天津市高职升本数学真题10年
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(天津卷)真题精品解析
2010高考真题精品解析—理数（天津卷）【名师简评】2010年天津高考数学理科试题从整体看，体现了“总体稳定，适度更新”的特点，不仅保持2009年的命题风格和特点，而且有些题目是改编于去年的高考试题，稍微作了一点变化，在继承的同时又力争创新与变化，在常规中寻求突破，在熟悉的背景中掺杂了未知，主要考查学生的应变能力.本套试卷有以下特点：立足教材、重视基础、强调通性通法，突出对基本知识的考查，没有偏题、怪题;题型稳定，难度在基本稳定中略有提高，从稳定中求突破；多题把关，有和好的区分度，能有效区分不同能力层次的考生群体；深化能力立意，知识与能力并重.在考查基础知识的同时，注重考查学生的基本能力.许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生进行自主探究，进行分析和逻辑推理，才能解决问题. 试题既关注数学核心内容和基本能力的考查，又突出数学思想方法、解题能力的考查，还强化数学应用意识以及自主探究能力的考查，引导学生认清数学知识的本质．本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第I 卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：·如果时间A ，B 互斥，那么 ·如果时间A ，B 相互独立，那么 P （A B ）=P （A ）+P （B ）. P(AB)=P(A)P(B).·棱柱的体积公式V=Sh. ·凌锥的体积公式V=13Sh. 其中S 表示棱柱的底面积， 其中S 表示棱锥的底面积. H 表示棱柱的高 h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2010年天津高考文科数学(含答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷1至3页。
第Ⅱ卷4至11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．答I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式V=Sh.()()()P A B P A P B ⋃=+ 其中S 表示棱柱的底面积.h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数31ii+-= (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)3（4）函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） (5)下列命题中，真命题是(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数(6)设554a log 4b log c log ===25，（3），，则 (A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c(7)设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是(A){}a |0a 6≤≤ (B){}|2,a a ≤≥或a 4 (C){}|0,6a a ≤≥或a (D){}|24a a ≤≤（8）5y Asinx x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点 (A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r =（A ）23 （B ）32 （C ）33（D ）3 （10）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类） 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2010年天津高考数学文科试卷带详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学(文史类)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，复数3i1i+=-（ ） A .12i + B .24i + C .12i -- D .2i -【测量目标】复数的基本运算. 【考查方式】考查了复数的除法运算，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化. 【参考答案】A 【试题解析】3i 1i +=-(3i)(1i)2++24i12i 2+==+，故选A .2.设变量,x y 满足约束条件311x y x y y +⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥,则目标函数42z x y =+的最大值为（ ）A .12B .10C .8D .2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值．【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过平移图象求最优解．【参考答案】B【试题解析】画出平面区域可知，当直线42z x y =+经过点21（，）时，目标函数42z x y =+取得最大值10，故选B .3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A .1-B .0C .1D .3 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据所给程序框图读出其循环结构表示的计算功能并计算求解.【参考答案】B【试题解析】由程序框图知：当1i =时，13113S =⨯-+=（）； 当2i =时，33214S =⨯-+=（）；当3i =时，43311S =⨯-+=（）； 当4i =时，13410S =⨯-+=（），因为当i 大于4，就输出S 了，故选B . 4.函数e 2xf x x =+-（） 的零点所在的一个区间是（ ）A .2,1--（）B .1,0-（）C .0,1（）D .1,2（）【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】给出函数，利用函数根的存在性定理判断.【参考答案】C【试题解析】因为0(0)e 210f =-=-<，1(1)e 12e 10f =+-=->，故选C .5.下列命题中，真命题是（ ）A .m ∃∈R ，使函数2f x x mx x =+∈R （）（）是偶函数B .m ∃∈R ，使函数2f x x mx x =+∈R （）（）是奇函数C .m ∀∈R ，使函数2f x x mx x =+∈R （）（）是偶函数D .m ∀∈R ，使函数2f x x mx x =+∈R （）（）是奇函数 【测量目标】全称命题与存在性命题真假的判断.【考查方式】直接给出条件，判断函数的奇偶性进而判断命题的真假. 【参考答案】A【试题解析】当0m =时，函数22()f x x mx x =+=是偶函数，故选A .6.设54log 4,log 3,log 5a b c ===25（），则（ ）A .a c b <<B .b c a <<C .a b c <<D .b a c << 【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】将,,a b c 分别与1作比较，根据题意结合排除法作比较. 【参考答案】D【试题解析】因为55log 4log 5=1a =<，2255(log 3)(log 5)=1b =<，44log 5log 41c =>=，（步骤1） 所以c 最大，排除A 、B ；（步骤2）又因为(0,1)a b ∈、，所以a b >，故选D .（步骤3）7.设集合{}{}|||1,,|15,.A x x a x B x x x A B =-<∈=<<∈=∅R R 若，则实数a 的取值范围是A .{}|06a a ≤≤B .{}|2,a a a ≤或≥4 C .{}|0,6a a a ≤或≥ D .{}|24a a ≤≤ 【测量目标】集合间的关系及不等式求解问题.【考查方式】根据题意用绝对值不等式解法求解. 