第1讲 二元一次方程的解法
人教版数学七年级下册8.2-消元——二元一次方程组的解法(第1课时)
复习回顾：
判断下列各方程是否为二元一次方程:
① 2x32y√
② 1 1×
x y
③ 6ab 3ab× ④ x y y 2×
x
⑤ 2R2r6√
复习回顾：
判断下列各方程组是否为二元一次方程组:
√ ①
2x y
3
y
4
z
3 7
×
x
3y
7
0.
解方程组即可得出x，y的值.
【答案】 -3 —130
巩固提高：
4、若方程 5x2m n4y3m 2n9是关于 x, y的二
元一次方程，求m , n的值.
解：根据题意得
2m n 1, 3m 2n 1.
解得 m 3 , n 1 . 77
巩固提高：
5、下列是用代入法解方程组
②
m
m
n
8
1
③3ab 4 Nhomakorabeaa
5
8
1
9
×
√ ⑤
5 p
p q
q 1
8 2
④
m m 2
1 2n
4n
9 5
×
复习回顾：
用含x的式子表示 y ：
(1)x2y30 (2)2x5y21
y x3 2
y 2x 21 5
(3)0.5xy7
y0.5x7
知识新授：
今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几头
x y 3 ①
【例2】解方程组
3
x
8
y
14
②
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便.
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。
而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。
解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。
它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。
将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。
因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。
将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。
因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。
三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。
它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。
二元一次方程的解法教程
二元一次方程的解法教程二元一次方程是指形如ax+by=c的方程，其中a、b和c是已知常数，x和y是未知数。
解决二元一次方程的方法有几种，下面将介绍其中的三种常见方法：图解法、代入法和消元法。
一、图解法：图解法是通过在坐标系中绘制方程的图形来求解方程的解。
首先，将方程化为标准形式，即x和y的系数分别为1，例如：2x-3y=6可以通过除以2得到x-(3/2)y=3。
然后，选择合适的x和y值，代入方程中计算c。
例如，选择x=0，计算y时，可以得到此时c的值。
反之亦可，选择y=0，计算x时，可以得到此时c的值。
接下来，在坐标系中绘制直线，通过连接两个点找到交点，该交点即为方程的解。
二、代入法：代入法是通过将一个变量的表达式代入另一方程中，从而将二元一次方程转化为一个变量的一元一次方程。
假设有方程组：第一个方程为ax+by=c第二个方程为px+qy=r首先，从第一个方程中解出x或y的表达式（为了方便计算，选择解出系数a较小的变量）例如，从第一个方程中解出x的表达式为x=(c-by)/a然后，将x=(c-by)/a代入第二个方程中，得到p(c-by)/a+qy=r，化简后得到pbqy+bqy=ar-cp。
将y整理到一边得到y=(ar-cp)/(b(ap+aq))，这是一个关于y的一元一次方程。
代入计算y的值后，再将y代入第一个方程或第二个方程中计算x的值，即可得到方程的解。
三、消元法：消元法是通过将其中一个变量的系数相等的两个方程相减，从而消去一个变量的系数，得到关于另一个变量的一元一次方程。
假设有方程组：第一个方程为ax+by=c第二个方程为px+qy=r首先，通过消除y的系数，将两个方程相减，得到(ax+by)-(px+qy)=c-r，化简后得到(a-p)x+(b-q)y=c-r。
然后，根据已知数值计算出a、b、p、q、c和r的值，该方程即变为一元一次方程，可直接求解得到x或y的值。
最后，将求得的x或y的值代入剩下的一个方程中计算另一个变量的值即可得到方程的解。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知常数，而x、y为未知数。
解二元一次方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法：代入法和消元法。
一、代入法解二元一次方程代入法是通过将一个变量（如x）用另一个变量（如y）的表达式代入到另一个方程中，从而将方程化简为只含一个变量的一元方程，进而求解。
例如，考虑以下二元一次方程组：2x + 3y = 8 (1)4x - 5y = 2 (2)首先，我们可以从方程(1)中解出x的表达式，得到x = (8 - 3y) / 2，将其代入方程(2)中，得到4(8 - 3y) / 2 - 5y = 2。
接下来，通过解这个一元方程，可以得到y的值。
将y的值代入到x = (8 - 3y) / 2中，可以得到x的值。
