Gamma分布与指数分布
gamma函数及相关其分布
gamma函数及相关其分布gamma函数的定义及重要性质\[\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\]\[\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\]\[\Gamma(n) = (n-1)! \]\[\Gamma(0) = 1\]\[\Gamma({1\over 2}) = 2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du = \sqrt\pi\]gamma函数的图像在matlib中，我们可以⽅便的⽤下⾯的代码画出gamma函数的图像。
x = -10:0.001:10;plot(x,gamma(x));axis([-10.1,10.1,-4,4]);随机变量\(Y=X^2\)的概率密度假设随机变量\(X\)具有概率密度\(f_X(x),-\infty<x<\infty\),求\(Y=X^2\)的概率密度。
\begin{align*}F_Y(y) &=P(Y\leq y)=P(X^2 \leq y) \\&=P(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y}) \\ &=F_X(\sqrt{y})-F_X{(-\sqrt{y})} \end{align*}\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y})+f_X(\sqrt{-y}], y >0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]设\(X \sim N(0,1)\)，其概率密度为\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}, -\infty<x<\infty\),则\(Y=X^2\)的概率密度如下：\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-1/2}e^{-y/2}, y>0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]Gamma分布\(X \sim \Gamma(\alpha, \theta)\)\[f_X(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\theta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}, x> 0, \alpha>0,\theta>0 \\0, x \leq 0, \alpha>0,\theta>0 \\\end{aligned}\right.\]当\(\alpha= 1 , \theta = \lambda 时，\Gamma(1,\lambda)\) 就是参数为\(\lambda\)的指数分布,记为\(exp (\lambda)\) ；当\(\alpha= n/2 , \theta = 2 时，\Gamma(n/2,1/2)\)就是数理统计中常⽤的\(\chi^2(n)\) 分布。
数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma分布，Gamma分布与其他分布的联系
数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma 分布，Gamma 分布与其他分布的联系今天的主⾓是指数分布，由此导出Γ分布，同样，读者应尝试⼀边阅读，⼀边独⽴推导出本⽂的结论。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：指数分布的参数估计指数分布是单参数分布族，总体X ∼E (λ)有时也记作Exp(λ)，此时的总体密度函数为f (x )=λe −λx I x >0.现寻找其充分统计量，样本联合密度函数为f (x )=λn exp−λn∑j =1xj I x 1>0⋯I x n >0=λn e −n λ¯xI x(1)>0,由因⼦分解定理，取g (¯x,λ)=λn e −n λ¯x,h (x )=I x (1)>0,可以得到¯X是λ的充分统计量。
但是指数分布的参数并⾮均值，⽽是均值的倒数，所以对¯X 也有E(¯X)=E(X )=1λ.注意，千万不要想当然地认为期望和⼀般的函数之间是可交换的，即⼀般来说E[f (X )]≠f [E(X )]，所以你不能认为¯X−1就是λ的⽆偏估计量。
每到此时，我就想举对数正态分布的例⼦：X ∼N (0,σ2)，求e X 的期望。
显然有E(e X )=∫∞−∞e x1√2πσ2exp −x 22σ2d x=∫∞−∞1√2πσ2exp −x 2−2σ2x 2σ2d x=eσ22∫∞−∞1√2πσ2exp −(x −σ2)22σ2d x=e σ22.最后⼀个等号处，积分是N (σ2,σ2)的密度函数全积分为1。