【参考答案】C【试题解析】因为{}|11A x a x a =-<<+，A B =∅ ，所以11a +≤或15a -≥，解得实数a 的取值范围是{}|0,6a a a ≤或≥，故选C .8.右图是函数sin y A x x ωϕ=∈R （+）（）在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将sin y x x =∈R （）的图象上所有的点（ ）A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B . 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变换.【考查方式】先求出函数解析式中的字母取值，再根据正弦三角函数的图象变换性质得出结果.【参考答案】A【试题解析】由给出的三角函数图象知，1A =，2ππω=，解得2ω=，（步骤1）又π2(06ϕ⨯-=)+，所以π3ϕ=，即原函数解析式为πsin(2)3y x =+.（步骤2） 所以只要将sin y x x =∈R （）的图象上所有的点先向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变即可得到函数πsin(2)3y x =+的图象，故选A .（步骤3）9.如图，在ABC △中，AD AB ⊥，BC = ，1AD =，则AC AD =( )A .B .2 C .3D 【测量目标】平面向量的数量积计算.【考查方式】给出条件，利用平面向量的数量积运算转化求值. 【参考答案】D【试题解析】AC AD cos AC AD DAC =∠ cos AC DAC =∠ ||sin AC BAC =∠= ||sin BC B =|sin BD B=D .10.设函数2()2()g x x x =-∈R ，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩≥，则()f x 的值域是（ ）A .9,0(1,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦ B .[0,)+∞ C .9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D .9,0(2,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦【测量目标】函数解析式表达与其的值域.【考查方式】已知两个函数的解析式，利用两函数之间的关系求出分段函数的值域. 【参考答案】D【试题解析】由题意222,()()2,()x x x g x f x x x x g x ⎧++<⎪=⎨-->⎪⎩222,(,1)(2,)2,(1,2)x x x x x x ⎧++∈-∞-+∞⎪=⎨--∈-⎪⎩2217(),(,1)(2,)2419(),(1,2)24x x x x ⎧++∈-∞-+∞⎪⎪=⎨⎪--∈-⎪⎩ ，（步骤1）所以当(,1)(2,)x ∈-∞-+∞ 时，()f x 的值域为(2,)+∞；当(1,2)x ∈-时，()f x 的值域为9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选D .（步骤2）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.11.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若1PB =，3PD =，则BCAD的值为 .【测量目标】四点共圆与相似三角形的性质.【考查方式】给出四点共圆的条件，根据题意得出两三角形相似，再利用相似三角形的性质求解.【参考答案】13【试题解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =PCB ∠，CDA PBC ∠=∠，（步骤1）因为P ∠为公共角，所以△PBC ∽△PAB ，（步骤2）所以PB PD =PC PA =BC AD，所以BC AD =PB PD =13.（步骤3） 12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】根据图象得出几何体为底面为直角梯形的直棱柱及它的各边长，再利用体积公式求解. 【参考答案】3【试题解析】由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱，棱柱的高为1，梯形的上下底面边长分别为1、2，梯形的高为2，所以这个几何体的体积为1(12)2132+⨯⨯=.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同.则双曲线的方程为 .【测量目标】圆锥曲线之间的关系以及各自本身的性质. 【考查方式】给出双曲线渐近线方程及其与已知抛物线的关系，根据双曲线和抛物线的定义和性质利用待定系数法求双曲线方程.【参考答案】221412x y -= 【试题解析】由题意知，双曲线的一个焦点为40（，），即2216a b +=，（步骤1）又因为已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y =，所以有ba=，即b =，（步骤2） 可解得24a =，212b =，故双曲线的方程为221412x y -=.（步骤3） 14.已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切.则圆C 的方程为 .【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系. 【考查方式】给出圆心和该圆与已知直线的位置关系，求出圆心坐标再根据圆与直线相切的性质求圆的方程.【参考答案】22(1)2x y ++=【试题解析】因为圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，所以圆心坐标为10-（，），（步骤1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r==C的方程为22(1)2x y++=.（步骤2）15.设{}n a是等比数列，公比q=n S为{}n a的前n项和.记*2117,n nnnS ST na+-=∈N.设nT为数列{}n T的最大项，则0n= .【测量目标】等比数列的通项公式与前n项和公式的应用、均值不等式求最值.【考查方式】给出等比数列的公比以及两数列的关系，根据题意设参数代入关系式利用均值不等式求解.【参考答案】4【试题解析】因为211*1(1)(1)1711,n nn na q a qq qT na q-----=∈N217(1)(1)(1)n nnq qq q---=-，（步骤1）设n q t=，则nT2=2==-≤-+=（步骤2）=，即4t=，所以当nT为数列{}n T的最大项时，04n=.（步骤3）16.设函数1()f x xx=-，对任意[1,()()0x f mx mf x∈+∞+<），恒成立，则实数m的取值范围是.【测量目标】函数中的恒成立问题.【考查方式】给出函数解析式及恒成立的函数关系式，求实数m的取值范围.【参考答案】(,1)-∞-【试题解析】因为对任意[1,)x∈+∞，1()()20mf mx mf x mxmx x+=--<恒成立，所以当0m<时，有222210m x m-->对任意[1,)x∈+∞恒成立，即222110m m⨯-->，解得21m>，即1m<-；（步骤1）当0m>时，有222210m x m--<对任意[1,)x∈+∞恒成立，x无解，综上所述实数m的取值范围是1m <-.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，cos cos AC BAB C=. （Ⅰ）证明B C =；（Ⅱ）若1cos 3A =-，求πsin 43B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【测量目标】正弦定理、余弦定理及其应用并熟练应用倍角公式.【考查方式】给出三角形的边角关系，根据正弦定理及两角和与差的正弦求解． 【试题解析】（Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin sin B C cos cos BC=.于是sin cos cos sin 0B C B C -=，即sin 0B C -=（）.（步骤1）因为ππB C -<-<，从而0B C -=. 所以B C =.（步骤2）（Ⅱ）解：由πA B C ++=和（Ⅰ）得π2A B =-,故cos2cos π2B B =--（）1cos 3A =-=.