多元回归分析：推断
多元统计分析的基本方法及应用
多元统计分析的基本方法及应用多元统计分析是一种基于多个变量的统计分析方法。
它是对各个变量之间关系进行分析，并进行统计推断和验证的过程。
多元统计分析涉及到多种统计方法和技术，包括多元回归分析、因子分析、聚类分析、判别分析、主成分分析、多维尺度分析等。
这些方法和技术可以用于数据挖掘、市场分析、信用风险评估、社会科学、心理学等领域的研究和应用。
一、多元回归分析多元回归分析是一种常用的统计工具，它可以通过控制一些其他变量，来了解某个变量与另一个变量的关系。
多元回归分析可以用来解决预测问题、描述性问题和推理性问题。
多元回归分析可以针对具有多个解释变量和一个目标变量的情况进行分析。
在多元回归分析中，常用的方法包括线性回归、非线性回归、逻辑回归等。
二、因子分析因子分析是一种多元统计方法，它可以用来描述一组变量或观测数据中的共同性和特征。
因子分析的基本思想是将多个相关变量归纳为一个因子或因子组合。
因子分析可以用于数据压缩、变量筛选和维度识别等方面。
当研究者需要解释多个变量间的关系时，因子分析可以起到非常有效的作用。
三、聚类分析聚类分析是一种基于数据相似性的分析技术。
它通过对数据集进行分类，寻找数据集内的同类数据，以及不同类别之间的差异。
聚类分析可以用于寻找规律、发现规律、识别群体、分类分析等方面。
聚类分析常用的方法包括层次聚类和K均值聚类。
四、判别分析判别分析是一种多元统计方法，它可以用来判别不同群体之间的差异。
这种方法可以用于市场研究、医学研究、生物学研究、工业控制等方面。
判别分析可以通过寻找差异来帮助研究者识别一组变量或因素，以及预测这些结果的影响因素，从而帮助他们更好地理解数据和结果。
五、主成分分析主成分分析是一种多元统计分析方法，它可以用来简化一组变量或因子数据。
这种方法通过对数据进行降维操作，找出影响数据最大的因素和变量组合，从而达到简化数据的目的。
主成分分析可以用于数据可视化、数据分析、特征提取等方面。
所有计量经济学检验方法
所有计量经济学检验方法
1、回归分析：回归分析是用来确定两个变量之间相关关系的一种统计方法，它能够推断出一个变量对另一个变量的影响程度。
常用的回归检验包括偏直斜率检验、R平方检验、Durbin-Watson检验、自相关检验、Box-Cox检验等。
2、主成分分析：主成分分析（PCA）是一种统计分析方法，用于消除随机变量之间的相关性，从而简化数据分析过程。
常用的方法有二元主成分分析（BPCA）、多元主成分分析（MPCA）
3、因子分析：因子分析是一种统计学方法，用于确定从多个离散观测变量中提取的隐含变量。
常用的因子分析检验包括KMO检验、Bartlett 统计量检验、条件双侧门限统计量检验等。
4、多元分析：多元分析是一种统计学方法，用于探索随机变量之间的关系，常用的多元分析检验包括多元弹性网络（MANOVA）、多元回归（MR）以及结构方程模型（SEM）。
5、聚类分析：聚类分析是一种用于探索研究数据中的结构和特征的统计学方法。
它主要是将数据集分组，以便对数据集中的每组信息单独进行分析。
常用的聚类分析检验有K均值聚类、层次聚类、嵌套聚类等。
6、特征选择：特征选择是一种数据分析技术，用于从大量可能的特征中，选择有效的特征变量。
多元统计分析回归分析
03
多元线性回归分析
多元线性回归模型的建立
确定自变量和因变量
01
在建立多元线性回归模型时，首先需要明确哪些变量是自变量
（解释变量），哪些是因变量（响应变量）。
确定模型形式
02
根据研究目的和数据特征，选择合适的多元线性回归模型形式，
如线性、多项式、逻辑回归等。
确定模型参数
03
根据选择的模型形式，确定模型中的参数，如回归系数、截距
04
多元非线性回归分析
多元非线性回归模型的建立
确定因变量和自变量
首先需要确定回归分析中的因变量和自变量， 并收集相关数据。
确定模型形式
根据理论或经验，选择合适的非线性函数形式 来表示自变量与因变量之间的关系。
确定模型参数
根据数据，使用适当的方法确定模型中的参数。
多元非线性回归模型的参数估计
01
详细描述
在社会调查中，回归分析可以帮助研究者了解不同因素对人类行为的影响，例如 教育程度、收入、性别等因素对个人幸福感的影响。通过回归分析，可以揭示变 量之间的关联和因果关系，为政策制定和社会干预提供科学依据。
生物医学数据的回归分析
