复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)
复数的四则运算(含答案解析)
复数的四则运算1.复数z=的虚部为（）A.-1B.-3C.1D.22.已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2-4）i＞0，则=（）A.iB.1C.-iD.-13.已知a∈R，i为虚数单位，若（1-i）（a+i）为纯虚数，则a的值为（）A.2B.1C.-2D.-14.已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A.0B.1C.-1D.25.计算=（）A.-1B.iC.-iD.1 6.已知i是虚数单位，，则|z|=（）A. B.2 C. D.47.复数z满足z（2-i）=2+i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.若a=i+i2+…+i2013（i是虚数单位），则的值为（）A.iB.1-iC.-1+iD.-1-i9.设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（）A. B. C.3 D.-310.复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（）A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i11.已知复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，模长为2，是z的共轭复数，则的值为（）A. B.--i C.-+i D.-12.设x，m均为复数，若x2=m，则称复数x是复数m的平方根，那么复数3-4i（i是虚数单位）的平方根为（）A.2-i或-2+iB.2+i或-2-iC.2-i或2+iD.-2-i或-2+i13.设i为虚数单位，则（）2014等于（）A.21007iB.-21007iC.22014D.-2201414.已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= ______ ．15.复数z=，i是虚数单位，则z2015=______ ．复数的四则运算答案和解析1. B解：∵z==，∴复数z=的虚部为-3．2. A 解：∵m+（m2-4）i＞0，∴，解得：m=2．则=．3. D 解：∵（1-i）（a+i）=1+a+（1-a）i为纯虚数，∴，解得：a=-1．4. B解：∵=，∴，解得，则a+b=1．5. B解：=．6. C解：由，得，即|z|=．7. D解：∵z（2-i）=2+i，∴z（2-i）（2+i）=（2+i）（2+i），∴z=（3+4i），则=-i在复平面内对应的点（，-）所在象限为第四象限．8. D解：因为i+i2+i3+i4=0，所以a=i+i2+…+i2013=i．===-=-=-1-i．9. C解：==，∵复数的实部与虚部是互为相反数，∴，即a=3．10. B解：由（z+2i）i=1+i，得，∴z=1-3i．11. D解：∵复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，则复数z=a+i．又模长为2，∴，解得a=．∴z=，．则==．12. A解：设z=x+yi，则（x+yi）2=3-4i，即x2-y2+2xyi=3-4i，∴，解得：或．∴复数3-4i的平方根为2-i或-2+i．13. A解：∵（）2=-2i，∴（）2014=（-2i）1007=（-2）1007•i1007=21007i．14. 解：设复数z2=a+bi（a，b∈R），z1z2=，∵|z2|=3，z1z2是正实数，∴，解得：．则复数z2=．故答案为：z2=．15. 解：∵z==（1+i），∴z2=（1+2i+i2）=i，z3=z2•z=i•（1+i）=（-1+i），z4=（z2）2=-1，z5=z4•z=-（1+i），z6=z4•z2=-i，z7=z3•z4=（1-i），z8=z2•z6=1，z9=z•z8=（1+i），∴z t=z8k+t （k、t∈N*），∵2015=251×8+7，∴z2015=z7=（1-i），故答案为：（1-i）．感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。
2019届人教B版(文科数学)复数代数形式的四则运算单元测试
（测试时间：35分钟，总分：100分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足1i 1zz+=-，则||z = A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】A【解析】由题意知1i i z z +=-，所以2i 1(i 1)i i 1(i 1)(i 1)z --===++-，所以||1z =．故选A ． 2．在复平面内，复数2(13i)+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．已知复数22i 22z =+，则1i z -= A ．2i 2-B ．2iC ．2i 2D ．i【答案】C 【解析】因为22i 22z =+，所以21i 2i 1i 21i 2z +=⨯=--，故选C ．学* 4．32(1i)(1i)+=- A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --【解析】322222(1i)(1i)1i 2i(1i)(1i)1i (1i)(1i)1i 2i++++=⋅+=⋅+=----+-，故选D ． 5．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)1i z -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．1 B ．1- C ．iD ．i -【答案】D【解析】由(1i)1i z -=+可得1ii 1iz +==-，则复数z 的共轭复数为i -．故选D ．学* 6．设复数,()i a b a b +∈R 的模为3，则()()i i a b a b +-= A ．3 B ．3 C ．3-D ．3-【答案】B【解析】复数,()i a b a b +∈R 的模为223a b +=，则223a b +=，则22i i ()()3a b a b a b +-=+=，故选B ． 7．若复数z 满足42ii 1z -=-（i 为虚数单位），则下列说法错误的是 A ．复数z 的虚部为1-B ．||10z =C ．复平面内与复数z 对应的点在第二象限D ．3i z=-+【答案】C8．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线y x =-上，则z z ⋅= A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．已知复数z 满足2(34i)(12i)z +=+，则复数z 的模为 A ．1 B ．2 C ．2D ．4【答案】A【解析】由2(34i)(12i)z +=+，可得2(12i)34i (34i)(34i)724i34i 34i (34i)(34i)25z +-+-+-+====+++-，所以||z =22724()()12525+=．故选A ．学*10．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i e a 为纯虚数，则复数sin 2i1ia ++在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为i e cos isin a a a =+为纯虚数，所以cos 0a =且sin 0a ≠，所以sin 22sin cos 0a a a ==，所以sin 2i i 11i 1i 1i 22a +==+++，在复平面内对应的点为11(,)22，位于第一象限，故选A ．