第五章 维纳滤波PPT课件
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[PPT课件]现代信号处理-维纳和卡尔曼滤波
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2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程
把k的取值代入(2.2.9)式， 得到：
当k=0时，h1rxx(0)+h2rxx(1)+…+hMrxx(M-1)=rxd(0) k=1时， h1rxx(1)+ h2rxx(0)+…+ hMrxx(M-2)= rxd(+1)
k=M-1时， h1rxx(M-1)+ h2rxx (M-2)+…+hMrxx(0)= rxd(M-1)
(2.2.10)
…
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程 定义 T T h h1, h2 ,, hM , Rxd rxd (0), rxd (1),, rxd (M 1),
rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
2.1 引 言
为了得到不含噪声的信号 s(n) ，也称为期望信号， 系统的期望输出用 yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值
若滤波系统的单位脉冲响应为 h(n) （如图 2.1.2 所示）， s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或
估计，用公式表示为yd(n)=s(n)， y(n) =
因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为 G(z)的求解。
x(n)
1 B( z)
(n )
G(z)
^ y(n)＝ s (n)
图 2.3.3 维纳滤波解题思路
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
2.3.1 非因果维纳滤波器的求解
假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为 ω(n)，期 望信号 d(n)=s(n) ，系统的输出信号 y(n)=s(n) ， g(n) 是 G(z)的逆Z变换， 如图2.3.3所示。
维纳滤波器
w
* 1
m in
w
* 0
w
0
w
1
记 为 w w , w w
* T N 1
( w ) 若 使最 ( w )小 ， 须 0 w 即
( w ) ( w ) ( w ) ( w ) ， ,, 2 R w 2 p 0 w w w w 0 1 N 1
E dn () 2 w () n E d () n xn () N
2
T
期 望 响 应 的 平 均 功 率
2 d
( n ) 是 w 的 函 数 , 即 ( n ) ( w )
T w () n E xn () xn () w () n N N T
——维纳-霍甫夫(Wiener-Hopf)方程
它反映了相关函数与最佳单位脉冲响应之间的关系。
Wiener-Hopf方程的矩阵形式
R hR s x x x
自相关矩阵 故最佳单位脉冲响应 其中
s () n 与的 x () n互 相 关
h RR s x o p t
R 0, N1 R 1, N1 RN1,N1
xn 观察/测量数据
s n 真实信号
vn 加性噪声/干扰
ˆ s n x n h n h i x n i 线性估计问题 i
ˆ e n s n s n
2
估计误差
n E en m i n h n 最小均方误差(MMSE)估计
得到：
E [] e x 0 i 0 , 1 ,, N 1 i
或
N 1 E h x sx 0 i j j j 0
维纳滤波器
维纳滤波器维纳滤波器（Wiener filter）是由数学家维纳（Rorbert Wiener）提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。
在一定的约束条件下，其输出与一给定函数（通常称为期望输出）的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。
维纳滤波器又被称为最小二乘滤波器或最小平方滤波器，目前是基本的滤波方法之一。
维纳滤波是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立，是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。
目录编辑本段维纳滤波器维纳滤波从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。
根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。
滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
信号波形从被噪声污染中恢复称为滤波。
这是信号处理中经常采用的主要方法之一，具有十分重要的应用价值。
常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，如RC低通滤波器、LC谐振回路等。
但对于混在随机信号中的噪声滤波，这些简单的电路就不是最佳滤波器，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
维纳滤波器
z(n) Hw(z)
w(n) H2(z)
ˆ s ( n)
1 Hw(z) = + Gz (z)
