浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题答案
2020学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题
目要求的.)
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13. 0x ∀>，30x ≤； 14. 1；
15. 2
(,)3+∞；
16. −
四、解答题(本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. （11111171222
244233
1(1)1
4
4
4()a
a a a a a a a a a
+++−−−⋅⋅=
=
=
=⋅ ---------------------------4分
（2）()3
72232732
28122
71
8274
1
434
4
1
3
1=−+−+
=⨯−−⋅+++
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+−e -------8分 18.解：(1)
43
21
x x −+> ，
4
3
22
x x −+∴>，403
x x −∴
>+，34x x ∴<−>或
()()+∞−∞−=∴,43, A --------------------------------------------------2分 [][]4,3,5,1,2−=−==A
C B m R 又
[]4,1)(−=∴B A C R ---------------------------------------------------- 5分
(2)
x B ∈是x A ∈的充分不必要条件 B
A ∴
（1）当B =∅时，则321m m −>+，即4m <−.
（2）当B ≠∅时，32134m m m −≤+⎧⎨−>⎩或321
213
m m m −≤+⎧⎨+<−⎩ 742m m ∴>−≤<−或
综上所述，27m m <−>或.---------------------------------------------10分 19.解：（1）当1a =时，()2931x x f x =⋅−−，29310x x ∴⋅−−≥，
(231)(31)0x x ∴⋅+−≥，0x ∴≥，∴不等式的解集为{0}x x ≥.-------------- 5分
（2）法一：()(1)931[(1)31](31)0x x x x f x a a a =+⋅−⋅−=+⋅+−=，
31x ∴=或(1)310x
a +⋅+=，
()0f x =在实数集R 上有两个不相等的根，111
101a a ⎧−≠⎪⎪+∴⎨⎪−>⎪+⎩
，1a ∴<−且2a ≠−.------10分
法二：令3(0)x t t =>，则2(1)10a t at +−−=在(0,)+∞上有两个不等的实根，
210
1
24(1)0
a a a
a a ⎧+<⎪
+⎪∴>⎨⎪⎪∆=++>⎩，12a a <−⎧∴⎨≠−⎩.-------------------------------------------10分 20.（1）函数()f x 为奇函数，(0)0f ∴=，1a ∴=.
2112()()21
12x x x x
f x f x −−−−∴−=
=
=−++，()f x ∴为奇函数成立，1a ∴=.----------------3分 此时212
()121
21x x
x
f x −=
=−
++在R 上单调递增，()20,x ∈+∞，()211,x ∴+∈+∞
()10,121x ∴∈+，()20,221x ∴∈+，()22,021
x ∴−∈−+ ()()1,1f x ∴∈−------------------------------------------------------------5分
（2）2+11
1
()12112x x x
a a f x −−+=
=−
++.
①当10a +≤时，()f x 恒大于等于1，故不成立.
②当10a +>即1a >−时，()f x 在R 上为增函数，且值域为(,1)a − （ⅰ）当1(0)02
a f −=
<即1a >时，只要1(0)0f −<<即可，
1102
a −∴−<
<，13a ∴<<.
（ⅱ）当1(0)02
a f −=
≥即11a −<≤时，只需要1(0)2
a f a −=
<，
113
a ∴<≤.
综上所述，1
33
a <<.---------------------------12分。
2023学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考-数学答案(高一)
由图观察，B 正确
f ( f (x)) 0,得f (x) 1或f (x) 3或f (x) 1 ，有 5 个解，C 正确.
举反例 f (1 0) f (1) f (0) ，D 错误 2
12．ACD
m 1, n 0 时， a 4b ab 4 ab，当且仅当 a 4，b 2 时取等号，解得 ab 4 故 A 正确；
(2)
f (0) 0
f
(
x2 3x x2 3
)
f (a)
f
(
x2 x2
3x 3
a)
f
(0) …………6
f
( x)是增函数，
x2 3x x2 3
a
0恒成立
…………8
高一数学学科 参考答案 第 3 页 共 4 页
x2 3x x2 3
a恒成立 ，令 t
x2 3x x2 3
，得 (t
0(当a
b
c,
取到)
abc
abc
abc
abc
…………10
当 a b c 时，方案一和方案二价格一样 ;当 a，b，c 不全相等时，方案一价格更低 …………12
22.（1）由题意，对任意 x R ，都有 f (x) f (x) ，
即
4(x) a (x)2 1
4x a x2 1
，即 4x a
1)x2
3x
3t
0
，当 t
1时，x
1，当
t 1时， 9 12t(t 1) 0 ，…………10
得 t 1 a 1 ，即a 1 …………12
2
2
2
21.（1）
q p
qm pm
…………4
4500
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题 含答案
A． −3
B． −2
C． −1
D．1
4．若双曲线 C :
y2 a2
−
x2 b2
= 1(a
0,b 0) 的一条渐近线为
y
=
3x ，则双曲线 C 的离心率为（
）
A． 2 3 3
B． 3
C．2
D．3
5．已知空间中的三条不同直线 l ， m ， n ．则“ l ， m ， n 两两垂直”是“ l ， m ， n 不共面”的（ ）
________．
15．已知点 A( 3,1) ，直线 l 与圆 x2 + y2 = 4 交于 M ， N 两点，若△AMN 的垂心恰为原点 O ，则直线l
的方程是________． 16．盒中有 4 个质地，形状完全相同的小球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球；现从盒中随机取球，每
次取 1 个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第 次被首次取到（ = 0 表示黄球未被取
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．设集合 S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足：①对任意 x, y S ，若 x y ，则 x + y T ②对任
2
意 x, y T ，若 x y ，则 x − y S ，下列说法正确的是（ ） A．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 4 个元素 B．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 3 个元素 C．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 5 个元素 D．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 4 个元素
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 a 0 ， b 0 ， a + b = 1 ，则（ ）
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}29,NA x x x =<∈∣，{}3,1,1,2,5,7B =--，则A B = （）A.{}1 B.{}1,1,2- C.{}1,2 D.{}3,1,0,1,2,5,7--【答案】C 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，再由集合交集的运算法则得到结果.【详解】∵29x <，∴33x -<<，∴{}0,1,2A =∴{}1,2A B = .故选：C2.若函数()11f x x =-，则其定义域为（）A.(],4∞- B.(),4-∞ C.()(),11,4∞-⋃ D.()(],11,4-∞⋃【答案】D 【解析】【分析】根据根号下大于等于0和分母不为0得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≤且1x ≠，则其定义域为()(],11,4-∞⋃.故选：D.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A.11y x =+ B.2y x = C.y x= D.22,0,0x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩【答案】D 【解析】【分析】由奇函数的性质和二次函数的性质逐一判断即可；【详解】对于A ，()()11y x y x x -=≠--+，所以不是奇函数，故A 错误；对于B ，()()()22y x xx y x -=-==，为偶函数，故B 错误；对于C ，()()y x x x y x -=-==，为偶函数，故C 错误对于D ，定义域为R ，关于原点对称，当0x >时，2y x =；0x -<，2y x =-；所以()()y x y x =--，且由二次函数图像的性质可得函数y 为增函数，故D 正确；故选：D.4.已知命题p ：R x ∃∈，()210x -≤，命题q ：0x ∀>，2x x >，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】C 【解析】【分析】代入0x =或1并结合全称命题的否定判断即可；【详解】当 海f 时，()210x -≤成立，所以命题p 为真命题；当0x =或1时，命题q 为假命题，所以q ⌝为真命题；故选：C.5.已知)12fx +=+，则()f x 的解析式为（）A.223x x -+B.()2231x x x -+≥C.223x x -- D.()2231x x x --≥【答案】B 【解析】【分析】利用换元法即可得到答案.1t+=，则1t≥，且()21x t=-，则()()221223f t t t t=-+=-+，1t≥，则()()2231f x x x x=-+≥.故选：B.6.“0a b>>”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当0a b>>时，11a b>>，即0a b>>能推出11a b>，取1,2a b==，满足11a b>，而a b<，即11a b>不能推出0a b>>，所以“0a b>>”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A7.函数()()212,11,1a x a xf xx ax x⎧-+<=⎨++≥⎩，满足：对任意12x x≠都有()()()()1212x x f x f x-->成立，则a 的取值范围是（）A.11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,22⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】A【解析】【分析】利用函数为增函数且1x<的函数值不大于1x≥时的函数值列不等式组求解即可；【详解】因为对任意12x x≠都有()()()()1212x x f x f x-->成立，所以()f x在定义域上为递增函数，所以120121112a a a a a ⎧⎪->⎪-+≤++⎨⎪⎪-≤⎩，解得1122a -<≤，所以a 的取值范围是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故选：A.8.已知()f x 是二次函数，且对于任意的实数x 、y ，函数()f x 满足函数方程()()()2f x f y f x y xy +=+++，如果()512f =.下列选项错误的是（）A.()02f = B.()y f x x =+在()0,∞+上单调递增C.()y f x x =-为偶函数 D.()1y f x =+为偶函数【答案】B 【解析】【分析】对于A ，利用特殊值法，整理题目中等式，可得答案；对于B ，利用待定系数法，根据等式求得函数解析式，结合二次函数的单调性，可得答案；对于C 、D ，整理对应函数解析式，根据二次函数的对称性，结合偶函数的性质，可得答案.【详解】对于A ，由()()()2f x f y f x y xy +=+++，令0x y ==，则()()()00002f f f +=++，解得()02f =，故A 正确；对于B ，由()()()2f x f y f x y xy +=+++，令y x =-，则()()()202f x f x f x +-=-+，化简可得()()24f x f x x +-=-，设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，则2224ax bx c ax bx c x +++-+=-，化简可得22224ax c x +=-，可得2124a c =-⎧⎨=⎩，所以()2122f x x bx =-++，由()151222f b =-++=，解得1b =，所以()2122f x x x =-++，由函数()21222y f x x x x =+=-++，则其对称轴为直线22122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x x =+在 ‸㐶上单调递增，在()2,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，由B 可知()2122y f x x x =-=-+，则其对称轴为00122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x x =-是偶函数，故C 正确；对于D ，由B 可知()()()221151112222y f x x x x =+=-++++=-+，则其对称轴为122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()1y f x =+为偶函数，故D 正确.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列计算正确的是（）A.11313-= B.()()2350a a a =>C.4π=-D.()0a a =>【答案】CD 【解析】【分析】根据指数幂的运算法则即可判断.【详解】对A ，11113331030-+=+=，故A 错误；对B ，()()2360a a a =>，故B 错误；对C ，4π=-，故C 正确；对D()1112360a a a ++==>，故D 正确.故选：CD.10.已知正数a ，b 满足22a b +=，下列说法正确的是（）A.ab 的最大值为12B.21a b +的最小值为92C.224a b +的最小值为4D.4aa b+的最小值为4+【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可.【详解】正数a ，b 满足22a b +=，对于A ，22a b =+≥12≤ab ，当且仅当21b a ==时取等号，A 正确；对于B ，2112112219(2)()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23b a ==时取等号，B 正确；对于C ，2222224(2)(2)(2)22a ab a b a b b ++-+=+≥=，当且仅当21b a ==时取等号，C 错误；对于D ，42(2)2444a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥++当且仅当2b aa b =，即a ==时取等号，D 正确.故选：ABD11.已知20ax bx c ++<的解集为{0}xx αβ<<<∣，则()()210g x a cx bx a x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭的解可以是（）A.1,∞β⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,βα⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,0α⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集得到,αβ为方程20ax bx c ++=的两个根，再得到韦达定理，利用韦达定理和分式不等式将所求不等式化简，再利用“穿针引线法”求解即可；【详解】由题意可得0a >，0c >，且,αβ为方程20ax bx c ++=的两个根，因为0αβ<<，所以110ab>>，则,b c a aαβαβ+=-=，又()()210g x a cx bx a x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭等价于()21110ax c bg x x x a x a a 骣骣-琪琪=++<琪琪桫桫，等价于()()21110ax g x x x a xab a b 骣-轾琪=-++<琪臌桫，等价于()()()11110ax g x x x a xa b 骣-琪=--<琪桫，等价于()()()()11110g x x ax x x a a b =---<，所以不等式的解为11x βα<<或10x a<<，故选：BD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数()()21mf x m m x =--在第一象限单调递增，则m =__________.【答案】2【解析】【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出2m =或1-，再根据函数单调性去掉不合要求的根，得到答案.【详解】因为()()21mf x m m x =--为幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1-，当2m =时，()2f x x =，在(0,)+∞上单调递增，满足题意，当1m =-时，()1f x x -=，在(0,)+∞上单调递减，不合要求，舍去；故答案为：213.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x =__________.