11．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若i 22z z z ⋅+=，则z =A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】设(i ,)z a b a b =+∈R ，则i 2(i i i )i (2)22a b a b a z b z ⋅+==+-++，所以222a b b +=，22a =，解得1a =，1b =，故1i z =+．故选A ．12．（2017新课标全国I ）设有下面四个命题：1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．将正确的答案填在题中的横线上． 13．34i||5i-=_______________． 【答案】1 【解析】2234i 3i 43i 434||||||()()15i 5555-++===+=-．故填1．学* 14．已知i 为虚数单位，复数13i1iz +=-，则复数z 的实部是_______________． 【答案】1-【解析】由题意可得13i (13i)(1i)13i i 324i12i 1i (1i)(1i)22z +++++--+=====-+--+，则复数z 的实部是1-．故填1-．15．（2017江苏）已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______________．【答案】10【解析】|||(1i)(12i)||1i ||12i |2510z =++=++=⨯=，故填10．【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -．16．（2017浙江）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=___________，ab =___________． 【答案】5 2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225a b +=，2ab =．17．（2017天津）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为_______________． 【答案】2-18．设x ∈R ，i 为虚数单位，且11i 1ix +∈+-R ，则x =_______________． 【答案】1【解析】由题意可得11i 1i x +=+-1i 1i 11i 2222()x x x -++-+=+，所以1x =． 19．若复数122i,2i(i z a z =+=+是虚数单位)，且12z z 为纯虚数，则实数a =_______________．【答案】1【解析】因为12(2i)(2i)(22)(4)i z z a a a =++=-++，其为纯虚数，所以220a -=，解得1a =． 20．已知复数i()ia z a +=∈R ，i 是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是_______________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】因为()ii i 1i ia z a a +==-+=-，所以由题意得00a a -<⇒>，故实数a 的取值范围是。
复数的四则运算同步练习题
复数的四则运算同步练习题一、选择题1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 复数－i ＋1i等于( A ) A ．－2i i C ．0 D ．2i7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19． 在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A )C ．－43D ．－3411． 若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,z?z̅i +2=2z ，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C（D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i -（D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ）A ．1＋iB ．－1－iC ．1＋3iD ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31ii +-=( D )A .1-2i +i D .1+2i29.下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ C ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-30.复数2(1)2i i -=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是 （ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积． 解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2. 52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。
高中数学苏教选修22同步训练：32 复数的四则运算 含答案
3.2 复数的四则运算 1、若复数z 满足1z =,则34i z --的最小值为( )A.1B.2C.3D.42、若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数1z i+的点是( )A. EB. FC. GD. H 3、复数12,z z 分别对应复平面内的点12,M M ,且1212z z z z +=-,线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +,则2212z z +等于( )A.10B.25C.100D.2004、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3i +,13i +,则对应的复数是( )A. 24i +B. 24i -+C. 42i -+D. 42i -5、设11i z i +=-,()21f x x x =-+,则()f z = ( ) A. iB. i -C. 1i -+D. 1i --6、(1)(2)i i +-=( )A. 3i --B. 3i -+C. 3i -D. 3i -7、i 是虚数单位, 411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭等于( ) A. iB. i -C. 1D. 1-8、若复数 (32)z i i =- (i 是虚数单位),则z = ( )A. 32i -B. 32i +C. 23i +D. 23i -9、设i 是虚数单位,则复数32i i -= ( ) A. i -B. 3i -C. iD. 3i10、a 为正实数,i 为虚数单位, ii 2a +=,则a = ( ) A.2 B.D. 111、若12z a i =+,234z i =-,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为__________. 12、设复数z 满足234z i =+ (i 是虚数单位)则z 的模为 .13、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 14、已知a ,b R ∈,i 是虚数单位.