第十七讲 二元一次不定方程的解法
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
二元一次不定方程的解法及其应用
一次不定方程#
$&) 有整数解的条件
定理 $&$ 设 A!g4Bi%有一组整数解 !i!% "BiB% "且
( A"4) i8"A iA$ 8"4i4$ 8"则'$( 式的所有解可以表示成!
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定理 $&) 二元一次不定方程 A!g4Bi%有整数解的充
其中
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C% i%"C$ i$"C.iE.C.j$ gC.j)
依次求出 D) "C) "D( "C( "3"D? "C? "即可得到'(( 式# )&( 降低系数法 逐步取整法
当方程的系 数 较 大 时" 以 较 小 的 系 数 作 除 数 辗 转 相
除"根据不定方 程 的 解 是 整 数 这 一 条 件" 把 所 求 不 定 方 程
则 A!g4Bi%与方程 A !g 4 Bi % 即 A !g4Bi ( A"4) ( A"4) ( A"4) 8 8
%同解"令 8
A
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程中未 知 数 !和 B的 系 数 是 互 质 的" 所 以 只 需 求 出 A$ ! g4$ Bi$ 的一组整数解为 !i!% "BiB% "则 !i%$ !% "Bi%$ B% 为 方程 A$ !g4$ Bi%$ 的一组整数解"也即为 A!g4Bi%的一组 整数解#
解二元一次不等式组的方法总结
解二元一次不等式组的方法总结二元一次不等式组是由两个二元一次不等式构成的方程组。
解决这类问题需要采用一定的方法和技巧。
本文将总结几种解二元一次不等式组的常用方法。
一、图像法图像法是解决二元一次不等式组的一种直观有效的方法。
首先，我们可以将每个不等式转化为相应的直线不等式，然后绘制出它们在坐标平面上的图像。
通过观察图像的位置关系，我们可以确定二元一次不等式组的解集。
例如，对于不等式组：{2x + 3y ≥ 6{x - 2y ≤ 4我们可以将两个不等式转化为直线不等式，得到图像如下：[图像]从图中可以看出，两者的交集即为解集，即解集为{x | 1 ≤ x ≤ 6，1 ≤ y ≤ 6}。
二、代入法代入法是另一种解决二元一次不等式组的方法。
它可以通过将其中一个不等式的某个变量表示为另一个变量的函数，然后代入到另一个不等式中去，从而将问题转化为一个变量的一次不等式。
例如，对于不等式组：{3x + 2y > 10{2x - y < 5我们可以先将第一个不等式表示为y的函数：y > (10 - 3x) / 2。
然后我们将它代入到第二个不等式中，得到2x - (10 - 3x) / 2 < 5。
然后我们整理得到不等式9x - 20 < 0，解得x < 20/9。
接下来，我们将x的解代入到初始的第一个不等式，可以得到3x + 2y > 10，代入之后我们可以解得y > (10 - 3x) / 2。
结合两个不等式的解集，我们可以得到最终的解集为{x | x < 20/9，y > (10 - 3x) / 2}。
三、消元法消元法是解决二元一次不等式组的另一种常用方法。
它通过消除其中一个变量，将问题转化为一个变量的一次不等式。
例如，对于不等式组：{3x + 2y ≥ 4{4x - y < 5我们可以通过将第一个不等式乘以2，第二个不等式乘以3，然后相加得到6x + 4y + 12x - 3y ≥ 8 + 15，整理得到18x + y ≥ 23。
二元一次不定方程的解法及其应用
二元一次不定方程的解法及其应用
解二元一次不定方程的一种常用方法是通过消元法或代入法。
具体步骤如下：
1. 将二元一次不定方程表示为两个未知数的方程形式，例如：ax + by = c，其中a、b和c都是已知的常数。
2. 通过消元法，选择合适的操作将方程化简为只含有一个未知数的方程。
可以选择将一个未知数的系数调整为0，或者通过加减两个方程将某一未知数的系数相消。
3. 消去一个未知数后，得到只含有一个未知数的方程。
根据需要，可以解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入原方程中，解得另一个未知数的值。
通过这种方法，可以求得二元一次不定方程的解。
二元一次不定方程的应用十分广泛。
在实际生活中，二元一次不定方程可以用来描述各种关系。
