，旋转因子的变化规律为：1, -1/2, 1/2, -1/4, 1/4,...。
5.FFT 蝶形运算的优化为了进一步提高 FFT 算法的效率，可以对蝶形运算进行优化。
一种常见的优化方法是采用分治策略，将输入信号分成较小的子信号，并对这些子信号进行并行处理。
另外，还可以使用诸如 Cufft 等开源的 FFT 库，在 GPU 上实现 FFT 算法，以加速计算过程。
总之，FFT 蝶形运算中的旋转因子具有一定的变化规律，正确把握这一规律有助于优化 FFT 算法的性能。
fft基4蝶形运算举例
fft基4蝶形运算举例
（最新版）
目录
1.FFT 基 4 蝶形运算概述
2.FFT 基 4 蝶形运算的举例
3.FFT 基 4 蝶形运算的优点
正文
一、FFT 基 4 蝶形运算概述
快速傅里叶变换（FFT）是一种在信号处理领域广泛应用的算法，它
能够将信号从时域转换到频域，从而方便我们分析信号的频率特性。
在FFT 算法中，有一种基于蝶形运算的方法，被称为 FFT 基 4 蝶形运算。
这种方法在原有的蝶形运算基础上，引入了基 4 的概念，使得运算更加
高效。
二、FFT 基 4 蝶形运算的举例
下面我们通过一个具体的例子来介绍一下 FFT 基 4 蝶形运算。
假设我们有一个长度为 8 的信号 x(n)，其离散傅里叶变换（DFT）结果为 X(k)，我们可以通过以下步骤计算其 FFT 结果：
1.计算旋转因子 W：W = exp(-j*2*pi/N)，其中 N 为信号长度，j 为虚数单位。
2.对信号 x(n) 进行蝶形运算，得到 X(k)：X(k) = x(n) * W^k。
3.对 X(k) 进行逆序排列，得到逆序的 DFT 结果。
4.对逆序的 DFT 结果进行基 4 蝶形运算，得到最终的FFT 结果。
三、FFT 基 4 蝶形运算的优点
相较于传统的 FFT 算法，FFT 基 4 蝶形运算具有以下优点：
1.运算效率高：基 4 蝶形运算有效地减少了运算量，使得 FFT 算法更加高效。
2.适用范围广：该方法不仅适用于实数域，还可以应用于复数域，为信号处理提供了更大的灵活性。
3.稳定性好：基 4 蝶形运算通过对旋转因子 W 的优化，提高了算法的稳定性。
fft系数规律
fft系数规律
快速傅里叶变换（FFT）是一种常见的信号处理算法，其系数具有一定的规律性。
下面以8点的蝶形图为例进行说明：
第L级的旋转因子为：可以看到，每个蝶的两个输入点下标跨度是不一样的。
比如第一级中是相邻两个数据作蝶运算，第二级中是两个输入点隔开一个点，而第三级隔开三个点。
规律为：第L级中，第二个输入点的坐标是第一个点的坐标+space，space=Math.Pow(2, L)=num。
FFT的算法是写一个三重循环：第一重循环对每一级运算（每级含num=Math.Pow(2, L)个蝶形）；第二重对每一个旋转因子对应的蝶运算，那么有几个蝶呢？很简单，每级都应该有$N/2$个蝶，而每个因子对应$N/2\div num$个蝶。
快速傅里叶变换FFT算法-精简版.