【答案】32x x -+【解析】【分析】根据偶函数特点()()f x f x =-即可得到答案.【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()3322f x f x x x x x =-=---=-+.故答案为：32x x -+.14.在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 来表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =，一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有()()()()card =card +card -card A B A B A B .例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合A 表示田径运动会参赛的学生，用集合B 表示球类运动会参赛的学生，就有A ={xx ∣是田径运动会参赛的学生}，B ={x x ∣是球类运动会参赛的学生}，那么A B = {x x ∣是两次运动会都参赛的学生}，A B = {x x ∣是所有参赛的学生}，则()()()()card card card card 812317A B A B A B =+-=+-= ，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合{}1,2,3,,300A = ，集合{},3,N B xx A x k k =∈=∈∣，集合{},4,N C x x A x k k =∈=∈∣，集合{},5,N D x x A x k k =∈=∈∣，则()card B C D = __________.【答案】180【解析】【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.【详解】依题意，card()100,card()75,card()60B C d ===，而card()25,card()20,card()15B C B D C D === ，card()5B C D = ，所以card()card()card()card()card()card()card()B C B C d B D D C B D C ++--=- card()10075602520155180B C D +=++---+= .故答案为：180四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{12}A xx =-<<∣，{22}B x a x a =-<<+∣.（1）若1a =，求A B ；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -<<；（2）3a ≥.【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用并集的定义直接求解.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系求出a 的范围.【小问1详解】当1a =时，{13}B xx ∣=<<，而{12}A x x =-<<∣，所以{|13}A B x x ⋃=-<<.【小问2详解】由A B A = ，得A B ⊆，因此2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥.16.已知函数()2x b f x x a +=+是定义在2,2b a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数且()113f =-.（1）求()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 在2,2b a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于t 的不等式()()1340f t f t -+-->.【答案】（1）2()4xf x x =-（2）答案及解析（3）41{|}34t t -<<-【解析】【分析】（1）对于奇函数，有(0)0f =，再结合1(1)3f =-，可以求出函数中的参数a 和b ，从而得到函数表达式.（2）要判断函数单调性，可通过设出区间内的两个自变量1x ，2x ，然后作差12()()f x f x -，根据差的正负来判断单调性.（3）根据函数的奇偶性和单调性来解不等式(1)(34)0f t f t -+-->即可.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，定义域为(2,2b a--，所以(0)0f =，即0b a =，所以0b =.又因为1(1)3f =-，1(1)1b f a+=+，把0b =代入得1113a =-+，解得4a =-.所以2()4xf x x =-，经验证此时为奇函数.【小问2详解】()f x 在(2,2)-上单调递减.理由如下：设1222x x -<<<.221212211222221212(4)(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----2212121212212122221212(4)(4)()4()(4)(4)(4)(4)x x x x x x x x x x x x x x x x ----+-==----21122212()(4)(4)(4)x x x x x x -+=--因为1222x x -<<<，所以210x x ->，214x <，224x <，1240x x +>，2212(4)(4)0x x -->.所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减.【小问3详解】解关于t 的不等式(1)(34)0f t f t -+-->，因为()f x 是奇函数，所以(1)(34)0f t f t -+-->可化为(1)(34)(34)f t f t f t ->---=+.又因为()f x 在(2,2)-上单调递减，所以2122342134t t t t -<-<⎧⎪-<+<⎨⎪-<+⎩，解212t -<-<得13t -<<.解2342t -<+<得5144t -<<-.解134t t -<+得43t >-.综上，取交集得1{|1}4t t -<<-.17.已知函数()2122a f x x x ab a -⎛⎫=+-⎪⎝⎭，0a ≠，0b ≠.（1）当1b =，且0a <时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若2a >，2b >，若()10f =，求a b +的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）4【解析】【分析】解含参数的一元二次不等式，分102a -<<和102a -<<和12a =-求解即可；代入 f 海 ，再变形为()()223a b --=，结合基本不等式求解即可；【小问1详解】当1b =，且0a <时，不等式()0f x <即21220a x x a a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，等价于()21220ax a x +-->，等价于()()120ax x +->当12a ->即102a -<<时，12x a <<-；当12a -<即12a <-时，12x a -<<；当12a =-时，12a -=，解集为∅；所以不等式的解集为：当102a -<<时，1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当12a <-时，1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当12a =-时，解集为∅；【小问2详解】()122101a f ab a -==+-，即1220ab a b +--=，即()()223a b --=因为2a >，2b >，所以322b a =+-，所以332244422a b a a a a +=++=-++≥+=+--，当且仅当322a a -=-即2a b ==+所以最小值为4+.18.已知函数()2425a f x x x=-+-，()2g x x ax a =-+.（1）当1a =时，若[]1,2x ∈，求()f x 的最大值；（2）若[]1,2x ∈，求()g x 的最小值；（3）若[]1,2x ∀∈，使得()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5-；（2）()2min 1,2,4244,4a a g x a a a a <⎧⎪⎪=-≥≥⎨⎪->⎪⎩；（3）[)5,+∞【解析】【分析】（1）利用换元法结合二次函数的性质计算即可；（2）分类讨论a 的范围结合二次函数的性质计算即可；（3）令2t x x =+并分离参数将不等式转化为2max11t a t ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，利用对勾函数的性质计算即可.【小问1详解】当()224221191524a f x x x x ⎛⎫=⇒=-+-=--- ⎪⎝⎭，令2t x =，即()211924f x t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由[][]1,21,2x t ∈⇒∈，则()2max1191524f x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭；【小问2详解】易知()2224a a g x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，对称轴为2a x =，若12a <，即2a <时，()g x 在[]1,2上单调递增，则()()min 11g x g ==；若22a >，即4a >时，()g x 在[]1,2上单调递减，则()()min 24g x g a ==-；若212a ≥≥，即42a ≥≥时，()g x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()2min 24a a g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；综上()2min1,2,4244,4a a g x a a a a <⎧⎪⎪=-≥≥⎨⎪->⎪⎩；【小问3详解】由()()224250f x g x x a x a x x ⎛⎫≥⇒+-+++≤ ⎪⎝⎭在[]1,2上恒成立，令2t x x=+，由对勾函数的性质知t在⎡⎣时单调递减，2⎤⎦上单调递增，易得t ⎡⎤∈⎣⎦，则222242225110x a x a x a x a t at a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++=+-+++=-++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分离参数得211t a t +≥-在t ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即2max11t a t ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，令2121211t y y t t t +=⇒=-++--，t ⎡⎤∈⎣⎦，由对勾函数的性质知y在t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，即2max 31531y +==-，所以5a ≥，即a 的取值范围[)5,+∞.【点睛】方法点睛：对于复杂结构的函数形式，需多注意式子结构，常用换元法及整体思想转化为常见函数进行计算，换元需注意所换元的范围即可.19.对于函数()y f x =，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点；若()()00ff x x =，则称0x 为()f x 的稳定点；若0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠则称0x 为()f x 的周期点.已知函数()21f x x a =+-，()()221g x x a x =++-.（1）若2a =，求()f x 的不动点；（2）若2a =，求()g x 的稳定点；（3）若()()y g x f x =-存在周期点，求a 的取值范围.【答案】（1）-1（2）3132x -=，1x =-，4x =-（3）3a <-或1a >【解析】【分析】（1）由函数新定义求出即可；（2）由函数新定义先求不动点，再求稳定点即可；（3）由函数新定义，先求不动点，再由不动点一定是稳定点得到方程()()22211x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++--+-=⎣⎦⎣⎦，然后再由存在周期点的情况得到()2110x a x +++=的判别式大于等于零，再分类讨论即可；【小问1详解】2a =时，()21f x x =+，由题意可得21x x +=，即1x =-，所以()f x 的不动点为-1；【小问2详解】2a =时，()241g x x x =+-，先求不动点()241g x x x x =+-=，因为不动点一定是稳定点，故2310x x +-=，3132x -±∴=，则()()()()222414411g g x x x x x x =+-++--=()()222314311x x x x x x x ⇒+-+++-+-=；()()()222223123143141x x x x x x x x x x ∴+-+++-++-+-=，化简可得()()2231540x x x x +-++=，由于2310x x +-=的解是不动点，故2540x x ++=的解，即1x =-或4x =-为周期点，32x -±∴=，1x =-，4x =-为稳定点.【小问3详解】()()()()222121y g x f x x a x x a x ax a =-=++--+-=+-，令2x ax a x +-=，则()210x a x a +--=的解1x =和x a =为不动点，同时不动点一定是稳定点，则()()222x ax aa x ax a a x +-++--=，()()22211x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤∴+--+++--+-=⎣⎦⎣⎦，化简可得()()221110x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦，由于()210x a x a +--=的解是不动点，故()()y g x f x =-存在周期点的情况为：()2110x a x +++=有解，且至少有一个解不是()210x a x a +--=的解，故()22Δ14230a a a =+-=+-≥，解得3a ≤-或1a ≥，同时，当1x =是()2110x a x +++=的解时，3a =-，此时()2110x a x +++=的解只有1x =，与题意不符合，故舍去；当x a =-是()2110x a x +++=的解时，1a =，此时()2110x a x +++=的解只有1x a =-=-，与题意不符合，故舍去；综上，3a <-或1a >.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于求稳定点的时候先求不动点；第三问关键在于由不动点一定是稳定点得到方程()()221110x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦，再由周期点的定义得到()2110x a x +++=的判别式大于等于零.。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021届高三上学期期中联考数学含答案
绝密★考试结束前浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学学科试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题卷。
如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P P B A +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n −=−=台体的体积公式()1213V S S h =+ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.设全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{}2,3,4B.{}2,3,4,5C.{}4D.{}4,52.若实数x ，y 满足约束条件220,220,2x y x y x y −+≥⎧⎪−−≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =−的最大值为（ ）A.23−B.0C.23D.433.已知,a b R ∈，若2()2a b a b i −+−>（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A.2a >或1a <− B.1a >或2a <− C.12a −<<D.21a −<<4.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A.2B.23C.1D.135.函数()axf x e =和()g x ax a =+的图像不可能．．．是（ ） A. B.C. D.6.已知直线a 与平面α，β，γ，能使αβ∥的充分条件是（ ）①αγ⊥，βγ⊥ ②//αγ，//βγ ③//a α，//a β ④a α⊥，a β⊥ A.①②B.②③C.①④D.②④7.在数列{}n a 中，12a =，对任意的*,m n N ∈，m n m n a a a +=⋅，若1262n a a a +++=，则n =（ ）A.3B.4C.5D.68已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且124F F =，1223F PF π∠=，则12PF PF ⋅的最大值为（ ）A. B. C. D. 9.如图，在正四棱锥P ABCD −中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B −−的大小为γ，则（ ）A.αβ>，γβ>B.αβ>，γβ<C.αβ<，γβ>D.αβ<，γβ<10.当[]1,1x ∈−时，不等式21ax b x c ++≤恒成立，则a b c ++的最大值为（ ）A.18B.17C.16D.15非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题分，单空题每题4分，共36分. 11.已知2log 3a =，3log 4b =，则ab =______，12a b+=______.12.