高一数学复数的运算练习题
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
第五章复数练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册 附答案
复数1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3iD ．4＋3i2．如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i 3．如果复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i4．“复数z 是实数”的充分不必要条件为( ) A ．|z |＝z B ．z ＝z C ．z 2是实数D ．z ＋z 是实数5．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，i 为虚数单位，那么BC →对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t ＝________. 7．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.8．已知i 是虚数单位，若a ＋3ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，则ab 的值为________． 9．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足z 1·z 2是实数，求z 2.10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，求实数a ，b 的值． 11．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i(a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( ) A ．10 B ．2 3 C ．13D ．512．(多选)设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<013．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.14．已知m ，n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，复数z ＝m ＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，则|z |＝________.15．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .答案1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3iD ．4＋3iA [由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.] 2．如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2iC [由图可得：z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ，∴z 1·z 2＝()－1＋2i ·i ＝－2－i.] 3．如果复数z ＝2－1＋i，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋iC [因为z ＝2－1＋i＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C ．]4．“复数z 是实数”的充分不必要条件为( ) A ．|z |＝z B ．z ＝z C ．z 2是实数D ．z ＋z 是实数A [由|z |＝z 可知z 必为实数，但由z 为实数不一定得出|z |＝z ，如z ＝－2，此时|z |≠z ，故“|z |＝z ”是“z 为实数”的充分不必要条件．]5．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，i 为虚数单位，那么BC →对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6iC [因为OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，所以BC →对应的复数为3＋2i －[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.]6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t ＝________. 34[已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，则z 1·z －＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，∵z 1·z －是实数，∴4t －3＝0，即t ＝34.]7．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.14 [z ＝－14(3－i)，|z |＝12，∴z ·z ＝|z |2＝14.]8．已知i 是虚数单位，若a ＋3ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，则ab 的值为________． －3 [∵a ＋3ii ＝b ＋i ，∴a ＋3i ＝(b ＋i)i ，则a ＋3i ＝－1＋b i ，可得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3.]9．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足z 1·z 2是实数，求z 2.[解] 由z 1＝2＋i ，得z 1＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上， 可设z 2＝1＋b i(b ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)·(1＋b i)＝2＋b ＋(2b －1)i. 又z 1·z 2为实数，所以2b －1＝0，b ＝12. 所以z 2＝1＋12i.10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，求实数a ，b 的值． [解] z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4. 11．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( )A ．10B ．2 3C ．13D ．5D [∵z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2的实部为－3，∴1－a2＝－3，解得a ＝7.∴z ＝－3－4i ，则|z |＝5.故选D ．]12．(多选)设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 ABD [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎨⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．]13．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.－2＋3i [∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z 2＝－2＋3i.] 14．已知m ，n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，复数z ＝m＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，则|z |＝________.25[由纯虚数的定义知⎩⎨⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，m －2>0，解得m ＝4，所以z ＝4＋n i.因为z 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，所以4＋n －2＝0，所以n ＝－2. 所以z ＝4－2i ，所以|z |＝42＋(－2)2＝2 5.]15．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .[解] 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋(－4)2，解得⎩⎨⎧ x ＝－5，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z ＝－5.。
高一数学(必修二)第五章 复数 单元测试卷及答案
高一数学（必修二）第五章 复数 单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 3i z z -=+，则复数z 的实部为( )A.1B.3C.-1D.-32.在复平面内，复数11i 5z =，24i 25z =-，12z z z =+，则复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知复数z 满足4i 63i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当12m <<时，复数()()2i 4i m +-+在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知复数z 满足()()()293i z a a a =-++∈R ，若z 为纯虚数，则a =( )A.-3B.3±C.3D.06.若,a b ∈R ，i 是虚数单位，i 20212i a b +=-，则2i a b +等于( )A.20212i +B.20214i +C.22021i +D.42021i -7.已知纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( )A.1B.3C.1或3D.08.已知复数z 满足，则z =( )A.3i --B.3i -+C.D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