总结词
生物医学数据的回归分析是多元统计分析在生命科学领域的应用，用于研究生物标志物和疾病之间的 关系。
详细描述
在经济领域，回归分析被广泛应用于股票价格、通货膨胀率 、GDP等经济指标的分析和预测。通过建立回归模型，可以 分析不同经济变量之间的因果关系，为政策制定者和投资者 提供决策依据。
社会调查数据的回归分析
总结词
社会调查数据的回归分析是多元统计分析在社会科学领域的应用，用于研究社会 现象和人类行为。
特点
多元统计分析具有多维性、复杂性和实用性。它可以处理多个变量之间的交互 作用和综合效应，广泛应用于各个领域，如经济学、社会学、生物学等。
多元回归模型分析案例
多元回归模型分析案例回归模型是统计学中最常用的分析方法之一，是一种用来预测两个或多个变量之间的关系的方法。
这种模型可以用来估算单独变量以及组合变量对信息或结果的影响。
多元回归模型是具有两个或多个自变量的回归模型，它在预测和分析多变量之间的关系时特别有用。
本文旨在提供一个用多元回归模型分析的案例。
首先，本文将介绍多元回归模型的基本原理，并详细阐述案例中使用的各项数据。
接下来，将对案例中遇到的问题进行详细讨论，并介绍多元回归模型的具体应用。
最后，将对分析的结果进行讨论，以便判断回归模型的准确性。
一、多元回归模型的基本原理多元回归模型是一种建立在一组多元数据上的回归模型，它用一个线性函数根据观察数据预测一个特定变量。
基本形式为：Y=+βX1+βX2+...+βXn其中，Y是被预测变量，X1，X2，…，Xn是影响Y的因素。
β1，β2，…，βn是模型中所有自变量的系数，通过这些系数可以计算出每个因素对Y的影响程度。
多元回归模型需要解决的重要任务是：从观察的多变量数据中提取有用的信息，并确定Y的影响因素，并用这些因素来构建一个反映实际情况的模型，以评估变量对Y的影响程度。
因此，多元回归模型在分析多变量数据时非常有用。
二、案例介绍本文使用多元回归模型分析一年级学生的成绩，以探究学生成绩的影响因素及其对成绩的影响程度。
案例中共有20名一年级学生，每个学生的数据包括学生的学习和社交能力以及准备考试的时长等三个自变量。
其中学习能力和准备时长的取值范围分别为1-10，社交能力的取值范围为1-5。
案例数据如下：学生习能力交能力备时长绩1 8 3 7 772 4 2 8 553 7 5 5 654 6 1 6 675 9 4 7 84.....20 7 1 5 63三、案例问题分析本案例旨在探究一年级学生成绩的影响因素及其对成绩的影响程度，而这种因果关系很难仅用一句话来表达，只有使用多元回归模型才能获得更准确的结果。
在分析案例时，学习能力、社交能力和准备时长这三个自变量的影响是需要考虑的重要因素。
回归分析思想总结
回归分析思想总结回归分析是一种统计学方法，用于建立变量之间的关系模型，并通过使用这些模型进行预测和推断。
回归分析的思想是利用已知的自变量和因变量之间的关系，来推断未知数据或者预测未来结果。
回归分析适用于各种学科领域，如经济学、社会科学、生物统计学等。
回归分析的主要思想是将因变量（被解释变量）和自变量（解释变量）之间的关系用一个数学模型来表示。
这个模型被称为回归方程，可以用来描述因变量与自变量之间的函数关系。
回归方程通常采用线性模型，即被解释变量可以用解释变量的线性组合来表示。
这个线性模型只是回归分析的一种特殊形式，也可以采用其他非线性的函数关系。
回归分析可以分为简单回归分析和多元回归分析。
简单回归分析只包含一个解释变量和一个被解释变量，用于描述两个变量之间的线性关系。
多元回归分析则包含两个以上的解释变量和一个被解释变量，用于描述多个变量之间的复杂关系。
回归分析的核心思想是找到最佳的回归方程，使得预测值与实际观测值之间的误差最小。
最常用的方法是最小二乘法，即将观测值与回归方程的预测值之间的平方误差之和最小化。
通过最小二乘法可以得到回归系数的估计值，即解释变量对被解释变量的影响程度。
回归分析的应用非常广泛，可以用于预测未知数据、解释变量的影响、确定变量之间的因果关系等。
在经济学领域，回归分析可以用于预测股票市场的涨跌、GDP的增长等。
在社会科学领域，回归分析可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等。
在生物统计学领域，回归分析可以用于研究药物对疾病的治疗效果、基因对疾病风险的影响等。
