上海高中数学-复数讲义

∴或。 【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再 利用条件，但运算复杂。 (4)设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_______。 解：∵|u|=||•|1+i|=|z|，∴≤|u|≤2，故面积S=。 【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。 例4：已知z=1+i，a，b为实数， (1)若ω=z2+3－4,求|ω|; (2)若，求a，b的值。 解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴。 （2）由条件，∴，∴。 【思维点拨】利用复数的充要条件解题。 例5：设且是纯虚数，求的最大值。 解：令z=x+yi（x，y∈R），则，∵是纯虚数， －1 P O 1/2 x y ∴，即，由数形结合可知本题是求圆上的点到A(0,－1)的最大距离。 ∴max=|PA|=。 练习：
（1）当时，方程有两个实根 。 （2）当时，方程有两个共轭虚根，其中 。 此时有 且。
注意两种题型： 虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相 等求解。但仍然适用韦达定理。 已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法： （1）当时， (2)当时， 已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对 * m n m+n m n mn z1,z2,z3∈C及m,n∈N 有: z z =z , (z ) =z , n n n (z1z2) =z1 z2 . 复数的除法：(a+bi)(c+di)== ，分母实数化是常规方法 12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两 个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共 轭虚数； ，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。 ， 13、熟记常用算式：，，，， 14、复数的代数式运算技巧： （1）① ② ③ ④ （2）“1”的立方根的性质： ① ② ③ ④ ⑤ 15、实系数一元二次方程的根问题：
1． 2．.若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=（ D ） A．0 B．2 C． D．5 3.设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝（ ） C
（A）–ω （B）ω2 （C） （D） 4.复数的共轭复数是（B ） A． B． C． D． 5.若复数满足方程，则 （ ） D A. B. C. D. 6. 设、、、，若为实数，则 (C ) (A) (B) (C) (D)
（1）当时， ①即，则 ②即，则 （2）当时，
二、典例分析： 例1．（1）复数等于( ) A.1－i B.1+i C.－1+ i D.
－1－i 解析: 复数=，选C． （2）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ． 解：已知； （3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 解析：（1）复数=为实数，∴，选D； （4）已知（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i 解析：，由、是实数，得， ∴，故选择C。 （5）设为实数，且，则 。 解析：， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。 例2：（1）计算： 答案： （2）设复数z满足关系，求z； 解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得 由复数相等可得：，解得，所以 设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。 （3）若，解方程 解：设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:,由复数相等的定义可得： ,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。 例3：(1)复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 2 2 2 解：令z=x+yi（x，y∈R），则x +(y+1) －[x +(y－1)2]=1，∴y=1/4。 故选A。 （2）设复数z满足：，求|z|的最大值与最小值； 解：|z|的最大值为，最小值为； （3）已知z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。 解：设z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴，
复数
一、知识点梳理： 1、i的周期性： i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
2、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。叫做 复数集。NZQRC. 3、复数相等：； 4、复数的分类： 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。 5、复数的模：若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模， ； 积或商的模可利用模的性质（1），（2） 6、复数的几何意义： 复数 复平面内的点 ， 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其 中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 ，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；= +=(a，b)+(c，d)= (a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i 复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应 由于，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量 对应. 9. 特别地， zB－zA.，为两点间的距离。 z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；， z对应的点的轨迹是一个 圆；， z对应的点的轨迹是一个椭圆；， z对应的点的轨迹是双曲线。 10、显然有公式： 11、复数的乘除法运算： 复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
7.如果复数是实数，则实数（ ） B A． B． C.满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ） C A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 10.若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ． 11.已知 C (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 12、复数的虚部为 （A）3 （B）－3 （C）2 （D） －2 解析:复数=,所以它的虚部为－2，选D. 13、在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解：故选D； 点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较 基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。 14、求满足条件:(i为虚数单位)的复数z [解]原方程化简为, 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, ∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±, ∴原方程的解是z=-±i. 15、已知，对于任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立,试求实数a的取值范 围。 解：∵|z1|＞|z2|，∴，∴，对成立。 当，即时，不等式成立； 当时。综上得。 【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。