1 一维DFT 的快速算法—FFT当序列[]f n 的点数不超过N 时，它的N 点DFT 定义为 210[][]01N i k n Nn F k f n k N π--==≤≤-∑ （1）反变换IDFT 定义为211[][]01N i k n N k f n F k en N N π-==≤≤-∑ （2）二者形式相似，快速算法的原理一样，这里先就其正变换进行讨论。
令2/i N N W e π-=，当k 依次取为0,1,2,,1N -时，可表示为如下的方程组：0001020(11011121(1)2021222(1)(1)0(1)1(1)(1)[0][0][1][2][1][1][0][1][2][1][2][0][1][2][1][1][0][1][1]N N N N N N N N N NN N NN NN N N N N N NF f W f W f W f N W F f W f W f W f N W F f W f W f W f N W F N f W f W f N W -------⎧=++++-=++++-=++++-⎨-=+++-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩（3）由上式可见，直接按照定义计算N 点序列的N 点DFT 时，每行含N 个复乘和N 个加，从而直接按定义计算点的总计算量为2N 个复乘和2N 个加。
当N 较大时，2N 很大，计算量过大不仅耗时长，还会因字长有限而产生较大的误差，甚至造成计算结果不收敛。
所谓快速傅里叶变换就是能大大减少计算量而完成全部点计算的算法。
下面介绍两种经典的DFT 的快速算法：频域抽取的FFT 算法和时域抽取的FFT 算法。
1.1 频域抽取的基2算法1.1.1 正变换的计算这里仅介绍基2算法，即是2的整次幂的情况。
由定义10[][]01N knNn F k f n W k N -==≤≤-∑ （4）把[]f n 分成两半，即[]f n 和[/2]f n N +(0/21)n N ≤≤-，代入（4）式得/21/21(/2)[][][/2]01N Nknk n N NNn n F k f n W f n N W k N --+===++≤≤-∑∑（5）快速傅里叶变换FFT 算法及其应用由于(/2)/2(1)k n N kn kN k knN N N NW W W W +==- （5）式两项又可合并为/21[]{[](1)[/2]}01N k k nN n F k f n f n N W k N -==+-+≤≤-∑（6） 当2k r =为偶数时，注意到(1)1k -=，222/kn rn i rn N N N W W e π-==/2rnN W =，（6）式变为/21/2/21/2[2]([][/2])()()0/21N rnN n N rnN n F r f n f n N Wg n W G r r N -=-==++==≤≤-∑∑（7）当21k r =+为奇数时， (21)2(21)//2kn r n i r n N n rnN N N N W W e W W π+-+===，（6）式变为/21/2/21/20[21]{([][/2])}()()0/21N nrn N N n N rnN n F r f n f n N WW p n W P r r N -=-=+=-+==≤≤-∑∑（8）这样就把一个N 点序列（[]f n ）的N 点DFT （[]F k ）计算化成了两个/2N 点序列（[]g n 和[]p n ）的/2N 点DFT （[]G r 和[]P r ）计算。
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可转化为
X(2r)N n / 20 1 x(n)x(nN 2) W N 2nrNn/ 201x(n)x(nN 2)W N n/2r
X (2 r 1 )N n / 2 0 1 [x(n ) x(nN 2)W ]N n (2 r 1 )N n/ 20 1{x[(n)x(nN 2)W ]N n}W N n2r
16
进一步按奇偶分解
由于N＝2L，因而N/2仍是偶数 ，可以进一步把每个N/2点 子序列再按其奇偶部分分解为两个N/4点的子序列。
以N/2点序列x1(r)为例
x1x(12(l2 l)1 )x3x(4l()l)
l0,1, ,N1 4
则有
N 21
N4 1
N4 1
X1(k) x1(r)WNrk2 x1(2l)W N 2l2k x1(2l1)W N (22 l 1)k
28
倒位序的变址处理（N=8）
29
同址运算（原位运算）
同址运算（原位运算）
某一列任何两个节点k 和j 的节点变量进行蝶形运算 后，得到结果为下一列k、j两节点的节点变量，而和其他 节点变量无关。这种原位运算结构可以节省存储单元， 降低设备成本。
例 运算前
运算后
A(k) X1(k)
X (k) A(k)
1 次复乘、 2 次复加，因此每级运算都需 N/2 次复乘和 N 次复加。
22
这样 L 级运算总共需要：
复数乘法：
N 2
L
N 2 log2
N
复数加法：NLNlo2gN
直接DFT算法运算量 复数乘法： N2
复数加法： N(N－1)
直接计算DFT与FFT算法的计算量之比为M
N2
2N
M
N2 log2 N log2 N
利用 可得到
W W r(N 2k ) N2
rk N2
N
X1( 2
k)
N 21
x1(r)WNr(2N 2k)
r0
N 21
x1(r)WNrk2
r0
X1(k)
同理可得
X2(N2 k)X2(k)
12
考虑到
W N (N2k)W N N2W N k W N k
及前半部分X(k)
X(k)X 1(k)W N kX 2(k)
实数乘法次数： 4 N2
实数加法次数： N×2(2N-1)= 2N(2N-1)
6
DFT运算量的结论
N点DFT的复数乘法次数举例
N
N2
N
N2
2
4
64
4049
4
16
128
16384
8
64
256
65 536
16
256
512
262 144
32
1028
1024
1 048 576
结论：当N很大时，其运算量很大，对实时性很强的信号 处理来说，要求计算速度快，因此需要改进DFT的计算 方法，以大大减少运算次数。
4
5.2.1 DFT的运算量