）9.若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则( ) A.||5z =B.复数z 的实部是2C.复数z 的虚部是1D.复数在复平面内对应的点位于第一象限10.设m ∈R ，复数，则z 在复平面内对应的点可能在( ) ()()21i 4i 3z m m =+-++(3i)10z -=3i -3i +z 2352(1)i z m m m =-++-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.对于复数(,)z a bi a b R =+∈,下列结论错误的是( )A.若,则a bi +为纯虚数B.若32a bi i -=+,则 3,2a b ==C.若0b =,则a bi +为实数D.纯虚数z 的共轭复数是z - 12.复数z 满足23i 3i 232iz -⋅-=+,则下列说法正确的是( ) A.z 的实部为3 B.z 的虚部为2 C.32i z =-+ D.13z =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=______.14.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________.15.复数1i -的虚部的平方是_________________. 16.已知3i 1ia ++(i 为虚数单位，∈R )为纯虚数，则a =____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知复数(3)(3)i z m m m =-+-，其中i 为虚数单位.若z 满足下列条件，求实数m 的值：（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上.18. （12分）已知复数13i 22z =-+，i 为虚数单位. （1）求3z 的值；（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值. 19. （12分）已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；20. （12分）复数名12334i,0,(26)i z z z c c =+==+-在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若BAC∠是钝角，求实数c 的取值范围.21. （12分）已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-⋂=，求实数a 的值.22. （12分）设实部为正数的复数z ，满足||10z =，且复数(12i)z +在复平面内对应的点在第0a =一、三象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若i ()1im z m -+∈+R 为纯虚数，求实数m 的值.参考答案及解析1.答案：A解析：解法一 设复数i z x y =+，x ，y ∈R ，因为i 3i z z -=+，所以i (i)i 3i x y x y +-+=+，即()i 3i x y y x ++-=+，根据复数相等的充要条件，可得3,1,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=⎩故复数z 的实部为1，选A.解法二 因为i 3i z z -=+，所以3i (3i)(1i)12i 1i (1i)(1i)z +++===+--+，复数z 的实部为1，故选A. 2.答案：B 解析：因为1214i i 22i 55z z z =+=+-=-+，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限，故选：B.3.答案：D解析：依题意得，6i z =-，对应复平面的点是(6,1)-，在第四象限. 故选：D.4.答案：B解析：()()2i 4i (24)(1)i z m m m +--+-=+=，若12m <<，则240m -<，10m ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.解析：因为()()()293i z a a a =-++∈R 为纯虚数，所以290a -=且30a +≠，所以3a =. 故选：C.6.答案：D解析：因为i 20212i a b +=-，所以2a =，2021b -=，即2a =，2021b =-，所以2i 42021i a b +=-.故选：D.7.答案：B解析：因为()()21i 4i 3z m m =+-++为纯虚数，故()224i 3m m m z m -++-=，则224300m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得3m =. 故选：B.8.答案：D 解析：1010(3i)3i 3i (3i)(3i)z +===+--+. 故选：D.9.答案：ABD解析：(1i)3i z +=+，3i (3i)(1i)42i 2i 1i (1i)(1i)2z ++--∴====-++-，||5z ∴=A 正确；复数z 的实部是2，故选项B 正确；复数z 的虚部是-1，故选项C 错误；复数2i z =+在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选项D 正确.故选ABD.10.答案：ABD解析：由题意得，复数z 在复平面内对应的点为()2352,1m m m -+-. 当10m ->，即1m <时，二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--的取值有正有负，故z 在复平面内对应的点可以在第一、二象限.当10m -<，即1m >时，二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->，故z 在复平面内对应的点可以在第四象限.故z 在复平面内对应的点一定不在第三象限.故选ABD.解析：解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB.12.答案：BD 解析：由23i 3i 232iz -⋅-=+得,(23i)(32i)13i 13i (23i)i(23i)32i 23i 23i (23i)(23i)z ++⋅+====+=-+---+ 所以z 的实部为-3,虚部为2,,13z =,故选BD.13.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.14.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.15.答案：1解析：复数1i -的虚部为-1，则其平方为1. 故答案为：1.16.答案：-3 解析：()()()()()()3i 1i 33i 33i 3i 1i 1i 1i 222a a a a a a +⋅-++--++===+++⋅- 因为复数为纯虚数，所以302a +=，3a =-. 故答案为：-3.17.答案：（1）（2）0m =（3）1m =或3m = 32i z =--3m =解析：（1）z 为实数，30m ∴-=，解得：3m =；（2）z 为纯虚数，(3)0030m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上， ∴()331m m m m -=-⇒=或3m =.18、（1）答案：31z = 解析：复数13i 22z =-+(i 为虚数单位)， 222113313()2()i (i)i 222222z ∴=-+⨯-⨯+=--， 322131313i)(i)i 12222(44z z z ∴=---+==-=⋅， （2）答案：1解析：202022013673911()111z z z z z z z z++++--⋅==-- 111z z-==- 19.答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得1 2212m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠≠⎩或且， 12m ∴=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数； 20.答案：49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且 解析：在复平面内三点坐标为(3,4),(0,0),(,26)A B C c c -， 由BAC ∠为钝角得cos 0BAC ∠<，且A ，B ，C 不共线.(3,4),(3,210),0AB AC c c AB AC =--=--⋅<，且不共线，得c 的取值范围是49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且. 21.答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=∈R ，所以22313,560,a a a a ⎧--=⎨--=⎩即 所以1a =-.22.答案：（1）（2）5m =-解析：（1）设，a ，b ∈R ，0a >， 由题意知，2210a b +=.①(12i)(12i)(i)2(2)i z a b a b a b +=++=-++， 得22a b a b -=+.②①②联立，解得3a =，1b =-， 得3i z =-.（2）， 所以1302m -+=且， 解得5m =-. 4 1,6 1,a a a a ==-⎧⎨==-⎩或或3i z =-i z a b =+i (i)(1i)113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭1102m +-≠。
