福建工程学院线性代数期末试卷
福建工程学院线性代数试卷(23)
福建工程学院线性代数试卷(23)一、单项选择题（每题4分，共16分）1、行列式122211211-=--a a a a , 则线性方程组⎩⎨⎧-=--=-22221211212111b x a x a b x a x a 的解是( ) (A) 22111122221211,b a b a x a b a b x ==(B) 22111122221211,b a b a x a b a b x ---=--=(C) 22111122221211,b a b a x a b a b x --=----=(D) 22111122221211,b a b a x a b a b x ---=----=2、设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3150，则A 的转置矩阵T A 是（ ） （A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3150 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3150 （C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3150 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3510 3、设A 是3×4矩阵，B 是4×3矩阵，则矩阵AB 的秩为（ ） （A ） 3 （B ） 4 （C ） 3≤ （D ） 4≤ 4、设A 为n 阶矩阵，且0=A ，则（ ） （A ） A 的列秩等于零 （B ） R (A ) < n −1（C ） A 中必有一行向量可以由其它行向量线性表示 （D ） A 中必有一行向量可以由其它行向量唯一地线性表示二、填空题 (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x c c c b b b a a a 321321321等于 ___________________________.2. 若n 元齐次线性方程组A 0=x 只有零解， 且其系数矩阵的秩为r ， 则r 与n 的关系必为 .3. 二次型2332223121342x x x x x x x f ++--= 写成矩阵形式为 .4. 设 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3142A , 则 A -1等于 ___________________. 三、( 本题10分 )已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=531214,131201,545121301C B A , 求C AB 2+.四、( 本题10分 ) 计算行列式1111111111111111---=D 的值.五、( 本题10分 ) 求 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----351345231 的逆矩阵.六、( 本题10分 ) 设 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=7294125242733021A ，（1）求矩阵A 的秩；（2）求齐次线性方程组A 0=x 的通解.七、( 本题7分 )判别方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-++=++-05631242725432143214321x x x x x x x x x x x x 是否有解（请说明理由）?八、(本题14分) 设二次型 ()222121211283,x x x x x x f --= ，(1) 写出它的矩阵A ； (2) 求出A 的特征值和特征向量； (3) 写出正交变换x =P y , 将f 化成标准形.九、证明题( 本题7分 )设X 为n 维列向量，1=X X T，令TX X E H 2-=，证明H 是对称的正交矩阵.。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
经济数学《线性代数》期末试卷三(含答案解析)
《线性代数》试卷三一．选择题（每题3分，共30分）1.在四阶行列式ij a 的展开式中不会出现的项是（ ）.A. 24133241a a a aB. 24133241a a a a -C. 14233241a a a aD. 11223344a a a a【解答】由于A.B 选项仅相差一个符号，故答案必为A.B 其中之一.注意到24133241a a a a 的行标.列标逆序数之和为奇数，故其符号为负号，因此选A.2.设A .B 为n 阶对称阵且B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是（ ） A. 11AB B A --- B. 11AB B A --+ C. 1B AB - D. 2()AB 【解答】显然由()()()11111111TTTT T T T AB B A AB B A B A A B B A AB --------+=+=+=+可知选项B 正确.3.设,,A B A B +以及11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则()111A B---+=（ ）.A. 11A B --+ B. A B + C. ()1A AB B -+ D. ()1A B -+ 【解答】此题只须直接计算如下：()()()()()()()()()1111111111A B A A B B A B B B A A B BE B A A B B BB A A B B E----------++=+++=++=++=即可知本题选C.4.向量组()12,,,2s s ααα≥线性无关的充分条件是（ ）.A ．存在一组数120,s k k k ====使得11220s s k k k ααα+++=成立.B ．12,,,s ααα中不含零向量C ．当12,,,s k k k 不全为零时，总有11220s s k k k ααα+++≠成立D ．向量组12,,,s ααα中向量两两线性无关【解答】本题考察线性无关的定义.此题中向量组无论线性相关与否，选项A 均成立，故A错误；选项B 与选项D 均为必要条件但非充分条件；因此选C.5.若向量组r A ααα,,,:210 为向量组m A ααα,,,:21 的一个极大无关组，则下列说法中错误的是（ ）A ．1α必可由向量组r A ααα,,,:210 线性表示；B ．1α必可由向量组m r r ααα,,,21 ++线性表示；C ．m α必可由向量组r A ααα,,,:210 线性表示；D ．m α必可由向量组m r r ααα,,,21 ++线性表示.【解答】选项A.C.D 均成立，选项B 则未必.反例：令r A ααα,,,:210 为无关向量组，令m r r ααα,,,21 ++均为零向量即可.故选B.6.设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是（ ） A.A 的列向量线性无关; B.A 的列向量线性相关; C.A 的行向量线性无关; D.A 的行向量线性相关.