高二数学复数复习
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中占据着重要的地位。
复数的引入，不仅拓展了数学的范畴，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对高中数学中关于复数的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、复数的定义。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
实数可以看作是虚部为0的复数，而虚数可以看作是实部为0的复数。
二、复数的运算。
1. 复数的加法和减法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁±z₂=(a₁±a₂)+(b₁±b₂)i。
2. 复数的乘法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁×z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 复数的除法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，且z₂≠0，则z₁÷z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+(b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)i。
三、复数的表示形式。
1. 三角形式。
若z=a+bi，设z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)。
2. 指数形式。
若z=a+bi，设z=re^(iθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)。
四、复数的共轭和模。
1. 复数的共轭。
设z=a+bi，则z的共轭是a-bi，记作z。
2. 复数的模。
设z=a+bi，则|z|=√(a²+b²)。
五、复数方程的解法。
1. 一元二次方程。
对于形如az²+bz+c=0的一元二次方程，可以使用求根公式z=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。
2. 复数方程。
对于形如az²+bz+c=0的复数方程，同样可以使用求根公式来求解，只是此时可能会有两个共轭复数解。
高二第三章数学知识点
高二第三章数学知识点一、复数1. 复数定义复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的运算- 加法：将实部和虚部分别相加。
- 减法：将实部和虚部分别相减。
- 乘法：使用分配律，将每一项相乘后再合并同类项。
- 除法：将除数和被除数都乘以共轭复数得到分子和分母，然后进行简化。
3. 模和幅角- 模：复数a+bi的模表示为|a+bi|，即复数到原点的距离。
- 幅角：复数a+bi的幅角表示为arg(a+bi)，是复数与实轴正方向的夹角，范围为(-π, π]。
二、排列组合1. 排列排列是指从一组元素中选取一部分元素按照特定的顺序排列的方式。
- 有重复元素的排列：排列数=总元素数的阶乘/重复元素个数的阶乘。
- 无重复元素的排列：排列数=总元素数的阶乘。
2. 组合组合是指从一组元素中选取一部分元素无需考虑顺序的方式。
- 有重复元素的组合：组合数=总元素数+重复元素数-1的阶乘/重复元素数的阶乘*(总元素数-1的阶乘)。
- 无重复元素的组合：组合数=总元素数的阶乘/选取元素数的阶乘*(总元素数-选取元素数的阶乘)。
三、数列1. 等差数列等差数列指的是一个数列中，任意相邻两项之差都相等的数列。
- 通项公式：an=a1+(n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
- 求和公式：Sn=(a1+an)n/2，其中Sn为前n项和。
2. 等比数列等比数列指的是一个数列中，任意相邻两项之比都相等的数列。
- 通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。
- 求和公式：当|r|<1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，当|r|>1时，Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，其中Sn为前n项和。
四、立体几何1. 体积- 球体体积：V=(4/3)πr³，其中V为体积，r为半径。
- 圆柱体体积：V=πr²h，其中V为体积，r为底面半径，h为高。
高中复数复习知识点(整理)
复数知识点总结一；复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数（2）幂运算：（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（4）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；（5）两个复数相等的定义：（6）复数的基本运算:设111z a b i =+，222z a b i =+1)加法：()()121212z z a a b b i +=+++；2)减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；3)乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充分条件.（当R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且21,z z 1021 z z +21z z - 21,z z 221z z 021 z z -C c b a ∈,,0)()()(222=-+-+-a c c b b a c b a ==，时，上式成立）（7）除法：c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 (8)共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；注：1）共轭复数的性质：，（a + b i ）（） 2）注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]3） ①复数的乘方： ②对任何，及有以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.③常用的结论：22)(i b a =-0)(,1)(22=-=-a c c b z z =2121z z z z +=+a z z 2=+i 2b z z =-=z 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=-2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02≠z n n z z )(=)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nnz 21,z z C ∈+∈N n m ,n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+1,142=-=i i 11)(212142===i i 11=-2||x x =x 2||x x ≠i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