这说明E(e X )=eσ22≠1=e E(X ).同样，也能告诉我们股票的波动率越⼤，期望收益也越⼤。
但是，⽤¯X −1总是有⼀定道理的，⾄少在量级上保持了跟待估参数的⼀致性。
如果我们要进⾏⽆偏调整，则需要求出¯X 的具体密度。
概率分布excel
概率分布excel概率分布是概率论中的一个重要概念，它描述了随机变量在不同取值下的概率分布情况。
在Excel中，我们可以通过一些函数来计算概率分布，如BINOM.DIST、NORM.DIST等。
本文将介绍一些常见的概率分布及其在Excel中的应用。
一、二项分布（Binomial Distribution）二项分布是指在n次独立的伯努利试验中，成功的次数X服从的概率分布。
在Excel中，可以使用BINOM.DIST函数来计算二项分布的概率。
二、正态分布（Normal Distribution）正态分布是概率论中最重要的概率分布之一，也称为高斯分布。
在Excel中，可以使用NORM.DIST函数来计算正态分布的概率。
三、泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
在Excel中，可以使用POISSON.DIST函数来计算泊松分布的概率。
四、均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指在一个区间内，随机变量的取值概率是均匀分布的情况。
在Excel中，可以使用UNIFORM.DIST函数来计算均匀分布的概率。
五、指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述随机事件发生的时间间隔的概率分布。
在Excel中，可以使用EXPON.DIST函数来计算指数分布的概率。
六、伽玛分布（Gamma Distribution）伽玛分布是描述随机事件发生的时间间隔的概率分布，也可以用来描述一些连续性事件的发生时间。
在Excel中，可以使用GAMMA.DIST函数来计算伽玛分布的概率。
七、贝塔分布（Beta Distribution）贝塔分布是定义在区间[0,1]上的连续概率分布，常用于描述事件的成功率。
在Excel中，可以使用BETA.DIST函数来计算贝塔分布的概率。
八、超几何分布（Hypergeometric Distribution）超几何分布描述了在有限个物体中，成功的物体数目的概率分布。
原创一文读懂泊松分布，指数分布和伽马分布
原创一文读懂泊松分布，指数分布和伽马分布在开始之前，我们需要预习一下二项分布。
还是丢硬币的例子，丢某块特制的硬币，假设正面向上的概率是P，则掷出次，有K次向上的概率P是多少？将硬币正面朝上的次数记为随机变量，则有这种分布就是二项分布。
容易证明，二项分布的数学期望泊松分布我们回到泊松分布。
先来看一个生活场景。
宋朝庆历年间，刘姥姥由于生活压力，不得不根据祖传秘方发明总结并始创了一种名叫十二香的调料，并开始在市场上叫卖。
刘姥姥在街上卖了半年，由于本小利薄，味道赞绝，一直供不应求，但由于制作周期长，原料准备流程复杂，而且保存时间较短，一直无法提高产量。
这一天，刘姥姥终于决定要弄清楚她每天刚制作的调料究竟是如何被火速买光的，以便提高进货量来增加销量。
刘姥姥首先买了绝对充足的原料，熬夜制作了足份的十二香。
卖了一周，每天开张五个时辰，结果没卖光剩下的调料全部变质了只能丢掉，心疼的她难受了小半天。
不过她总算是记录下了宝贵的数据：这七天内每天调料的销售情况。
刘姥姥看着这用浪费的调料换来的宝贵数据，想了想，打算以后每天都按照日出货平均数：即10份来进原材料，制作，保存。
刘姥姥的儿子刘大耳不同意。
他认为：如果按照10份准备，那七天里有四天都不够卖的，这可能会使王县令的老婆买不到调料，将来一定会闹事。
刘大耳说：我们应该保证有90%以上的把握准备最少的调料每日的份数，使来咱这购买十二香的客人需求全都满足。
我们可以如此如此，这般这般……于是刘姥姥就听从了大耳儿的建议，从此之后，生意更加兴隆，至于王县令后来入伙加盟，生意不断做大，后来更是推陈出新创立了十三香举世闻名，当然这都是后话了。
那么当时刘大耳的方案是什么呢？接下来将一一道来。
刘姥姥每天卖五个时辰，也就是600分钟，如果每分钟最多只能卖出一份调料，且在这一分钟卖出调料的概率是P，那么这一天卖出10份调料的概率可以通过二项分布计算：但是王县令家里人丁兴旺，他老婆有时候会一次买几十份调料，那每分钟可能就卖出去不止一份调料。
gamma分布的数学意义
gamma分布的数学意义摘要：1.Gamma分布的定义与特点2.Gamma分布的数学意义3.Gamma分布的应用场景4.Gamma分布与其他概率分布的关联正文：Gamma分布是一种连续型概率分布，它的定义域为正实数，具有如下概率密度函数：f(x) = x^(-k) * e^(-λx)，其中k和λ为正实数。
Gamma分布的特点如下：1.形状：随着参数k的变化，Gamma分布的形状会发生变化。
当k>1时，分布呈现出瘦长的形态；当1<k<2时，分布呈现出钟形；当k=2时，分布变为正态分布；当k<1时，分布变得更宽。