维纳滤波器
+ H2 (z) = Gsw(z) =[Hw(z−1)Gsz (z)]+
1 Gsz (z) H(z) = + + −1 Gz (z) Gz (z )
+
维纳滤波器
Rsw (n1 , n2 ) = E {s (n1 ) w(n2 )} = E s (n1 )∑ z (n2 − k )hw (k ) k =0 = ∑ Rsz (n1 , n2 − k )hw (k )
维纳滤波器
维纳滤波器
波形估计 维纳滤波器频域解 维纳滤波器时域解
维纳滤波器
一、波形估计一般概念
z(n) = s(n) + v(n)
波形估计有三种类型 ：
n = n0, n0 +1 nf ,...,
(1)滤波： 根据当前和过去的观测值 滤波： 滤波 {z(k),k= n0, n0+1,...,n}对信号 对信号s(n)进行估计 对信号 进行估计 (2)预测 根据当前和过去的观测值 预测: 根据当前和过去的观测值{z(k),k= n0, n0+1,...,nf} 预测 对未来时刻n(n>nf)的信号 的信号s(n)进行估计，预测也称为外 进行估计， 对未来时刻 的信号 进行估计 推。
维纳滤波器 (3)内插 根据某一区间的观测数据 内插: 根据某一区间的观测数据{z(k),k= 内插 n0,n0+1,...,nf}对区间内的某一个时刻 0<n<nf)的信 对区间内的某一个时刻n(n 对区间内的某一个时刻 的信 号进行估计，内插也称为平滑。 号进行估计，内插也称为平滑。 波形估计的目的： 波形估计的目的： 选取线性滤波器的冲激响应函数或传输函数， 选取线性滤波器的冲激响应函数或传输函数， 使估计的均方误差达到最小。 使估计的均方误差达到最小。
吉林大学 李月教授 随机信号处理课件第5次课
（2－19）
10
11
（2－20）
（2－21）
（2－22）
12
为了表述方便，我们又常将式（2－22）表达的维纳－霍夫方程写成矩阵形式，即
（2－23）
式中
（2－24）
（2－25）
13
则为
的自相关矩阵。以及 （2－26）
（2－27）
14
图2.3
的信号模型
15Leabharlann 白噪声的自相关函数及功率谱密度分别为
当信号模型的冲激响应为实序列时，不难得到
的功率谱密度 （2－28）
图2.4 维纳滤波器输入－输出关系
16
17
对于图2.4（b）所示的情况，其输入输出关系近似地表示成
（2－30）
18
的方法求解维纳－霍夫方程
（a）
（b）
图2.6
利用白化
19
显然，这里的 （2－31） 已知信号的 后，即可从式（2－29）解得
又因为从式（2-41）已知
所以有
（2-54）
29
因而
所以式（2-54）可以写成
2
（2-55）
若将积分围线取成单位圆，即
代入上式，可得
(2-56)
从式（2-56）可以看到，只有当信号功率谱与噪声功率谱不重叠时，其 E e 2 n min才为零。
30
2.3.2
因果维纳滤波器
g(k)=0, k<0
最小意义下的均冲激响应
为了便于得出矩阵表示式，我们先将式（2－6）
改写成
（2－8） 式中 （2－9）
5
因此
（2－10）
为了求得
最小时的
，我们先将式（2－10）对
维纳滤波
5.1.1 因果的维纳滤波器
设 h( n) 是物理可实现的，也即是因果序列：
h(n) = 0, 当n < 0
因此，从式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推导：
ˆ( n ) = ∑ h ( m ) x ( n − m) y ( n) = s
m =0
+∞
(5-5)
+∞ ⎡ ⎤ E e 2 ( n ) = E ⎢( s ( n ) − ∑ h ( m ) x ( n − m ) ) 2 ⎥ m =0 ⎣ ⎦
asdfdsaf
asdfdsa
asdfasdf
第一节
维纳滤波器的时域解（Time domain solution of the Wiener filter）
设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应 h( n) 或传递 函数 H ( z ) 的表达式，其实质就是解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。我们从时域入手求 最小均方误差下的 h( n) ，用 hopt ( n) 表示最佳线性滤波器。这里只讨论因果可实现滤波器的 设计。
由式（5－15）进一步化简得：
E[e 2 (n)] min = Rss (0) − ∑ hopt (m) R xs (m)
m =0
N −1
(5-19)
用有限长的 h( n) 来实现维纳滤波时，当已知观测值的自相关和观测值与信号的互相关 时就可以按照式（5－15）在时域里求解 hopt ( n ) 。但是当 N 比较大时，计算量很大，并且涉 及到求自相关矩阵的逆矩阵问题。注意到式（5－15）的表现形式和第三章的 AR 模型参数估 计的矩阵形式类似，因而也可以用前面介绍的 L-D 快速算法实现求解。 若信号 s ( n) 与噪声 w( n ) 互不相关，即，
维纳滤波课件
= f ss (0) - 2å hopt ( m )f
m= 0
å
m= 0
hopt (m)f
xx
( k - m)
维纳－ 维纳－霍夫方程
xx
+ 邋hopt ( m )[
m= 0 r= 0
ゥ
hopt ( r )f
( m - r )]
¥
E[e 2 ( n)]min = f ss (0) -
å
m= 0
hopt ( m )f
xs
(m )
10
2.2.2 有限脉冲响应法求解维纳－霍夫方程 有限脉冲响应法求解维纳－
¥
f
xs
(k ) =
å
m= 0
hopt ( m )f
xx
(k - m )
k = 0,1, 2...