复数的四则运算 同步提升训练--高一下学期数学 人教A版(2019)必修第二册
7.2 复数的四则运算同步提升训练一．选择题1．i为虚数单位，已知复数a2﹣1+（a﹣1）i是纯虚数，则a等于（）A．±1B．1C．﹣1D．02．已知复数z1＝1﹣i，z1•z2＝1+i，则复数z2等于（）A．1B．2i C．i D．23．设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+…+2021i2020的值为（）A．1011﹣1010i B．1010﹣1010iC．1010﹣1012i D．﹣1011﹣1010i4．对于非零实数a，b，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（）A．a2＝|a|2B．a+≠0C．a2≥0D．|a•b|＝|a|•|b| 5．已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为，下列说法正确的是（）A．如果z1+z2∈R，则z1，z2互为共轭复数B．如果复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1•z2＝0C．如果z2＝，则|z|＝1D．|z1z2|＝|z1||z2|6．若复数z满足（z+1）2n+（z﹣1）2n＝0（n∈N*），则z必为（）A．实数B．纯虚数C．0D．任意复数7．已知复数z，ω，满足z2＝ω＝，且复数z在复平面内位于第一象限，则|＝（）A．B．C．D．8．设m∈R，复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）＝mlnx+x，若曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）A．B．（﹣∞，0]∪{1}C．（﹣∞，0]∪{2}D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）二．多选题9.．已知复数z1＝+（a2﹣2）i，z2＝1﹣ai（a∈R），若z1+为实数，则（）A．a＝1B．C．为纯虚数D．对应的点位于第二象限10．已知复数z＝+i（i为虚数单位），z0＝，则下列结论中正确的是（）A．z0的虚部为B．z0在复平面内对应的点位于第四象限C．|z0|＝1D．若，则|z1|的最大值为11．已知方程x2+2（1+i）x+（a﹣b）i+2ab＝0（a，b∈R），则下列说法正确的是（）A．若方程有一根为0，则a＝0且b＝0B．方程可能有两个实数根C．时，方程可能有纯虚数根D．若方程存在实数根x0，则x0≤0或x0≥212．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0C．若复数z，则|z|2＝z2D．若复数z满足|z﹣1|＝2，则|z+i|的最大值为三．填空题13．已知z为虚数，且为实数，则|z|＝．14．已知关于x的实系数方程x2﹣2ax+a2﹣4a+4＝0的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|＝3，则实数a的值为．15．在复平面内，三点A，B，C分别对应复数z A，z B，z C，若，则△ABC 的三边长之比为．16．已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、z k、w1、w2，满足﹣＝，且|w j﹣z a|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为．四．解答题17．已知复数z＝1+i，且＝1﹣i，求实数a，b的值．18．已知复数，z2＝5m+3mi（m∈R）．（1）若z＝z1﹣z2为纯虚数，求实数m的值；（2）当m＝1时，若，求．19．已知z1，z2∈C．求证：（1）|z1z2|＝|z1||z2|；（2）．20．已知复数Z n＝a n+b n i（a n、b n∈R），满足Z1＝1，Z n+1＝+1+2i（n∈N*），其中i为虚数单位，表示Z n的共轭复数（1）求|Z2|的值；（2）求Z100．21．已知a∈R，b∈R，方程x2+ax+b＝0的一个根为1﹣i，复数z1＝a+bi，满足|z2|＝4．（1）求复数；（2）若z2＞0，求复数z2．22．设复数z＝a+bi（其中a、b∈R），z1＝z+ki，z2＝•ki（其中k∈R）．（1）设a＝b＝，若|z1|＝|z2|，求出实数k的值；（2）若复数z满足条件：存在实数k，使得z1与z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数z的模的取值范围．。
复数的四则运算测试卷-高一数学北师大版(2019)必修第二册
5.2复数的四则运算 测试卷一、单选题1．已知2(1i)52i z +⋅=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，则i z ⋅=（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -D ．1i -+ 3．在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是(2,1),(0,5)-，则复数21z z 的虚部为（ ） A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i4．设复数z 满足：3π(68i)sin i cos π2z θθθ⎛⎫+=+<< ⎪⎝⎭，则||z =（ ）A ．110-B ．110C ．1cos 10θ- D ．1sin 210θ-5．14i24i +=-（ ） A ．93i 105+ B ．93i 1010+ C ．73i 105-+ D ．73i 1010-+ 6．复数z i a b =+(),0a b ≠.若112z-=，则（ ）的值与a 、b 的值无关.A ．13z +B ．12z +C ．12z -D ．14z -7．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则24z z +=（ ）A ．24i -B ．2iC ．24i +D ．28．复数i a b +与i c d +（a ，b ，c ，R d ∈）的积是纯虚数，则（ ） A ．0ac bd +≠且0ad bc += B ．0ac bd +=或0+≠ad bc C ．0-=ac bd 且0+≠ad bc D ．0-=ac bd 或0ad bc +=二、多选题9．已知复数z 满足2i i 4z z -=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数zB ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为13i -+D ．20231i 3z -⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．设复数1iz a b =+（a ，b ∈R 且0b ≠），则下列结论正确的是（ ） A ．z 不可能是实数 B ．z z =恒成立 C ．若2z ∈R ，则0a =D ．若1z z+∈R ，则2z =11．在复数范围内，方程38x =的虚数根是（ ）A ．B ．1-C ．1D ．1-12．下列关于复数的四个命题正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅= B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=，则12z z -=三、填空题13．设a ∈C ，a ≠0，化简：i1ia a -+=______ . 14．已知复数z 满足i 1i z z +=-（i 是虚数单位），则z =______. 15．若复数z 满足1i 1zz+=-，则复数2023z 的值是______． 16．复数z 满足z i 12i =+，则复数z 的模等于_________． 四、解答题 17．计算． (1)()()14i 1i 24i 34i-++++；(2)()()551i 1i 1i1i+-+-+；202222+⎝⎭.18．已知复数()()21i 31i 2iz -++=-．(1)求z 的共轭复数；(2)若1i az b +=-，求实数a ，b 的值．19．已知复数1i z x =+(i 是虚数单位)，且(1i)z ⋅+为纯虚数(z 是z 的共轭复数). (1)求实数x 的值及复数z 的模；(2)若复数15i m zω-=在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围.20．已知z 是复数，2i z +、2iz-均为实数（i 为虚数单位），且复数2(i)z a +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．21．求同时满足下列两个条件的所有复数z ． ①1016z z<+≤； ②z 的实部和虚部都是整数．22．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M z n ωω-*==∈N ．(1)设a 是方程1x x+=a M ．若在a M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；(2)设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．参考答案1．B【分析】利用复数的除法可得i 22z +=-，再应用共轭复数定义,即可知其对应点所在的象限. 【详解】由题设，252i 52i (52i)i 5i 251i (1i)2i 222z ---+====-=--+-，51i 2z =-+， ∴z 在复平面内对应的点为5(1,)2-在第二象限.故选：B . 2．A【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，则1i z =- 所以()i i 1i i+1z ⋅=⨯-= 故选:A 3．A【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即得. 