2.尺度：Gamma分布的尺度参数为λ，它决定了分布的宽度。
λ越大，分布越宽；λ越小，分布越窄。
3.尾部：Gamma分布的尾部随着k的增大而变得更厚，意味着更大的k 值对应着更高的尾部概率。
4.性质：Gamma分布的概率密度函数具有连续性和可微性，满足概率论的基本要求。
那么，Gamma分布的数学意义是什么呢？首先，我们需要了解Gamma分布的累积分布函数（CDF）F(x)：F(x) = 1 - β(x^(-k) - 1) / Γ(k)，其中β=λ/k，Γ(k)为伽马函数。
1.Gamma分布的数学意义之一是，它描述了等待时间的长短。
在排队论中，Gamma分布可以用来表示等待时间的分布。
当k=1时，Gamma分布退化为指数分布，这是最常见的等待时间分布。
2.Gamma分布的数学意义之二是，它与概率论中的乘法定理密切相关。
当k=1时，Gamma分布变为泊松分布，泊松分布的累积分布函数可以表示为F(x) = e^(-λ) *∑(n=0,∞) [λ^n / (n!)] * (1 - e^(-λx))^n，这是概率论中非常重要的一个分布。
3.Gamma分布的数学意义之三是，它在地学、生物学、金融学等领域具有广泛的应用。
例如，在地学中，Gamma分布可以用来描述岩石的年龄分布；在生物学中，Gamma分布可以用来描述种群的生长速率；在金融学中，Gamma分布可以用来描述资产价格的波动率。
伽马分布 指数族分布
伽马分布与指数族分布1. 伽马分布（Gamma Distribution）1.1 定义和特征伽马分布是一种连续概率分布，常用于描述正定随机变量的概率分布。
它由两个参数形成：形状参数（shape parameter）k和尺度参数（scale parameter）θ。
伽马分布的概率密度函数（probability density function, PDF）可以表示为：f(x;k,θ)=1Γ(k)θkx k−1e−xθ其中，x>0，Γ(k)表示伽马函数。
1.2 性质和应用伽马分布具有以下几个重要的性质： - 当k=1时，伽马分布退化为指数分布。
- 当k为整数时，伽马分布可以看作k个独立同分布的指数随机变量之和。
- 当k较大时，伽马分布近似正态分布。
由于其灵活性和广泛应用性，伽马分布在许多领域中被广泛使用。
例如，在可靠性工程中，它常被用于建模设备的寿命。
在金融学中，它被用于建模股票价格的波动。
在信号处理中，它被用于建模信号的功率。
1.3 参数估计对于给定的一组样本数据，我们可以通过最大似然估计（maximum likelihood estimation, MLE）来估计伽马分布的参数。
具体而言，对于形状参数k，估计值为样本均值的平方除以样本方差；对于尺度参数θ，估计值为样本均值除以形状参数k。
2. 指数族分布（Exponential Family Distribution）2.1 定义和特征指数族分布是一类重要的概率分布家族，它包含了许多常见的概率分布，如正态分布、泊松分布和伽马分布等。
指数族分布具有以下形式：f(x;θ)=ℎ(x)exp(η(θ)⋅T(x)−A(θ))其中，x是随机变量，θ是未知参数，ℎ(x)是正规化因子（normalizing constant），η(θ)是自然参数（natural parameter），T(x)是充分统计量（sufficient statistics），A(θ)是对数正规化因子（log normalizing constant）。
指数分布
指数分布是连续型随机变量，指数分布具有无记忆性，指数分布是特殊的gamma分布。
指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。
指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。
指数分布的定义形式：λ就表示平均每单位时间发生该事件的次数，是指数函数的分布参数；f(x:λ) = λe^(-λx),表示在该时刻发生时间的概率。
比如放射性衰变就遵循这一分布，这里的半衰期就对应1/λ.指数分布的期望为1/Lamta,方差为1/Lamta^2。
指数分布中最关键的一点，如何理解率参数。
给定独立同分布样本x= (x1, ...,x n)，最大化似然概率得到参数的似然值为：lamta^ = 1/x;指数分布表示随机变量的概率只与时间间隔有关，而与时间起点无关。
数学语言表达为：p(T>s+t | T >t ) = p(T>s) for all s,t >= 0指数分布常用来描述“寿命”类随机变量的分布，例如家电使用寿命，动植物寿命，电话问题里的通话时间等等。
“寿命”类分布的方差非常大，以致于已经使用的时间是可以忽略不计的。
例如有一种电池标称可以充放电500次（平均寿命），但实际上，很多充放电次数数倍于500次的电池仍然在正常使用，也用很多电池没有使用几次就坏了——这是正常的，不是厂方欺骗你，是因为方差太大的缘故。
随机取一节电池，求它还能继续使用300次的概率，我们认为与这节电池是否使用过与曾经使用过多少次是没有关系的。
有人戏称服从指数分布的随机变量是“永远年轻的”，一个60岁的老人与一个刚出生的婴儿，他们能够再活十年的概率是相等的，你相信吗？——如果人的寿命确实是服从指数分布的话，回答是肯定的。