（步骤3）又02πB <<,于是sin2B =3=.（步骤4）从而sin 42sin 2cos 29B B B ==，227cos 4cos 2sin 29B B B =-=-.（步骤5）所以πππsin(4)sin 4cos cos 4sin 333B B B +=+=.（步骤6） 18.（本小题满分12分）有编号为12,,A A …10A 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据：其中直径在区间[]1.481.52，内的零件为一等品.（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.（i ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2个零件直径相等的概率. 【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 【试题解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则6()10P A =35=.（步骤1） （Ⅱ）（i ）解：一等品零件的编号为123456,,,,,A A A A A A .从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{}{}{}121314,,,,,A A A A A A ,{}{}1516,,,A A A A ,{}23,A A ,{}{}2425,,,A A A A ,{}{}{}263435,,,,,A A A A A A ,{}{}{}364546,,,,,A A A A A A ,{}56,A A 共有15种.（步骤2） (ii )解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}{}{}141646,,,,,A A A A A A ，{}{}{}232535,,,,,A A A A A A ，共有6种.（步骤3）所以62()155P B ==.（步骤4） 19.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC AD ，1CD =，AD =45BAD CDA ︒∠=∠=.（Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD ⊥平面ABF ；（Ⅲ）求二面角B EF A --的正切值. 【测量目标】几何体中的线与线、线与面以及面与面的综合考察.【考查方式】找出异面直线所成的角，根据题意利用线面垂直的性质求其余弦值；作辅助线根据线面关系证明线面垂直；找出二面角的平面角利用已知条件和线面关系求其正切值. 【试题解析】（Ⅰ）解：因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ED .故CED ∠为异面直线CE 与AF 所成的角.（步骤1）因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA CD ⊥.故ED CD ⊥.（步骤2）在Rt CDE △中，1CD =，ED =3CE ==,故cos CED ∠ED CE ==所以异面直线CE 和AF 所成角的余弦值为3.（步骤3） (Ⅱ)证明：过点B 作BG CD ,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠=.(步骤4)由45BAD ︒∠=,可得BG AB ⊥,从而CD AB ⊥,（步骤5）又CD FA ⊥,FA AB A = ,所以CD ⊥平面ABF .（步骤6）(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG =G 为AD 的中点.（步骤7）取EF 的中点N ，连接GN ，则G N E F ⊥,因为BC AD ,所以BC EF .（步骤8）过点N 作NM EF ⊥，交BC 于点M ，则GNM ∠为二面角B EF A --的平面角.（步骤9）连接GM ，可得AD ⊥平面GNM ,故AD GM ⊥.从而BC GM ⊥.由已知，可得2GM =.（步骤10） 由F NG A ,FA GM ⊥,得NG GM ⊥. 在Rt NGM △中，1tan 4GM GNM NG ∠==,所以二面角B EF A --的正切值为14.（步骤11）20.（本小题满分12分） 已知函数323()1()2f x ax x x =-+∈R ，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 【测量目标】曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式.【考查方式】给出函数式，利用导数求函数的切线方程并判断其单调性和极值，解不等式组．【试题解析】（Ⅰ）解：当1a =时，323()12f x x x =-+，(2)3f =；（步骤1） 2()33f x x x '=-,(2)6f '= .所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为36(2)y x -=-，即69y x =-.（步骤2）（Ⅱ）解：2()=333(1)f x ax x x ax '-=-.令()0f x =，解得10x x a==或.（步骤3） 以下分两种情况讨论：（1） 若1102a <≤，则≥，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：当11022x f x ⎡⎤∈->⎢⎥⎣⎦，时，（）等价于510()08215()0028a f a f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即，（步骤4） 解不等式组得55a -<<.因此02a <≤.（步骤5）（2） 若2a >，则11<<.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：当1122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()0f x >等价于1()021()0f f a ⎧->⎪⎪⎨⎪>⎪⎩即25081102a a-⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，（步骤6）解不等式组得52a <<或2a <-.因此25a <<.（步骤7） 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为05a <<.（步骤8）21.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A B 、，已知点A 的坐标为(,0)a -.（i ）若AB |l 的倾斜角； （ii ）若点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =，求0y 的值.【测量目标】椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量. 【考查方式】给出椭圆的离心率及内接菱形的面积根据椭圆方程的几何性质求解；给出直线与椭圆交点坐标，根据弦长求直线倾斜角及0y . 【试题解析】（Ⅰ）解：由c e a ==2234a c =.再由222c a b =-，解得2a b =.（步骤1） 由题意可知12242a b ⨯⨯=，即2ab =.（步骤2） 解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩，得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=.（步骤3） (Ⅱ)( i )解：由（Ⅰ）可知点A 的坐标是2,0-（）.设点B 的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k .则直线l 的方程为(2)y k x =+.（步骤4）于是A B 、两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=. 由212164214k x k --=+，得2122814k x k-=+.从而12414k y k =+.（步骤5）所以2||14AB k =+.（步骤6）由||5AB =2145k =+. 整理得42329230k k --=，即22(1)(3223)0k k -+=，解得1k =±.