【详解】由题可知122i,5i z z =-=， 则()()()2i 5i 5i 12i 2i 2i 2i z +⋅===-+--+， 所以复数21z z 的虚部为2．故选：A. 4．B【分析】根据复数的运算法则和模的概念可证得1122z z z z =，由此即可求得结果. 【详解】设复数()12i,i,,,,R z a b z c d a b c d =+=+∈，则12z z ==122222i z ac bd bc adz c d c d +-=+++，（20z ≠）则12z z==，故1122z z z z =．sin icos 68iz θθ+=+，sin i cos |sin i cos |168i |68i |10z θθθθ++∴===++． 故选：B ． 5．C【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出结果.【详解】()()()()14i 24i 14i 24i 24i 24i +++=--+1412i 73i 20105-+==-+. 故选：C. 6．A【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a 、b 关系，再依次判断各选项. 【详解】因为z i a b =+，所以()()()()()2222i 1i i 111i 11i i i i a a b b a b a b a b z a b a b a b a b a b ---------=-===+++-+， 所以222222222222221i 1a a b b a a b b z a b a b a b a b ⎛⎫----⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 又112z -=，所以222222224a a b b a b a b ⎛⎫--⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ()()22222224a ab b a b --+=+，所以()()222222223a a a b b a b -++=+，因为,0a b ≠，所以220a b +≠，所以22213a a b ++=，所以2211039a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 所以1103z +=，即13z +的值与a 、b 的值无关.故选：A. 7．D【分析】利用复数的加减乘除运算性质即可求得24z z+的值.【详解】1i z =-，则()()()()()22241i 441i (1i 2i)=21i 2i=21i 1i 1i z z ++=+-++-+-=--+ 故选：D 8．C【分析】先利用复数乘法化简()i a b +⋅()i c d +，再利用纯虚数定义即可得到选项. 【详解】()i a b +⋅()i ()i c d ac bd ad bc +=-++又复数i a b +与i c d +（a ，b ，c ，R d ∈）的积是纯虚数，则00ac bd ad bc -=⎧⎨+≠⎩，故选：C 9．AD【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可. 【详解】因为2i i 4z z -=+，所以(1i)42i z -=+，()()()()21i 2i 42i 13i 1i 1i 1i z +++===+-+-，有z =A 正确；复数z 在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故B 错误； 复数z 的共轭复数为13i z =-，故C 错误；因为202320231i i 3z -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故D 正确，故选:AD. 10．ABC【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可. 【详解】对于A 项，若2222221i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++是实数， 则0b =，与已知矛盾，故A 项正确； 对于B 项，由A 项知2222ia b z a b a b =+++，所以zz z ==， 故B 项正确； 对于C 项，若()()()2222222222222i a b abz a babab=--=+++()()222222222i a b ababab--∈++R ，则()22220abab=+，因为0b ≠，所以0a =，故C 项正确； 对于D 项，11i z a z a b +=++2222i i a b b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭R ， 则220bb a b-=+，因为0b ≠，所以221a b +=，所以2222221z a b a b a b -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎭⎝，故D 项错误． 故选:ABC ． 11．BD【分析】利用一元二次方程在虚数范围内的根的求法.【详解】方程38x =可化为()2(2)240x x x -++=，解得=2x 或212i13i x -±==-. 故选:BD. 12．ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+， z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1， 即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，22max 1i (11)(11)13z --=--+-=，故正确； 对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =， 所以22224+=4m n c d +=，，又1213i z z +=，所以+=1,+3m c n d 所以+=2mc nd -，所以2212=|()+()i|=()+()z z m c n d m c n d -----2222=+++2(+)=4+42?(2)=23m c n d mc nd ---.故选：ACD 13．－i【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】()()()()()22221ii 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a-+------====-++-++， 故答案为：－i. 14．1【分析】根据复数运算求得z ，从而求得z . 【详解】依题意，i 1i z z +=-，所以()()()()21i 1i 2i 1i 1i,i 1i 1i 1i 2z z ---+=-====-++-， 所以1z =. 故答案为：1 15．i -【分析】根据复数的除法运算求出i z =，再根据复数的乘方求解. 【详解】由1i 1zz+=-可得1i i z z +=-，即(1i)1i z +=-+， 所以1ii 1iz -+==+，则202320222023i i i i z ==⋅=-， 故答案为: i -. 16【分析】先通过计算得到复数z ，再求出复数的模得解. 【详解】解：由题得z 12i2i i+==-，则|z|17．(1)1i - (2)0 (3)2i【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】（1）原式()()()()7i 34i 53i 24i 7i2525i 1i 34i 34i 34i 34i 25+--+++-=====-+++-.（2）原式()()()()()()()()332266331i 1i 1i 1i 2i 2i 8i 8i 01i 1i 222⎡⎤⎡⎤++-++-+--+⎣⎦⎣⎦=====-+.（3）i 123i 13i i 13123i ---+===+，4211i ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎝⎭2248i 48i 0---+=， ∴原式()25051i 10i i i 2i i =+-⨯+=-=+=⎝⎭. 18．(1)1i -； (2)1,2a b =-=.【分析】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【详解】（1）()()()()()()21i 31i 3i 2i 12i 133i 63i 2i 11i 2i 2i 2i 2i 5z -++++--++++-=====+---+，所以z 的共轭复数为1i -；（2）11i (1i)1i i 1i 1,21a b az b a b a b a a b a +=⎧+=-⇒++=-⇒++=-⇒⇒=-=⎨=-⎩. 19．(1)1,||2x z =-= (2)11m -<<【分析】（1）根据复数的乘法运算算出(1i)z ⋅+，然后可得答案； （2）对ω进行运算化简，然后可得答案.【详解】（1）由题意得(1i)(1i)(1i)1(1)i z x x x ⋅+=-+=++-为纯虚数， 所以10,10x x +=-≠，所以1,||2x z =-= （2）15i i (i)(1i)(1)(1)i 221i m m m m m z ω-+++-++-====， 因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以10,10m m -<+>， 所以11m -<<. 20．()2,6【分析】设i z x y =+()x y ∈R 、，化简2i z +、2iz-并根据其均为实数求得参数x ，y ，化简2(i)z a +并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得a 的范围.【详解】设i z x y =+()x y ∈R 、，∵()2i 2i z x y +=++为实数，∴=2y -，∴2i z x .∵()()()()2i 1112i 2i 224i 2i 2i 555z x x x x -==-+=++---为实数，∴4x =．