若()()1a i i bi ++=,则a bi +=__________.15、已知复数()()()13113i i i z i -+--+=,()z ai a R ω=+∈,当z ω≤,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：复数z 满足1z =,则复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,34i z --表示圆上的点到点()3,4的距离, 点()3,4到原点的距离是5,34i z --的最小值为51 4.-=2答案及解析：答案：D解析：由图知复数3z i =+,则()()()()31321111i i z i i i i i i +-+===-+++-,所以复数1z i +所对应的点是H .3答案及解析：答案：C 解析：由1212z z z z +=-,可知, 12OM OM ⊥,故12OM M ∆为直角三角形,故有2222221212124100z z OM OM M M OM +=+===,故选c.4答案及解析：解析：依题意有CD BA OA OB ==-.而()()31342i i i +--+=-,而CD 对应的复数为42i -,故选D.5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：C 解析：()()()4244411211112i i i i i i i ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦或()()()()2224221211112i i i i i i ⎡⎤++⎛⎫===⎢⎥ ⎪-⎝⎭--⎢⎥⎣⎦.8答案及解析：答案：D解析：因为()3223z i i i =-=+,所以23z i =-,故选D.【考点定位】本题考查复数的基本运算,属于容易题.9答案及解析：答案：C 解析：322i i i i i-=-+=,故选C.10答案及解析：答案：B解析：∵i ii i 2a a ++===,∴a =又0a >,∴a =故选B.11答案及解析： 答案：83解析：()()()()()122343846 23434345a i i a a i z a i z i i i ++-+++===--+,它是纯虚数,所以380a -=,且460a +≠,解得83a =.故答案为: 83.12答案及解析：解析：∵234z i =+,∴225z z ===,∴z =13答案及解析：答案：6解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.14答案及解析：答案：12i +解析：由复数相等的定义求得a ,b 的值,即得复数.由()()1a i i bi ++=可得()()11a a i bi -++=,因此10a -=,1a b +=,解得1a =,2b =,故12a bi i +=+.15答案及解析：答案：()()()13113i i i z i -+--+=()()241311i i i i i i+-++===-, 因为()111z ai i ai a i ω=+=-+=+-, 所以()()()111112122a i i a i a ai z i ω+-+⎡⎤+--+⎣⎦===-.所以z ω=≤,所以2220a a --≤,所以11a ≤≤+故a 的取值范围是1⎡⎣.解析：。
2025新高考数学计算题型精练专题05 复数的四则运算(解析版)
2025新高考数学计算题型精练复数的四则运算1．34i i +的共轭复数为（）．A ．1i +B ．1i-C ．1i-+D ．1i--【答案】A【详解】因为34i i 1i +=-，则其共轭复数为1i +．故选:A 2．若22i i 1i z +=+，则z =（）A ．13i22+B ．13i22-C ．13i22-+D ．13i22--【答案】B 【详解】因为2i 1(2i 1)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ---+====+++-，所以13i 22z =-．故选：B 3．已知i i z z +=，则z =（）A2B ．0C ．12D ．1【答案】A【详解】设i z a b =+，则()21i i i i a b a b b a ++=+=-+，故1a b b a =-⎧⎨+=⎩，解之得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2z ==.故选:A 4．已知i1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【答案】D 【详解】由i 1i z=+，则()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-，则1i 2z -=，所以i z z -=．故选：D ．5．543i=-（）A ．43i-+B ．43i +C ．43i55-+D ．43i55+【答案】D【详解】()()()()543i 543i 543i 43i 43i 43i 2555++===+--+.故选：D 6．若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）A ．2BC ．3D ．5【答案】D【详解】()43i i 43i 4i 3i 43i 34i i i i 1z z +⋅+-⋅=+∴====-⋅- ，，5z ∴=.故选：D.7．若a 为实数，且7i2i 3ia +=-+，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【详解】由题意得，()()2i 3i 7i1iia -+--===-，故选：C ．8．2(1=（）A ．2+B ．2-C ．2-+D ．2--【答案】C【详解】22(113i 2+=++=-+；故选：C.9．已知复数3i2i 12iz +=++，则z =（）A ．1BC ．2D ．【答案】B【详解】因为()()3i 12i 3i2i 2i 1i 2i 1i 12i 5z +-+=+=+=-+=++，所以z =．故选:B10．()1i 1z -=，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i-【答案】B【详解】()1i 12z -=-= ，()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z ++∴====+--+，1i z ∴=-.故选：B.11．设11iz =+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．1D ．0【详解】由题意可得11i 11i 1i 222z -===-+，则11i 22z =+，所以1111i i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A12．已知i 为虚数单位，复数13i2iz -=+，则z =（）A ．2BC D【答案】C 【详解】()()()()13i 2i 13i 17i 17i 2i 2i 2i 555z -----====--++-，则z =故选：C.13．已知i 为虚数单位，复数z满足(13i)i z =，则z =（）A ．i -B iC 1i2D 1i 2【答案】D【详解】依题意，2i 1i422z -===-，所以1i 22z =+.故选：D 14．若复数()43i i z =-，则z =（）A ．25B ．20C ．10D ．5【答案】D【详解】因为()43i i 34i z =-=+，所以5z ==，故选:D.15．设复数z 满足()1i 4z -=，则z =（）A ．B ．1C D ．2【答案】A【详解】由()1i 4z -=，得()()()41i 444i 22i 1i 1i 1i 2z ⨯++====+--⨯+，所以z ==故选：A.16．