（步骤7） 所以直线l 的倾斜角为π4或3π4.（步骤8） （ii ）解：设线段AB 的中点为M ，由（i ）得到M 的坐标为22282,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤9）以下分两种情况：（1）当0k =时，点B 的坐标是2,0（），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是()()002,,2,.QA y QB y =--=- 由4QA QB =，得y =±0.（步骤10） （2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 令0x =，解得02614k y k=-+.（步骤11）由()02,QA y =-- ，()110,QB x y y =- ，()()210102222228646214141414k k k k QA QB x y y y k k k k --⎛⎫=---=++ ⎪++++⎝⎭()()4222416151414k k k +-==+， 整理得272k =.故7k =±.所以05y =±步骤12)综上，0y =±或05y =±（步骤13）22.（本小题满分14分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k ∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为2k . （Ⅰ）证明456,,a a a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记2222323n nn T a a a =+++ ，证明32222n n T n <-≤（≥）. 【测量目标】等比数列的性质及求数列的通项公式、等差等比数列的综合应用.【考查方式】给出数列的首项，根据等比数列的定义证明等比数列；利用等差数列的性质求通项公式并根据数列求和分类讨论证明.【试题解析】（Ⅰ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，65618a a =+=.（步骤1） 从而655432a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列.（步骤2） （Ⅱ）解：由题设可得21214,k k a a k k *+--=∈N所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+-()441...41k k =+-++⨯()21,k k k *=+∈N .（步骤3） 由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.（步骤4）所以数列{}n a 的通项公式为221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数或写为()21124n n n a --=+，n *∈N .（步骤5）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知()2121k a k k +=+，222k a k =，（步骤6） 以下分两种情况进行讨论：（1） 当n 为偶数时，设()2n m m *=∈N ， 若1m =，则2222nk k k n a =-=∑，（步骤7） 若m ≥2，则()()()22222112211112212214441221nm m m m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==⎡⎤+⎡⎤⎛⎫=++=++-⎢⎥ ⎪⎢⎥++-⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑ ()11312211222m m n m n ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭.（步骤8） 所以223122n k k k n a n =-=+∑，从而22322,4,6,8,2n k kk n n a =<-<=∑ （步骤9） （2） 当n 为奇数时，设()21n m m *=+∈N . ()()()22222222121213142221n m k k k k m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()11314222121m n m n =+-=---+.（步骤10） 所以2231221n k k k n a n =-=++∑，从而22322,3,5,7,2n k k k n n a =<-<=∑ （步骤11） 综合（1）和（2）可知，对任意2,n n *∈N ≥有3222n n T <-≤.（步骤12）。
2010年高考试题——数学文(天津卷)含答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷1至3页。
第Ⅱ卷4至11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．答I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式V=Sh.()()()P A B P A P B ⋃=+ 其中S 表示棱柱的底面积.h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数31ii+-= (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)3（4）函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） (5)下列命题中，真命题是(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数(6)设554a log 4b log c log ===25，（3），，则 (A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c(7)设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是(A){}a |0a 6≤≤ (B){}|2,a a ≤≥或a 4 (C){}|0,6a a ≤≥或a (D){}|24a a ≤≤（8）5y Asinx x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点 (A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =，则AC AD ⋅=（A ）23 （B ）32 （C ）33（D ）3 （10）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2010年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
【解答】解：因为抛物线y =24x的准线方程为x=-6, 则由题意知，点F(-6,0)是双曲线的左焦点，
2 2 2
所以a
+b =c=36,
又双曲线的一条渐近线方程是y= x,
所以，
x
2 2
解得a
=9,b=27,
所以双曲线的方程为 故选B.
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质.
a
【解答】解：显然qT，所以
故选D.
【点评】 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视.程
序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：① 分支的条件 ② 循环的条件 ③ 变量的
赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是：不能准确理解
流程图的含义而导致错误.
2
【考点】 双曲线的标准方程.
10.（5分）（2010?天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，
要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
【解答】 解：否命题是同时否定命题的条件结论，故由否命题的定义可知 故选B
【点评】 本题主要考查否命题的概念，注意否命题与命题否定的区别.