设2012(12)nn n x a a x a x a x +=++++，若12242n a a a +++=，则n =______，3a =______.13.对于任意实数m ，直线:10l x my m +−−=均与圆222:(0)C x y r r +=>有交点，则当r 取最小值______时，经过直线l 与圆C 交点的圆C 的切线方程为______.14.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2sin b A a B a C +=，则角A =______；若2b a =，且ABC △a =______.15学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为14，设他参加一次答题活动得分为ξ，则E ξ=______. 16.已知正实数a ，b ，c 满足1a b +=，1ab bc ac ++=，则c 的取值范围是______.17.若平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b −=，2b c −=，3c d −=，()()4a c b d −⋅−=，则a d −=______.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）已知()cos 2cos 23f x x x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若23f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫− ⎪⎝⎭的值 19.（本小题满分15分）如图，已知三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PA AC BC ==，2DB AD =，M 、E 分别为PB 、PC 的中点，N 为AE 的中点.（Ⅰ）求证：MN CD ⊥；（Ⅱ）求直线PB 和平面PCD 所成角的正弦. 20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足()21n n S a =−. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记12111n n T S S S =+++，求证：131142n n T +−≤<. 21.（本小题满分15分）已知直线：():0l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为13，且直线PA 、PB 的倾斜角互补. （Ⅰ）求k 的值.（Ⅱ）求PAB △面积的取值范围 22.（本小题满分15分）已知函数()()21xm x xf x e ++=.（Ⅰ）试讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0m ≤，证明：()ln ef x x x+≤.浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共4分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.答案：B 2.答案：C 3.答案：A 4.答案：D 5.答案：C 6.答案：D 7.答案：C 8.答案：C 9.答案：A 10.答案：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分单空题每题4分，共36分. 11.答案：2，12.答案：5，80 13.2x y += 14.答案：6π或56π 15答案：11416.答案：3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭17.18.解析：（Ⅰ）()1cos 2cos 2cos 2cos 22322f x x x x x x π⎛⎫=+−=++ ⎪⎝⎭3cos 2sin 22223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 当22,2322x k k πππππ⎡⎤+∈−+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，函数()f x 单调递增，所以()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）由已知得23f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 39πα⎤⎛⎫=−+=−⎪⎥⎝⎭⎦. 19.（本小题满分15分）（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系， （有建系意识给一分）设2PA AC BC ===，则()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,0C ，()2,0,2P ， 所以()1,1,1M ，()1,0,1E ，31,0,22N ⎛⎫⎪⎝⎭，42,,033D ⎛⎫⎪⎝⎭，（M ，N ，D 三个点坐标各占一分） 所以11,1,22MN ⎛⎫=−−⎪⎝⎭，42,,033CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为0MN CD ⋅=， 所以MN CD ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2,2,2PB =−−，()2,0,2CP =， 设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，则0,0.CD n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得420,33220.x y x z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 令1x =，则2y =−，1z =−，故平面PCD 的一个法向量为()1,2,1n =−−， 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则sin 323PB n PB nθ⋅===⨯⋅. （本题用补体将几何体放在正方体中同样给分） 20.解析：（Ⅰ）由()21n n S a =−得，12a =()1121n n S a ++=−，两式相减得，12n n a a +=，所以2nn a =，（Ⅱ）由（Ⅰ）()()21221nn n S a =−=−，所以()1112221n nn S =≤−， 所以21111112222n n n T ≤+++=−<， 当1n =时，2131242n T ==−，又当2n ≥时，()11112221n nn S +=>−， 所以131111111113182122224212n n n n T −++⎛⎫− ⎪⎝⎭>+++=+=−−，综上可得，131142n n T +−≤< 21解析：（Ⅰ）()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则01,101014p y y k x x y y −==−+，024PB k y y =+，124AB k y y =+，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，所以0102440y y y y +=++，即01220y y y ++=， 又PAB ∆重心的纵坐标为13，故0121y y y ++=， 所以122y y +=，所以2k =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线：:2l y x b =+，与抛物线得2244(1)0x b x b +−+=， 其判别式()2211611602b b b ∆=−−>⇒<， 所以102b <<. 而121x x b +=−，2114b x x =，因此，AB ===又由（1）知，1,14P ⎛⎫− ⎪⎝⎭到直线l的距离为d =，所以1322PABS AB d b ∆⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭令23()(12)2f b b b ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，102b ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则()()36102f b b b ⎛⎫'=−++< ⎪⎝⎭恒成立， 故()f b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故30,4PAB S ∆⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（注：弦长公式、点到线距离公式、面积公式三者中无论写出哪个只给一分，不累计得分） 22.解析：（1）因为()(1)(1)xx mx m f x e −+−'=−①当0m =时，()1xx f x e −'=−，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>， 所以()f x 在(1),−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减②当0m >时，()1(1)1xm x x m f x e ⎛⎫−−+ ⎪⎝⎭'=−，111m−<， 当11,1x m ⎛⎫∈−⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()1,11,x m ⎛⎫∈−∞−⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在11,1m ⎛⎫−⎪⎝⎭单调递增，在1,1m ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减； ③当0m <时，111m −>，当11,1x m ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当()1,11,x m ⎛⎫∈−∞⋃−+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在11,1m ⎛⎫−⎪⎝⎭单调递减，在(),1−∞，11,m ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增.（Ⅱ）要证明() ln ef x x x +≤，只需证明()ln ef x x x ≤−， 而ln 1x x −≥，因此只需证明1()f x e≤， 当0m =时，()x xf x e =，由（Ⅰ）知()f x 在(),1−∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max11f x f e==当0m <时，()()211xx m x xx f x e e e++=<≤， 故()ln ef x x x +≤.。
2021年浙江省学考选考七彩阳光新高考研究联盟期中联考高三数学试题及参考答案附答题卡
绝密★考试结束前浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学学科 试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题卷。
如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n −=−=台体的体积公式121()3V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,3,4}U A B ===，则()U C A B =A.{2,3,4}B.{2,3,4,5}C.{4}D.{4,5}2.若实数x ，y 满足约束条件220,220,2.x y x y x y −+≥⎧⎪−−≤⎨⎪+≥⎩，则z =x –y 的最大值为A.23−B.0C.23D.433.已知a,b ∈R ，若a 2–b +(a –b )i>2(i 为虚数单位)，则a 的取值范围是 A. a >2或a<–1B.a >1或a<–2C.–1<a<2D.–2<a<1七彩阳光4.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是A.2B.23 C.1D.135.函数()ax f x e =和()g x ax a =+的图像不可能．．．是6.已知直线a 与平面,,αβγ，能使//αβ的充分条件是 ①,αγβγ⊥⊥②//,//αγβγ③//,//a a αβ ④,a a αβ⊥⊥ A.①② B.②③C.①④D.②④7.在数列{}n a 中，12,a =对任意的,*m n N ∈，，若12+++62n a a a ⋅⋅=，则n =A. 3B.4C. 5D. 68.已知12F F 、为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且12122||4,3F F F PF π=∠=，则12PF PF⋅的最大值为A.3−B.3−C.D.9.如图，在正四棱锥P ABCD −中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为αβ、，二面角P CD B −−的大小为γ，则A.αβγβ>>，B.αβγβ><，C.αβγβ<>，D.αβγβ<<，10. 当[1,1]x ∈−时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a bc++的最大值为 A.18B.17C.16D.15m n m n a a a +=⋅侧视图正视图七彩阳光非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.已知23log 3,log 4a b ==，则ab =__________，12=a b+____________.12.设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++，若12242n a a a +++=，则n =______,3a =______．13.对于任意实数m ，直线:10l x my m +−−=均与圆222:(0)C x y r r +=>有交点，则当r 取最小值_______时，经过直线l 与圆C 交点的圆C 的切线方程为________________. 14.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，且C a B a A b sin 2cos cos =+，则角A =_______；若2b a =，且△ABC，则a =____________．15.学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为14，设他参加一次答题活动得分为ξ，则E ξ=__________．16.已知正实数,,a b c 满足1,1a b ab bc ac +=++=，则c 的取值范围是____________． 17.若平面向量a ，b ，c ，d 满足|a -b |=1，|b -c |=2，|c -d |=3，(a -c )·(b -d )=4，则|a -d |=_______． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）已知()cos 2cos(2)3f x x x π=+−.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()2f α=，求()12f πα−的值．19.（本小题满分15分）如图，已知三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ,AC BC ⊥，PA AC BC ==，2DB AD =,M 、E 分别为PB 、PC 的中点，N 为AE 的中点.（Ⅰ）求证：MN CD ⊥；（Ⅱ）求直线PB 和平面PCD 所成角的正弦.B七彩阳光20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足2(1)n n S a =−. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记12111n nT S S S =+++，求证：131142n n T +−≤<.21.（本小题满分15分）已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A B 、两点，P 是抛物线C 上异于A B 、的一点，若PAB ∆重心的纵坐标为13，且直线PA PB 、的倾斜角互补. （Ⅰ）求k 的值.（Ⅱ）求PAB ∆面积的取值范围.22.（本小题满分15分）已知函数2(1)()xm x xf x e++=. （Ⅰ）试讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0m ≤，证明：()+ln ef x x x ≤.七彩阳光浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.答案：B2.答案：C3.答案：A4.答案：D5.答案：C6.答案：D7.答案：C8.答案：C9.答案：A 10.答案：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.答案：2, 12.答案：5，80 13.，2x y += 14.答案：6π或56π15.答案：11416.答案：3[,1)417.18.解析: （Ⅰ）1()cos 2cos(2)cos 2cos 2sin 2322f x x x x x x π=+−=++……………2分3cos 22)223x x x π=+=+，……………4分 当2[2,2],322x k k k Z πππππ+∈−+∈，函数()f x 单调递增，……………6分 所以()f x 的单调递增区间5[,],1212k k k Z ππππ−+∈. …………………7分（Ⅱ）由已知得())233f απα=+=，所以1sin()33πα+=，……………9分而2())+)1263f πππααα−=+=……………12分22sin ()]39πα=−+=−. …………………14分 19.