例如，在经济学中，二元一次不定方程可以表示两种商品的价格与需求量之间的关系。
在物理学中，二元一次不定方程可以表示两个物理量之间的线性关系。
在工程学中，二元一次不定方程可以用来描述两个变量之间的功能关系。
通过求解二元一次不定方程，可以得到这些关系的数学表达式，并且可以根据已知条件来求解未知数的值，从而得到实际问题的解答。
二元一次不定方程的解法
二元一次不定方程的解法.doc一、二元一次不定方程的概念二元一次不定方程指的是形如ax + by = c 的方程，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
如果a、b不同时为零，那么该方程就是一个二元一次不定方程。
二元一次不定方程具有如下特点：1.方程有两个未知数，需要求出两个未知数的值才能确定方程的解。
2.方程的一次项系数a,b不能同时为0。
3.方程的解可能有无数个，也可能没有解。
二、二元一次不定方程的求解方法1.消元法消元法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。
这种方法的基本思想是通过消去一个未知数，将方程转化为一个一元一次方程，从而求解出这个未知数的值，最后再代入原方程中求出另一个未知数的值。
举例说明：a）求解2x + 3y = 7的解。
解答：将x消去，得到y = (7 - 2x)/3。
因为x和y都是整数，所以7 - 2x要是3的倍数，才有整数解。
整理得x = (7 - 3y)/2，要是7 - 3y是2的倍数才有整数解。
所以当y取-1、0、1、2、3、4、 5、 6时，可以求得相应的整数解。
b）求解3x + 4y = 5的解。
解答：同样地，将x消去，得到y = (5 - 3x)/4。
因为x和y都是整数，所以5 - 3x要是4的倍数，才有整数解。
但是由于5- 3x的最大值只有4，所以该方程无整数解。
2.代入法代入法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。
这种方法的基本思想是将其中一个未知数用另一个未知数表示出来，将其代入原方程中，从而得到只包含一个未知数的一元一次方程，再求解出这个未知数的值，最后再代回原方程中求出另一个未知数的值。
举例说明：求解x + y = 5, 2x - 3y = 10的解。
解答：可以将x + y = 5中的x用2x - 3y = 10 代替，得到(2x -3y) + y = 5，即2x - 2y = 5。
将该方程除以2，得到x - y = 2。
把该式代入x + y = 5中，可得到2y = 3，即y = 3/2。
二元一次不等式的解法
二元一次不等式的解法二元一次不等式是数学中常见的一类问题，它包含两个未知数和一个不等式关系。
解决这类问题需要运用一定的数学知识和技巧。
本文将介绍几种常见的解二元一次不等式的方法，包括图像法、代入法和换元法。
一、图像法图像法是一种直观且易于理解的解法。
我们可以将二元一次不等式转化为二维平面上的图像，通过观察图像得出解的范围。
以一元一次不等式为例，假设我们要解决如下的二元一次不等式：ax + by > c首先，我们需要将不等式转化为等式，然后绘制出等式的图像，即ax + by = c。
此时，这条直线将平面分为两部分。
接下来，我们选择一个测试点，例如原点(0,0)，代入不等式中，计算左边是否大于右边。
如果满足不等式，我们可以得出解的范围为直线上方的区域；如果不满足不等式，解的范围为直线下方的区域。
对于大于号（>）的不等式，解的范围即为直线上方的区域。
对于小于号（<）的不等式，解的范围即为直线下方的区域。
对于大于等于号（≥）的不等式，解的范围即为直线上方及直线上的区域。
对于小于等于号（≤）的不等式，解的范围即为直线下方及直线上的区域。
二、代入法代入法是一种常用的解二元一次不等式的方法。
通过将等式左边或右边代入其他变量的值，得出另一个变量的取值范围。
以二元一次不等式为例：ax + by > c首先，选择一个变量，例如x，将x代入不等式中，并将不等式转化为关于y的一元一次不等式，如by > c - ax。
接下来，我们可以通过对y进行讨论和计算得出解的范围。
根据不等式的性质，将y表示为关于x的形式，并给出y的取值范围。
然后，选择另一个变量，例如y，将y代入不等式中，并将不等式转化为关于x的一元一次不等式。
同样，通过对x进行讨论和计算，得出x的取值范围。
最后，结合两个变量的取值范围，即可得出二元一次不等式的解的范围。
三、换元法换元法是解二元一次不等式的一种有效方法。
通过引入新的变量，将二元一次不等式转化为一元一次不等式，从而求解。
如何解二元一次不定方程