（2）计算全部N个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N2
复数加法次数： N(N－1)
（3）对应的实数运算量
N 1
N 1
X ( k )x ( n ) W N n k[ R e x ( n ) jI m x ( n ) ] [ R e W N n k jI m W N n k ]
算法原理
先把输入按n的顺序分成前后两半
再把输出X(k)按k的奇偶分组
设序列长度为N=2L，L为整数 前半子序列x(n) 后半子序列 x(n N )
2
0≤n≤
N 1 2
0≤n≤
N 1 2
34
5.4.1 算法原理
由DFT定义得
N1
X(k) x(n)WNnk n0
N/21
N1
x(n)W N nk x(n)W N nk
WNk
8
5.3 按时间抽取的基2-FFT算法
算法原理 按时间抽取基-2FFT算法与直接计算
DFT运算量的比较 按时间抽取的FFT算法的特点 按时间抽取FFT算法的其它形式流程图
9
5.3.1 算法原理
设N＝2L，将x(n)按 n 的奇偶分为两组：
x(2r)x1(FT的运算量
复数乘法次数： N2
复数加法次数： N(N－1)
分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋ N/2蝶形：
复数乘法次数： 2*(N/2)2+N/2=N2/2+N/2
复数加法次数： 2*(N/2)(N/2－1)+2*N/2=N2/2
因此通过一次分解后，运算工作量减少了差 不多一半。
第五章 快速傅里叶变换
本章目录
直接计算DFT的问题及改进的途径 按时间抽取的基2-FFT算法 按频率抽取的基2-FFT算法 快速傅里叶逆变换(IFFT)算法 Matlab实现
2
5.1 引言
DFT在实际应用中很重要: 可以计算信号的频 谱、功率谱和线性卷积等。
直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很 大时，计算量非常大，所需时间会很长。
37
令
x1(n)
r0
r0
N1
N1
2
2
x1(r)WN rkWNk x2(r)WN rk
r0
2
r0
2
X1(k)W N kX2(k)
式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N/2的DFT。 另外，式中k的取值范围是：0，1， …，N/2－1 。
11
因此，X(k)X 1(k)W N kX 2(k) 只能计算出X(k)的前一半值。 后一半X(k) 值， N/2 ， N/2 ＋1， …，N ？
WNN 2 ej2N N 2 ej1
Nk
WN2
(1)k
X (k)N n / 2 0 1 x(n)( 1 )kx(nN 2) W N nk
k=0，1， …，N
36
然后按k的奇偶可将X(k)分为两部分
k 2r
k
2r
1
r=0，1， …，N 1
2
则式
X (k)N n / 2 0 1 x(n)( 1 )kx(nN 2) W N nk
FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是 DFT的一种快速计算的算法。
3
5.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
DFT的运算量
设复序列x(n) 长度为N点，其DFT为
N1
X(k) x(n)WNnk n0
k=0，，…，N-1
（1）计算一个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N
复数加法次数： N－1
X 3(1)x3(0)W 2 1x3(1)x(0)W21x(4)x(0)WN0x(4) 这说明，N=2M的DFT可全部由蝶形运算来完成。
20
以8点为例第三次按奇偶分解
N=8按时间抽取法FFT信号流图
21
5.3.2 按时间抽取基2-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
由按时间抽取法FFT的信号流图可知，当N=2L时，共有 L 级 蝶形运算；每级都由 N/2 个蝶形运算组成，而每个蝶形有
因此可得后半部分X(k)
k=0，1， …，N/2－1
X (k N 2) X 1 (k N 2) W N k N 2 X 2 (k N 2)
X1(k)W N kX2(k)
k=0，1， …，N/2－1
13
蝶形运算
X(k)X 1(k)W N kX 2(k) X(k)X 1(k)W N kX 2(k)
蝶形运算式
18
以8点为例第二次按奇偶分解
19
算法原理
对此例N=8，最后剩下的是4个N/4= 2点的DFT，2点
DFT也可以由蝶形运算来完成。以X3(k)为例。
N/41
1
X3(k)
x3(l)WNlk/4
x3
(
l
)W
lk N/
4
k=0, 1
l0
l0
即
X 3(0)x3(0)W 2 0x3(1 )x(0)W20x(4)x(0)WN0x(4)
N2M,第L级：
W N r W 2 j L ,j 0 ,1 ,2 , ,2 L 1 1
2 L 2 M 2 L M N 2 L M
r W W e e W N
j N 2 L M
2 jN 2 L M j
j2j2 M L N
j2 M L N
33
5.4 按频率抽取的基2-FFT算法
23
FFT算法与直接DFT算法运算量的比较
N
N2
N
计算量
2 log 2 N 之比M
N
N2
N
计算量
2 log 2 N 之比M
2
4
1
4 16
4
8 64
12
16 256
32
32 1028 80
4.0 128
16 384
448 36.6
4.0 256 65 536 1 024 64.0
5.4 512 262 144 2 304 113.8
r0
l0
l0
N41
N41
x3(l)W N lk4W N k2 x4(l)W N lk4
l0
l0
X3(k)W N k/2X4(k)
k=0,1,…,
N 4
1
17
且
X1N 4kX3(k)W N k/2X4(k)
k=0,1,…,
N 4
1
由此可见，一个N/2点DFT可分解成两个N/4点DFT。
同理，也可对x2(n)进行同样的分解，求出X2(k)。
N A(k 2 ) X2(k)