∴42i z =-． ∵()()()()222i 42i 12482i z a a a a a +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦在复平面上对应的点在第一象限，∴()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩，解得26a <<.∴实数a 的取值范围是()2,6． 21．13i z =±或3i z =±．【分析】设i(,R)z x y x y =+∈，利用题给条件列出关于,x y 的方程组，解之即可求得,x y ，进而求得复数z【详解】设i(,R)z x y x y =+∈，则()()2222222210101010i i i x x y y x y z x y z x y x y x y +++-+=++=++++． ∵1016z z <+≤，∴10R z z +∈，故有：()()2222221001016y x y x x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨++⎪<≤+⎪⎩①②由①得0y =或2210x y +=， 将0y =代入②，得1016x x<+≤， 则0x >，则106x x +≥，则1016x x<+≤无解； ∴0y ≠，将2210x y +=代入②得126x <≤，解之得132x <≤又x ，y 为整数，∴1113x y =⎧⎨=±⎩，或2231x y =⎧⎨=±⎩，故13i z =±或3i z =±． 22．(1)M α见解析，13P =；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意求得α，再结合复数的乘方运算，即可求得a M ；根据古典概型的概率计算公式，即可求得概率P ；（2）根据z M 的定义，设出M ω中的任意一个元素x ，根据其满足的条件化简x 的形式，只需证明x 满足z M 定义中的形式即可. 【详解】（1）因为α是方程1x x +=的一个根，故α=，当α时，))))2211i ,4,1i ,41,i 1i ,42,1i ,43n nn n k n k k n k n k αααα-*⎧-=⎪⎪⎪+=-⎪⎪===∈⎨⎪-=-⎪⎪⎪+=-⎪⎩N故))))1i ,1i ,1i 1i M α⎫⎪=-+-+⎬⎪⎪⎩⎭；同理，当α=时，))))1i 1i 1i ,1i M α⎧⎫⎪⎪=++--⎨⎬⎪⎪⎩⎭；在a M 中任取两个数共有6种取法，满足和为零的有2种，故其概率2163P ==. （2）证明：设x 为集合M ω中的一个元素，则21,n x n ω-*=∈N ，因为z M ω∈，故存在k *∈N ，使得21k z ω-=；因为()()212121,,k n n z k n ω---*=∈N ，且()()()2121421k n kn k n --=-++()()()2111121,k n n k l l n *⎡⎤=-+-+-=-∈⎣⎦N ，其中()()111l k n n k =-+-+， 故()()2121k n --为正奇数，故2121n l z x z M ω--==∈.故z M M ω⊆. 【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算，涉及古典概型的概率计算；其中第二问中处理问题的关键是能够根据x 的形式，逐步划归为满足z M 的形式，属综合难题.。
第七章 复数 单元测试卷(解析版)
第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ） A ．i B ．1 C ．2 D ．2i【答案】B 【分析】化简复数2i z =+即得解. 【详解】解：由题得()i i 122i z =-=+， 所以复数的虚部为1. 故选：B2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出55z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】 221i 22|2i |2(1)5i i +=+=-=+-=，55(1i)55z +=== 则复数z 在复平面内所对应的点坐标为55⎝⎭，在第一象限.故选：A3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11i z+-是实数，则z =（ ）A ．－iB ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i -- D ．32i +【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C.6．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ） A ．||||||ab a b = B ．10a a+≠ C ．()20a b +≥D ．22a a =【答案】A 【分析】对于选项A ：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B ：计算1a a+，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD ：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等. 【详解】不妨令11i a x y =+，22i b x y =+，选项A ：112212121221(i)(i)()i ab x y x y x x y y x y x y =++=-++，从而222222121212211122||()()||||ab x x y y x y x y x y x y a b =-++++，故A 正确； 选项B ：111111222211111111i ()i i x y a x y x y a x y x y x y +=++=++-+++， 当10x =，11y =时，10a a+=，故B 错误； 因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD 错误. 故选：A7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】21i 12i i i 1i 2+++==-，且i 的乘方运算是以4为周期的运算 所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭，所以复数z 所对应的点()1,1-，在第二象限. 故选：B8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ） A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为2 【答案】CD 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数z ，然后逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 5z -=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+， 所以145z +A 错误； 复数z 的共轭复数为12i z =-，故B 错误；复数z 在复平面表示的点的坐标为()1,2，位于第一象限，故C 正确； 复数z 的虚部为2，故D 正确. 故选：CD.11．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z= D ．2021132z = 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可． 【详解】解：因为132z =-，所以132z =-，对于A ： 2131313i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确； 对于B ：22201131313133i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭ ⎪ ⎪，故B 正确； 对于C ：2131132213213i i44z -===---+，2221313313i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭， 所以21z z=，即选项C 正确；对于D ：132z =-+，2132z -=，2231313131222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，4z z =，所以20212132z z -==，故D 错误．故选：ABC ．12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限 B ．i 2e π为纯虚数C i 3ix +12D ．i 6e π的共轭复数为132-【答案】ABC【分析】利用欧拉公式把选项A ，B ，D 化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C 的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A ，2i cos 2isin 2e =+，因22ππ<<，即cos20,sin20<>，复数2i e 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i2cos isini 22e πππ=+=，i 2e π为纯虚数，B 正确；对于C i (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos 3i 3i(3i)(3i)x x x x x x x+-+-+++-，于是得i 223cos sin 3sin cos 1()()4423ix x x x x +-++，C 正确； 对于D ，6i31cos isini 662e πππ=+=31i 2，D 不正确. 故选：ABC三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答. 