4.(5分) (2010 ?天津)阅读如图的程序框图，若输出s的值为-7,贝V判断框内可填写(
f=l
/=1
X
结束
B.iv4C.iv5 D.iv6设计程序框图解决实际问题.
9.（5分）（2010 ?天津）设集合A={x||xa|v1,xR},B={x||xq>2,xR}.若A?B,
则数a,b必满足（）
A.|a+b|<3B.|a+b|以3C.|ab-|<3 D.|abi以3
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试试题及答案
第-
类非可去间断点
3.设函数f x在X0处可导，且f（X0）= 2，ห้องสมุดไป่ตู้当厶X = X -X0—；0时，fX在X0处
的微分dy是
B. 1C. 3
8.改变积分顺序：J：dx『f (x, y)dy=
9.微分方程y”• 4y ' 4y = 0的通解为
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分,共40分，在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1•下列极限存在的是
C.lim arctanx
D.lir
X
X3-1
4 x — 1
c 1
2.x= 0是函数y =cos—的
X
A.连续点B.
第二
一类间断点
2010年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试
高等数学
本试卷分第I卷（选择题）和第H卷两部分。共150分。考试时间120分钟。
第
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并 将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2•每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
10年专升本高数真题答案
2023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 解析及【解析】析一、选择题（每小题2分,共60分）1．解析:D【解析】:由题意可知:1(1,1]x -∈-,所以(0, 2]x ∈.选D.2．解析:D【解析】:A 选项为非奇非偶；B 选项中()xf x 为奇函数,3tan x 也为奇函数,因此整体为奇函数；C 选项中3sin x x 为偶函数,()f x 为奇函数,因此整体为非奇非偶；D 选项中()f x 为奇函数,2e x 为偶函数,5sin x 为奇函数,奇⨯偶⨯奇为偶函数。
选D.3．解析:D【解析】:22e 1~200sin3~3e 122lim lim sin 333xx x x x x xx x x -→→-==,因此为同阶非等价无穷小量。
选D.4．解析:A【解析】:2501lim sin 0x x x+→=（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；10lim e 0x x -→=,即左极限=右极限=0,但该函数在0x =处没有定义,因此为可去间断点。
选A.5．解析:C【解析】:对C 选项来说,令32()52f x x x =+-,显然在区间[]0,1上连续,有(0)20f =-<,(1)40f =>,根据零点定理可知,区间(0, 1)内至少有一个实根。
其他选项均不满足零点定理,取法判断。
选C.6．解析:D【解析】:根据某点处导数地定义可知:00000()(3)33limlim ()222h h f x f x h f x h →→-+'=-=.选D.7．解析:A【解析】:ln 1y x '=+,切线斜率为1,对应地切点0ln 11x +=,可【解析】得为(1,0).故切线方程为1-=x y .选A .8．解析:B【解析】:根据求导法则可得:y '=选B.9．解析:B【解析】:22d ()2sin d d cos f x x x x x =-=,2()cos f x x C ∴=+两边同时求积分可有.选B.10．解析:D【解析】:定积分表示地是常数,常数求导就是0.选D.11．解析:D【解析】:()()f x f x -= ,()(),()()f x f x f x f x ''''''∴--=-=.当(, 0)x ∈-∞时,(0, )x -∈+∞,有()0f x '->,()0f x ''->,所以()()0,()()0f x f x f x f x ''''''∴=--<=->.选D.12．解析:D【解析】:极值点是驻点或者不可导点,根据题意无法判断是否是极值点。
2010年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2010年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1+2i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．2﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：．故选A．【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题．2．（5分）（2010•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】1．作出可行域2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．【点评】本题考查线性规划问题：目标函数的几何意义3．（5分）（2010•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【考点】条件语句；循环语句．【专题】算法和程序框图．【分析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B【点评】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．4．（5分）（2010•天津）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．5．（5分）（2010•天津）下列命题中，真命题是（）A．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是偶函数B．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数C．∀m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是偶函数D．∀m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题主要考查函数奇偶性的基本概念即在定义域内对于任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，在定义域内对于任意的x都有f（﹣x）=f（x），则f（x）是偶函数，还考查了存在量词、全称量词的含义与应用，属于容易题．【解答】解：A、当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，故A正确；B、f（﹣x）=x2﹣mx，﹣f（x）=﹣x2﹣mx，不存在m使函数在定义域内对任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x），故B错误；C、仅当m=0时f（x）是偶函数，m取其它值均不满足题意，故C错误；D、一个m也没有更谈不上对任意的m的值，故D错误．故选A．【点评】本题主要是函数奇偶性的应用，判断函数奇偶性有两步①定义域是否关于原点对称②若定义域关于原点对称则再看f（﹣x）与f（x）的关系，有时奇偶性的判断也可以根据函数的图象．6．（5分）（2010•天津）设a=log54，b=（log53）2，c=log45则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，所以c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，排除C．【解答】解：∵a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选D．【点评】本题考查对数函数的单调性，属基础题．7．（5分）（2010•天津）设集合A={x||x﹣a|＜1}，B={x|1＜x＜5，x∈R}，A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}【考点】绝对值不等式的解法；交集及其运算．【专题】集合．【分析】由绝对值的几何意义表示出集合A，再结合数轴分析A可能的情况，进而求解即可．【解答】解：由|x﹣a|＜1得﹣1＜x﹣a＜1，即a﹣1＜x＜a+1．如图由图可知a+1≤1或a﹣1≥5，所以a≤0或a≥6．故选C【点评】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意，属于中等题．8．