如何解二元一次不定方程意思就是说求方程a x+by=c 中x,y 的整数解。
对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。
因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。
为了简化问题，我们先求7x +4y =1的一切整数解。
解：我们对等式进行变形，得到y =1−7x 4=−x +1−3x 4式①因为y 是整数，所以1−3x 4也必须是整数，再另y′=1−3x 4，变形得到4y ′+3x =1，再次变形表达成x =1−4y′3=−y′+1−y′3式②因为x 是整数，所以1−y′3也必须是整数，然而1−y′3是整数的条件就是1−y ′是3的倍数，所以y ′=3m +1 式③ 这样1−y′3是整数才能满足。
从式③反推回式②，得到 x =−1−4m再反推回式①得到 y =2+7m至此，我们就得到了不定方程7x +4y =1的全部整数解x =−1−4m ，y =2+7m 式中m 可以取任意的整数。
对结果表示怀疑？那么我们试几个m 值：当m =0时，x =−1，y =2；7x +4y =7×(−1)+4×2=1 当m =1时，x =−5，y =9；7x +4y =7×(−6)+4×9=1如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O(∩_∩)O~我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：式①之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到y =1−7x 4式中x y 都为整数，所以我们又变形得到y =−x +1−3x 4，为何要这样呢？这就是关键所在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为7，而后面的变成了3！而根据1−3x 4是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，这样一直演算下去，最后分子系数肯定会变成1，比如x =−ay′+a−y′c，这时因为a−y′c是整数，假设等于m ，得到a−y′c=m ，变形得到y′=a −cm ，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原始的x y 的通解表达式了。
二元一次不定方程的特解求法
二元一次不定方程的特解求法二元一次不定方程，这个词听起来是不是有点儿吓人？别担心，今天我们就来轻松聊聊这个看似复杂的数学问题。
想象一下，你在厨房里，想做一道美味的菜，结果发现只有两个主要材料，比如鸡蛋和面粉。
这个时候，你就得算一算，怎么配比才好吃。
二元一次不定方程其实就是在解决类似的问题，只不过我们用的是数字和变量，而不是菜肴和调料。
让我们来看看这个方程是怎么回事。
比如说，我们有一个方程，像是ax + by = c，里面的 x 和 y 就像是你那两个小材料，a 和 b 是它们各自的“权重”，c 就是你最终想要的那个“美味”。
哦，对了，这个方程可不是只有一个解哦。
就像你在做饭，鸡蛋和面粉的搭配可以有好多种，只要最终做出来的蛋糕是好吃的就行。
这个就是不定方程的魅力所在。
如何找到特解呢？你得拿出纸和笔，画个小表格，写上你的已知条件。
然后，你可以用一些简单的方法来尝试。
先随便给 x 或者 y 赋个值，看看另一个值会变成什么样。
比如说，假如你给 x = 2，那就可以根据方程求出 y 的值。
这样一来，就像是给你的菜谱添加了不同的配方，谁知道结果会不会意外的好呢？我们还可以用一种叫“辗转相除法”的技巧，这个听起来像是个高大上的名字，其实就是在算数时来回地折腾一下。
你可以通过已知的 a 和 b，计算出它们的最大公约数，哦，这可真是个好帮手。
比如说，想要把你的材料分得更加均匀，这个最大公约数就像是厨房里那把万能刀，切得简单又干净。
如果你运气好，直接算出一个解，嘿嘿，那就太棒了！不过，别忘了，咱们还得找到所有可能的解。
这里面就涉及到一个“小秘密”，就是我们可以用一个通式，把所有的解都包起来。
想象一下，你把各种材料都放进锅里，搅拌成一锅美味的汤。
这个通式的感觉就像是给你汤里加了点儿调料，变得更加丰富多彩。
解的数量和方程的形式有很大关系。
比如说，有时候你可能会遇到方程没有解的情况。
别着急，这就像你在超市找不到某种调料一样，咱们可以换个思路，试试其他的组合。
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的正整数解.
