第三章 泊松过程 2

泊松贡献：
泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其 在摆的运动和声学理论中的应用。他工作 的特色是应用数学方法研究各类力学和物 理问题，并由此得到数学上的发现。他对 积分理论、行星运动理论、热物理、弹性 理论、电磁理论、位势理论和概率论都有 重要贡献。
3.1.2.泊松分布和泊松定理
泊松分布：
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2, …,而 取各个值得概率为
.
泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程
例如： • 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； • 火车站某段时间内购买车票的旅客数； • 机器在一段时间内发生故障的次数；
3.1.3 泊松过程
• 定义1 随机过程{N(t)，t 0 }称为计数过程， 如果 N(t) 表示从0到t 时刻某一特定事件事件A 发生的次数，它具备以下两个特点
在此之前，首先熟悉一个函数f是o(h)的概念（高 阶无穷小）
即：若对于一个函数f，满足：
f (h)
lim h0
h
0
则称函数f是o(h).
• 定义2' 计数过程{N(t)，t 0 }是泊松 过程，如果N(t)满足
(1) N(0)=0， (2) N(t)是平稳独立增量过程，
(3) 存在>0，当h↘0 时，有
{N(t), t 0 }是一个泊松过程.
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➢例（Poisson过程在排队论中的应用）随机服
➢务系统中排队现象，可以用Poisson过程描述
➢。例如，到达电话总机呼叫数目、到达车站
➢顾客数等等。以车站售票处为例，上午8：00
➢开始，连续售票，乘客10人/h的速度到达，
➢从9：00-10：00这1小时内最多5名乘客到来
(1) N(t) 0 ，且 N(t) 取整数； (2)当s< t 时，则 N(s)N(t), 且 N(t)-N(s)
表示在时间(s, t]时间内事件A 发生的 次数.
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Poisson过程
➢例 ➢对观察事件出现的次数感兴趣，可以用
计数过程描述。 ➢一段时间内某商店购物的顾客数。 ➢经过公路上某一路口的汽车数量。 ➢保险公司接到的索赔次数。
➢ N(t)表示(0,t]时间内发生事故的次数。 ➢Poisson过程就是{N(t)，t 0 }很好的一种 ➢近似。考虑保险公司每次赔付都是1，每 ➢月平均4次接到索赔要求，一年中他要付 ➢出P的{N平(12均) 金N额(0)为 多n}少 (？412)n e412,
n! E[N (12) N (0)] 4 12 48.
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• 定义2 计数过程{N(t)，t 0 }称为参数为
（ >0）的泊松过程, 如果
(1) N(0)=0， (2) 过程有独立增量 (3) 在任一长度为 t 的时间区间中事件A发
生的次数服从均值为 t 的泊松分布，
即对任意s 0, t >0，有
P N (t s) N (s) n et (t)n ,
➢的概率？10：00-11：00之间没人来的概率？
➢ 解 设8:00为0时刻，9：00为1时刻，参数λ 10.
P{N (2) N (1) 5} 5 e101 (10 1)n ,
n0
n!
P{N (3) N (2) 0} e10 (10)0 e10. 0!
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➢ （事故的发生次数和保险公司接到的索赔数）
泊松生平：
1798年入巴黎综合工科学校深造。 毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师。 受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的赏识。 1800年毕业后留校任教 1802年任副教授 1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。
1808年任法国经度局天文学家
1809年任巴黎理学院力学教授。 1812年当选为巴黎科学院院士。
P{X k} ke , k 0,1, 2,L ,
k!
其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松 分布，记为X～p（λ）
E(X ) D(X )
泊松定理 :
设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设，则 对于任一固定的非负整数k，有
e
pn (1 pn )
k!
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• 独立增量计数过程: 对于t1<t2<<tn (n>3)，N(t2)-N(t1), N(t3)N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 相互独立.
• 平稳增量计数过程: 在(t, t+s]内(s>0)，事件A 发生的次数
N(t+s)-N(t) 仅与时间间隔 s 有关，而 与初始时刻 t 无关.
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由定义2可知，为了确定一个任意的计数过程 实际上是一个泊松过程，必须证明它同时满足定义
中的（1）、（2）、（3）三个条件，其中条件（1） 只是说明事件的计数过程是从时刻t=0开始的，条件 （2）根据我们对计数过程了解的情况直接验证，而
对于条件（3）我们全然不知道如何去满足。
因此，给出另一个泊松过程的定义是就显得很 有必要，接下来介绍泊松过程的另一个定义：
第三章 泊松过程
目录
➢ Poisson过程 ➢ 与Poisson过程相联系的若干分布 ➢ Poisson过程的推广
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3.1 泊松过程
➢3.1.1 泊松简介 ➢3.1.2 泊松分布和泊松定理 ➢3.1.3 泊松过程
3.1.1 泊松简介
泊松，法国著 名数学家。 1781 年6月21 日生于法国 卢瓦雷省的 皮蒂维耶， 1840年4月25 日卒于法国 索镇。
P N (t h) N (t) 1 h o(h)
n! n 0,1, 2,L
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注： (1)泊松过程是平稳独立增量过程;
(2)E[N(t)]=t , E表[N示(t单)] 位
时间内事件A发生的平均次t 数，一般称为 过程的强度或速率.
例 在(0, t]内接到服务台咨询电话的次数 N(t)，在(0, t]内到某火车站售票处购买车 票的旅客数N(t) 等都是泊松变量，
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Poisson过程
➢ Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的 ➢ 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生
时间来定义的。 ➢ 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予
一个随机的事件数，使得在一个时间区间内的 事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间 的事件数，这两个随机变量是独立的。 ➢ 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量 ，遵循泊松分布。