从维纳－霍夫方程中求出h，就是最小均方下的最优h 从维纳－霍夫方程中求出 ，就是最小均方下的最优 opt。 是一个因果序列可以用有限长度为 设h(n)是一个因果序列可以用有限长度为 的（h(n)是一个 是一个因果序列可以用有限长度为N的 是一个 长度为N的 滤波器） 长度为 的FIR滤波器）序列逼近它。 滤波器 序列逼近它。
最小均方误差
信号的真值与估计值之间的误差e(n) 信号的真值与估计值之间的误差 真值与估计值之间的误差
ˆ e ( n) = s( n) - s ( n)
e(n)为随机变量，可正可负，用其均方值表达误差 为随机变量，可正可负， 为随机变量 较为合理。 较为合理。均方误差最小是指它的平方的统计平均 值最小： 值最小：
] = [f xx ][h]
13
[h] = [f xx ]- 1[f xs ] = [hopt ]
第五章 维纳滤波-2
6
符号矩阵的基本运算二
• • • • • • • mtaylor(f,n) —— 泰勒级数展开 ztrans(f) —— Z变换 Iztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 Invlaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 Invfourier(f) —— 反付氏变换
• 在生物医学信号处理中比较典型的应用就 是关于诱发脑电信号的提取。 • 大脑诱发电位（Evoked Potential，EP） 指在外界刺激下，从头皮上记录到的特异 电位。 • EP信号十分微弱，一般都淹没在自发脑电 （EEG）之中。 • 通过多次刺激得到的脑电信号进行叠加来 提取EP，这是现今最为广泛使用的EP提 取方法。
6/12/2018
滤波器阶数的影响（N为样本点长度）
（N=256） 0.3019
Amplitude
期望信号和滤波后信号对比 3 期望信号 滤波后信号
2
1
（N=512） 0.3680
0
-1
-2
-3
6/12/2018
-4
0
100
200
300 Time(n)
400
Hale Waihona Puke 500600内容
1. 维纳滤波器的FIR方法——滤波器长度 和信噪比的影响 2. 维纳滤波器的预白化法的计算机实现 3. 维纳预测器的FIR方法的实现和效果 4. 维纳滤波器的应用 • 本章作业全做，下周五交
N = input('观测点数=');% 观测点数 n = 1:1:N; s = 2 * sin(pi * n / 3 + pi / 6);% 信号 s1 = 2 * sin(pi * (n+1)/ 3 + pi / 6); v = zeros(size(s));%无干扰 %v = sqrt(0.5) * randn(size(s));%有干扰 Y = s1 + v;% 观测样本值 % 设计维纳预测器 % 观测信号自相关 [C, lags] = xcorr(Y, N, 'biased'); % 自相关矩阵 C1 = toeplitz( C(N + 1 : end) ); % s, y互相关函数 C2 = xcorr(Y, s, N, 'biased'); C2 = C2(N + 1 : end); Wopt = inv(C1) * C2'; y = filter(Wopt, 1, s);% 滤波 % 结果 figure(1) plot(n(1:10), s(1:10), 'r:', n(1:10), y(1:10), 'b-');grid legend('信号真值','预测值'); title('真值与预测结果对比');
符号矩阵的基本运算二
• • • • • • • mtaylor(f,n) —— 泰勒级数展开 ztrans(f) —— Z变换 Iztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 Invlaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 Invfourier(f) —— 反付氏变换
