第5章 刚体的定轴转动
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
第五章刚体定轴转动典型题型
• 例3一质量为ｍ，半径为Ｒ的均匀圆盘，求 通过中心ｏ并与盘面垂直的轴的转动惯量
• 例4一半径为Ｒ的光滑置于竖直平面内，一 质量为ｍ的小球穿在圆环上，并可在圆环 上滑动，小球开始 时静止于圆环上的电 Ａ（该点在通过环心ｏ的水平面上），然 后从Ａ点开始下滑，设小球与圆环间的摩 擦略去不计。求小球滑到点Ｂ时对环心ｏ 的角动量和角速度。
Ｏ
Ａ
质点运动与钢体定轴转动对照表
质点运动
速度
v dr / dt
加速度 a dv / dt
力
Ｆ
钢体定轴转动
角速度 d / dt
角加速度 d / dt
力矩
Ｍ
质量 ｍ
转动惯量 Ｊ
动量 p mv
角动量 L J
牛二律 F m a
F dp / dt
转动定律 M J
M dL / dt
第五章 刚体定轴转动
• 例1一飞轮半径为0.2m，转速为150r/min， 因受到制动二均匀减速，经30s停止转动， 试求：
1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数
2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度
3） t=6s时飞轮边缘上一点的线速度，切线 加速度和法线加速度。
• 例2一质量为ｍ，长为的均匀细长棒，求 1）通过其中心并于棒垂直的转动惯量 2）通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量
角加速度（ ）
• 例8 质量为Ｍ，半径为Ｒ的转台，可绕过 中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为ｍ的 一个人，站在距离中心ｒ处（ｒ<R），开 始时，人和台处于静止状态。如果这个人 沿着半径为ｒ的圆周匀速走一圈，设它相 对于转台的运动速度为ｕ，求转台的旋转 角速度和相对地面的转过的角度。
ｒ
Ｒ
• 5）角动量守恒定律和机械能守恒定律的综 合应用
刚体的定轴转动
J
1 2 m( R12 R2 ) 2
1 mR 2 2 若R1 R2 R, J mR 2
16
例：求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 m 解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： l L 1 3 2 2 dm A B J A x dm x dx L o 0 3 x
2 0
2
0
dm MR
2
绕圆环质心轴的转动惯量为
M
o
R
பைடு நூலகம்dm
J MR
2
讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动 惯量。
14
例: 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
m 解： σ πR 2
dm σ 2π rdr
dJ r dm 2πσ r dr
5
匀变速圆周运动的基本公式
p
1 2 0 0t t 2
0 t
s
R
o
p
x
2 2 0 2 ( 0 )
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 s R 路程与角位移之间的关系：
v R 线速度与角速度的关系：
加速度与角量的关系： 2 dv d v at R R , an 2 R, dt dt R
1
柱壳形状的质元 ,其长为l半径为r厚度为dr, 则该质元的质量为 dm dV ( 2 rdr )l
R2
R2
l
J r dm 2lr dr
2 3 m R1
l
2
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
05刚体的定轴转动习题解答.