回归分析也有一些限制和假设。
首先，它基于线性模型的假设，可能无法准确描述变量之间的非线性关系。
其次，回归分析对于数据的要求比较高，需要满足独立、正态分布、同方差等假设。
如果数据偏离这些假设，回归分析的结果可能不准确或无法推广到整个总体。
总的来说，回归分析是一种强大的统计学方法，可以用于建立变量之间的关系模型，并进行预测和推断。
多元回归分析原理
多元回归分析原理多元回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xk是自变量，β0、β1、β2、..、βk是模型参数，ε是误差项。
1.模型假设：多元回归模型基于一系列假设，包括线性关系、常数方差、误差项具有正态分布、误差项之间相互独立等。
这些假设为模型的参数估计和统计推断提供了基础。
2.参数估计：多元回归模型的参数估计采用最小二乘估计法，即通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定参数的取值。
参数估计求解具有闭式解，可以通过矩阵运算快速得到。
3. 模型评估：建立多元回归模型后，需要对模型进行评估，判断模型的拟合程度和预测能力。
常用的评估指标包括决定系数(R-squared)、调整决定系数(adjusted R-squared)、残差分析、F检验和t检验等。
4.假设检验：在多元回归分析中，可以对回归方程中每一个自变量的系数进行显著性检验，以判断自变量是否对因变量有显著影响。
常用的假设检验方法包括F检验和t检验。
5.多重共线性：多元回归分析中常常面临多重共线性的问题，即自变量之间存在高度相关性。
多重共线性会导致参数估计不准确、系数解释困难等问题。
对于存在多重共线性的情况，可以通过变量选择、主成分分析等方法处理。
6.模型改进：如果模型表现不佳，可以通过多种方法对模型进行改进。
常用的改进方法包括变量选择、非线性变换、交互作用项加入等。
多元回归分析具有广泛的应用领域，包括经济学、金融学、社会科学、医学科学等。
它可以帮助我们理解和预测各种复杂现象，为决策提供科学依据。
然而，多元回归分析也存在一些局限性，例如对数据的要求较高、假设前提较严格、模型解释力有限等。
因此，在实际应用中要注意适当选择适合的回归模型，并且结合领域知识和实际情况进行分析和解释。
第四章多元回归分析：推断
受教育年限与每小时工资 yˆ 0.0144 0.7241x
如果受教育年限的单位为月
yˆ 0.0144 (0.7241/12)(12x) 0.0144 0.0603z
如果受教育年限的单位为日 yˆ 0.0144 (0.7241/ 365)(365x) 0.0144 0.0020w
se(ˆ)=se(ˆ ˆ)= Var(ˆ) Var(ˆ)+2Cov(ˆ, ˆ)
能否直接将作为模型参数进行估计？
= + = -
原模型变换为:
ln Q=lnA+lnK+(-)lnL+u
即：
lnQ=lnA+ln(K/L)+lnL+u
若定义参数：
= +-1
原假设变为标准的显著性检验：
H0： =0
H0：j=0
H1： j0
相应的检验为双侧检验（two-tailed test) 单侧备择假设：
H0：j=0
或者
H1： j>0
H0：j=0
H1： j<0
相应的检验为单侧检验（one-tailed test)
➢ 双侧检验
若原假设成立：
j=0
tˆ j
ˆ j j se(ˆ j )
ˆ j se(ˆ
j
受约束模型，即认为原假设成立时的模型：
ln(salary)=0+1 years+2gamesyr+u
若原假设真的成立，即 3= 4= 5=，0 不受约束模 型和受约束模型的估计结果应该差异不大，两者的残差平 方和（SSR）应该比较接近
若 tˆj t/2(n k 1)，拒绝H0，xj对y的影响是统计显著的。 若 tˆj t/2(n k 1)，不能拒绝H0，xj对y的影响统计上不显著。
第4章 多元回归分析：推断
ˆ ~ Normal[ ,Var ( ˆ )] j j j ˆ ) 在第 3 章[方程(3.51)]中给出。因此， 其中 Var ( j ˆ ) / sd ( ˆ ) ~ Normal(0,1) (可以写成 ˆ 给定附录 B 中正态分布随机变量的性质， 证明定理(4.1)并不困难。 每个 j j
log( wage) 0 1educ 2 exp er 3tenure u.