• 在生物医学信号处理中比较典型的应用就 是关于诱发脑电信号的提取。 • 大脑诱发电位（Evoked Potential，EP） 指在外界刺激下，从头皮上记录到的特异 电位。 • EP信号十分微弱，一般都淹没在自发脑电 （EEG）之中。 • 通过多次刺激得到的脑电信号进行叠加来 提取EP，这是现今最为广泛使用的EP提 取方法。
6/12/2018
滤波器阶数的影响（N为样本点长度）
（N=256） 0.3019
Amplitude
期望信号和滤波后信号对比 3 期望信号 滤波后信号
2
1
（N=512） 0.3680
0
-1
-2
-3
6/12/2018
-4
0
100
200
300 Time(n)
400
Hale Waihona Puke 500600内容
1. 维纳滤波器的FIR方法——滤波器长度 和信噪比的影响 2. 维纳滤波器的预白化法的计算机实现 3. 维纳预测器的FIR方法的实现和效果 4. 维纳滤波器的应用 • 本章作业全做，下周五交
N = input('观测点数=');% 观测点数 n = 1:1:N; s = 2 * sin(pi * n / 3 + pi / 6);% 信号 s1 = 2 * sin(pi * (n+1)/ 3 + pi / 6); v = zeros(size(s));%无干扰 %v = sqrt(0.5) * randn(size(s));%有干扰 Y = s1 + v;% 观测样本值 % 设计维纳预测器 % 观测信号自相关 [C, lags] = xcorr(Y, N, 'biased'); % 自相关矩阵 C1 = toeplitz( C(N + 1 : end) ); % s, y互相关函数 C2 = xcorr(Y, s, N, 'biased'); C2 = C2(N + 1 : end); Wopt = inv(C1) * C2'; y = filter(Wopt, 1, s);% 滤波 % 结果 figure(1) plot(n(1:10), s(1:10), 'r:', n(1:10), y(1:10), 'b-');grid legend('信号真值','预测值'); title('真值与预测结果对比');
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m 0 r 0
R s( 0 s) 2 h o( m p) R tx( m s) h o( m p) th o( r p ) R tx( m x r )
m 0
m 0
r 0
R x(sj) h o( p m t)R x(xj m ) j 0 m 0
E [e 2(n )m ] in R s(s 0 ) h o( p m t)R x(s m ) m 0
15
2 E ( s ( n ) m N 0 1 h o( p m ) x t( n m ) ) x ( n j) 0j 0 ,1 ,2 N 1
N 1
E s (n )x (n j) h o(m p )E tx (n m )x (n j) j 0 ,1 , N 1 m 0 N 1 R x(s j)h o( p m ) tR x(x j m ) j 0 ,1 ,2 , ,N 1 m 0
4
（图）维纳在讲解控制论。根据这一理
论，一个机械系统完全能进行运算和记忆 。
5
第一节 维纳滤波器的时域解 第二节维纳预测器
第三节维纳滤波器的应用
6
• 设有一个线性系统，它的单位脉冲响应 是 h(n) ，当输入一个观测到的随机信 号 x(n) ，简称观测值，且该信号包含噪
声 w(n)和有用信号 s(n)，简称信号，也
h(n) x(n)s(n)w (n)
y(n)sˆ(n)
8
• 用当前的和过去的观测值来估计当前的 信号y(n)sˆ(n)称为滤波；
• 用过去的观测值来估计当前的或将来的 信号 y(n)sˆ(nN) N>=0 ，称为预测；
• 用过去的观测值来估计过去的信 号y(n)sˆ(nN)，N>=1 ，称为平滑或 者内插。
• 我们从时域入手求最小均方误差下的 h(n) 用 hopt (n) 表示最佳线性滤波器。这里只 讨论因果可实现滤波器的设计。
11
５.１.１ 因果的维纳滤波器
设 h(n) 是物理可实现的，也即是因果序 列：
h(n)0,当n0