（本小题满分15分）（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点，,CA CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，……………1分（有建系意识给一分）设2PA AC BC ===，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(2,0,2)A B C P ，所以3142(1,1,1),(1,0,1),(,0,),(,,0)2233M E N D ，……………4分（M ，N ，D 三个点坐标各占一分）所以 1142(,1,)(,,0)2233MN CD =−−=，，……………6分 因为 0MN CD ⋅=，所以 MN CD ⊥. …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2,2,2)(2,0,2),PB CP =−−=，…………………9分 设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =，则0,0.CD n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得420,33220.x y x z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩………………11分 令1x =，则2,1y z =−=−，故平面PCD 的一个法向量为(1,2,1)n =−−， …………………12分 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则||sin 3||||2PB n PB n θ⋅===⋅. …………………15分 （本题用补体将几何体放在正方体中同样给分）20.解析：（Ⅰ）由2(1)n n S a =−得，12a =…………………1分112(1)n n S a ++=−，两式相减得，12n n a a +=，………………3分所以2n n a =， …………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）2(1)2(21)n n n S a =−=−，…………………6分 所以1112(21)2n nn S =≤−，………………8分 所以21111112222n n n T ≤+++=−<，………………9分 当1n =时，2131242n T ==−，………………10分又当2n ≥时，+11112(21)2n n n S =>−，………………12分所以131111(1)11113182=122224212n n n n T −++−>+++=+−−，……………14分综上可得，131142n n T +−≤<.…………………15分 21.解析：（Ⅰ）设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，则0101014PA y y k x x y y −==−+，021244PB AB k k y y y y ==++，， ………………1分因为直线PA PB 、的倾斜角互补，所以010244+=0y y y y ++，……………2分即01220y y y ++=， …………3分 又PAB ∆重心的纵坐标为13，故0121y y y ++=， …………5分 所以122y y +=，所以2k =..…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线:2l y x b =+，与抛物线得2244(1)0x b x b +−+=，…………7分 其判别式22116(1)1602b b b ∆=−−>⇒<, 所以 102b <<. …………8分 而212111,4b x x b x x +=−=，…………9分因此，||AB ===，…………10分又由（Ⅰ）知，1(,1)4P −到直线l的距离为3||b d +=， …………11分所以13||()=22PAB S AB d b ∆=⋅=+………12分令231()(12)(),(0)22f b b b b =−+<<，则3()(61)()02f b b b '=−++<恒成立，故()f b 在1(0,)2上单调递减，故3(0,)4PAB S ∆∈ …………………15分（注：弦长公式、点到线距离公式、面积公式三者中无论写出哪个只给一分，不累计得分）22.解析：（Ⅰ）因为(1)(1)()xx mx m f x e−+−'=−， ………2分 ①当0m =时，1()x x f x e−'=−，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； ………4分②当0m >时，1(1)(1)()x m x x m f x e −−+'=−，111m−<，当1(1,1)x m ∈−时，()0f x '>，当1(,1)(1,)x m∈−∞−+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1(1,1)m −单调递增，在1(,1),(1,)m −∞−+∞单调递减； ………6分③当0m <时，111m −>，当1(1,1)x m ∈−时，()0f x '<，当1(,1)(1,)x m ∈−∞−+∞时，()0f x '>，所以()f x 在1(1,1)m −单调递减，在1(,1),(1,)m−∞−+∞单调递增. .…………………8分（Ⅱ）要证明()+ln ef x x x ≤，只需证明()ln ef x x x ≤−， 而ln 1x x −≥，因此只需证明1()f x e≤， ………9分 当=0m 时，()x xf x e =，由（Ⅰ）知()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以max1()(1)f x f e==； ………11分当0m <时，2(1)1()x x m x x x f x e e e++=<≤， ………14分故()ln ef x x x +≤ ..…………………15分请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题: （本大题共5小题，共74分。
2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷 (含答案解析)
2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x<2}，B={x≥1}，则A∪B=()A. {x|x<2}B. {x|1≤x<2}C. {x|x≥1}D. R2.若复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，则log2a的值为()A. iB. 1C. 12D. −i3.已知等比数列{a n}中，a5=4，a7=6，则a9等于()A. 7B. 8C. 9D. 104.双曲线x29−y2b2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=23x，则双曲线的离心率等于()A. √53B. 53C. 43D. √1335.“m>3”是“曲线mx2−(m−2)y2=1为双曲线”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知−1<a<4，1<b<2，则a−b的取值范围是()A. (−2,3)B. (−2,2)C. (−3,2)D. (−3,3)7.已知圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，A、B分别是圆C1和圆C2上的动点，则|AB|的最大值为()A. √41+4B. √41−4C. √13+4D. √13−48.已知(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯a8x8，则a1+2a2+3a3+⋯8a8=()A. −8B. 8C. −16D. 169.已知函数f(x)=ae x+bx2(a,b∈R)的图像如图，则()A. a <0,b >0B. a >0,b <0C. a >0,b >0D. a <0,b <010. 已知集合S ={x|3x +a =0}，如果1∈S ，那么a 的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________． 12. 若sin 2θ+2cosθ=−2，则cosθ=______．13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为______．14. 设x ，y 满足约束条件{x −y ≥1x +y ≥12x −y ≤4，则z =x 2+(y +2)2的最小值为_______．15. 已知直线l 与圆M ：x 2+y 2=4交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为P(1,1)，则直线l 的方程是______，直线l 被圆M 所截得的弦长等于______．16. 口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则Eξ=________．17. 边长为2的等边△ABC 中，点M 为BC 边上的一个动点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知在锐角△ABC中，∠A=45°，a=2，c=√6，求B和边b．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠CAA1=∠BAA1=60°，点D是AA1的中点．(1)求证：BD⊥平面AA1C1C；(2)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．20.已知等比数列{a n}的公比为q>1，a1+a3+a5=42，a3+9是a1,a5的等差中项.数列{b n}的通项公式为b n=n√a−1+√a−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明：b1+b2+...+b n<√2n+1−1,n∈N∗．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√3,12)，离心率e=√32(1)求椭圆的方程：(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．22.已知函数．(Ⅰ)当a=3时，求函数f(x)在[12,2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|x<2}，B={x≥1}，∴A∪B=R．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：【试题解析】本题考查复数的概念，对数的运算，属于基础题．由复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，求出a的值，然后再由对数运算进行求解即可．解：复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，所以a−√2=0，解得a=√2，所以log2a=log2√2=12，故选C．3.答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由题意可求得q2，a9=a7q2，代入求解即可．解：设等比数列{a n}的公比为q，则q2=a7a5=64=32，∴a9=a7q2=6×32=9．故选C．4.答案：D解析：解：根据题意，得a=3，ba =23，∴b=2，∴c=√a2+b2=√13，∴e=ca =√133．故选：D．首先，根据双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程已知，得到b的取值，然后，求解离心率即可．本题重点考查了双曲线的几何性质，理解双曲线的渐近线方程和离心率是解题关键，属于中档题．5.答案：A解析：当m>3时，m−2>0，mx2−(m−2)y2=1⇒x 21 m −y21m−2=1，原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m>0,m−2>0⇒m>2；由以上说明可知m>3是“曲线mx2−(m−2)y2= 1是双曲线”充分而非必要条件．故本题正确选项为A．6.答案：D解析：本题考查了不等式的性质，是一道基础题．由1<b<2，得出−b的范围，然后利用不等式的基本性质求解即可．解：−1<a<4，①，∵1<b<2，∴−2<−b<−1，②，①+②得：−3<a−b<3，故选：D．7.答案：A解析：本题考查了圆与圆的位置关系应用问题，是基础题．求出两圆的圆心距d，再求圆C1、C2上的两点间的距离最大值．解：圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1的圆心为(−1,−1)，半径为1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9的圆心为(3,4)，半径为3，则圆心距为d=√(−1−3)2+(−1−4)2=√41>1+3，两圆外离，∴圆C1和圆C2上的两点|AB|的最大值为d+r1+r2=√41+4．故选：A．8.答案：D解析：解：∵(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，∴两端求导得：8(1−2x)7×(−2)=a1+2a2x+3a3x2+⋯+8a8x7，令x=1得：a1+2a2+3a3+⋯8a8=8×(−1)×(−2)=16．故选：D．利用导数法与赋值法可求得a1+2a2+3a3+⋯8a8的值．本题考查导数与二项式定理的应用，对(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8两端求导是关键，也是难点，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查了函数图象和利用导数研究函数的极值，属于基础题．由图象可得f(0)=a>0，故排除A，D，又由图象可得f(x)有极大值极小值，所以f′(x)=ae x+2bx= 0有两解，可得b<0，即可得出结论．解：由图象可得f(0)=a>0，故排除A，D，又由图象可得f(x)有增有减，有极大值和极小值，所以f′(x)=ae x+2bx=0有两不等的解，所以ae x=−2bx有两不等的解，即y=ae x与y=−2bx有两个不同的交点，所以−2b>0，即b<0，故排除C，选项B符合题意，故选B．10.答案：A解析：解：∵S ={x|3x +a =0}，且1∈S ， ∴3×1+a =0， 解得：a =−3． 故选：A ．根据集合S ={x|3x +a =0}，且1∈S ，知道1满足等式，解此方程即可求得实数a 的值． 此题考查元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键，属基础题．11.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果．解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14， 所以log 2a b =log 2214=14．故答案为14．12.答案：−1解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．利用同角三角函数的基本关系可得(cosθ−3)(cosθ+1)=0，由此解得cosθ的值． 解：∵sin 2θ+2cosθ=−2，∴1−cos 2θ+2cosθ=−2，(cosθ−3)(cosθ+1)=0， 解得cosθ=−1，或cosθ=3(舍去)， 故答案为：−1．13.答案：3解析：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．难度不大，属于基础题．由已知画出几何体，分别求出各棱长，得到最大值．解：由三视图得到几何体如图，CD=1，BC=√5，BE=√5，CE=2√2，DE=3；所以最大值为3，故最长边为DE=3．故答案为3．14.答案：92解析：本题主要考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求解最小值．解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点C(0,−2)的距离的平方，则由图象可知，当z=x2+(y+2)2所表示的圆与直线x+y−1=0相切时，距离最小，即C(0,−2)到直线x+y−1=0的距离d=√2=√2，所以z=d2=92，故答案为92．15.答案：x+y−2=02√2解析：解：∵P(1,1)为线段AB的中点，∴OP⊥AB，∵k OP=1，∴k AB=−1，则A，B所在直线l的方程为y−1=−1×(x−1)，即x+y−2=0；∵|OP|=√2，圆M：x2+y2=4的半径为2，∴直线l被圆M所截得的弦长等于2√22−(√2)2=2√2．故答案为：x+y−2=0，2√2．由已知求得OP的斜率，得到AB所在直线当斜率，由直线方程的点斜式可得直线l的方程，再由垂径定理求直线l被圆M所截得的弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．16.答案：0.5解析：【试题解析】本题考查离散型随机变量的期望的计算，属基础题．首先确定ξ的可能取值，再分别求出相应的概率，则数学期望Eξ可求．解：ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ=0)=C42C53=35，P(ξ=1)=C32C53=310，P(ξ=2)=1C53=110，∴Eξ=0×35+1×310+2×110=0.5．故答案为0.5．17.答案：6解析：解：设BC 中点为D ，则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =22+2×2×cos60°+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =4+2+2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6．故答案为：6．设BC 中点为D ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出结果．本题考查与向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：在锐角△ABC 中，由正弦定理得：a sinA =c sinC ，即√22=√6sinC ，解得sinC =√32，∴C =60°，∴B =180°−A −C =75°． ∴b =asinA sinB =2√22×√6+√24=√3+1．解析：在锐角△ABC 中，由正弦定理求得sinC =√32，可得C =60°，再由三角形内角和公式求得B ，利用正弦定理求得b 的值．本题主要考查正弦定理、根据三角函数的值求角，属于基础题． 19.答案：(1)证明：连接A 1B ，∵AB =A 1A ，∠BAA 1=60°，∴△BAA 1为正三角形;∵D 是AA 1的中点，∴BD ⊥AA 1，又∵平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，平面AA 1C 1C ∩平面AA 1B 1B =AA 1，BD ⊂平面AA 1B 1B ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)解：连接DC1，由(1)知BD⊥平面AA1C1C，又DC1⊂平面AA1C1C，∴∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，BD⊥DC1．设AB=2a，则正三角形△BAA1中，BD=√3a，△A1DC1中，A1D=a，A1C1=2a，∠DA1C1=120°，∴DC12=a2+(2a)2−2×a×2a×cos120°=7a2．