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2009-8-16
有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解． 例1 求11x+15y=7的整数解． 解法1 将方程变形得
因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为
解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得
11×(-4)+15×(3)=1，
即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只 母鸡，84只小鸡．
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练习十七
2009-8-16
第十七讲 二元一次不定方程的解法
1．求下列不定方程的整数解： (1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144； (3)103x-91y＝5． 2．求下列不定方程的正整数解： (1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125． 3．求下列不定方程的整数解： (1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78． 4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解． 5．求不定方程组
第十七讲 二元一次不定方程的解法
第十七讲 二元一次不定方程的解法
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我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，
方程组
等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．
不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题” 等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方 程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．
因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y 的取值只能是0，1，2，3，4这五个．
若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意； 若y=4，则x=2，符合题意． 所以，这个方程有两组正整数解，即
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所以
可取x0=-28，y0=21．从而
11×(-4×7)+15×(3×7)=7，
可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的 解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．
例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．
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2009-8-16
第十七讲 二元一次不定方程的解法
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设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有 ax＇+bx＇=c. ③
③-②得 a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)． ④
由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇ 可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．
例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡 各买了多少只？
解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组
①化简得 15x+9y+z=300． ③ ③-②得 14x+8y=200， 即 7x+4y=100． 解7x+4y=1得
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定理 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程
ax+by=c ① 有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为
其中t=0，±1，±2，±3，…． 证 因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足
ax0+by0=c， ② 因此
a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c． 这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．
我们先看一个例子．
例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？
解 设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程
3x+11y=50．
这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．
但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问 题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．
7x+19y=213 ① 的最小系数7除方程①的各项，并移项得
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第十七讲 二元一次不定方程的解法
因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得
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2u+5v=3． ④ 由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解 x0=25，y0=2，所以它的一切解为
由于要求方程的正整数解，所以
解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为
当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 例4 求方程37x+107y=25的整数解． 解 107=2×37+33，
37=1×33+4， 33=8×4+1． 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得 1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
是方程37x+107y=25的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为
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例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 解 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是
7x+5y=142. ① 所以
由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16， ①的非负整数解为
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第十七讲 二元一次不定方程的解法
用前面的方法可以求得①的解为 ②的解为 消去t，得
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大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡” 这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．
所以，共有4种不同的支付方式． 说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整 除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程． 多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解． 解 设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为
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第十七讲 二元一次不定方程的解法
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也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔． 像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负 整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．
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2009-8-16
第十七讲 二元一次不定方程的解法
=37-9×(37-33)=9×33-8×37 ＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37 =37×(-26)+107×9．
由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是 x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225
解 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得
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第十七讲 二元一次不定方程的解法
3x+11y=45． ① 由观察知，x1=4，y1=-1是方程
3x+11y=1 ② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
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例 求不定方程x-y=2的正整数解． 解 我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是
其中n可以取一切自然数． 因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．
上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大 的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研 究这个问题，先给出一个定理．
2009-8-16
第十七讲 二元一次不定方程的解法
于是7x+4y=100的一个特解为 由定理知7x+4y=100的所有整数解为 由题意知，0＜x，y，z＜100，所以
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由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足 x+y+z=100． txyz 26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84
由定理，可得方程①的一切整数解为
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能． 当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是