第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。
3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。
若将两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω的大小在刚作用后不久 （ ）A. 必然增大B. 必然减少C. 不会改变D. 如何变化，不能确定解：答案是B 。
简要提示：力F 1和F 2的对转轴力矩之和垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一选择题3图定减速。
4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由刚体定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
5. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。
大学物理教程-刚体的定轴转动
刚体最简单的运动形式是: 平动和定轴转动。
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
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哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
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例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
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延伸：
薄壁圆筒： J mR2
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5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
对飞轮，由转动定律，有 式中负号表示摩擦力的力矩方向与角速度 方向相反。
联立解得
以 F 100 N 等代入上式，得
Fr R 2 (l1 l2 ) F J mRl1
5-1
第 5 章 刚体的定轴转动
2 0.40 (0.50 0.75) 40 100 rad s 2 60 0.25 0.50 3 t
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后，根据转动定律，有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
v0
6(2 3 3m M l J l 1M (1 2 ) (1 ) 2 ml 2 3m 12 m
(2) 由①式求得相碰时小球受到的冲量为：
I Fdt mv mv mv0
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
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（1） 式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。 2、角加速度矢量
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
角加速度矢量 显然，在刚体的定轴转动中，角速度和角加速度矢量的方向只有沿
着z轴和逆着z轴两个方向。可以把沿z轴的角速度叫做正角速度，逆着z 轴的角速度叫做负角速度，这是角速度的标量表述。对角加速度也可作 同样的标量表述，读者可自行推广。
3、定轴转动的线量 当刚体作定轴转动时，刚体上的各个质点都有速度和加速度。这些
刚体的定轴转动 2）定轴转动的特点 定轴转动中刚体上的任一质点p都绕一个固定轴作圆周运动，见上 图，习惯上常把转轴设为z轴，圆周所在平面M称为质点的转动平面， 转动平面与转轴垂直。质点作圆周运动的圆心O叫做质点的转心，质点 对于转心的位矢r叫做质点的矢径。定轴转动显著的特点是：转动过程 中刚体上所有质点的角位移、角速度和角加速度相同，我们称之为刚体 转动的角位移、角速度和角加速度。 三、刚体定轴转动的描述 刚体定轴转动最佳的描写方法是角量描写。物体转动的角速度和角 加速度是有方向的，我们常说某物体转动的角速度是逆时针方向或顺时 针方向，就是在描述角速度的方向。对于刚体定轴转动，转动方向的描 述与观察方向有关，在下图中逆着z轴从上向下看和沿着z轴从下向上看 得到的结论正好相反。为了准确描述角速度和角加速度的方向，我们把 角速度和角加速度定义为矢量。角速度和角加速度已经有了大小的定 义，现在要赋予它们方向。
定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑 在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。 设p点的转心为O，径矢为r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一个矢量
（1） 它的大小为
（2） 或
其中
（3）
