高中数学直线与圆的方程知识点总结49648

高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；
③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：1
21
22121tan x x y y x x y y k --=--=
=α
①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）
特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=∙k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：
①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；
③两点式：),(21211
21
121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接
带入即可；
④截距式：
1=+b
y
a x 将已知截距坐标),0(),0,(
b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
3、距离公式：
①两点间距离：2
212
2121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2
2
00B
A C By Ax d +++=
③平行直线间距离：2
2
21B
A C C d +-=
4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A
①AB 中点),(00y x ：)2
,2(
2
121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2
121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标
)3
2,32(2
121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。

5.直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:设这个点为P （x 0，y 0）,对称后的点坐标为P ’（x ，y ），则pp ’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp ’的中点坐标在已知直线上。

三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

2、动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： ①PB PA +的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②PB PA -的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；
③2
2
PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3
令：x+2=0 => 必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析：
① 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。

② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。

）
③ 直线到两定点距离相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程
1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.
2. 圆的方程表示方法：
第一种：圆的一般方程——02
2
=++++F Ey Dx y x 其中圆心⎪⎭
⎫
⎝⎛--2,2
E D C ，
半径2
422F E D r -+=.
当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，
当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫
⎝
⎛--2,2E D . 当0422 F E D -+时，方程无图形.
第二种：圆的标准方程——222)()(r b y a x =-+-.其中点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆
第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：⎩
⎨
⎧+=+=θθ
sin cos r b y r a x （θ为参数）
注：圆的直径方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A 3. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.
①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔
（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔ 4. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=.
①r d =时，l 与C 相切；
②r d 时，l 与C 相交；， ③r d 时，l 与C 相离.
5、圆的切线方程：
①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2
. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)
②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪
⎩
⎪
⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出⇒k 切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于
X 轴的直线。

） 6.圆系方程：
过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C 1:x 2
+y 2
+D 1x+E 1y+F 1=0 C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ
（x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0
过两圆的交点的直线方程：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1- x 2+y 2
+D 2x+E 2y+F 2=0（两圆的方程相减得到的方
程就是直线方程）
7.与圆有关的计算：
弦长的计算：AB=2*√R 2-d 2
其中R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离
AB=（√1+k 2
）*∣X 1-X 2∣ 其中k 是直线的斜率，X 1与X 2是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径
8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则（x-a ）/（y-b ）的最值可以转化为圆上的点与
该点（a ，b ）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则求x+y 或x-y 的最值可以转化为：设T=x+y 或T=x-y ，
在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T 或y=x-T 在Y 轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。

②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆
心坐标。