（5分）（2010•天津）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．【点评】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的9．（5分）（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，则=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．从要求的结论入手，用公式写出数量积，根据正弦定理变未知为已知，代入数值，得到结果，本题的难点在于正弦定理的应用．【解答】解：=故选D．【点评】把向量同解三角形结合的问题，均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题．10．（5分）（2010•天津）设函数g（x）=x2﹣2，f（x）=，则f（x）的值域是（）A．B．[0，+∞）C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据x的取值范围化简f（x）的解析式，将解析式化到完全平方与常数的代数和形式，在每一段上求出值域，再把值域取并集．【解答】解：x＜g（x），即x＜x2﹣2，即x＜﹣1 或x＞2．x≥g（x），即﹣1≤x≤2．由题意f（x）===，所以当x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）时，由二次函数的性质可得f（x）∈（2，+∞）；x∈[﹣1，2]时，由二次函数的性质可得f（x）∈[﹣，0]，故选D．【点评】本题考查分段函数值域的求法，二次函数的性质的应用，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2010•天津）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则的值为．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】直线与圆．【分析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题．由ABCD四点共圆不难得到△PBC∽△PAB，再根据相似三角形性质，即可得到结论．【解答】解：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PAD，所以=．故答案为：．【点评】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点．12．（4分）（2010•天津）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 3 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状；本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半．【解答】解：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为；故答案为3．【点评】本题主要考查三视图的基础知识，和棱柱体积的计算，属于容易题．13．（4分）（2010•天津）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为=1 ．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线的渐近线方程为y=±x，易得，再由抛物线y2=16x的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组，解得a2、b2即可．【解答】解：由双曲线渐近线方程可知①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又c2=a2+b2③联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为．故答案为．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质．14．（4分）（2010•天津）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为（x+1）2+y2=2 ．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．【解答】解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．15．（4分）（2010•天津）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0= 4 ．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先用公比q和a1分别表示出S n和S2n，代入T n易得到T n的表达式．再根据基本不等式得出n0【解答】解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值．故答案为：4．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．本题的实质是求T n取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．16．（4分）（2010•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是m＜﹣1 ．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】已知f（x）为增函数且m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论即可得出答案．【解答】解：已知f（x）为增函数且m≠0，当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意．当m＜0时，有因为y=2x2在x∈[1，+∞）上的最小值为2，所以1+，即m2＞1，解得m＜﹣1或m＞1（舍去）．故答案为：m＜﹣1．【点评】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（2010•天津）在△ABC中，．（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若cosA=﹣，求sin的值．【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）先根据正弦定理将边的比值转化为正弦值的比，交叉相乘后根据两角和与差的正弦公式可求出sin （B﹣C）=0．再由B，C的范围可判断B=C得证．（2）先根据（1）确定A，与B的关系，再由诱导公式可求出cos2B的值，然后由基本关系式可求sin2B的值最后由二倍角公式和两角和与差的正弦公式可求最后答案．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=．于是sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0．因为﹣π＜B﹣C＜π，从而B﹣C=0．所以B=C；（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π﹣2B，故cos2B=﹣cos（π﹣2B）=﹣cosA=．又0＜2B＜π，于是sin2B==．从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=．所以．【点评】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．18．（12分）（2010•天津）有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件；等可能事件的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）考查古典概型用列举法计算随机事件所含的基本事件数，从10个零件中随机抽取一个共有10种不同的结果，而符合条件的由所给数据可知，一等品零件共有6个，由古典概型公式得到结果．（2）（i）从一等品零件中，随机抽取2个，一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有15种．（ii）从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等记为事件B，列举出B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．根据古典概型公式得到结果．【解答】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种．（ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件BB的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．