已知复数()()()1i 2i z a a =-+∈R 在复平面对应的点在实轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．-2【详解】依题意，()()()()1i 2i 22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在实轴上，所以20a -=，解得2a =.故选：C.17．已知复数z 满足(1)(23i)32i z --=+，则z =（）A ．0B ．iC ．1i-+D ．1i+【答案】D【详解】∵(1)(23i)32i z --=+，∴()()()()32i 23i 32i 13i1111i 23i 23i 23i 49z +++=+==+=+--++，故选：D.18．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A ．2i --B ．2i-+C ．2i+D ．2i-【答案】B【详解】由已知可得，12i 2i i z -==--，从而2i z =-+.故选：B.19．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1iz -=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【详解】由()()()()3i 1i 3i 42i2i i 1i 1i 1i 2z -+-+====+--+，则2i 1z =-，所以z 的虚部为2．故选：D ．20．已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】C 【详解】()()()()24i 2i 24i 10i2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，故虚部为2-.故选：C 21．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C 【详解】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.22．已知复数z 满足()()1i 2i 2i z --=，则z 的虚部为（）A ．1-B ．i-C ．3D ．3i【答案】C【详解】因为()()()2i 1i 2i2i 2i i 12i 13i 1i 1i 1i z +=+=+=-+=-+--+，所以z 的虚部为3，故选：C.23．已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）A B ．2C ．D ．2±【答案】D【详解】因为i z a =+，所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D 24．已知复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则z =（）A ．1B ．2C D【答案】C【详解】因为方程2220x x +=-是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即22i1i 2z ±==±，所以z ==故选：C 25．若复数()2iR 2ia z a -=∈+是纯虚数，则=a （）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】D【详解】由题意设i z b =（0b ≠），2ii 2ia zb -==+，即()2i i 2i 2i a b b b -=+=-+，则22a b b =-⎧⎨=-⎩，解得：1,1a b ==-.故选：D 26．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）A ．2BC ．D【答案】B【详解】因为()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，因此，z ==故选：B.27．已知复数1i 22z =+，则3z =（）A ．34B C ．1D 【答案】C【详解】法一：由复数乘法运算得231111i i i i =i 22222222z ⎫⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则31z =，法二：由1||12z ==，则31z =，故选：C 28．已知复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =___________．【答案】5【详解】由i 43i z ⋅=+得2243i 4i 3i 4i 334i i i 1z ++-====--，因为5z ==，所以5z z ==，故答案为：5．29．3ii+=______【答案】13i -【详解】()23i i3i 13i i i ++==-.故答案为：13i -30．复数z 满足26i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为___________.【答案】-1【详解】令i z a b =+，则i z a b =-，所以()()22i i 3i=6i z z a b a b a b +=++-=+-，故z 的虚部为1-.故答案为：-1.31．设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i+【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()i 1i ii i i i 221111z -===+++-.故答案为：1i +.32．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，则12z z +=________.【答案】3i -/-i+3【详解】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，所以12i z =+，212i z =-，所以123i z z +=-，故答案为：3i -.33．若复数21iz =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以i 12i z -=-==.故答案34．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =_____________．【答案】13i 22-+．【详解】由(1i)12i z -=+可得()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z +++-+===--+--+.故答案为：13i 22-+.35．若()12i 1z +=，则()1i z +=______【答案】62i55-【详解】因为()12i 12z +===，所以()212i 224i 12i 145z --===++，故()()24i 22i 4i 4621i 1i i 5555z -+-++=⨯+==-.故答案为：62i 55-.36．若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】23i-【详解】由2136i z -=+，得246i z =+，∴23i z =+，则23i z =-．故答案为：23i -．37．已知复数i 12i 2iz=-++，则z 的虚部为______．【答案】4-【详解】解：由题意得(12i)(2i)(43i)i34i i i iz -++-+===+⋅，则34i z =-，所以z 的虚部为－4，故答案为：-438．已知复数z 满足210z z ++=，则z z ⋅=_____________.