故DC1=√7a，在Rt△BDC1中，BC1=√3a2+7a2=√10a，则sin∠BC1D=BDBC1=√3a10a=√3010，即直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值为√3010．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题．(1)连接A1B，推导出BD⊥AA1，由此能证明BD⊥平面AA1C1C.(2)连接DC1，则∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，由此能求出直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．20.答案：解：(I)由a3+9是a1，a5的等差中项得a1+a5=2a3+18，所以a1+a3+a5=3a3+18=42，解得a3=8，由a1+a5=34，得8q2+8q2=34，解得q2=4或q2=14，因为q>1，所以q=2，所以a n=2n；(II)证明：由(I)可得b n=n√2n−1+√2n+1−1n∈N∗，∴b n=2n(√2n−1−√2n+1−1)(√2n−1+√2n+1−1)(√2n−1−√2n+1−1)=2n(√2n−1−√2n+1−1)−2n=√2n+1−1−√2n −1，∴b 1+b 2+⋯…+b n=(√22−1−√21−1)+(√23−1−√22−1)+⋯…+(√2n+1−1−√2n −1)=√2n+1−1−1<√2n+1−1．解析：(Ⅰ)由等差中项的性质可求得a 3=8，进而得到a 1+a 5=34，进一步求得公比q ，由此即可得解；(Ⅱ)化简b n ，由此即可得证．本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查化简运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 21.答案：解：(1)把点(√3,12)代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，得3a 2+14b 2=1，由c a =√32及c 2=a 2−b 2， 可得a 2=4，b 2=1．则椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，化简得，(4k 2+1)x 2+16kx +12=0根据题意，得△=(16k)2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0，解得k >√32或k <−√32， 则k 的取值范围是(−∞,−√32)∪(√32,+∞)．解析：(1)代入点得到关于a ，b 的方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解出a ，b ，得到椭圆方程；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，消去y ，得到关于x 的方程，由判别式大于0，即可得到k 的范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题． 22.答案：解：(Ⅰ)a =3时，f′(x)=−2x +3−1x =−2x 2−3x+1x =−(2x−1)(x−1)x ，令f ′(x)>0，得12<x <1，令f ′(x)<0，得x >1 或 0<x <12，由于x ∈[12,2]，故此时x ∈(1,2], 故函数f(x)在区间(12,2)仅有极大值点x =1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[12,2]最大值是f(1)=2，又f(2)−f(12)=(2−ln2)−(54+ln2)=34−2ln2<0，故f(2)<f(12)，故函数在[12,2]上的最小值为f(2)=2−ln2；(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值，则必须f′(x)=0有两个不同正根x 1，x 2，即2x 2−ax +1=0有两个不同正根．故a 应满足{Δ>0a 2>0⇒{a 2−8>0a >0⇒a >2√2, ∴函数f(x)既有极大值又有极小值，实数a 的取值范围是a >2√2．解析：本题主要考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，会求函数在某点取极值的条件．(Ⅰ)把a =3代入到f(x)中，求出导函数=0时x 的值为1得到函数的最大值为f(1)，然后判断f(12)和f(2)即可；(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值，首先必须f′(x)=0有两个不同正根，即2x 2−ax +1=0有两个不同正根，即可得到根的判别式大于0且两根之和大于0，求出a 的范围得到必要性；然后证明充分性：由a 的范围得到f′(x)=0有两个不等的正根，讨论导函数的正负即可得到函数既有极大值又有极小值．所以得到函数既有极大值又有极小值的a 的范围．。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数()()12z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2B ．1 CD2．双曲线222=2x y -的焦点坐标为（ ）A ．(1,0)± B．(0) C ．(0,1)± D．(0,3．若变量x 、y 满足约束条件33010x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最小值是（ ）A ．3-B ．5-C ．3D ．54．设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b ”成立的（ ） A ．充要不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充要也不必要条件 5．已知函数()2x x f x e e e =-+，()3sin 2g x x =，下列描述正确的是（ ）A ．()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数B ．()f g x ⎡⎤⎣⎦是偶函数C ．()f g x ⎡⎤⎣⎦既是奇函数又是偶函数D ．()f g x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数也不是偶函数 6．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．17．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N≤≤∈的增加，下列说法正确的是（ ） A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加 D ．E ξ减小，D ξ减小8．已知函数()()2lg 1f x x x =-+，若函数()f x 在开区间()(),1R t t t +∈上恒有最小值，则实数t 的取值范围为（ ） A ．3111,,2222⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．已知二次函数()22019f x x x =++图象上有三点()()1,1A m f m --，()(),B m f m ，()()()1,1R C m f m m ++∈，则当m 在实数范围内逐渐增加时，ABC ∆面积的变化情况是（ ）A ．逐渐增加B ．先减小后增加C ．先增加后减小D ．保持不变二、双空题11．设集合{}{}02,1A x R x B x R x =∈<<=∈<，则A B =________，()R A B =___________.12．已知()()51210ax x a x ⎛⎫++≠ ⎪⎝⎭，若展开式中各项的系数和为81，则a =______，展开式中常数项为______．13．已知直线l 方程为()30x y R λλλ+-=∈，则直线l 恒过定点______，若直线l 与圆22:20C x y x +-=相交于A 、B 两点，且满足ABC ∆为等边三角形，则λ=______．14．已知数列{}n a 满足11a =，()*13n n a a n N +-=∈，则n a =______，471034n a a a a ++++⋅⋅⋅+=______．三、填空题15．已知单位向量e ，平面向量a 、b 满足2a e ⋅=，3b e ⋅=，0a b ⋅=，则a b -的最小值为______．16．3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有__________种（用数字作答）．17．已知正实数a ，b 满足212100a b a b+++-=，则2a b +的最大值为______．四、解答题18．已知函数()cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围．19．如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，BC =BC AC ⊥，cos SCB ∠=D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．20．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4n n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 21．已知抛物线2:4C x y =，A 、B 、P 为抛物线C 上不同的三点.（1）当点P 的坐标为()2,1时，若直线AB 过抛物线焦点F 且斜率为1，求直线AP 、BP 斜率之积；（2）若ABP ∆为以P 为顶点的等腰直角三角形，求ABP ∆面积的最小值．22．已知函数()2x f x e e x=-⋅（其中e 为自然对数的底数）（1）求()f x 的单调区间；（2）已知关于x 的方程()2x m f x e x⋅=有三个实根，求实数m 的取值范围．参考答案1．D【分析】利用复数的乘法运算将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值.【详解】()()123z i i i =+-=+，因此，z ==故选：D.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 2．B【解析】【分析】由双曲的标准方程求出22a ,b ，进而可求出2c ，然后即可求出焦点坐标.【详解】由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此c =所以焦点坐标为()；故选B【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程，由标准方程可求出22a ,b ，并确定焦点位置，从而可得结果，属于基础题型.3．B【分析】作出不等式组所表示的可行域，并设2z x y =-，平移直线2z x y =-，观察该直线在x 轴上截距的变化，找到使得目标函数2z x y =-取得最小值时的最优解，代入计算即可.【详解】作出不等式组33010x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立310x x y =⎧⎨-+=⎩，得34x y =⎧⎨=⎩，则点A 的坐标为()3,4， 设2z x y =-，平移该直线，当直线2z x y =-经过顶点A 时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，则min 3245z =-⨯=-.故选：B.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.4．C【解析】试题分析：当0a b >≥时，22a b a b a a b b >⇔>⇔>，当,a b 一正一负时，0a b a b >⇔>>0a a b b ⇔>>，当0a b ≥>时，220a b a b a a b b a a b b ≥>⇔<⇔--⇔，所以a b a a b b >⇔>，故选C ．考点：充分必要条件．5．B【分析】由题意可知，函数()y f x =为偶函数，函数()y g x =为奇函数，然后利用定义可判断出函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的奇偶性.【详解】函数()y f x =的定义域为R ，()()22x x x xf x e e e e e e f x ---=-+=-+=， 所以，函数()y f x =是偶函数，同理可知，函数()yg x =为奇函数，()()()f g x f g x f g x ∴-=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且()()0012121120f g f e e e ==-+=-+=≠⎡⎤⎣⎦，所以，函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为偶函数.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．A【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】 由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题． 7．C【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n ，可得出2n EX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n ，其中()336k n k n C C P X k C -==，其中k ∈N ，3k ≤且k n ≤，362n n EX ==. 故从甲盒中取球，相当于从含有12n +个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ. 故()111211222n P n n ξ+===+++， 随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====+++，随着n 的增大，E ξ减小；()1111222D P n ξξ=-==-+，随着n 的增大，D ξ增大. 故选：C.【点睛】 本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 8．A【分析】 计算出内层函数21u x x =-+的最小值及其对应的x 值，再由最小值点在区间(),1t t +内，可得出关于实数t 的不等式组，解出即可.【详解】 对于内层函数2213124u x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以，当12x =时，即当12x =±时，内层函数21u x x =-+取得最小值，此时，函数()y f x =取得最小值. 由题意可知()1,12t t -∈+或()1,12t t ∈+，即12112t t ⎧<-⎪⎪⎨⎪+>-⎪⎩或12112t t ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩， 解得3122t -<<-或1122t -<<.因此，实数t 的取值范围是3111,,2222⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数的最值求参数，在解题时充分利用复合函数的单调性进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9．C 【分析】（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即AE FC ⊥； （3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面FGT ； （4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立. 【详解】（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形， 则BC AB ⊥，又平面ABE平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABC ，此时AE BC ⊥；（2）设AB BC a ==，则AC =，且有AE CF a ==，翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，AE CE ⊥， 即AE FC ⊥； （3）如下图所示：翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .ABE ∆是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE .DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴，DE ⊄平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT . G 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，AB ⊄平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT . DEAB D =，∴平面//EAB 平面FGT ；（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=，即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行. 因此，可能正确命题的个数为3. 故选：C. 【点睛】本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题. 10．D 【分析】先求出ABC ∆的面积关于m 的函数解析式，然后利用函数的单调性即可进行ABC ∆面积的变化情况. 【详解】()()()()()22111201920192f m f m m m m m m ⎡⎤--=-+-+-++=-⎣⎦，()()()()()221112019201922f m f m m m m m m ⎡⎤+-=++++-++=+⎣⎦， ()1,2BA m =--，()1,22BC m =+，ABC ∆的面积为(2211sin 1cos 22ABC S BA BC B BA BC∆=⋅=⋅-()()2222221cos BA BC BA BC BBA BC BA BC=⋅-⋅=⋅-⋅1==. 故选：D. 【点睛】本题考查三角形面积的变化，解题的关键就是计算出三角形面积的表达式，考查运算求解能力，属于中等题.11．{}01x x << {1x x <或}2x ≥ 【分析】先化简集合B ，再结合集合交集、并集、补集的定义即得解 【详解】由题意：{}1{|11}B x R x x x =∈<=-<< 由交集的定义，AB ={}01x x <<由补集的定义：(,0][2,)A =-∞+∞R 故()RA B ={1x x <或}2x ≥故答案为：{}01x x <<，{1x x <或}2x ≥ 【点睛】本题考查了集合的交集、并集、补集计算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题 12．