因此，从式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推导：
(5-5)
y(n)sˆ(n)h(m)x(nm)
E e 2 ( n ) E ( s ( n ) s ˆ ( n ) 2)(5-4)
10
５.１ 维纳滤波器的时域解 （Time domain solution of the Wiener filter）
• 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小 均方误差下滤波器的单位脉冲响应 h(n) 或传递函数 H (z)的表达式，其实质就是 解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。
即
x(n)s(n)w (n)
则输出为
y(n)x(n)h(n) h(m )x(nm ) m
7
• 我们希望输出得到的 y(n)与有用信号s(n)
尽量接近，因此称 y(n)为 s(n)的估计值，
用 来sˆ(表n)示 ，y(我n)们就有了维纳滤
波器的系统框图 ．这个系统的单位脉冲
响应也称为对于 的s(m )x(nm ))2 (5-6)
12
E e 2 (n ) E (s (n ) h (m )x (n m ))2
m 0
• 要使得均方误差最小，则将上式对各 h(m) m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得：
2 E (s (n ) h o( p m ) tx (n m ))x (n j) 0 j 0 ,1 ,2
m 0
E s (n )x (n j) h o(p m )tE x (n m )x (n j) j 0 m 0 R x(sj) hop (m t)R x(xjm ) j0 m 0
从维纳－霍夫方程中解出的h就是最小均 方误差下的最佳h，hopt (n) 。
13
• 求到 hopt (n) ，这时的均方误差为最小：
第五章 维纳滤波
（Wiener Filtering）
1
2
3
•维纳于1894年生在美国密苏里州哥伦比亚市的一个犹太人的 家庭中。他的父亲是哈佛大学的语言教授。维纳18岁时就获 得了哈佛大学数学和哲学两个博士学位，随后他因提出了著 名的“控制论”而闻名于世。 •1940年，维纳开始考虑计算机如何能像大脑一样工作。他发 现了二者的相似性。维纳认为计算机是一个进行信息处理和 信息转换的系统，只要这个系统能得到数据，机器本身就应 该能做几乎任何事情。而且计算机本身并不一定要用齿轮， 导线，轴，电机等部件制成。麻省理工学院的一位教授为了 证实维纳的这个观点，甚至用石块和卫生纸卷制造过一台简 单的能运行的计算机。 •维纳在1940年写给布什的一封信中，对现代计算机的设计曾 提出了几条原则：（1）不是模拟式，而是数字式；（2）由 电子元件构成，尽量减少机械部件；（3）采用二进制，而不 是十进制；（4）内部存放计算表；（5）在计算机内部存贮 数据。这些原则是十分正确的。
14
５.１.２有限脉冲响应法求解 维纳－霍夫方程
• 设 h(n)是一个因果序列且可以用有限长
（N点长）的序列去逼进它，则式(5-5) －(5-10)分别发生变化：
N1
y(n)sˆ(n)h(m)x(nm) (5-11) m0
Ee2(n)E (s(n)m N 0 1h(m )x(nm ))2 (5-12)
E e2(n )m inE (s(n ) h op (m t)x(n m ))2
m 0
E [ s 2 ( n ) 2 s ( n )h ( m ) x ( n m ) h o( m p ) x ( t n m ) h o( r p ) x ( n t r ) ]
m 0
9
h(n) x(n)s(n)w (n)
y(n)sˆ(n)
• 系统框图中估计到的 sˆ(n) 信号和我们期望得到
的有用信号s(n) 不可能完全相同，这里用 e(n)
来表示真值和估计值之间的误差
e(n)s(n)sˆ(n)
(5-3)
• 显然 e(n) 是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波 的误差准则就是最小均方误差准则