【答案】1【详解】因为22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即2213i 242z ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，12z =-或1i 22z =-+，若12z =-，则122z =-+，则111312244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若1i 22z =-+，则12z =-，则1113i 1222244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，1z z ⋅=.故答案为：1.39．已知复数z 满足()1i i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】12/0.5【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：12.40．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【答案】2【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故答案为：241．已知复数z 满足()12i |43i |z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为___________.【答案】12i+【详解】由()12i 43i 5z +=-==，得()()()()2512i 512i 512i 12i 12i 12i 14i z --====-++--，则复数z 的共轭复数为12i z =+；故答案为：12i +42．复数312i3i ++的值是_____________．【答案】17i 1010+【详解】解：312i 12i (12i)(3i)17i 17i 3i 3i 10101010+++++====++-．故答案为：17i 1010+.。
高中数学5.2复数的四则运算同步练习北师大版选修22
复数的四则运算同步练习 一、选择题1．复数3(1)i -的虚部为（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2-答案：D2．i 是虚数单位，1i i =+（ ） A ．1122i + B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i -- 答案：A3．已知C z ∈，知足不等式0zz iz iz +-≤的点Z 的集合用阴影表示为（ ）答案：C4．设复数z 知足11z z -+i =，则1z +=（ ） A ． 0B ．1C 2D ．2 答案：C二、填空题 5．复数3123i i ++的值是 ． 答案：1710i + 6．已知复数032z i =+，复数z 知足003z z z z =+，则复数z = ．答案：312i - 三、解答题7．已知复数1z 知足1(1)15i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121z z z -<，求a 的取值范围．解：由题意，得115231i z i i-+==++，于是1242z z a i -=-+=1z =，<，即2870a a -+<，解得17a <<．8．已知复数12z z ，知足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数．证明：由题意可设122z z ki +=（k 为实数，且0k ≠），则122z ki z =-，代入2212121052z z z z +=，得22222210(2)52(2)ki z z ki z z -+=-，化简，得222224942100z kiz k i -+=， 解得221749ki k z +=，127ki k z -=，123z z k -=-， 或221749ki k z -=，127ki k z +=，123z z k -=． 即证123z z -为实数．备选题1． 已知()z i z ω=+∈C ，且22z z -+为纯虚数，求2211M ωω=++-的最大值及当M 取最大值时的ω．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则(1)a b i ω=++． 22222(2)(4)42(2)(2)z a bi a b bi z a bi a b--++-+==+++++， 因为22z z -+为纯虚数，所以224(0)a b b +=≠． 2211M ωω=++-2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++124b =+，因为224(0)a b b +=≠，所以2240a b =-≥，所以22b -≤≤且0b ≠．故当2b =时，M 取最大值20，这时0a =，3i ω=．2．求同时知足下列两个条件的所有复数．（1）10z z +是实数，且1016z z<+≤； （2）z 的实部和虚部都是整数． 解：10z z +为实数，且1016z z <+≤， 令10z u z+=，则u ∈R ，且16u <≤， 于是2100z uz -+=． ①方程①是关于z 的实系数一元二次方程，且有2400u ∆=-<，（因为16u <≤）故解得2u z =±． ② z 的实部和虚部都是整数，所以u 只能取2或6两个值．可求得知足条件的所有复数：13z i =±或3z i =±．3．复平面内点A 对应的复数为1，过点A 作虚轴的平行线l ，设l 上的点对应的复数为z ，试求复数1z对应的点集是什么图形？ 解：因为点A 对应的复数为1，直线l 过点A 且平行于虚轴，所以可设直线l 上的点对应的复数为1()z bi b =+∈R ，于是211111bi z bi b -==++． 设1x yi z =+，得22111b x yi i b b +=-++． 按照复数相等的充要条件，得22111x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 消去b ，得2222222211(1)(1)1b x y x b b b +=+==+++． 所以22(0)x y x x +=≠，即2211(0)24x y x⎛⎫-+=≠⎪⎝⎭．故1z所对应的点的集合是以12⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，但不包括原点(00)，．。
复数的四则运算练习题(文理通用)
1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )．A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i. 答案 D2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 ￥解析 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形． 答案 B3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 答案 B4．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2，这两点之间的距离为________．解析 |Z 1Z 2→|＝⎝⎛⎭⎫2＋122＋－1－22＝612.{答案6125．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.解析 ∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43，由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案 36．