【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-，由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =，所以m 的值是52.故答案为：5214．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号） 【答案】（2）（3） 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案. 【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误.设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()()()2212i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⋅=-++=-++22222222a c b d a d b c =+++22222222222212z z a b c d a c b d a d b c ⋅+++++2）正确.222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可) 【答案】(23,33)-(答案不唯一) 【分析】首先设出C 的坐标，然后分别写出AB →，AC →，利用向量的旋转公式即可求解. 【详解】不妨设C 的坐标为00(,)x y ，且AC →是AB →逆时针旋转60得到， 因为A (1，2)，B (3，4)，所以(2,2)AB →=，00(1,2)AC x y →=--， 从而AB →对应的复数为22i z =+，AC →对应的复数为'(22i)(cos 60isin 60)13(13)i z =++=-，所以00(1,2)(13,13)AC x y →=--=+，解得023x =033y = 故C 的坐标是(23,33). 故答案为：(23,33).16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________． 【答案】4 【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆， 又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离， 所以62i z --的最小值为()()22163221514PC -=-++=-=．故答案为：4．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】 （1）3i z =-（2）(0,9)【分析】 （1）先将i z b =代入31iz +-化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ， （2）先对2()8m z m --化简，再由题意可得2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩从而可求得结果 （1） 因为i z b =，所以33i (3i)(1i)3(3)i 1i 1i 22z b b b b ++++-++===--， 因为31iz +-是实数，所以30b +=，解得3b =-. 故3i z =-.（2）因为3i z =-，所以()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+.因为复数2()8m z m --所表示的点在第二象限，所以2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩解得09m <<，即实数m 的取值范围是(0,9).18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．【答案】π4，5π4，0，3π2 【分析】计算12r =11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩结合102πθ≤<，得到辐角主值，同理可得其他答案． 【详解】设这4个复数的模分别为1r ，2r ，3r ，4r ，辐角主值分别为1θ，2θ，3θ，4θ．因为221112r =+11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又102πθ≤<，故1π4θ=． 同理，可以求得：5π5π1i 2cos isin 44⎫--=+⎪⎭， )22cos0isin 0+，3π3π2i 2cos isin 22⎫-=+⎪⎭， 故4个复数的辐角主值分别为π4，5π4，0，3π2． 19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-.（1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .【答案】（1）12i -（2）5【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a ，再根据复数模的计算公式即可求出．（1）213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-． （2）因为2(3)3i z z a +=++为纯虚数，∴30a +=，∴3a =-.即34i z =-+，22||(3)45z =-+=．20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.【答案】（1）28(22i)(22i)x x x +=+-（2）223(12i)(12i)x x x x -+=--- （3）212123213((x x x x -+-+=） 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. （1）2228=8i (2i)(2i)x x x x +-=+- （2）()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-- （3）∵ 22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--( ∴ 212123213[()33x x x x -+=-- ∴ 212123213((x x x x -+-+=） 21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模． 【答案】（1）2,5p q =-=（258【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得25i z =-+，故37i 1i 2z +=+，再求模即可. （1）解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根， 所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=（2）解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +9495844+= 22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．【答案】（1）17arg 4z π=，122z = （2）221【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解． （2）z 设为三角形式，和复数1z 的代数形式，共同代入1z z -，化简后可求最大值． （1）解：()31i 1i 22i z =-=-，将1z 化为三角形式，得1772cos isin 44z ππ⎫⎪=⎭+， ∴17arg 4z π=，122z = （2） 解：由于复数z 满足1z =，设cos isin z αα=+，则()()1cos 2sin 2i z z αα-=-++， ()()2221cos 2sin 2924z z πααα⎛⎫-=-++=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，21z z -取得最大值942+ 所以1z z -的最大值为221．。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练05 复数(解析版)
必考点05 复数题型一 复数的有关概念例题1．已知复数z ＝a2－i ＋2－i 5的实部与虚部的和为2，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】易知z ＝a2－i ＋2－i 5＝a (2＋i )5＋2－i 5＝2a ＋25＋(a －1)i 5，由题意得2a ＋25＋a －15＝2，解得a ＝3.故选D.例题2 已知z1－i ＝2＋i ，则z (z 的共轭复数)为( )A ．－3－iB ．－3＋iC ．3＋iD ．3－i 【答案】C【解析】由题意得z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i ，所以z ＝3＋i ，故选C. 【解题技巧提炼】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．题型二 复数的运算例题1若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i【答案】D【解析】由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.例题2已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i【答案】A【解析】(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.【解题技巧提炼】复数代数形式运算问题的解题策略例题1设z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. 例题2设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 【答案】C【解析】由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵ |z －i|＝1， ∴ |x ＋y i －i|＝1，∴ x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 【解题技巧提炼】1．