定轴转动刚体对轴的角动量定义为刚体各质点对轴的角动量的矢量 和 其中Li为第i个质点的角动量。设第i个质点质量为mi，速度为vi，对z轴 的径矢为 ，则
由于定轴转动时刚体中每一个质点都在进行圆运动，如图所示。质点的 速度和矢径垂直，所以质点对z轴的角动量的大小为
其中ri是质点到轴的距离，
为刚体转动的角速度。考虑到质点圆运动时角动量矢量的方向和角 速度矢量的方向始终相同，故有
1、角速度矢量 我们规定，物体的角速度矢量的方向与直观的转动方向构成右手螺
旋关系：当我们伸直大姆指并弯曲其余的四个手指，使四个手指指向直 观的转动方向时，大姆指所指的方向即为角速度矢量的方向。在上图 （a）中，刚体的转动是逆时针方向的，按右手螺旋法则，我们说它的 角速度沿z轴向上；在上图（b）中，刚体的转动是顺时针方向的，我们 说它的角速度向下。角速度矢量还可以使用如下的数学表达式来表示：
使用离散方法，刚体可以看成是由很多质点组成的，则刚体的转动 惯量定义为：
（1）式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂 直距离。 2、转动惯量的讨论
在刚体对定轴的角动量的定义中出现一个新的物理量：转动惯量。按 （1）式，转动惯量定义为 。它取决于刚体对轴的质量分布。对通常质量密度均匀的刚体，它取决 于刚体的质量、形状和转轴位置三个因素。转动惯量的定义表明，一个 质点对定轴的转动惯量是 ，而刚体的转动惯量就是刚体中的所有质点转动惯量之和 。这也意味着一个刚体整体的转动惯量应等于其各部分的转动惯量之 和。 【例1】如图所示，一正方形边长为l，它的四个顶点各有一个质量为m 的质点，求此系统对（1）z1轴；（2）F对轴的力臂，
为力F的切向分量。由（5-3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r和力F矢 积的方向。图中的力矩矢量的方向向上。 在刚体的定轴转动中，力矩 矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做 正力矩，逆着z轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。
对定轴的力矩 可以证明，力对定轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z轴 方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。 若作用在p点的 力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之 和。简要证明如下：按（1）式，合力的力矩
质点的速度和加速度与刚体的角速度和角加速度矢量有什么关系呢？在 矢量描述中，刚体定轴转动的角量与线量的关系将包含方向之间的关系 而表现得更加完整。若考察刚体上的一个质点对z轴的径矢为r，则其速 度、切向加速度和法向加速度和角速度与角加速度的矢量关系为：
(3) 这个式子大家可以自己推导。其意义可以由下图看出。
中合外力矩M，转动惯量J，角加速度
均是对同一定轴而言，请勿混淆。
3.3 转动惯量的计算 一、 刚体转动惯量
转动是具有惯性的。例如，飞轮高速转动后要使其停下来就必须施 加外力矩，静止的飞轮要转动起来也必须外力矩的作用。这说明了转动 确实具有惯性。转动惯性的大小用什么物理量来描写呢？对定轴转动的 刚体而言可以使用所谓的转动惯量来描写它转动惯性的大小。更复杂的 刚体运动需要使用惯量张量来描写。 1、转动惯量的定义
(6)
它的大小为 (7)
其中 称为动量臂。由（6）式可知，角动量的方向是矢径r和动量p矢积的方 向。
质点对定轴的角动量 在刚体的定轴转动中，质点的角动量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个 方向。我们把沿z轴的力矩叫做正角动量，逆着z轴的力矩叫做负角动 量，这是角动量的标量表述。 可以证明，质点对定轴z的角动量是质点 对z轴上任一定点的角动量在z轴方向的分量。可以看出，质点对定轴的 角动量的定义和力对定轴的力矩定义在结构上相同。
的形式十分简洁，而且转动惯量J又是一个常量，所以能很容易地得到 这个很重要的定律。转动定律说明定轴转动中刚体角加速度与合外力矩 的关系。转动定律的推导过程和物理意义都很像从动量定理得到的牛顿 第二定律：
。注意到牛顿第二定律中的质量m和转动定律中的转动惯量J在定律中的 地位是完全对应的，由此能够进一步理解转动惯量的物理意义。 在对定律的理解中应注意，定律
把各质点的角动量相加得到刚体对定轴的角动量
根据转动惯量的定义，则刚体对定轴的角动量 （8）
即在刚体转动惯量已知的情况下，由上式可以很容易地计算出刚体 对定轴的角动量。 三、刚体定轴转动的转动定律
刚体作为一个质点系，必然遵从质点系角动量定理：
其物理意义是，作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化 率。这个结论无论是对定点或是对定轴均成立。把刚体对定轴的角动量 带入上式，注意到刚体对定轴的转动惯量为一常量，有
刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看 成是平动和转动的迭加。
1、刚体的平动 1）平动的定义 如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都