23-10 【分析】令1x =，可得出()51381a +⋅=，可求出实数23a =-，然后将二项式变形为()()551221213x x x x +-+，结合二项展开式通项可求出展开式中的常数项. 【详解】令1x =，可得出()51381a +⋅=，则113a +=，得23a =-， ()()()555211221212133x x x x x x x ⎛⎫-++=+-+ ⎪⎝⎭， 展开式通项为()()5554565555122222233r kr k r r r k k k C x xC x C x C x x ------⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅，其中05r ≤≤，05k ≤≤，且r 、k ∈N ，则60k -≠，令40-=r ，得4r =.因此，展开式中的常数项为45210C ⨯=.故答案为：23-；10. 【点睛】本题考查利用各项系数和求参数，同时也考查了指定项系数的求解，考查计算能力，属于中等题.13．()3,0 【分析】将直线l 的方程变形为()30x y λ-+=，可得出300x y -=⎧⎨=⎩，可求出直线l 所过定点的坐标，将圆C 的方程化为标准方程，，利用点到直线的距离公式可得出关于λ的方程，解出即可. 【详解】将直线l 的方程变形为()30x y λ-+=，可得出300x y -=⎧⎨=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过定点()3,0.圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心C 的坐标为()1,0，半径为1.由于ABC ∆为等边三角形，则圆心C 到直线l 的距离为31sin 60d =⨯=，另一方面，由点到直线的距离公式可得2d ==，解得λ=.故答案为：()3,0；. 【点睛】本题考查直线所过定点坐标的计算，同时也考查了直线与圆的综合问题，解题的关键就是计算出圆心到直线的距离，考查计算能力，属于中等题.14．32n - 2929202n n ++【分析】由等差数列的定义可知数列{}n a 是以1为首项，以3为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可得出n a ，然后利用等差数列的求和公式可计算出471034n a a a a ++++⋅⋅⋅+. 【详解】由题意可知，数列{}n a 是以1为首项，以3为公差的等差数列，()13132n a n n ∴=+-=-. 因此，()4710341019283342n a a a a n ++++⋅⋅⋅+=++++⨯+-⎡⎤⎣⎦()()21091019292022n n n n +++++==. 故答案为：32n -；2929202n n ++. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算以及等差数列求和，熟悉等差数列的通项公式与求和公式是计算的关键，考查计算能力，属于中等题. 15．5 【分析】设平面向量a 与e 的夹角为θ，则θ为锐角，且平面向量b 与e 所成的角为2θπ-，结合数量积的定义得出2cos a θ=，3sin b θ=，然后利用平面向量模长公式以及基本不等式可求出a b -的最小值. 【详解】设平面向量a 与e 的夹角为θ，则θ为锐角，且平面向量b 与e 所成的角为2θπ-， 由平面向量数量积的定义可得cos 2a e a θ⋅==，得2cos a θ=，同理可得3sin b θ=. 所以，()2222242a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+===5≥=，当且仅当tan 2θ=时，等号成立，因此，a b -的最小值为5. 故答案为：5. 【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，同时也考查了平面向量数量积的定义的应用，涉及了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题. 16．40 【解析】当排队顺序为男女男女男女时：若甲位于第一个位置，则乙位于第二个位置，余下四人的站法有2222A A 种方法， 若甲位于第三个位置，则乙有2种位置进行选择，余下四人的站法有2222A A 种方法，据此可得，排队顺序为男女男女男女时，不同的站法有22222222220A A A A +=种；同理，当排队顺序为女男女男女男时，不同的站法有20种， 综上可得，满足题意的站法有202040+=种.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 17．9 【分析】设()20a b t t +=>，可得出2110t a b +=-，利用基本不等式可求出()212a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，可得出关于t 的不等式，解出即可得出2a b +的最大值. 【详解】设()20a b t t +=>，由212100a b a b+++-=，可得2110t a b +=-，所以0t 10<<.由基本不等式得()21222559a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，所以，()109t t -≥，即21090t t -+≤，解得19t ≤≤. 因此，2a b +的最大值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及转化法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18．（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6x π-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=，可得出4sin sin 3A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1sin 13B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B==-的取值范围. 【详解】（1）()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤， 因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2； （2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3Ba Ab B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦. 因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 19．（1）证明见解析；（2）6π. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ，证明出OS AC ⊥，OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面SOD ，即可证明出AC SD ⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，说明直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，求出OSD ∆三边边长，利用余弦定理求出OSD ∠，即可求出直线SD 与平面SAC 所成角的大小． 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ，SAC ∆为等边三角形，O 为AC 的中点，SO AC ∴⊥，D 、O 分别为AB 、AC 的中点，//OD BC ∴，BC AC ⊥，OD AC ∴⊥， SO OD O =，AC ∴⊥平面SOD ，SD ⊂平面SOD ，AC SD ∴⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ， AC ⊥平面SOD ，DH ⊂平面SOD ，DH AC ∴⊥，DH SO ⊥，SO AC O =，DH ∴⊥平面SAC ，所以，直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，由（2）知，12OD BC ==AC BC ⊥，8AB ∴==.SAC ∆是边长为4的等边三角形，4sin3SO π∴==在SBC ∆中，4SC =，BC=由余弦定理得2222cos 88SB SC BC SC BC SCB =+-⋅⋅∠=，SB ∴=由余弦定理得2221cos 28SA AB SB SAB SA AB +-∠==-⋅，2222cos 36SD SA AD SA AD SAD ∴=+-⋅⋅∠=，6SD ∴=.在SOD ∆中，由余弦定理得222cos 2SO SD OD OSD SO SD +-∠==⋅. 0OSD π<∠<，6OSD π∴∠=，因此，直线SD 与平面SAC 所成角的大小为6π. 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的计算，涉及到利用余弦定理解三角形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）n a n =，2n n b =；（2）证明见解析.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ； （2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 【详解】 （1）1359a a a ++=，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=. 1q >，解得2q，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n n n n c b =-=-，()()()1122424242n n n B =-+-++-()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n n n n n n n nn n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭，22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 21．（1）12；（2）16. 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得出直线AB 的方程为1y x =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，然后利用斜率公式结合韦达定理可计算出直线AP 、BP 斜率之积；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()22,P t t，设直线BP 的斜率为k ，不妨设0k >，可得出直线BP 的方程为()22y t k x t -=-，将直线BP 的方程与抛物线C 的方程联立，求出BP ，同理得出AP ，再由AP BP =得出321k t k k-=+，然后利用三角形的面积公式，结合基本不等式求出ABP ∆面积的最小值. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则21122244x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线AP 的斜率为21111111124224x y x k x x --+===--，同理，直线BP 的斜率为2224x k +=. 抛物线C 的焦点为()0,1F ，直线AB 的斜率为1，且过点F ，则直线AB 的方程为1y x =+，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立241x yy x ⎧=⎨=+⎩，得2440x x --=，1644320∆=+⨯=>，由韦达定理得124x x +=，124x x =-.因此，直线AP 、BP 斜率之积为()()()121212122224424411616162x x x x x x k k +++++-+⨯+====；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()22,P t t，设直线BP 的斜率为k ，不妨设0k >，则直线BP 的方程为()22y t k x t -=-，联立直线BP 与抛物线C 的方程()2224y t k x t x y⎧-=-⎨=⎩，消去y 得224840x kx kt t -+-=，由韦达定理得224x t k +=，22284tx kt t =-，242x k t ∴=-，同理可得142x t k=--，224BP t k t ∴=-=-，同理可得44AP t k=-， 由题中图象可知，12x t -与22x t -符号相反， 由AP BP =444t k t k-=-，则14444t k t k k ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭， 化简得()311k t k k -=+，故ABP ∆的面积为()()()()()()22222222222811111161812211ABP k k k S BP k k t k k k k k ∆+⎡⎤++==⨯+-=+⋅=⋅⎢⎥++⎣⎦()()()22221228161k k k k +≥⋅⋅=+，当且仅当1k =时，等号成立， 因此，ABP ∆面积的最小值为16. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线的斜率积的计算以及三角形面积最值的计算，在求解最值时，一般利用函数单调性或基本不等式求解，考查运算求解能力，属于难题. 22．（1）单调递增区间为(),0-∞和()0,∞+，无单调递减区间；（2）230,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，利用导数可求出函数()y f x =的单调区间；（2）由题意可知，关于x 的方程2x x m xe xe e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0x ≠时有三个根，令()xt g x xe ==，利用导数分析函数()t x g =的单调性与极值，利用数形结合思想，结合内层函数与外层函数的零点，对实数m 的取值进行分类讨论，分析方程()2xmf x e x ⋅=的实根个数，从而可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）函数()2xf x e e x=-⋅的定义域为{}0x x ≠，()220xf x e ex '=+>，所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),0-∞和()0,∞+，无单调递减区间； （2）由()2xm f x e x ⋅=，得22x x m e e ex x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得2x xm xe xe e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()()0xt g x xex ==≠，则()()1x g x x e '=+，令()0g x '=，得1x =-，列表如下：如下图所示，当10t e -<<时，方程()t x g =在0x ≠时有两根，当1t e=-或0t >时，方程()t x g =在0x ≠时只有一根.作出函数y m =与函数21,0y t t t t e e ⎛⎫⎛⎫=-≥-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象如下图所示：①当21m e =-时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的横坐标为1t e =， 此时方程()1g x e=在0x ≠时只有一根，不合乎题意； ②当210m e -<<时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象有两个交点，横坐标分别为1t 、2t ，且110t e <<，212t e e<<，方程()1t g x =在0x ≠时只有一根，方程()2t g x =在0x ≠时只有一根，共有两根，不合乎题意；③当0m =时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的横坐标为2t e =，方程()2g x e=只有一根，不合乎题意； ④当230m e <<时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象有两个交点，横坐标分别为1t 、2t ，且110t e -<<，223t e e<<， 方程()1t g x =在0x ≠时有两根，方程()2t g x =在0x ≠时只有一根，共有三根，合乎题意； ⑤当23m e =时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的横坐标为11t e =-，23t e =，方程()1g x e =-在0x ≠时有一根，方程()3g x e=在0x ≠时也只有一根，共两根，不合乎题意； ⑥当23m e >时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的横坐标为1t ，且13t e >， 此时，方程()1t g x =在0x ≠时只有一根，不合乎题意. 综上所述，实数m 的取值范围是230,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究复合函数的零点个数问题，一般将问题转化为内层函数与外层函数的零点问题，借助数形结合思想来求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.。
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期期中联考数学试题(解析版)
【详解】
（1）翻折时，若平面 平面 ，由于 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
则 ，又 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，此时 ；
（2）设 ，则 ，且有 ，
翻折时，若点 、 重合，则 ， ，此时， ，
即 ；
（3）如下图所示：
翻折时，若平面 和平面 同时与平面 垂直，
取 的中点 ，连接 、 、 、 .