虚拟假设 H0： 2 =0 意味着，只要对教育程度和现职任期进行了解释，工作年数(exper)对小时工资就没有 影响。这是一个有经济意义的假设。如果它是正确的，那就意味着，一个人在现任职之前的工作经历并不 会影响工资。如果 2 >0，则以前的工作经历会提高生产力，并因此提高工资。 你可能记得，在统计学教程中，学过对正态总体的均值进行假设检验的入门知识。 （附录 C 复习了这部 分内容。 ）在多元回归背景下检验(4.4)的过程与此十分类似。虽然困难的部分在于得到系数估计值、标准误 和临界值，但多数工作都可以由计量软件自动完成。我们的任务是，了解如何用回归结果来检验我们关心 的假设。 我们用来检验(4.4)(相对任何一个对立假设)的统计量被称为 j 的“所谓”t 统计量(tstatistic)或“所谓” t 比率(t ratio)，并被定义为
为 nk1 的 t 分布，并没有加深多少我们的见识。本质上讲，对它的证明表明，(4.3)可写成标准正态随机变
ˆ ) / sd ( ˆ ) 与 ˆ / 的平方根之比。 ˆ / 量 ( 可以证明二者是独立的， 而且 (n k 1) j j j
2 2
2
2
2 ~ n k 1 。
那我们就必然假定了 MLR.3 和 MLR.5。 为了强调我们现在所做的假定比以前多， 我们将使用从假定 MLR.1 到假定 MLR.6 的全套假定。 就横截面回归中的应用而言，从假定 MLR.1 到假定 MLR.6 这六个假定被称为经典线性模型(CLM)假 定(classical linear model assumptions)。于是我们将这六个假定下的模型称为经典线性模型 (classical linear model)。最好认为 CLM 假定包括了所有的高斯-马尔科夫假定，再加上误差正态分布的假定。
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线性性 无偏性 方差
ˆ j 服从正态分布
ˆ j 的期望为j
Var(ˆ j
)
=
σ2 SSTj (1-
R2j )
定理4.1：
CLM假定下，以自变量x为条件，有
ˆj N[ j , Var(ˆj )]
ˆ j j Var(ˆ j )
ˆ j j sd(ˆ j )
N (0,1)
检验单参数假设：t检验
➢ Z检验
第四章 多元回归分析：推断
受教育年限与每小时工资 yˆ 0.0144 0.7241x
如果受教育年限的单位为月
yˆ 0.0144 (0.7241/12)(12x) 0.0144 0.0603z
如果受教育年限的单位为日 yˆ 0.0144 (0.7241/ 365)(365x) 0.0144 0.0020w
)
备择假设双侧：
H1： j0两侧都是拒绝域。源自ˆ j j se(ˆ j )
t(n k 1)
双侧检验的步骤：
y=0+1x1+2x2+…+kxk+u
原假设和备择假设：
H0：j=0
H1： j0
计算t统计量的值：
tˆ j
ˆ j j se(ˆ j )
ˆ j se(ˆ j
)
给定显著水平（通常为0.05），确定临界值
若 tˆj t (n k 1) ，拒绝H0，xj对y的影响是统计显著的。
若 tˆj t (n k 1) ，不能拒绝H0，xj对y的影响统计上不显著。
单侧检验和双侧检验的比较：
t统计量的计算及其数值完全相同，临界值不同；
查临界值时，t分布自由度相同，但如果显著水平为， 双侧检验使用/2，单侧检验使用；
若 tˆj t/2(n k 1)，拒绝H0，xj对y的影响是统计显著的。 若 tˆj t/2(n k 1)，不能拒绝H0，xj对y的影响统计上不显著。
大学GPA的决定因素
其中，括号内为对应系数的标准差。
查临界值时，t分布的自由度是多少？ 哪些变量是显著的？哪些是不显著的？
➢ 单侧检验
j
(1
-
R
2 j
)
定理4.2：标准化估计量的t分布
CLM假定下，以自变量x为条件，有
ˆ j j se(ˆ j )
t(n k 1)
se(ˆ j )=