通过这种代入法，我们可以解得二元一次方程组的解。
二、消元法解二元一次方程消元法是通过适当的加减运算来消去一个变量，从而将方程组化简为含一个变量的一元方程。
具体步骤如下：例如，考虑以下二元一次方程组：2x + 3y = 8 (1)4x - 5y = 2 (2)我们可以通过倍乘或加减运算，将两个方程的系数乘以某个倍数，使得两个方程的系数相等或者互为相反数。
然后，将两个方程相加或相减，使得一个变量的系数相加或相减后消去，从而得到只含一个变量的一元方程。
在这个例子中，我们可以将方程(1)的系数乘以2，将方程(2)的系数乘以1，得到以下两个方程：4x + 6y = 16 (3)4x - 5y = 2 (4)然后，我们将方程(3)减去方程(4)，可以消去x的项，得到11y = 14。
由此得到y的值。
接下来，将求得的y的值代入方程(1)或(2)中，可以解得x的值。
通过这种消元法，我们也可以解得二元一次方程组的解。
总结：二元一次方程的解法有多种，其中代入法和消元法是比较常用的方法。
通过代入法，将一个变量代入到另一个方程中，将方程化简为一元方程，然后求解。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法一、引言二元一次方程是数学中常见的一类方程，它包含两个未知数，并且每个未知数的最高次数为一。
本文将介绍二元一次方程的解法，包括代入法和消元法。
二、代入法代入法是解二元一次方程的一种常见方法。
具体步骤如下：1. 将一个方程表示为其中一个未知数的函数。
2. 将得到的函数式代入到另一个方程中，从而得到一个只含一个未知数的一元一次方程。
3. 解这个一元一次方程，求解出未知数的值。
4. 将求得的未知数值代回到原来的函数中，求解出另一个未知数的值。
5. 得到方程的解。
三、消元法消元法是解二元一次方程的另一种常见方法。
具体步骤如下：1. 通过系数的相乘，使得其中一个未知数的系数相等。
2. 将两个方程相减去，消去其中一个未知数。
3. 求解得到一个未知数的值。
4. 将求得的未知数值代入到任意一个原方程中，求解出另一个未知数的值。
5. 得到方程的解。
四、实例演示为了更好地理解和应用代入法和消元法，我们通过一个实例进行演示：已知二元一次方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：5x - y = 101. 代入法演示：将方程一表示为关于x的函数：x = (7 - 3y) / 2代入方程二：5(7 - 3y) / 2 - y = 10化简方程得到：-4y + 35 = 20解一元一次方程：y = (35 - 20) / 4 = 3.75将y = 3.75代回方程一：2x + 3(3.75) = 7得到：2x = 7 - 11.25 = -4.25解一元一次方程：x = -2.125方程的解为：x = -2.125，y = 3.752. 消元法演示：通过系数相乘，令方程一的y的系数倍增为方程二的系数：4*(2x + 3y = 7)得到：8x + 12y = 28方程一：2x + 3y = 7方程二：8x + 12y = 28将方程二减去方程一：(8x + 12y) - (2x + 3y) = 28 - 7化简得到：6x + 9y = 21解一元一次方程：y = (21 - 6x) / 9 = (7 - 2x) / 3将y的表达式代入方程一：2x + 3 * ((7 - 2x) / 3) = 7化简得到：x = 2.3333将x = 2.3333代入y的表达式得到：y = (7 - 2 * 2.3333) / 3 = 1.1111方程的解为：x = 2.3333，y = 1.1111五、总结通过代入法和消元法，我们可以解二元一次方程。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这样的方程组可以使用多种方法，包括消元法、代入法和图解法等。
本文将介绍这些解法的步骤和应用示例。
1. 消元法消元法是一种常用的解二元一次方程组的方法。
它通过将其中一个方程的未知数系数倍乘以另一个方程的系数，使得两个方程中的一个未知数的系数相等或相差一个倍数，进而将自变量消去，从而求得另一个未知数的值。
具体步骤如下：步骤1：观察两个方程，确定哪个未知数系数的倍数可以使得两个未知数的系数相等或相差一个倍数。
步骤2：将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
步骤3：解得一个未知数的值。
步骤4：将求得的未知数代入任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
下面是一个示例：例题：解方程组方程1：2x + 3y = 7方程2：3x - 4y = 8解答过程：步骤1：由观察可知，方程1的横坐标系数的倍数可以使得两个方程中y的系数相等，因此我们将方程1的系数倍乘以方程2的系数，得到6x + 9y = 21和3x - 4y = 8。
步骤2：将两个方程相减，得到(6x + 9y) - (3x - 4y) = (21 - 8)。
化简得到3x + 13y = 13。
步骤3：解得x = 1。
步骤4：将x = 1代入方程1中，得到2(1) + 3y = 7。
化简得到3y = 5，解得y = 5/3。
因此，方程组的解为x = 1，y = 5/3。
2. 代入法代入法是另一种解二元一次方程组的常用方法。
它通过将其中一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得另一个未知数的值。
具体步骤如下：步骤1：解其中一个方程，得到一个未知数的值。