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， ∴|z |＝a 2＋b 2＝510，：将a ＝3b 代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝15，b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．综合提高限时25分钟7．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )．A ．0B ．1解析 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离． 答案 C8．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于（( )．A ．10B ．25C ．100D ．200解析 根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5， ∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100.答案 C9．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，zC＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析 因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a－b ＝－4.）答案 －410．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为________．解析 方程|z －4i|＝|z ＋2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(－2,0))的中垂线， 易求其方程为x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2. 当且仅当2x ＝22y ， 即x ＝2y 且x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时取到最小值4 2. 答案 42^11．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解 因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2， 所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．*12．设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.解 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0. |z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z 1－z 2|2＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法三 作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→， ~ 使OZ 1→＋OZ 2→＝O Z →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，又OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形． 又∵|z 1＋z 2|＝2， ∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形，故|z 1－z 2|＝ 2.1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15i )C ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C)＋－2＋i 1＋2i的值是( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i 解析 原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i3＋－2＋i i －2＋i＝－1i ＋i ＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案 －3(5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析 z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 83 6．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i＝i 2＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.(2)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i. "法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i1－2i＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 【答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1，所以1x 2－x ＝－1，故选B.答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.:解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确． 答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝________. 解析 令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i＝22＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i. 答案 －i 11．复数z ＝1＋i2＋31－i2＋i，若z 2＋az <0，求纯虚数a .…解 由z 2＋a z <0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0，∴⎩⎨⎧－m2<0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值． 解 z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1!。
复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)
