专题突破——极坐标与参数方程专题

极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．2．（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0．由韦达定理可得t1•t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=．3．（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（I）求直线l和C的普通方程；（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值．解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为：，因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．（II）直线l：的参数方程为：（t为参数），代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17，则：||PA|﹣|PB||=，=．4．（2018•内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B 两点．（Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，得，…（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵点P在曲线C的左下方，∴|PA|=t1，|PB|=t2，…（8分）∴===3．…（10分）5．（2018•上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2=4，得t2﹣2tcosα﹣3=0，△=（2tcosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，=因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．6．（2018•武昌区校级模拟）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．解：（1）当时，由直线l的参数方程消去t得，即直线l的普通方程为；因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得（ρcosθ）2=4ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α﹣4tsinα﹣8=0，由题意知，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，∴==．∵，cos2α∈（0，1]，，当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为．7．（2018•洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）8．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，①当直线的斜率不存时，x=1．②当直线的斜率存在时，，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．9．（2018•合肥二模）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解（Ⅰ）曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ=0．即x2=2ay（a＞0）．（Ⅱ）将代入x2=2ay，得，得．∵a＞0，∴解①得．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|•|PN|，即，∴，即，解得a=0或．∵，∴．10．（2018•芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值．解：（1）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），消参得曲线C1的普通方程为x+y﹣a﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．两边同乘ρ得ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，即y2=2x．………（5分）（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得+2+1﹣2a=0，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，∴，解得a=．………（10分）11．（2018•深圳一模）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．在以O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（a，1），设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|PA|=3|PB|．求a的值．解：（Ⅰ）直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．转化为直角坐标方程为：4x﹣3y﹣4a+3=0．曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，转化为直角坐标方程为：y2=8x．（Ⅱ）设A、B的两个参数为t1和t2，则：，整理得：，所以：．由，解得：．由|PA|=3|PB|．则：t1=3t2或t1=﹣3t2，当t1=3t2时，，解得：．当t1=﹣3t2时，，解得：．故：．极坐标与参数方程专题（2）——极坐标系下ρ意义的应用1．（2018•顺德区一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．2．（2018•内江一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为．曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）∴，∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．3．（2016•晋中一模）已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．4．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．5．（2018•城关区校级模拟）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．解：（1）由，得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得到曲线C的普通方程是．…（5分）（2）因为，所以，由OA⊥OB，设A（ρ1，α），则B点的坐标可设为，所以===．…（10分）6．（2018•衡阳二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线OB的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．7．（2018•全国I模拟）在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|•|OP|=16，记P的轨迹为曲线C；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l与C的极坐标方程；（2）设A的极坐标为（2，），点B在曲线C上，△OAB的面积为，求B点的直角坐标．解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，∴直线l的极坐标方程为l：ρcosθ=4．设P（ρ，θ），（ρ＞0），M（ρ1，θ），（ρ1＞0），则ρ1cosθ=4，∵M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|•|OP|=16，∴|OM|•|OP|=ρρ1=16，∴ρ=4cosθ，ρ＞0，∴C的极坐标方程为ρ=4cosθ，ρ＞0．（2）依题意设B点极坐标为（4cosα，α），则S=|AO|•|BO|sin∠AOB=△ABO=2|sin（2α﹣）﹣|=，解得，此时B（2，），或α=﹣，此时B（2，﹣），化为直角坐标为B（3，）或B（1，﹣）．8．（2018•石家庄一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y=+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r==2，∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），==4sin（）sin（）=2sinθcosθ+2=sin2θ+=2sin（2）+，当时，，所以△MON面积的最大值为2+．极坐标与参数方程专题（3）——求取值范围或最值1．（2018•曲靖二模）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值．解：∵曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，∴=3，∴曲线C1的直角坐标方程为．∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）2=4．（2）∵曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，﹣2）为圆心，以2为半径的圆，圆心（0，2）到曲线C1：的距离d==4，P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，∴|PQ|的最小值为：d﹣r=4﹣2=2．2．（2018•赤峰模拟）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程；（2）设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，求|MN|的最大值．解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2=1，∵曲线C2的极坐标方程为．∴=4cosθ+4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的普通方程为4x+4y﹣1=0．∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程4ρcosθ+4ρsinθ=1．（2）∵曲线C1：x2+y2=1的圆心为C1（0，0），半径r1=1，曲线C2：x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心C2（2，2），半径r2==2，|C1C2|==2，∵设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，∴|MN|的最大值为：|C1C2|+r1+r2=2=4+1．3．（2018•洛阳三模）已知直线l的极坐标方程为，现以极点O为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（2）若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P坐标为（2，2），求|AP|+|BP|的最小值．解：（1）直线l的极坐标方程为，∴，即ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0；曲线C1的参数方程为（φ为参数）．∴曲线C1的普通方程为（x+1）2+（y+2）2=4．（2）∵点P在直线x+y=4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等．曲线C1是以（﹣1，﹣2）为圆心，半径r=2的圆．∴|AP|min=|PC1|﹣r=．所以|AP|+|BP|的最小值为2×3=6．4．（2018•黑龙江模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）5．（2018•孝义市一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．解：（1）由C的方程可得ρ2+3ρ2sin2θ=16，又ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2+4y2=16，即．设P（4cosθ，2sinθ），则Q（2cosθ，sinθ），∴点Q的轨迹的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，A（4，0），B（0，2），，所以直线AB的方程为x+2y﹣4=0．设M（2cosθ，sinθ），则点M到AB的距离为，∴△MAB面积的最大值为．6．（2018•思明区校级模拟）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．（1）求点B，C的直角坐标；（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围．解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4，∵正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0），∴B点的坐标为（2cos120°，2sin120°），即B（﹣1，），C点的坐标为（2cos240°，2sin240°），即C（﹣1，﹣）．（2）∵圆C2：x2+（y+）2=1，∴圆C2的参数方程，设点P（cosα，﹣），0≤α＜2π，∴|PB2|+|PC|2=+（cosα+1）2+sin2α=16+4cosα﹣4sinα=16+8cos（），∴|PB2|+|PC|2的范围是[8，24]．7．（2018•河南一模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），∴，又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，…（5分）∴，∴圆C的普通方程为=0．（2）设z=，圆C的方程=0．即（x+1）2+（y﹣）2=4，∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r=2，将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=﹣t，又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）8．（2018•湖南三模）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，∴曲线C2的方程为+y2=1∴曲线C2的参数方程为，（α为参数）．∵曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．即ρ2=﹣2ρsinθ，∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2=﹣2y，即x2+（y+1）2=1，∴曲线C3的参数方程为，（β为参数）．（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：d==．∵sinα∈[﹣1，1]，∴当sinα=时，d max=．∴|PQ|max=d max+r=+1=．9.（2018•大庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．10．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．。