【解答】A 的列向量线性无关时，A 的秩为n ，此时方程组只有零解.故选A.7.设有非齐次线性方程组Ax b =，下列说法正确的是（ ） A.导出组0Ax =只有零解时，Ax b =只有唯一解； B.导出组0Ax =有非零解时，Ax b =有无穷多解； C.若Ax b =有两个互异解，则Ax b =有无穷多解； D.以上都不对 【解答】在Ax b =有解的前提下，才可以得到：导出组0Ax =只有零解当且仅当Ax b =有唯一解，导出组0Ax =有非零解当且仅当Ax b =有无穷多解.但是去掉前提条件“Ax b =有解”时，只能得到：Ax b =有唯一解时0Ax =只有零解，Ax b =有无穷多解时0Ax =有非零解.因此选项 A.B 均不成立.选项C 是正确的，事实上，我们有如下命题：设12,,,s ααα是非齐次线性方程组Ax b =的解，则1122s s k k k ααα+++非齐次线性方程组Ax b =的解当且仅当121s k k k +++=.因此，若Ax b =有两个互异解，则其任意满足组合系数和为1的线性组合亦必为Ax b =的解，因此其必有无穷多解.故选C.8.设λ是n 阶实矩阵A 的特征值，且齐次线性方程组()0E A x λ-=的基础解系为ξ与η，则A 的属于特征值λ的全部特征向量为（ ） A ．ξ与η B ．ξ或ηC ．12k k ξη+，其中12,k k 不全为零D ．12k k ξη+，其中12,k k 全不为零【解答】A 的属于特征值λ的特征向量实质为方程()0E A x λ-=的非零解.故选D.9.设TT(1,2,3,4),A ααα==,则A 的正惯性指数为（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】易知A 的秩为1，故正惯性指数最多为1.又知二次型()TT T T 0x Ax x x x x αααα==≥为半正定二次型，故正惯性指数等于秩，即为1. 故选A.10.二次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-的规范形是（ ）A.222123z z z ++B.222123z z z --C.2212z z -D.21z【解答】直接计算知122244244A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值为9,0,0，故标准形为219y ，规范形必为21z .故选D.二．填空题（每题3分，共18分）1．已知 (3)n n ≥阶可逆方阵A 的伴随矩阵*A ，且已知常数0k ≠，则*()kA =_______【解答】由于()()*1*n n kA kA kA E k A E kAk A -===，于是由乘法消去律（可逆矩阵满足乘法消去律）可知()*1*n kA k A -=.2.若n 阶行列式D 中有多于2-n n 个元素为0，则______=D .【解答】因行列式中有多于2n n -个元素为0，则其有少于n 个元素不为零，而n 阶行列式的值的每一项都是不同行.不同列的n 个元素的乘积再加上一个正号或负号，所以每一项中至少有一个元素为0，从而行列式的每一项都为0，故0D =.3.线性方程组123123123123332x x x x x ax x ax x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则a 满足条件【解答】对于方程数与未知量个数相等的非齐次方程组，其有唯一解当且仅当系数行列式非零，于是直接计算可知3a ≠-且2a ≠。
期末线代试题及答案
期末线代试题及答案一、选择题（每题2分，共50分）1. 设A为3阶方阵，满足A^2 = I，则A的行列式的值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C2. 设向量组V1 = (1, 0, -1)，V2 = (2, -1, 3)，V3 = (-1, 2, 0)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：B3. 设向量组V1 = (1, 2, -1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 4, 5)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：A4. 设A为3阶方阵，满足行列式det(A) = 3，则矩阵B = A^-1的行列式的值是多少？A. -1/3B. 3C. 1/3D. 1答案：C5. 已知矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的秩是多少？A. 2B. 3C. 1D. 0答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 设A为3阶方阵，满足A^T = 2A，则A的特征值之和是________。
答案：62. 设矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的伴随矩阵的元素之和为________。
答案：03. 设向量组V1 = (1, 0, 1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 0, -2)，则V1, V2, V3的秩为________。
答案：24. 设三阶方阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = -1, λ3 = 0，则A的特征值对应的特征向量分别为________。
答案：（2, 0, 1），（0, 1, -1），（1, 1, -1）5. 设矩阵A = [1 2, 3 4]，则A的迹为________。
答案：5三、解答题（每题20分，共60分）1. 设A为2阶方阵，满足det(A) = 3，求A的伴随矩阵。
答案：设A = [a b, c d]，则伴随矩阵的元素为：A* = [d -b, -c a]所以伴随矩阵为：A* = [d/3 -b/3, -c/3 a/3]2. 已知矩阵A = [1 -1, 2 3]，求A的特征值和特征向量。
线性代数-期末测试题及其答案
线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1 -3 11.若0 5 X =°，则；t = 。
-1 2 -2| f x2 . X3 = 02. ___________________________________________________________________ 若齐次线性方程组+^X2 +x3=0只有零解，则人应满足_____________________________________ 。
x1 +x2 +x3 = 03. 已知矩阵A, B, C =（q ）s n,满足AC二CB，则A与B分别是 _____________ 阶矩阵。
4•已知矩阵A为3 3的矩阵，且|A| = 3，则|2A| = ___________ 。
5. n阶方阵A满足A2 -3A - E = 0，则A A=。