高中复数知识点及相关练习
For personal use only in study and research; not forcommercial useFor personal use only in study and research; not forcommercial use复数复数基础知识一、复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a bR b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 二、复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅三、复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c da b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解一、知识梳理1、复数的有关概念（1）复数的概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中,a b 分别是它的 。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
高中数学复数知识点归纳
高中数学复数知识点归纳哎呀呀，说到高中数学的复数，这可真是个让人又爱又恨的家伙！你想想看，复数就像是一个神秘的小世界，藏着好多有趣又有点复杂的知识。
首先，啥是复数？简单说，复数就是形如a + bi 的数，这里的a 和b 可都是实数，i 呢，就是那个神奇的虚数单位，i² = -1 。
这就好比我们平时玩的游戏，a 是我们熟悉的“常规武器”，b 就是那个神秘的“魔法道具”，而i 就是打开魔法世界的钥匙！复数的实部和虚部，那可是它的“左膀右臂”。
实部a 决定了它在实数世界的位置，虚部b 则带着它在虚数的世界里遨游。
比如说，3 + 4i ，3 就是实部，4 就是虚部。
你说这是不是很有趣？再来说说复数的四则运算。
加法和减法，那就像是小伙伴们一起排队，实部和实部相加相减，虚部和虚部相加相减。
比如（3 + 4i）+ （2 - 3i），那不就是3 + 2 作为实部，4 - 3 作为虚部，结果就是5 + i 嘛！乘法呢，那就有点像搭积木，得把它们展开再合并同类项。
除法可就有点难啦，得先把分母实数化，这就好比要把一个歪歪扭扭的积木块变成方方正正的好处理。
复数的几何意义也很神奇哟！它在复平面上的坐标就是（a，b），这就像是给复数安了个家，让我们能清楚地看到它在哪里。
还有共轭复数，就像双胞胎一样，一个是a + bi ，另一个就是a - bi 。
它们总是形影不离，在计算中也经常能派上用场。
老师在课堂上讲复数的时候，我同桌还一脸懵呢，悄悄问我：“这玩意儿到底有啥用啊？”我就告诉他：“这就好比你在黑暗中找路，复数就是那盏明灯，能帮你找到方向！”你说，复数是不是很有意思？反正我觉得它就像一个充满神秘宝藏的迷宫，等着我们去探索，去发现其中的奥秘！我的观点就是，虽然复数的知识有点复杂，但是只要我们用心去学，多做练习，一定能把它拿下！。
复数知识点总结
复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，它扩展了实数的概念，包括了实数和虚数。
复数的引入极大地丰富了数学理论，并在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数由实部a和虚部b组成。
2. 复数的表示：复数可以用直角坐标系中的点表示，实部a对应x轴，虚部b对应y轴，因此复数也可以表示为有序对(a, b)。
3. 复数的四则运算：复数的加法、减法、乘法和除法都有特定的运算规则。
加法和减法通过分别对实部和虚部进行运算实现；乘法和除法则需要使用分配律和共轭复数的概念。
4. 共轭复数：一个复数的共轭复数是其实部相同，虚部相反的复数。
例如，对于复数z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
5. 复数的模：复数的模是其实部和虚部平方和的平方根，表示为|z|=√(a^2+b^2)。
模可以用来度量复数在复平面上的大小。
6. 复数的指数形式：欧拉公式表明，复数可以表示为指数形式，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
7. 复数的极坐标形式：复数也可以表示为极坐标形式，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
8. 复数的辐角：复数的辐角是其在复平面上与正实轴的夹角，通常用θ表示。
辐角的取值范围是[0, 2π)。
9. 复数的代数形式：复数可以表示为代数形式，即z=a+bi，其中a是实部，b是虚部。
10. 复数的几何意义：在复平面上，复数对应一个向量，其长度是复数的模，方向是复数的辐角。
11. 复数的解析函数：在复分析中，复数的解析函数是复数域上的函数，满足柯西-黎曼方程，即函数的实部和虚部都是调和函数。
12. 复数的积分：复数的积分在复分析中有着重要的地位，包括柯西积分定理和留数定理等。
13. 复数的应用：复数在信号处理、控制系统、量子力学等领域有着广泛的应用，例如在信号处理中，复数可以用来表示振荡信号的幅度和相位。
高二复数复习
1．复数的概念（1）虚数单位i的规定：①i2＝－1②i可以与实数进行四则运算．(2)形如a＋b i（a，b∈R)的数，叫复数,全体复数所组成的集合叫复数集，一般用字母C 表示．（3)复数a＋b i(a,b∈R)叫复数的代数形式，a与b分别叫复数的实部与虚部，复数通常用z表示，即z＝a＋b i（a，b∈R)．(4）复数的分类错误!由复数的分类可得:实数集R是复数集C的真子集2．两复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等， a＋b i＝c＋d i⇔a ＝c且b＝d，特殊的有a,b∈R时，a＋b i＝0⇔a＝0，b＝0.虚数不能比大小；3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除法运算按以下法则进行．设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a、b、c、d∈R）z1±z2＝(a＋b i）±(c＋d i)＝（a±c)＋（b±d）i。
z1·z2＝(a＋b i）·(c＋d i)＝(ac－bd)＋（ad＋bc）iz1÷z2＝错误!＝错误!＋错误!i(z2≠0）常用结果，①(a＋b i）（a－b i)＝a2＋b2；②（1±i）2＝±2i；③错误!＝i，错误!＝－i;④i的平方根是±(错误!＋错误!i），－i的平方根是±(－错误!＋错误!i），1的立方根是1,－错误!±错误!i；－1的立方根是－1，错误!±错误!i；⑤设ω为1的立方虚根，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0，ω2＝错误!。