∴P（B）=．【点评】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．19．（12分）（2010•天津）如图，在五面体EF﹣ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°．①求异面直线CE与AF所成角的余弦值；②证明：CD⊥平面ABF；③求二面角B﹣EF﹣A的正切值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（Ⅰ）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线CD与面ABF中的两条相交直线垂直即可；（Ⅲ）先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3，故cos∠CED==．所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为；（Ⅱ）证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点．取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，因为BC∥AD，所以BC∥EF．过点N作NM⊥EF，交BC于M，则∠GNM为二面角B﹣EF﹣A的平面角．连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．从而BC⊥GM．由已知，可得GM=．由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．在Rt△NGM中，tan，所以二面角B﹣EF﹣A的正切值为．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．20．（12分）（2010•天津）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：（﹣）当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：（﹣），）当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．【点评】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．21．（14分）（2010•天津）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且．求y0的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得a和b的关系，进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得．（2）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．（ii）设线段AB的中点为M，由（i）可表示M的坐标，看当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据求得y0；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据求得y0；综合答案可得．【解答】解：（Ⅰ）由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知，即ab=2．解方程组得a=2，b=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2）．于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由，得．从而．所以．由，得．整理得32k4﹣9k2﹣23=0，即（k2﹣1）（32k2+23）=0，解得k=±1．所以直线l的倾斜角为或．（ii）设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为．以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是．由，得．（2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．令x=0，解得．由，，==，整理得7k2=2．故．所以．综上，或．【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力．22．（14分）（2010•天津）在数列{a n}中，a1=0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．（Ⅰ）证明a4，a5，a6成等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记，证明．【考点】数列递推式；等比关系的确定；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）由题设可知，a2=2，a3=4，a4=8，a5=12，a6=18．从而，由此可知a4，a5，a6成等比数列．（II）由题设可得a2k+1﹣a2k﹣1=4k，k∈N*．所以a2k+1﹣a1=（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+（a3﹣a1）=2k（k+1），k∈N*．由此可以推出数列{a n}的通项公式．（III）由题设条件可知a2k+1=2k（k+1），a2k=2k2，然后分n为偶数和n为奇数两种情况进行讨论，能够证明．【解答】（I）证明：由题设可知，a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，a4=a3+4=8，a5=a4+4=12，a6=a5+6=18．从而，所以a4，a5，a6成等比数列；（II）解：由题设可得a2k+1﹣a2k﹣1=4k，k∈N*．所以a2k+1﹣a1=（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+…+（a3﹣a1）=4k+4（k﹣1）+…+4×1=2k（k+1），k∈N*．由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1﹣2k=2k2．所以数列{a n}的通项公式为或写为，n∈N*．（III）证明：由（II）可知a2k+1=2k（k+1），a2k=2k2，以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N*）若m=1，则，若m≥2，则==．所以，从而，；（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）=．所以，从而，．综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有．【点评】本题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．。
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2010年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
一、单项选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 下列极限存在的是A. xx x 10)1(lim +→ B . 1115lim -→x xC . x x arctan lim ∞→ D . 11lim 31--→x x x2. 0=x 是函数xy 1cos=的 A ．连续点 B. 第二类间断点 C. 第一类可去间断点 D. 第一类非可去间断点3. 设函数()x f 在0x 处可导，且2)(0='x f ，则当00→-=∆x x x 时，()x f 在0x 处的微分dy 是A. 与x ∆等价的无穷小B. 与x ∆同阶的无穷小 C ．比x ∆低价的无穷小 D. 比x ∆高阶的无穷小4. 设函数)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且)()(x f x f =-.如果当0<x 时，0)(,0)(>''<'x f x f ，则当0>x 时，有A ．0)(,0)(<''>'x f x f B. 0)(,0)(<''<'x f x f C. 0)(,0)(>''<'x f x f D. 0)(,0)(>''>'x f x f5.⎰=-dx x x 21lnA. C x x x +-ln 2B. C x x +-lnC ．C xx x ++-ln 2 D.C x x+ln 6. 已知向量→→b a ,满足,→→⊥b a 且,4,3==→→b a 则=-⨯+→→→→)()(b a b a A. 0 B. 12 C. 24 D. 30 7. 设)(x f 是以2为周期的周期函数，且⎩⎨⎧≤<-≤≤=,21,2,10,)(x x x xx f 则⎰=71)(dx x f A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 8. 改变积分顺序：⎰⎰10),(xdy y x f dx =A ．⎰⎰1012),(y dx y x f dy B. ⎰⎰12),(y dx y x f dyC.⎰⎰10),(y dx y x f dyD.⎰⎰101),(ydx y x f dy9. 微分方程044=+'+''y y y 的通解为 A. xex C C 221)(-+B. xex C C 221)(+C. xe x x C x C 221)sin cos (-+D. xex x C x C 221)sin cos (+10.设)(x f 在),0[+∞上可导，其反函数为)(x g .若⎰=)(02)(x f x e x dt t g ，则=')1(fA. 0B. eC. 3eD. 2e2010年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高 等 数 学第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）注意事项：1. 答第Ⅱ卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。