是等边三角形，且 为 的中点， .
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 .
平面 ，同理可证 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
、 分别为 、 的中点， ，
7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 个红球，乙盒子里有 个红球和 个黑球，现从乙盒子里随机取出 个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 个，则随着 的增加，下列说法正确的是（）
A． 增加， 增加B． 增加， 减小
C． 减小， 增加D． 减小， 减小
【答案】C
【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出 个球，含有红球个数 服从超几何分布，即 ，可得出 ，再从甲盒子里随机取一球，则 服从两点分布，所以 ， ，从而可判断出 和 的增减性.
由题意可知 或 ，即 或 ，
解得 或 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用对数型复合函数的最值求参数，在解题时充分利用复合函数的单调性进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．如图 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， 为线段 的中点， 是 的中点， 与 分别是以 、 为底边的等边三角形，现将 与 分别沿 与 向上折起（如图 ），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（）
2021届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期期中联考数学试题(解析版)
2021届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．设全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{2,3,4}B ．{2,3,4,5}C ．{4}D ．{4,5}【答案】B【分析】直接根据补集和并集的运算，即可得答案； 【详解】因为全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,3,4}U A B ===∴{4,5}UA =，∴(){2,3,4,5}UA B ⋃=，故选：B.2．若实数x ，y 满足约束条件220,220,2.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =-的最大值为（ ）A ．23-B ．0C ．23D ．43【答案】C【分析】作出可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案； 【详解】线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分，4,220322.3x x y x y y ⎧=⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，∴42(,)33A ， 当直线z x y =-过点42(,)33A 时， 直线z x y =-在y 轴上的截距最小，∴z x y =-的最大值为422333z -==，故选：C.3．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<<【答案】A【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->， 所以2a >或1a <-. 故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题. 4．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．23C ．1D ．13【答案】D【分析】根据三视图可知，该几何体是长方体中的三棱锥11D BB C -，根据三棱锥的体积公式可求得结果.【详解】根据三视图可知，该几何体是长方体中的三棱锥11D BB C -，如图：1111,2,1B C BB CD ===，所以111111132D BB C V CD BB B C -=⨯⨯⨯⨯111121323=⨯⨯⨯⨯=3cm .故选：D【点睛】关键点点睛：根据三视图在长方体中还原出直观图为三棱锥是解题关键. 5．函数()e ax f x =和()g x ax a =+的图象不可能．．．是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】当1a >时，图象是D ；当01a <<时，图象是B ；当0a <时，利用导数可知当0a <时，图象是A ，不可能是C .【详解】当1a >时，1a e >，(0)1(0)f g a =<=，函数()()e xax af x e ==和()g x ax a =+的图象是D ；当01a <<时，1a e >，(0)1(0)f g a =>=，函数()()e xax a f x e ==和()g x ax a=+的图象是B ；当0a <时，01a e <<，令axy e ax a =--，(1)axaxy ae a a e '=-=-，由0y '<得10ax e ->，得0ax >，得0x <；由0y '>得10ax e -<，得0ax <，得0x >，所以函数axy e ax a =--在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以当0x =时，min 10y a =->，所以()()f x g x >恒成立，故函数()()e xax a f x e ==和()g x ax a=+的图象是A ，不可能是C . 故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．已知直线a 与平面,,αβγ，能使//αβ的充分条件是（ ）①,αγβγ⊥⊥ ②//,//αγβγ ③//,//a a αβ ④,a a αβ⊥⊥ A ．①② B ．②③C ．①④D ．②④【答案】D【分析】根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.【详解】对①，若,αγβγ⊥⊥，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误； 对②，若//,//αγβγ，则//αβ，平面的平行具有传递性，故②正确； 对③，若//,//a a αβ，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误； 对④，,a a αβ⊥⊥，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确. 综上：②④正确，故选：D.7．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *∈，m n m n a a a +=⋅，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】令1m =，可得112+=⋅=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可.【详解】因为对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅，所以令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ， 因为10a ≠，所以0n a ≠，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2(12)6212n -=-，解得n =5，故选：C8．已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且124F F =，1223F PF π∠=，则12PF PF →→⋅的取值范围为（ ）A．,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B．,33⎛-- ⎝⎭ C．3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】方法一：由题知：22114a b =+，22224a b +=，不妨设点P 在第一象限，设12,PF m PF n ==，进而得12m a a =+，12n a a =-，故在12PF F △中，由余弦定理得得2212316a a +=， ，212182PF PF a →→⋅=-，由于211643a <<， 2188203a -<-<，即2121882,03PF PF a →→⎛⎫⋅=-∈- ⎪⎝⎭方法二：根据题意不妨设点P 在第一象限，则有正弦定理得P的圆在第一象限的圆弧上，根据三角形面积公式得122121si 12n 12210F PF p S F F y PF PF →→=⨯⨯=⋅△得12P PF F y P →→⋅=，由于P y ⎛∈ ⎝⎭，进而得121212PF PF PF PF →→→→⋅=-⋅∈8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】解：方法一：如图1，设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>， 由题知：22114a b =+，22224a b +=，不妨设点P 在第一象限，设12,PF m PF n ==，所以在椭圆中，有12m n a +=，在双曲线中有22m n a -=， 所以12m a a =+，12n a a =-， 所以在12PF F △中，由余弦定理得：()()()()22222121212121212161cos 222m n F F a a a a F PF mna a a a +-++--∠===-+-，整理得2212316a a +=，所以2221163a a =-所以()22212121212111cos1208222PF PF PF PF PF PF a a a →→→→→→⋅=⋅=-⋅=--=-，由于22211630a a =->，221140a b -=>所以211643a <<，2132823a <<，故2132283a -<-<- 所以2188203a -<-<，即2121882,03PF PF a →→⎛⎫⋅=-∈- ⎪⎝⎭故选：D.方法二：如图2，不妨设点P 在第一象限，由正弦定理得三角形12F PF △外接圆的半径为433， 所以P 43，圆心为23'0,O ⎛ ⎝⎭的圆在第一象限的圆弧2MF （不包含端点）上， 所以23'OO =，所以23OM =，所以230,3P y ⎛∈ ⎝⎭，由向量数量积定义得1212121cos1202PF PF PF PF PF PF →→→→→→⋅=⋅=-⋅，由三角形面积公式得：1212122F PF p P S F F y y =⨯⨯=△，1212123sin120124F PF PF PF PF S →→→→=⋅=⋅△， 所以12833P PF F P →→⋅=， 所以12160,3383P y PF PF →→⎛⎫∈ ⎪⎝=⎭⋅， 所以121212PF PF PF PF →→→→⋅=-⋅∈8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点三角形问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解法一的关键是根据椭圆与双曲线的定义分别将1PF ，2PF用椭圆的长半轴1a 与双曲线的实半轴2a 表示，并在焦点三角形中结合余弦定理得2212316a a +=，故212182PF PF a →→⋅=-，再根据211643a <<即可得范围；本题解题法二的关键是由已知条件可设点P 在第一象限，进而得P 在半径为43，圆心为230,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的圆在第一象限的圆弧2MF （不包含端点）上，进而利用面积公式求解.9．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（ ）A ．,αβγβ>>B ．,αβγβ><C ．,αβγβ<>D ．,αβγβ<<【答案】A【分析】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，根据正棱锥的性质可知，PCE α∠=，PCO β∠=，PEO γ∠=，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，如图：因为//AB CD ，所以PBA α∠=，又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PCE α∠=，由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面ABCD ，所以PCO β∠=， 易得OE CD ⊥，PE CD ⊥，所以PEO γ∠=， 因为sin PE PC α=，sin POPCβ=，且PE PO >，所以sin sin αβ>，又,αβ都是锐角，所以αβ>，因为sin PO PE γ=，sin POPCβ=，且PC PE >，所以sin sin γβ>，因为,βγ都是锐角，所以γβ>.故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.10．当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ） A ．18 B ．17C ．16D ．15【答案】B【分析】分别令0x =、12、1，则可求得1,1,142a b c c a b c ≤++≤++≤，利用这三个不等式，可构造出a 、b ，即可求出a 、b 的范围，即可得答案. 【详解】因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈，当0x =时，可得1c ≤①，当12x =时，可得142a b c ++≤②，当1x =时，可得1a b c ++≤③，由①②③可得114()()84222a b a c a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤，所以88117a b c ++≤++=， 故选：B【点睛】本题考查利用不等式性质求范围，解题的关键是分别求出c 、42a bc ++、a b c ++的范围，再整体代入求出a 、b 的范围，考查整体代入，转化求解的能力，属中档题.二、填空题11．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为14，设他参加一次答题活动得分为ξ，则E ξ=_________． 【答案】114【分析】先求得ξ的所有可能取值，再根据相互独立事件概率计算公式进行计算，从而求得期望值.【详解】依题意可知ξ的可能取值为2,3,4,5，且：()11144516P ξ===⨯，()13344416P ξ===⨯，()31344316P ξ===⨯，()33944216P ξ===⨯，所以13394411543216161616164E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：11412．已知正实数a ，b ，c 满足1,1a b ab bc ac +=++=，则c 的取值范围是______________．【答案】3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据1,1a b ab bc ac +=++=,得到1c ab =-,然后根据a ，b ，c 是正实数,利用基本不等式求解. 【详解】因为1a b +=,所以()1ab bc ac ab b a c ab c ++=++=+=, 所以1c ab =-, 因为a ，b ，c 是正实数, 所以1c <,231124a b c ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时,取等号,故c 的取值范围是3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为:3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭13．若平面向量,,,a b c d 满足||1,||2,||3,()()4a b b c c d a c b d -=-=-=-⋅-=，则||a d -=_________．【分析】将-a c 、b d -、a d -用a b -、b c -，c d -表示，根据向量的运算律可求得结果.【详解】因为()()4a c b d -⋅-=，所以()()()()4a b b c b c c d ⎡⎤⎡⎤-+-⋅-+-=⎣⎦⎣⎦，所以()()()()()()()24a b b c a b c d b c b c c d -⋅-+-⋅-+-+-⋅-=，因为2b c -=，所以()24b c-=，所以()()()()()()0a b b c a b c d b c c d -⋅-+-⋅-+-⋅-=，所以()2ad a d-=-()====.【点睛】关键点点睛：将-a c 、b d -、a d -用a b -、b c -，c d -表示是解题关键，属于中档题.三、双空题14．已知23log 3,log 4a b ==，则ab =_________，12a b+=___________．【答案】2【分析】根据换底公式可求得2ab =，根据换底公式得到3221log 3a b+=，再根据对数的性质可得12a b+.