准确理解复数的几何意义(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点(a ，b )一一对应．题型一 复数的有关概念1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i【答案】B【解析】∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选B. 3．已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i2＋i ，则|z |＝________.【答案】2 【解析】|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.题型二 复数的运算1．已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．i B ．－1＋i C ．－1－i D ．－i【答案】C【解析】由已知可得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0B ．12C ．1 D.2 【答案】C【解析】∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.题型三 复数的几何意义1．设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】∵x ，y 是实数，∴(1－i)x ＝x －x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，－x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y i在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.2．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)【答案】B【解析】因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.3．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋iB ．35＋45iC ．1＋45iD ．1＋43i【答案】B【解析】因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，故选B. 4．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________． 【答案】1【解析】由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)， 根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.一、单选题1．若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，则复数z 的实部为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】设i z a b =+（a b R ∈、），则(i)(2i)(i)(1i)1a b a b ++=--+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，故选：C.2．已知复数z 满足i 17i z ⋅=+，则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】D【解析】因为i 17i z ⋅=+，所以()2i 17i i z ⋅=+，即7i z -=-+，所以7i z =-，所以7i z =+，则z 的虚部为1；故选：D 3．若2i12iz +=-，则2z =（ ） A ．1 B ．1-C ． iD ．i -【答案】B 【解析】因为()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 14z +++====--++，所以21z =-.故选：B. 4．若复数z 满足()1i 12i z +=-，则z =（ ）A B ．C D【答案】C【解析】()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z -----====--++-，z ∴=.故选：C. 5．已知复数z 满足i 23i 0z +-=，则z =（ ） A ．32i + B ．32i - C ．23i + D ．23i -【答案】B【解析】因为i 23i 0z +-=，所以()()()223i i 23i 2i 3i 32i i i i 1z -+--+-====+⨯-， 所以32i z =-.故选：B.6．已知复数z 满足(1)i 2i z -=+，则在复平面内，z 的共轭复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】依题意2ii122i z +=+=-， 于是22i z =+ ，其对应的点为（2，2），位于第一象限，故选：A. 7．设24i3iz +=+（i 是虚数单位），则||z =（ ）A ．1B ．2CD 【答案】D【解析】24i (24i)(3i)1010i1i 3i (3i)(3i)10z ++-+====+++-，则||z 故选：D. 8．若(2i)i i +=+x y ，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数i z x y =+所对应复平面内的点Z 位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】因为(2i)i i +=+x y ，所以2i i x y -+=+，解得：x 1,y 2==-， 所以i z x y =+对应的点为()1,2-，位于第四象限.故选：D 二、多选题 9．已知复数1i1iz +=-，以下结论正确的是（ ） A ．2021z 是纯虚数 B ．i 2z += C ．1z z ⋅=-D ．在复平面内，复数i z z +⋅对应的点位于第三象限 【答案】ABD 【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z +++====--+ 对于A ，2021202145051i i i z ⨯+===，2021z ∴为纯虚数，A 正确； 对于B ，i 2i 2z +==，B 正确；对于C ，()2i i i 1z z ⋅=⋅-=-=，C 错误；对于D ，2i i i 1i z z +⋅=-+=--，i z z ∴+⋅对应的点为()1,1--，位于第三象限，D 正确.故选：ABD.10．设1Z ，2Z ，3Z 为复数，下列命题中错误的是（ ） A ．2211Z Z = B ．1212Z Z Z Z ⋅=⋅C ．若12Z Z R +∈，则12Z Z -为纯虚数D ．若23Z Z =，且10Z ≠，则3211Z Z Z Z = 【答案】AC【解析】A ：取1i Z =，则222111i 1Z Z ===-，，故A 错误； B ：设12i i Z a b Z c d =+=+，(a b c d R ∈、、、)， 则12(i)(i)Z Z a b c d ⋅=++()()i ac bd ad bc =-++，12Z Z ⋅=22222222a c a d b c b d =+++，又2222222212Z Z a c a d b c b d ⋅=+++， 所以12Z Z ⋅=12Z Z ⋅，故B 正确；C ：取120Z Z ==，则120Z Z -=为实数，故C 错误；D ：由23Z Z =，得23Z Z =，则22121312121313()()()()0Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z -=-=， 所以1213Z Z Z Z =，又10Z ≠，所以2311Z ZZ Z =，故D 正确.故选：AC. 11．已知i 为虚数单位，复数134i z =+，243i =-+z ，331i =+z ，则（ ）A ．12=z zB ．1z 与2z 互为共轭复数C ．123z z z ++为纯虚数D ．()12388i -=-z z z【答案】AC【解析】依题意，复数134i z =+，243i =-+z ，331i 1i z =+=-，对于A，15z =，25z ==，A 正确；对于B ，复数134i z =+的共轭复数为134i z =-，B 不正确； 对于C ，12334i 43i 1i 6i z z z ++=+-++-=，C 正确；对于D ，因127z z i -=+，则()()()1237i 1i 86i z z z -=+-=-，D 不正确.故选：AC 三、填空题12．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 【答案】12i -##2i+1-【解析】由题意得12i z =+，2i z =， 所以122i12i iz z +==-. 故答案为：12i -13．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．【解析】由题意可得2i 3i 3i 13i i iz +-===-，则13i z =+，因此，z =故答.14．若复数2()1i (4i)6i z m m =+-+-在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是_______． 【答案】()3,4【解析】()()2221i (4i)6i i ()46z m m m m m m =+-+--+--=，因为复数2()1i (4i)6i z m m =+-+-在复平面上所对应的点在第二象限所以224060m m m m ⎧-<⎨-->⎩，解不等式组得34m <<故答案为：()3,4 四、解答题15．