始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电 梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。
刚体的平动 2）平动的特点 刚体平动的一个明显特点是，在平动过程中刚体上每个质点的位 移、速度和加速度相同。这意味着，如果我们要研究刚体的平动，只需 要研究某一个质点，例如质心的运动就行了。因为这一个质点的运动规 律就代表了刚体所有质点的运动规律，也即刚体的运动规律。在这个意 义上我们可以说，刚体平动的运动学属于质点运动学，可以使用质点模 型。 刚体平动的动力学也可以使用质点模型，通过质点动力学来解 决。这实际上并不是新问题，如牛顿运动定律的多数题目中出现的都是 有形状的物体，但只要它是在平动，我们就仍可以用牛顿运动定律来正 确地处理它们。实际上，这时我们用牛顿运动定律求出来的是质心的加 速度，但是由于在平动中刚体上每个质点的加速度相同，所以质心的加 速度也就代表了所有质点的加速度。 综上所述我们知道，刚体平动可 以使用质点模型，我们可以用前面质点力学中的知识去分析和处理它 们。 2、刚体的定轴转动 1）转动的定义 如果在一个运动过程中，刚体上所有的质点均绕同一直线作圆周运 动，则我们称刚体在转动，该直线称为转轴。如火车车轮的运动、飞机 螺旋浆的运动都是转动。如果转轴是固定不动的，则称为定轴转动，如 车床齿轮的运动、吊扇扇页的运动均属于定轴转动。 转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。
4.1 刚体的运动
一、刚体的概念 物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
角加速度矢量 显然，在刚体的定轴转动中，角速度和角加速度矢量的方向只有沿
着z轴和逆着z轴两个方向。可以把沿z轴的角速度叫做正角速度，逆着z 轴的角速度叫做负角速度，这是角速度的标量表述。对角加速度也可作 同样的标量表述，读者可自行推广。
3、定轴转动的线量 当刚体作定轴转动时，刚体上的各个质点都有速度和加速度。这些
刚体的定轴转动 2）定轴转动的特点 定轴转动中刚体上的任一质点p都绕一个固定轴作圆周运动，见上 图，习惯上常把转轴设为z轴，圆周所在平面M称为质点的转动平面， 转动平面与转轴垂直。质点作圆周运动的圆心O叫做质点的转心，质点 对于转心的位矢r叫做质点的矢径。定轴转动显著的特点是：转动过程 中刚体上所有质点的角位移、角速度和角加速度相同，我们称之为刚体 转动的角位移、角速度和角加速度。 三、刚体定轴转动的描述 刚体定轴转动最佳的描写方法是角量描写。物体转动的角速度和角 加速度是有方向的，我们常说某物体转动的角速度是逆时针方向或顺时 针方向，就是在描述角速度的方向。对于刚体定轴转动，转动方向的描 述与观察方向有关，在下图中逆着z轴从上向下看和沿着z轴从下向上看 得到的结论正好相反。为了准确描述角速度和角加速度的方向，我们把 角速度和角加速度定义为矢量。角速度和角加速度已经有了大小的定 义，现在要赋予它们方向。
定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑 在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。 设p点的转心为O，径矢为r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一个矢量
（1） 它的大小为
（2） 或
其中
（3）
定轴转动刚体对轴的角动量定义为刚体各质点对轴的角动量的矢量 和 其中Li为第i个质点的角动量。设第i个质点质量为mi，速度为vi，对z轴 的径矢为 ，则
由于定轴转动时刚体中每一个质点都在进行圆运动，如图所示。质点的 速度和矢径垂直，所以质点对z轴的角动量的大小为
其中ri是质点到轴的距离，
为刚体转动的角速度。考虑到质点圆运动时角动量矢量的方向和角 速度矢量的方向始终相同，故有
1、角速度矢量 我们规定，物体的角速度矢量的方向与直观的转动方向构成右手螺
旋关系：当我们伸直大姆指并弯曲其余的四个手指，使四个手指指向直 观的转动方向时，大姆指所指的方向即为角速度矢量的方向。在上图 （a）中，刚体的转动是逆时针方向的，按右手螺旋法则，我们说它的 角速度沿z轴向上；在上图（b）中，刚体的转动是顺时针方向的，我们 说它的角速度向下。角速度矢量还可以使用如下的数学表达式来表示：
使用离散方法，刚体可以看成是由很多质点组成的，则刚体的转动 惯量定义为：
（1）式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂 直距离。 2、转动惯量的讨论
在刚体对定轴的角动量的定义中出现一个新的物理量：转动惯量。按 （1）式，转动惯量定义为 。它取决于刚体对轴的质量分布。对通常质量密度均匀的刚体，它取决 于刚体的质量、形状和转轴位置三个因素。转动惯量的定义表明，一个 质点对定轴的转动惯量是 ，而刚体的转动惯量就是刚体中的所有质点转动惯量之和 。这也意味着一个刚体整体的转动惯量应等于其各部分的转动惯量之 和。 【例1】如图所示，一正方形边长为l，它的四个顶点各有一个质量为m 的质点，求此系统对（1）z1轴；（2）F对轴的力臂，