2．考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分，把答案填在 题中横线上.11. 求极限:=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→211252lim x x x x12. 设b a ,为常数，且()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a -的值为 13. 计算广义积分⎰+∞=+12)ln 31(1dx x x14. 过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是 15. 设函数y x y x y x z arctan arctan 22-=，则=∂∂∂yx z 216. 微分方程xe y y x =+'的通解为三、解答题:本大题共8小题,共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）.求极限：)3ln()2ln(lim 23x x x e e +++∞→18．（本小题满分10分）设参数方程⎩⎨⎧-==)()1(,)(t f t y t f x 确定了函数)(x y y =，其中)(t f 为二阶可导函数，0)(≠'t f求dx dy 和22dx y d19．（本小题满分10分）设抛物线21x y -=与x 轴的交点为A 、B ，在它与x 轴所围成的平面区域内，以线段AB 为下底作内接等腰梯形ABCD （如图）.设梯形的上底DC 长为2x ，面积为S （x ） （1）求函数S （x ）的解析式;(2)求S （x ）的最大值20．（本小题满分10分）设函数),(y x z z =由方程22-=+ze e e yz x所确定.（1） 求偏导数yzx z ∂∂∂∂,及全微分dz ； （2） 求曲面),(y x z z =在点)2,1,1(--处的法线方程x21．（本小题满分10分）设二元函数⎰⎰+=Ddxdy y x f y y x f ),(sin ),(2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x y x 所围成的平面区域，求二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22的值22．（本小题满分12分）设常数12ln ->a ，证明：当0>x 时，122+->ax x e x23．（本小题满分12分）设)(x f 在),(+∞-∞内满足x x f x f sin )()(+-=π，且),0[,)(π∈=x x x f ，求⎰ππ3)(dx x f24．（本小题满分12分）已知曲线)(x y y =通过点)3,2(，该曲线上任意一点处的切线被两坐标轴所截的线段均被切点所平分（1） 求曲线方程);(x y y =（2） 求该曲线与直线0,2,6===y x x y 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积2010年真题参考答案一、选择题1．D 2. B 3. B 4. D 5. B6. C7. C8. A9. A 10.C 二、填空题11. 2e 12.-6 13.31 14.742=--z y x 15. 2222yx y x +- 16. x C e y x += 三、解答题17.解: 原式=xx x xx e e e e 22333223lim +++∞→=23131121lim 2323=++--+∞→x x x e e 18. 解:)(t f dt dx '=， )()1()(t f t t f dt dy'-+= 于是1)()()()()1()(-+'=''-+=t t f t f t f t f t t f dx dy dtdx dxdydt d dx y d )(22==)(1)]([)()()()(2t f t f t f t f t f t f '+'''-''=32)]([)()()]([2t f t f t f t f '''-'19.解:（1）由⎩⎨⎧=-=,0,12y x y 解得.1±=x则A 、B 两点坐标分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，且AB 的长度为2. 于是)1)(1()1)(22(21)(22x x x x x S -+=-+=，10<<x （2）123)(2+--='x x x S 令,0)(='x S 得1,3121-==x x （舍去）因为,04)26()(3131<-=--=''==x x x x S所以2732)31(=S 为极大值. 根据问题的实际意义，可知唯一的极大值2732=S 即为最大值. 20. 解:（1） 设 22),,(--+=ze e ez y x F yz x，故,2),,(2x x e z y x F ='yz y ze z y x F ='),,(，2),,(--='e ye z y x F yz z所以yzxyz x z x ye e e e ye e F F x z -=--=''-=∂∂--222222 yz yzyz yz z y ye e ze e ye ze F F y z -=--=''-=∂∂--22 dy yee ze dx ye e e dz yzyz yz x -+-=--2222 （2）,2)2,1,1(2-=--'e F x ,2)2,1,1(2-=--'e F y ,2)2,1,1(2--=--'e F z 取法线的方向向量为{},1,1,1-故法线方程为121211--=+=+z y x 21. 解:直线1-=x y 与2=y 的交点为（3，2），区域D 用不等式可表示为 11,20+≤≤≤≤y x y ，设⎰⎰=DM dxdy y x f ),(，其中M 为常数，则,sin ),(2M y y x f += 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=DDDdxdy M dxdy y dxdy y x f ,sin ),(2或 ⎰⎰⎰⎰=-D Ddxdy ydxdy M 2sin )1(根据二重积分几何意义有⎰⎰Ddxdy =平面区域D 的面积=2因而 ⎰⎰⎰⎰+-=-=21122sin sin y Ddx y dy dxdy y M)14(cos 21cos 21sin 21sin 202202222-==-=-=⎰⎰y dy y dy y y 22. 证明：设),12()(2+--=ax x e x f x则,22)(a x e x f x +-='2)(-=''x e x f .令,0)(=''x f 得.2ln =x当2ln <x 时，;0)(<''x f 当2ln >x 时，.0)(>''x f所以)(x f '在2ln =x 处取到最小值，因此.022ln 22)2(ln )(>+-='≥'a f x f 于是)(x f 为单调增加函数.故当0>x 时，有,0)0()(=>f x f 即.122+->ax x e x23. 解：⎰⎰⎰-=+-=ππππππππ333)(]sin )([)(dx x f dx x x f dx x f⎰⎰=-=πππ2020)()(dx x f dt t f x t⎰⎰+=πππ20)()(dx x f dx x f⎰⎰+-+=ππππ20]sin )([)(dx x x f dx x f2)()(20--+=⎰⎰ππππdx x f dx x f22)(22-=-=⎰ππdx x f24. 解：（1）设),(y x P 为曲线上任意一点，则该点的切线在x 轴，y 轴的截距分别为x 2，y 2，且切线斜率为.2002x y x y -=--由导数的几何意义，得.xydx dy -=于是⎰⎰-=.x dxy dy 故 C xy =由于曲线经过点（2，3），因此6=C .故所求曲线方程为6=xy(2)所求旋转体的体积为⎰+⋅⋅=2122)6(1631dx x V ππ.30)1(361221πππ=-+=x。