⑥i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，（n∈N）．⑦i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0，(n∈N）．（2）复数是实数的充要条件①z＝a＋b i∈R⇔b＝0(a,b∈R）；②z∈R⇔z＝错误!；③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的充要条件①z＝a＋b i是纯虚数⇔a＝0且b≠0（a,b∈R）②z是纯虚数⇔z＋错误!＝0（z≠0）③z是纯虚数⇔z2＜0。
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高二数学复数复习
一、复数的基本概念
1、虚数单位的性质
i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②2
1i ；这样方程 21x 就有解了，解为x i 或x i
2、复数的概念 （1）定义：形如bi a +(R b a ∈,)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做 ，b 叫做 。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示
（2）分类：
例题：当实数m 为何值时，复数226(2)m m z m m i m
+-=+-为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
二、复数相等
),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==⇔+=+
也就是说，两个复数相等，充要条件是
注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小
例题：已知21(3),,,x i y y i x y R -+=+-∈其中则x = ， y = ．
三、共轭复数
bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔，bi a z +=的共轭复数记作
四、复数的几何意义
1、复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 。
显然，实轴上的点都表示实数；除了 外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义
复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→
),(R b a ∈是 关系
例题：复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→
CD 对应的复数。
3、复数的模：
向量→
OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =
若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示 之间的，即2212()()z z a c b d
例题：已知i z +=2，求i z +-1的值
五、复数的运算
（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ?êR
①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±
②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2
221)()()()())(()()(d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++=
例题：（1）
)35()43i i --++（； （2）)45)(3-4i i --（； （3）i i 311++； （4）i
i i i +--13222-1
（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意
义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.
例题：ABCD 是复平面内的平行四边形，,,A B C 三点对应的复数分别是i 31+，i -，i +2，则点D 对应的复数为
六、常用结论
（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i =675i
（2）自己证明：i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-，1)2
321(3=±-i ， 【考点自测】1下列命题中正确的是（ ）
A ．任意两复数均不能比较大小
B ．复数z 是实数的充要条件是z z =
C ．复数z 是纯虚数的充要条件是实部为零
D ．1i +的共轭复数是1i -
2．复数z 满足45iz i =-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 （ ）
A ．54i -
B ．54i -+
C ．54i +
D ．54i --
3．z=3i i
+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 一1 C. 3 D. -3
4．如果点()sin ,cos P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是（ ）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5．已知复数z 满足11z -=，则12z i --的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6．的共轭复数是是虚数单位)(2i i -_____________ ．
7.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是
8．已知复数()()21312i i z i
-++=-，若21z az b i ++=-，
（1）求z ； 2）求实数,a b 的值 .
9．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()2,1A -， (),3B a ，（ a R ∈）．
（Ⅰ）若12z z -=，求a 的值；
（Ⅱ）若复数12z z z =⋅对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值．
10．已知z 是复数，2i
z +为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=． （1）求复数z ； （2）若|i|5z m -<，求实数m 的取值范围．
11．已知复数z=a+bi(a>0,b>0)满足2z =2z 的虚部是2。
（1）求复数z ；
（2）设22
z z z z -，，在复平面上的对应点分别为A
B C ，，，求ABC △的面积。
12．已知复数i z 21-=（i 为虚数单位）
（Ⅰ）把复数z 的共轭复数记作z ，若i z z 341+=⋅，求复数1z ；
（Ⅱ）已知z 是关于x 的方程022=++q px x 的一个根，求实数p ，q 的值。