步骤2：将求得的未知数的值代入到另一个方程中，求得另一个未知数的值。
下面是一个示例：例题：解方程组方程1：3x - 4y = 2方程2：2x + y = 7解答过程：步骤1：解方程1，得到x = (2 + 4y)/3。
步骤2：将x = (2 + 4y)/3代入方程2，得到2(2 + 4y)/3 + y = 7。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法在代数学中，二元一次方程是一种形式为ax + by = c 的方程，其中a、b是已知的数，x、y是未知数，c是已知的数。
求解二元一次方程的目标是确定x和y的值，使得方程左右两边相等。
下面将介绍常见的两种解法：代入法和消元法。
一、代入法代入法是一种简单而直观的解方程的方法。
它的基本思想是通过将一个变量的表达式代入另一个变量的方程，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解出该未知数的值。
我们以一个具体的例子来说明代入法的步骤：假设有以下二元一次方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 10第一步，选择其中一个方程，将其中一个变量的表达式代入另一个方程。
在本例中，我们选择第一个方程，并将式中的2x代入第二个方程，得到4(2x) - 2y = 10。
第二步，将方程简化为只包含一个未知数的方程。
我们将上式中的变量y列出来，得到y = 4 - 2x。
第三步，将第二步的结果代入原方程中。
我们将y = 4 - 2x代入第一个方程中，得到2x + 3(4 - 2x) = 8。
第四步，解出方程得到未知数的值。
我们根据第三步的方程，进行运算和整理，得到2x + 12 - 6x = 8，再化简为-4x + 12 = 8，继续整理得到-4x = -4，最后得到x = 1。
第五步，将x = 1代入第二步的结果，求解出y的值。
我们将x = 1代入y = 4 - 2x，得到y = 4 - 2(1)，最后得到y = 2。
所以，该二元一次方程组的解为x = 1，y = 2。
二、消元法消元法是求解二元一次方程组的另一种常见方法。
它通过适当调整两个方程之间的关系，使得方程中的某个变量相互抵消，从而得到一个只包含一个未知数的方程。
以下是消元法的步骤：假设有以下二元一次方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 10第一步，选择一个系数相同且相邻的变量，通过加减运算将其系数变为0。
在本例中，我们选择第一个方程的y和第二个方程的y。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法在数学中，二元一次方程是由两个未知数的一次方程组成的方程。
解二元一次方程需要使用代数的基本原理和运算法则。
本文将介绍解二元一次方程的几种常见方法，包括代入法、消元法和等式相减法。
1. 代入法代入法是解二元一次方程最常用的方法之一。
它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示成另一个方程的未知数的表达式，然后代入到另一个方程中求解。
假设有如下二元一次方程组：方程1：ax + by = c方程2：dx + ey = f首先，将方程1或方程2中的一个未知数表示成另一个方程的未知数的表达式，例如假设将方程1中的x表示成方程2的未知数y的表达式，得到：x = (f - ey) / d将上式代入方程1中，得到：a * ((f - ey) / d) + by = c通过整理化简，可以得到一个只含有一个未知数的一次方程：(af - aey) / d + by = c将上式整理为标准形式，得到：(by + aey) / d = (cd - af) / d进一步整理，得到：(1 + ae/d) * y = (cd - af) / d最后，求解这个一次方程，即可得到y的值。
将y的值代入方程1或方程2中，即可求得x的值。
2. 消元法消元法是解二元一次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过适当的变换，使得方程组中的一个未知数的系数相等或互为相反数，从而消去这个未知数，然后得到只含有一个未知数的方程，进而求解。
依然以方程1和方程2为例，我们可以通过变换，使得方程1和方程2的y的系数相等或互为相反数。
具体步骤如下：将方程1乘以e，将方程2乘以b，得到新的方程组：方程1：aex + bey = ce方程2：bdx + bey = bf然后，将方程2减去方程1，得到：(bdx - aex) + (bey - bey) = bf - ce化简上式，得到一个只含有一个未知数的方程：(bd - ae) * x = bf - ce最后，求解这个一次方程，即可得到x的值。
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二元一次方程的解法及其应用题
㈠ 二元一次方程：含有两个未知数，且未知项最高次数为1的整式方程叫二元一次方程方程。
注意：①在方程中的“元”是指未知数，“二元”就是方程中有且只有两个未知数。
②“未知项的最高次数是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，切不可理解为两个未知数的次数都是1，如3xy-2=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但未知项“3xy ”的次数是2，所以它不是二元一次方程。
③二元一次方程的左边和右边都是整式,例如：11x y -=不是二元一次方程,因为它的左边不是整式.