σˆ SSTj (1- R2j )
➢ 显著性检验（t检验）
原假设（null hypothesis）：
H0：j=0
例子：
原假设（H0: 3=0）意味着，教育水平和工作经验
ˆ j se(ˆ j
)
给定显著水平（通常为0.05），确定临界值
若 tˆj t (n k 1) ，拒绝H0，xj对y的影响是统计显著的。 若 tˆj t (n k 1) ，不能拒绝H0，xj对y的影响统计上不显著。
若原假设和备择假设为：
H0：j=0
H1： j<0
统计量的计算相同，判定规则不同：
同样的显著水平下，单侧检验更容易拒绝原假设，得出 自变量统计显著的结论。
小时工资方程
1%显著水平下，使用单侧检验，exper统计上显著吗？ 1%显著水平下，使用双侧检验，exper统计上显著吗？
学生成绩与学校规模
enroll符号与预期相符吗，统计上显著吗？
➢ 其他假设的t检验
若原假设不是 而是 应如何检验？
OLS估计量的抽样分布
高斯-马尔科夫假定
假定1：关于参数线性
y=0 + 1 x1 + 2 x2 + …+ k xk + u
假定2：随机抽样 假定3：不存在完全共线性 假定4：零条件均值
E(u|x1, x2 , … , xk ) = 0 假定5：同方差性
Var(u|x1 , … , xk ) =2
受教育年限与每小时工资
yi 0 1xi ui
零假设与备择假设
ˆ j j sd(ˆ j )
H0：1=0
H1： 10
构造统计量
N (0,1)
Z ˆ1 1
ˆ1
~ N (0,1)
xi2
xi2
0
➢ Z检验与t检验
ˆ j j sd(ˆ j )
N (0,1)
sd(ˆ j ) =
σ
SST
OLS估计量是BULUE 线性性、无偏性、最小方差性
CLM假定
高斯-马尔科夫假定 假定6：正态性
u ~ N(0,2)
CLM假定下，y的条件分布：
y=0+1x1+2x2+…+kxk+u y|x ~ N(0+1x1+2x2+…+kxk,2)
在CLM假定下，OLS估计量 ˆ j的抽样分布是什么？
相同时，男性和女性的工资没有差异。
log(wage)= 0+1 educ+2exper+3female+u
对于一元回归，斜率系数的显著性检验：
y=0+1x +u 原假设（H0: 1=0）意味着什么？
原假设与备择假设（alternative hypothesis） 如原假设不成立，该如何：
双侧备择假设：
H0：j=0
H1： j0
相应的检验为双侧检验（two-tailed test) 单侧备择假设：
H0：j=0
或者
H1： j>0
H0：j=0
H1： j<0
相应的检验为单侧检验（one-tailed test)
➢ 双侧检验
若原假设成立：
j=0
tˆ j
ˆ j j se(ˆ j )
ˆ j se(ˆ
j
双
侧
检 验
-t0.025
p/2
p值>0.05，接受原假设
0t
t0.025 t(n-k-1)
-t0.025
p值<0.05，拒绝原假设
p/2
0
t0.025 t t(n-k-1)
H0：j=0
H1： j>0
p
单
p值>0.05，接受原假设
侧
t(n-k-1)
检
0 t t0.05
验
p值<0.05，拒绝原假设
H0：j=0 H0：j=1
t
ˆ j j se(ˆ j )
ˆ j 1 se(ˆ j )
t
估计值 假设值 标准误
具体的判断准则，与显著性检验完全相同
校园犯罪与注册人数
log(crime)= 0+1 log(eroll)+u
模型估计结果：
1统计上显著大于1吗？
➢ t检验的p值
给定t统计量的值，能拒绝原假设的最小显著水平是多少？
若原假设成立：
j=0
tˆ j
ˆ j j se(ˆ j )
ˆ j se(ˆ
j
)
备择假设：
H1： j>0
右侧是拒绝域。
备择假设：
H1： j<0
左侧是拒绝域。
检验步骤：
y=0+1x1+2x2+…+kxk+u
原假设和备择假设：
H0：j=0
H1： j>0
计算t统计量的值：
tˆ j
ˆ j j se(ˆ j )