已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m R ∈）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z ：(1)在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在第一象限.【解析】(1)点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2430m m -+=得1m =或3m =， ∴当1m =或3m =时，点Z 在实轴上； (2)点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，由2230m m --=得1m =-或3m =， ∴当1m =-或3m =时，点Z 在虚轴上； (3)点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0，由22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，即1313m m m m ⎧-⎪⎨⎪⎩或或，解得1m <-或3m >，∴当1m <-或3m >时，点Z 在第一象限.16．设222215(6)i 4a a z a a a +-=--+-（R a ∈），试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由. 【解析】假设复数z 能为纯虚数，则2222602150440a a a a a a ⎧--=⎪+-⎪≠⎨-⎪-≠⎪⎩，所以325,3,2,2a a a a a a ==-⎧⎨≠-≠≠≠-⎩或且且且，解得a ∈∅， 所以不存在a 使复数z 为纯虚数.17．若复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．【答案】a ＝0或2【解析】∴复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，∴220a a -=，解得2a =或0a =.。
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（2）设 ，则 ，
即 ．
点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
画图可知， 时， ．
答案：Ａ
7．已知复数 ， ，则 的最大值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3
答案：Ａ
8．已知 ，若 ，则 等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4
答案：Ｂ
9．在复平面内 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ．那么向量 对应的复数是（ ）
Ａ．1Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线
答案：Ａ
二、填空题
13．若复数 所对应的点在第四象限，则 为第象限角．
答案：一
14．复数 与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为．
答案：
15．已知 ，则 ．
答案：2
16．定义运算 ，则符合条件 的复数 ．
答案：
三、解答题
17．已知复数 的模为 ，求 的最大值．
解： ，
答案：Ａ
7．设 ， 为锐角三角形的两个内角，则复数 对应的点位于复平面的（ ）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限
答案：Ｂ
8．已知 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． －
答案：Ｂ
9．复数 ，且 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
答案：Ｃ
10． 表示（ ）
Ａ．点 与点 之间的距离
Ｂ．点 与点 之间的距离
则 ， ， ， ．
．
20．已知 是复数， 与 均为实数，且复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
解：设 ， 为实数， ．
为实数，
，则 ．
在第一象限，
解得 ．
21．已知关于 的方程 有实数根 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）若复数 满足 ，求 为何值时， 有最小值并求出最小值．
解：（1）（1）将 代入题设方程，整理得 ，
答案：Ｄ
4．设 ， 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）
Ａ．若 ，则
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ． 是纯虚数或零
答案：Ｄ
5．设 ， ，则下列命题中正确的是（ ）
Ａ． 的对应点 在第一象限
Ｂ． 的对应点 在第四象限
Ｃ． 不是纯虚数
Ｄ． 是虚数
答案：Ｄ
6．若 是实系数方程 的一个根，则方程的另一个根为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｃ．点 与原点的距离
Ｄ．点 与点 之间的距离
答案：Ａ
11．已知 ， ，则 的最大值和最小值分别是（ ）
Ａ． 和 Ｂ．3和1
Ｃ． 和 Ｄ． 和3
答案：Ａ
12．已知 ， ， ， ， ，则 （ ）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ．2Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．若 ，已知 ， ，则 ．
答案：
14．“复数 ”是“ ”的．
答案：必要条件，但不是充分条件
复数的运算测试题
一、选择题
1． 是复数 为纯虚数的（）
Ａ．充分条件但不是必要条件
Ｂ．必要条件但不是充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不是充分也不必要条件
答案：Ｂ
2．若 ， ， 的和所对应的点在实轴上，则 为（ ）
Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．—1
答案：Ｄ
3．复数 对应的点在虚轴上，则（ ）
Ａ． 或 Ｂ． 且 Ｃ． Ｄ． 或
因为 ， ，所以 为纯虚数；
3）解：
因为 ，所以 ，
故 ．
当 ，即 时， 取得最小值1．
复数的运算测试题
一、选择题
1．实数 ， 满足 ，则 的值是（ ）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．—2Ｄ．—1
答案：Ａ
2．复数 ， 的几何表示是段 ，点 ， 的坐标分别为
Ｄ．（Ｃ）中线段 ，但应除去原点
（4）对应点在第二象限．
解：
（1） 为实数 且 ，解得 ；
（2） 为虚数
解得 且 ；
（3） 为纯虚数
解得 ；
（4） 对应的点在第二象限
解得 或 ．
19．设 为坐标原点，已知向量 ， 分别对应复数 ，且 ， ， ．若 可以与任意实数比较大小，求 ， 的值．
解： ，则 的虚部为0，
．
解得 或 ．
又 ， ．
答案：Ｃ
3． ，若 ，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
4．已知复数 ， ，若 ，则（ ）
Ａ ． 或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．已知复数 满足 的复数 的对应点的轨迹是（ ）
Ａ．1个圆Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆
答案：Ａ
6．设复数 在映射 下 的象是 ，则 的原象为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． －
，故 在以 为圆心，
为半径的圆上， 表示圆上的点 与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知 的最大值为 ．
1 8．已知 为实数．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ， 的值．
解：（1） ，
；
（2）由条件，得 ，
，
解得
19．已知 ， ，对于任意 ，均有 成立，试求实数 的取值范围．
解： ，
，
对 恒成立．
② ，若 ，则 ；
③若 是纯虚数，则实数 ；
④ 是虚数的一个充要条件是 ；
⑤若 是两个相等的实数，则 是纯虚数；
⑥ 的一个充要条件是 ．
Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3
答案：Ｂ
11．复数 等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
12．复数 满足条件： ，那么 对应的点的轨迹是（ ）
当 ，即 时，不等式成立；
当 时，
综上， ．
20．已知 ， 是纯虚数，又 ，求 ．
解：设设
．
为纯虚数，
．
． ．
把 代入 ，解得 ．
．
．
21．复数 且 ， 对应的点在第一象限内，若复数 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数 ， 的值．
解： ，
由 ，得 ． ①
复数0， ， 对应的点 是正三角形的三个顶点，
15． ， 分别是复数 ， 在复平面上对应的两点， 为原点，若 ，则 为．
答案：直角
16．若 是整数，则 ．
答案： 或
三、解答题
17．已知复数 对应的点落在射线 上， ，求复数 ．
解：设 ，则 ，
由题意得 ①
又由 ，得 ，②
由①，②解得 ．
18．实数为何值时，复数 ．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
，
把 代入化简，得 ． ②
又 点在第一象限内， ， ．
由①②，得
故所求 ， ．
22．设设 是虚数 是实数，且 ．
（1）求 的值及 的实部的取值范围．
（2）设 ，求证： 为纯虚数；
（3）求 的最小值．
（1）解：设 ，
则 ．
因为 是实数， ，所以 ，即 ．
于是 ，即 ， ．
所以 的实部的取值范围是 ；
（2）证明： ．