二、选择题（每小题5分，共25分）6•已知二次型f • X；• 5x2 2tX i X2 -2^X3 - 4X2X3 ,当t取何值时，该二次型为正定？（）4 - 4 4 4 4 1A. —— <t W0B. ——<t < —C. 0<t< —D. —一c t< 一一5 5 5 5 5 2q 4 2''1 2 3"7.已知矩阵A =0 -3 4 B = 0X6 ，且A ~ B，求x的值（）<0 4<0 0 5」3」A.3B.-2C.5D.-58 •设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A^OB. A，HOC. r（A） = nD. A的行向量组线性相关9 •过点（0, 2, 4）且与两平面x 2z =1和y -3z =2的交线平行的直线方程为（）A.xy-2 z -4B.x y —2 z-4-2 _ 3-1 2_ 3 -2 C.xy 2 z 4 D.x y 2 z 4-2312 32.已知矩阵'3 1、 10 A =,其特征值为（)-1A.初=2,為 =4B.人二=_2,九2C.=4D. Z_1 :=2丄2 =-4 三、解答题（每小题10分，共50分）15.证明：若A 是n 阶方阵，且 从丁=|，A = —1,证明 A+I =0。
线性代数期末考试试卷+答案
×××大学线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 2分，共10分）1 -3 1P X IX 2 X 3 =02 .若齐次线性方程组 J x 1+χx 2+x 3=0只有零解，则 扎应满足X 1亠 X 2亠 X 3= 05. n 阶方阵 A 满足 A 2-3A-E = 0 ,贝U A J = _____________________ 。
、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“X” 。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D 0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3. 向量组a 1, a 2,…,a m中，如果a 1与a m对应的分量成比例，则向量组 a 1, a 2,…，a s线性相关。
■为可逆矩阵A 的特征值，贝U A J 的特征值为’。
（）若三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题1.设A 为n 阶矩阵，且A = 2 ,则I AA T =（ ）。
①2n②2n'③2n1④42. n 维向量组:∙1,:-2, , ：■ S （ 3 < S < n ）线性无关的充要条件是（）。
-0 11 0 0 0 0 04. A =0 0 0 10 1 0①：'1, ：'2 ,'：'S 中任意两个向量都线性无关②＞1,-：：S 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③：'1, -'2 ,-■ S中任一个向量都不能用其余向量线性表示1.若0 5 -12x =0,则= —23•已知矩阵A ,B ,C = (C ij )s n ,满足AC =CB ,则A 与B 分别是 _____________ 阶矩阵。
a124 .矩阵 A= a21a 22的行向量组线性31a32丿2分，共10分）11,贝U A A =A 。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
大学数学线性代数第二学期期末复习测试试卷含答案
线性代数第二学期期末测试试卷含答案班别_________ 姓名___________ 成绩_____________第一部分 客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）1. 若行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则212223111213313233232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d -2. 设123010111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ）(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ）(A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ⨯矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。
(A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(C) 存在一组数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(D) 对β的线性表达式唯一8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ）(A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解9. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
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2011-2012第一学期
福建工程学院线性代数试卷（A ）
一. 选择题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)
1.
设
、
是阶对称矩阵，则下面结论中不正确的是( )
(A ) A +B 也是对称矩阵 (B )
AB 也是对称矩阵 (C
)+
（为正整数）也是对称矩阵 (D ) 也是对称矩
阵 2. 若向量组
的秩为，则( )
(A) 必定
(B) 向量组中任意小于个向量的部分组必线性无关 (C) 向量组中任意个向量必线性无关
(D) 向量组中任意个向量必线性相关
3. 设是阶行列式，则在行列式中的符号
为（ ）
（A ）正 （B ） 负 （C ） （D ）
4．下列矩阵中（ ）是正交矩阵
（A ） (B) （C ）
（D ）
5．要使 ,
都是线性方程组
的解，只要系数
矩阵
为( )
（A ）
(B)
（C ）
（D ）
二. 填充题(每小题4分, 共20分) 1．
的充分必要条件是 .
2．设A 是4阶方阵，B 是5阶方阵，且，
，
则
.
3．实二次型，当
时，其秩为2 .
4．若向量组
线性相关，则向量组必 .
5． 若线性方程组有解，则它有惟一解的充分必要条件是它的导
出组
.
三. (
本题10分 ) 设
求
．
四. ( 本题10分 ) 设
， 解方程
．
五. (本题12分) 设， 求正交矩阵， 使为
对角矩阵．
六. ( 本题10分 ) 设
，求．
七. ( 本题10分，选做1题)
1. 对线性方程组，讨论取何值时，
方程组有唯一解，无解，有无穷多解. 在有无穷多解时，求出其解．
2. 用矩阵方法解非齐次线性方程组 ．
八. ( 本题8分 , 选做1题)
1. 已知阶方阵
满足
，求证
可逆．
2. 已知546，273，169这三个数都是13的倍数，不用求出行列式的
值，
而用行列式性质证明：的值是13的倍数．。