【详解】因为2log 3a =，3log 4b =， 所以23lg 3lg 42lg 2log 3log 42lg 2lg 3lg 2ab =⨯=⨯==， 因为2311log 3log 4a b +=+24log 3log 3=+32222213log 3log 3log 3log 322=+==，所以32213log 32223a b+===.故答案为：2；【点睛】关键点点睛：利用对数的换底公式和对数的性质是解决本题的关键，属于基础题.15．设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++，若12242n a a a +++=，则n =_______，3a =_______．【答案】5 80【分析】令0x =，得01a =，令1x =，得5n =，根据二项展开式的通项公式可得380a =.【详解】在2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++中，令0x =，得01a =，令1x =，得0123nn a a a a =++++，所以31242n =+，所以533433n ==，所以5n =.所以2335280a C =⋅=.故答案为：5；80【点睛】关键点点睛：通过两次赋值求得5n =是解题关键，属于容易题.16．对于任意实数m ，直线:10l x my m +--=均与圆222:(0)C x y r r +=>有交点，则当r 取最小值________时，经过直线l 与圆C 交点的圆C 的切线方程为______________．20x y +-=【分析】（1）求出直线经过的定点，得到22211r +≤，即得解；（2=即得切线方程.【详解】由10x my m +--=得10(1)(1)0,,1,110x x y m x y y -=⎧-+-=∴∴==⎨-=⎩. 所以直线过定点（1,1），所以22211r +≤，所以r ≥r1m =∴=.所以直线的方程为20x y +-=.+20x y -=.【点睛】方法点睛：定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f x y f x y ===，从而求得该定点.17．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2sin b A a B a C +=，则角A =________；若2b a =，且ABC ∆a =___________． 【答案】6π或56π【分析】（1）由已知及正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin sin B A A B A C +=，化简可得1sin 2A =，从而可求得A 的值；（2）由2b a =及ABC ∆a . 【详解】（1）由正弦定理sin sin sin abc A B C ==，且cos cos 2sin b A a B a C +=得：sin cos sin cos 2sin sin B A A B A C +=∴()sin 2sin sin B A A C +=. 又,,A B C 为三角形内角∴B A C π+=- ∴sin 2sin sin C A C =. ∵()0,C π∈ ∴sin 0C ≠. ∴1sin 2A =∴16A π=或56A π= （2）∵2b a =，,b aB A ∴>∴> 由（1）知16A π=或56A π=（舍去) sin =2sin B A ，sin =1,,23B BC ππ∴==∵ABC ∆∴1sin 2ab C =∴22a =. ∴a =故答案为：16π或56π【点睛】利用正弦齐次式化边为角是正弦定理常用方法，本题属于基础题.四、解答题18．已知()cos2cos 23f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若2f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）【分析】（1）利用三角恒等变换化简()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体代入求单调递增区间；（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用倍角公式求12f πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；【详解】（1）1()cos2cos 2cos2cos2232f x x x x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭3cos22223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 当22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的单调递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 3πα⎤⎛⎫=-+= ⎪⎥⎝⎭⎦．【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证x 的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角. 19．如图，已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,,2AC BC PA AC BC DB AD ⊥===，M 、E 分别为PB 、PC 的中点，N 为AE 的中点．（Ⅰ）求证：MN CD ⊥；（Ⅱ）求直线PB 和平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【分析】（Ⅰ）以C 为原点，,CA CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，设2PA AC BC ===，利用空间向量的数量积为0可证MN CD ⊥；（Ⅱ）根据向量PB 和平面PCD 的法向量可求得结果.【详解】（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点，,CA CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，设2PA AC BC ===，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(2,0,2)A B C P ， 所以3142(1,1,1),(1,0,1),,0,,,,02233M E N D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1142,1,,,,02233MN CD ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为01421102332MN CD =⨯--⋅=⨯⨯， 所以MN CD ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2,2,2),(2,0,2)PB CP =--=，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =，则0,0.CD n CP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得420,33220.x y x z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，则2,1y z =-=-，故平面PCD 的一个法向量为(1,2,1)n =--， 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则||sin 3|||4PB n PB n θ⋅====+∣. 所以直线PB 和平面PCD . 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，正确写出相关点的坐标，求出平面的法向量是解题关键，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足()21n n S a =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）记12111n n T S S S =+++，求证：131142n n T +-≤<． 【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析.【分析】（1）将递推关系多递推一项，再相减，可得数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得答案；（2）求出()11221n n S =-，再放缩成等比数列求和，即可得答案； 【详解】（1）由()21n n S a =-得，12a =()1121n n S a ++=-，两式相减得，12n n a a +=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =；（2）由（1）()()21221nn n S a =-=-，所以()1112221nn n S =≤-，所以21111112222n n n T ≤+++=-<， 当1n =时，2131242n T ==-， 又当2n ≥时，()11112221n n n S +=>-， 所以131111111113182122224212n n n n T -++⎛⎫- ⎪⎝⎭>+++=+=--，综上可得，131142n n T +-≤<. 【点睛】已知数列的递推关系，采用多递推一项再相减是常见的解题思路；数列不等式在证明时，常将通项放缩成一个可求和的数列.21．已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为13，且直线PA 、PB 的倾斜角互补． （Ⅰ）求k 的值．（Ⅱ）求PAB △面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）30,4⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，利用斜率公式得到直线PA 、PB 、AB 的斜率，根据直线PA 、PB 的倾斜角互补．得到01220y y y ++=，根据三角形的重心的坐标公式可得122y y +=，从而可得2k =；（Ⅱ）联立直线:2l y x b =+与抛物线方程，根据弦长公式求出||AB ，利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则010*********444PA y y y y k y y x x y y --===-+-，同理可得021244,PB AB k k y y y y ==++， 因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，所以0102440y y y y +=++，即01220y y y ++=，又PAB △重心的纵坐标为13，根据三角形的重心的坐标公式可得0121y y y ++=， 所以122y y +=，所以422AB k k ===．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线:2l y x b =+，与抛物线方程联立，并整理得2244(1)0x b x b +-+=，其判别式22116(1)1602b b b ∆=-->⇒<，所以102b <<．而212111,4b x x b x x +=-=，因此，||AB ===又由（Ⅰ）知，01y =-，所以200144y x ==，所以1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线:20l x y b -+=的距离为1|21|b d ⨯++==所以113||222PABS AB d b ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭△令231()(12),022f b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2333()2122(61)0222f b b b b b b ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=-++-⨯+=-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，故()f b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以9()(0,)4f b ∈，故30,4PAB S⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形的重心的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭，②弦长公式：||AB=，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.22．已知函数()21()xm x xf xe++=．（1）试讨论()f x的单调性；（2）若0m≤，证明：()lnef x x x+≤．【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导得(1)(1)()xx mx mf xe--'+=-，再对m分三种情况讨论，即0m=，0m>，0m<三种情况；（2）要证明()lnef x x x+≤，只需证明()lnef x x x≤-，而ln1x x-≥，因此只需证明1()f xe≤，再利用函数的单调性，即可得证；【详解】解析：（1）因为(1)(1)()xx mx mf xe--'+=-，①当0m=时，1()xxf xe-=-'，当1x>时，()0f x'<，当1x<时，()0f x'>，所以()f x在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当0m>时，1(1)11(),11xm x xmf xe m'⎛⎫--+⎪⎝⎭=--<，当11,1xm⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x'>，当1,1(1,)xm⎛⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎝⎭时，()0f x'<，所以()f x在11,1m⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，在1,1,(1,)m⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭单调递减；③当0m<时，111m->，当11,1xm⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x'<，当1(,1)1,xm⎛⎫∈-∞⋃-+∞⎪⎝⎭时，()0f x'>，所以()f x在11,1m⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在1(,1),1,m⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭单调递增．第 21 页 共 21 页 （2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-， 而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤， 当0m =时，()x x f x e=，由（1）知()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)f x f e==； 当0m <时，()211()x x m x xx f x e e e++=<≤， 故()ln ef x x x +≤． 【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一(上)期中数学试卷
A.
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
B.
C. 푦 = 푥2
3. 设函数푓(푥) = 푙표푔12(푥−1)，则( )
D. (푥 + 푦)(푥−푦) = 0
A. 푓(푥)在(0, + ∞)单调递增 C. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递增
B. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递减 D. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递减
综合考查函数性质的应用
9.【答案】B
第 7 页，共 13 页
【解析】解：对于 B，函数푦 = 푥 + 1푥,푥 ∈ (12,1)与函数푦 = 푥 + 1푥,푥 ∈ (1,2)满足解析式和 值域相同，定义域不同，是同族函数； 对于 ACD，它们在定义域上具有严格的单调性，当定义域不同时，其值域一定不同， 故不是同族函数； 故选：B． 根据定义，逐项判断即可． 本题以新定义为载体，考查学生对函数三要素的理解，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据函数的定义，每个 x 都有唯一的 y 对应，从而判断选项 A，B，C 都 表示 y 是 x 的函数； ∵ (푥 + 푦)(푥−푦) = 푥2−푦2 = 0， ∴ 푦2 = 푥2， ∴ 任一 x 都有两个 y 与之对应，(푥 + 푦)(푥−푦) = 0不能表示“y 是 x 的函数”． 故选：D． 可根据函数的定义可知，任意的 x 有唯一的 y 与之对应，从而可判断出选项 A，B，C 都表示”y 是 x 的函数“，从而只能选 D． 本题考查了函数的定义，清楚函数关系中，x 与 y 的对应关系，考查了推理能力，属于 基础题．
{ 15.
已知函数푓(푥) =