为力F的切向分量。由（5-3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r和力F矢 积的方向。图中的力矩矢量的方向向上。 在刚体的定轴转动中，力矩 矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做 正力矩，逆着z轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。
对定轴的力矩 可以证明，力对定轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z轴 方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。 若作用在p点的 力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之 和。简要证明如下：按（1）式，合力的力矩
质点的速度和加速度与刚体的角速度和角加速度矢量有什么关系呢？在 矢量描述中，刚体定轴转动的角量与线量的关系将包含方向之间的关系 而表现得更加完整。若考察刚体上的一个质点对z轴的径矢为r，则其速 度、切向加速度和法向加速度和角速度与角加速度的矢量关系为：
(3) 这个式子大家可以自己推导。其意义可以由下图看出。
中合外力矩M，转动惯量J，角加速度
均是对同一定轴而言，请勿混淆。
3.3 转动惯量的计算 一、 刚体转动惯量
转动是具有惯性的。例如，飞轮高速转动后要使其停下来就必须施 加外力矩，静止的飞轮要转动起来也必须外力矩的作用。这说明了转动 确实具有惯性。转动惯性的大小用什么物理量来描写呢？对定轴转动的 刚体而言可以使用所谓的转动惯量来描写它转动惯性的大小。更复杂的 刚体运动需要使用惯量张量来描写。 1、转动惯量的定义
(6)
它的大小为 (7)
其中 称为动量臂。由（6）式可知，角动量的方向是矢径r和动量p矢积的方 向。
质点对定轴的角动量 在刚体的定轴转动中，质点的角动量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个 方向。我们把沿z轴的力矩叫做正角动量，逆着z轴的力矩叫做负角动 量，这是角动量的标量表述。 可以证明，质点对定轴z的角动量是质点 对z轴上任一定点的角动量在z轴方向的分量。可以看出，质点对定轴的 角动量的定义和力对定轴的力矩定义在结构上相同。
的形式十分简洁，而且转动惯量J又是一个常量，所以能很容易地得到 这个很重要的定律。转动定律说明定轴转动中刚体角加速度与合外力矩 的关系。转动定律的推导过程和物理意义都很像从动量定理得到的牛顿 第二定律：
。注意到牛顿第二定律中的质量m和转动定律中的转动惯量J在定律中的 地位是完全对应的，由此能够进一步理解转动惯量的物理意义。 在对定律的理解中应注意，定律
把各质点的角动量相加得到刚体对定轴的角动量
根据转动惯量的定义，则刚体对定轴的角动量 （8）
即在刚体转动惯量已知的情况下，由上式可以很容易地计算出刚体 对定轴的角动量。 三、刚体定轴转动的转动定律
刚体作为一个质点系，必然遵从质点系角动量定理：
其物理意义是，作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化 率。这个结论无论是对定点或是对定轴均成立。把刚体对定轴的角动量 带入上式，注意到刚体对定轴的转动惯量为一常量，有
刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看 成是平动和转动的迭加。
1、刚体的平动 1）平动的定义 如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都
始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电 梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。
刚体的平动 2）平动的特点 刚体平动的一个明显特点是，在平动过程中刚体上每个质点的位 移、速度和加速度相同。这意味着，如果我们要研究刚体的平动，只需 要研究某一个质点，例如质心的运动就行了。因为这一个质点的运动规 律就代表了刚体所有质点的运动规律，也即刚体的运动规律。在这个意 义上我们可以说，刚体平动的运动学属于质点运动学，可以使用质点模 型。 刚体平动的动力学也可以使用质点模型，通过质点动力学来解 决。这实际上并不是新问题，如牛顿运动定律的多数题目中出现的都是 有形状的物体，但只要它是在平动，我们就仍可以用牛顿运动定律来正 确地处理它们。实际上，这时我们用牛顿运动定律求出来的是质心的加 速度，但是由于在平动中刚体上每个质点的加速度相同，所以质心的加 速度也就代表了所有质点的加速度。 综上所述我们知道，刚体平动可 以使用质点模型，我们可以用前面质点力学中的知识去分析和处理它 们。 2、刚体的定轴转动 1）转动的定义 如果在一个运动过程中，刚体上所有的质点均绕同一直线作圆周运 动，则我们称刚体在转动，该直线称为转轴。如火车车轮的运动、飞机 螺旋浆的运动都是转动。如果转轴是固定不动的，则称为定轴转动，如 车床齿轮的运动、吊扇扇页的运动均属于定轴转动。 转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。
4.1 刚体的运动
一、刚体的概念 物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点