贴一道题加深理解。
伽马分布曲线
伽马分布曲线伽马分布（Gamma Distribution）是概率论和统计学中常用的一种连续概率分布。
它常用于描述等待时间、寿命和可变性等方面的现象。
伽马分布具有很多重要的性质和应用，本文将对伽马分布的定义、性质以及一些应用进行详细介绍。
一、定义与参数伽马分布是由两个参数所决定的连续概率分布。
通常记为Gamma(α, β)，其中α称为形状参数（shape parameter），β称为尺度参数（scale parameter）。
伽马分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）为：f(x) = (1 / (Γ(α) * β^α)) * (x^(α-1)) * exp(-x/β)其中，x ≥0，Γ(α)表示伽马函数（Gamma function），定义为：Γ(α) = ∫[0,∞](t^(α-1) * exp(-t) dt)伽马函数是阶乘函数的推广，当α为正整数时，Γ(α) = (α-1)！二、性质1. 期望与方差：伽马分布的期望和方差分别为：E(X) = α* βVar(X) = α* β^22. 形状参数与尺度参数的关系：伽马分布的形状参数α决定了分布的形状，尺度参数β决定了分布的尺度。
当α为整数时，伽马分布可以表示为α个指数分布的和。
3. 特殊情况：当α为1时，伽马分布退化为指数分布。
当α为整数时，伽马分布退化为Erlang分布。
4. 伽马函数的性质：伽马函数具有很多重要的性质，如Γ(1) = 1，Γ(1/2) = √π等。
此外，伽马函数满足递推关系：Γ(α+1) = α* Γ(α)三、应用伽马分布在实际应用中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用领域。
1. 可靠性工程：在可靠性工程中，伽马分布常用于描述产品的寿命。
通过对伽马分布的参数估计，可以对产品的寿命进行预测和评估。
2. 保险精算：在保险精算中，伽马分布常用于描述保险索赔的次数和金额。
通过对伽马分布的参数估计，可以确定保险费率和赔款准备金。
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Gamma分布与指数分布
"Gamma 分布gamma distribution; form of gamma distribution;" 在学术文献中的解释
1、在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下,可以导出地震发生i 次时间的概率密度为Gamma 密度函数(亦称为Gamma分布)
r (称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。
伽马函数有性质：
r(x+i)=x , (r)
(0)=1, r (1/2)=，▽对证整数n,有r (n+1)=n伽马分布里面r ( a ,(分布函数已经了解)。
a ,个指代何种意义的参数？比如在化工里面有这样一个问题，说反应器管道的长度L服从r ( a分布，那么a，是和管道形状和尺度相关的参数。
a，是两个分布调整参量，该分布的期望二C+(a /也就是说a /调整期望；分布的方差二a / (3，由此并不需要单独定义二者，应该共同对分布起作用！
伽马函数r(z)的定义域是，C-{-n,n=0,1,2,...}其中C为复数域，Re (z) >0 时，常见的积分是收敛，也就是说r(z)可用常见的积分定义。
如 1 种常见的积分：
r (z)二/ {0<x<+ g }x z-(2z；A(-x A2)dx。
先把gamma 分布的概率密度函数写一下：
f(x)二入*[(入x)A(a-1)]*[eA(-入x)]/g(a)
其中：
g(a)= / 到0无穷} [xA(a-1)]*[eA(-x)]dx
均值是a/入
方差是a/(入A2)
指数分布
如果随机变量X 的概率密度为
公式
P (X>0二入乘以(e的一入X次方)；p(x<0)=0
则称X遵从指数分布(参数为为。
在概率论和统计学中，指数分布( Exponentialdistribution )是一种连续概率分布。
指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。
许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。
有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。
它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。
指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。
指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于 1 的特殊分布，指数分
布的失效率是与时间t 无关的常数，所以分布函数简单。