㈡ 二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的解。
㈢ 二元一次方程的解法：通常求二元一次方程的解的方法是先用含有其中一个未知数的代数式表示另外一个未知数，例如，欲求二元一次方程y-2x=1的解，可先将其变形为y=2x+1，然后给出x 的一个值，就能相应地求出y 的一个值，这样得到的每一对对应值，就是二元一次方程y-2x=1的解。
注意：①二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而并不是一个数值
②一般情况下，一个二元一次方程有无数多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么可能只有有限个解。
㈣二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
二元一次方程组的解法：
注意：方程组的解满足方程组中的每一个方程。
由于方程组需要用大括号“｛”表示，所以方程组的解也要用大括号“{”表示
怎样检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，：通常是将这对数值分别代入方程组中的每一个方程，只有当这对数值同时满足所有的方程时，才能说这对数值时此方程的解 消元法：
（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用含x 的代数式表示出来，也就是写成y=ax+b 的形式；
（2）将y=ax+b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程
（3）解这个一元一次方程，求出x 的值；
（4）把求得的x 的值代入y=ax+b 中，求出y 的值，从而得到方程组的解。
例1 2237x y x y -=⎧⎨+=⎩2326
x y x y +=⎧⎨+=⎩
加减法：
（1） 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数间既不互为相反数又不相等，就可
用适当（通常用两个系数的最小公倍数）的数乘以方程的两边，使一个未知数的系
数互为相反数或相等；
（2）把两个方程的两边分别相加（系数互为相反数时）或相减（系数相等时），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程；
（4）将求得的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中（系数较为简单的方程为佳），求出另外一个未知数的值，从而得到方程组的解。
例2
234
326
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
549
321
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
基础练习：
用代入消元法求方程组：
（1）
3
3814
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
（2）
35
5135
x y
y x
-=
⎧
⎨
-=+
⎩
（3
231
32
x y
x y
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
）（4）
1
2
1
2
36
2
x y
x y
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
用加减法解方程组：
（1）
3416
5633
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
（2）
3(1)5
5(1)3(5)
x y
y x
-==+
⎧
⎨
-=+
⎩
（3）
231
342
457
5615
u v
u v
+=
⎧
⎨
+=
⎩
（4）
0.60.4 1.1
0.20.4 2.3
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
【基础练习】
一、选择
1、(2009年四川省内江市)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x m y x 2的解是⎩⎨⎧==1
2y x ，则n m -为
（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．2
2、（2009年桂林市、百色市）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71
ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的
值为（ ）．
A ．1
B ．－1
C ． 2
D ．3
3、（2009桂林百色）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩
的解，则a b -的值为（ ）．
A ．1
B ．－1
C ． 2
D ．3
4、（2009江西）方程组233x y x y -=⎧⎨+=⎩
，的解是（ ） A ．12x y =⎧⎨=⎩，． B ．21x y =⎧⎨=⎩，． C ．11x y =⎧⎨=⎩，． D ．23x y =⎧⎨=⎩，．
5、（2009年日照）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 A.43- B.43C.34D.3
4- 6、（2009年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．13cm
二、填空题 7、（2009年甘肃白银）方程组25211
x y x y -=-⎧⎨+=⎩，的解是．
8、（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是
9、（2009年泸州）某商店一套服装的进价为200元，若按标价的80％销售可获利72元，则该服装的标价为 _ 元．
10、(2009年甘肃定西)方程组25211x y x y -=-⎧⎨+=⎩
，的解是． 11、(2009宁夏)某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为元．
36、（2009年牡丹江）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠．
三、解答题
12、（2009年邵阳市）为迎接“建国60周年”国庆，我市准备用灯饰美化红旗路，需采用
A 、
B 两种不同类型的灯笼200个，且B 灯笼的个数是A 灯笼的3
2。
（1）求A 、B 两种灯笼各需多少个？
（2）已知A 、B 两种灯笼的单价分别为40元、60元，则这次美化工程购置灯笼需多少费用？
13、(2009年肇庆市)2008 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100 枚，金牌数位列世界第一． 其中金牌比银牌与铜牌之和多 2 枚，银牌比铜牌少 7 枚．问金、银、铜牌各多少枚？
14、（2009年茂名市）16．化简或解方程组．24
1x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
15、(2009年咸宁市)某企业开发的一种罐装饮料，有大、小件两种包装，3大件4小件共装120缺罐，2大件3小件共装84罐．每大件与每小件各装多少罐？
16、（2009年北京市）列方程或方程组解应用题：
北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？
17、（2009年福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。
现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。
假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
18、（2009年娄底）为了加快社会主义新农村建设，让农民享受改革开放30年取得的成果，党中央、国务院决定：凡农民购买家电和摩托车享受政府13%的补贴（凭购物发票到乡镇财政所按13%领取补贴）. 星星村李伯伯家今年购买了一台彩电和一辆摩托车共花去6000元，且该辆摩托车的单价比所买彩电的单价的2倍还多600元.
（1）李伯伯可以到乡财政所领到的补贴是多少元？
（2）求李伯伯家所买的摩托车与彩电的单价各是多少元？。