复数的四则运算同步练习题一、选择题1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 复数－i ＋1i 等于( A ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i 7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19． 在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A)A.34B.43 C ．－43 D ．－3411． 若z ＝1＋2ii ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +113.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B （C （D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31i i+-=( D ) A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i29.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ C ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 3430.复数2(1)2i i-=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+2 34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是 （ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2.52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．P4。
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复数的四则运算同步练习题
一、选择题
1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )
A ．0
B ．2i
C ．6
D ．6－2i
2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )
A ．2
B ．2＋2i
C ．4＋2i
D ．4－2i
4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )
A ．1＋i
B ．2＋I
C ．3
D ．－2－i
5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )
A ．－3i
B ．3i
C ．±3i
D ．4i
6． 复数－i ＋1i 等于( A ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i 7． i 为虚数单位，1
i ＋1i 3＋1i 5＋1
i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i
8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝－1，b ＝－1
D ．a ＝1，b ＝－1
9． 在复平面内，复数i
1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A
)
A.34
B.4
3 C ．－4
3 D ．－3
4
11． 若z ＝1＋2i
i ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i
12.复数1
1z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 21
21
+ B ．i 21
21
- C ．i -1 D ．i +1
13.=++-i i i 1)
21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +2
14. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )
A ．4＋2i
B ．2＋i
C ．2＋2i
D ．3＋i
15. 已知a ＋2i
i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
16.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )
A ．x ＝3，y ＝3
B ．x ＝5，y ＝1
C ．x ＝－1，y ＝－1
D ．x ＝－1，y ＝1
17.在复平面内，复数i
1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
18.设i 是虚数单位，_
z 是复数z 的共轭复数，若,，则z =( A )
（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -
19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )
(A)－4 （B ）－4
5 （C ）4 （D ）4
5
20.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）
（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1
21.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )
(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i
22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )
A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限
23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )
A.(2,4)
B.(2,-4)
C.(4,-2)
D.(4,2)
24.复数的11Z i =
-模为( B ) （A ）12 （B （C （D ）2
25.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i
26． i 是虚数单位，
3(1)(2)i i i -++等于 （ D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i
27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）
A ．－3
B ．3
C ．－3i
D ．3i
28.已知i 是虚数单位，则31i i
+-=( D ) A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i
29.下面是关于复数21z i
=-+的四个命题：其中的真命题为（ C ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-
()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34
30.复数2
(1)2i i
-=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )
（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --
32.设i 为虚数单位，则复数56i i
-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）
()A 22i -- ()B 22i -+
()C i 2-2 ()D i 2+2 34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )
A ．０
B ．２
C ． 52
D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1
B ．0
C ．1
D ．i 36．()()
221111i
i i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1
i ）4的值是 （ D ） A ．4i
B ．－4i
C ．4
D ．－4 二、填空题
38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．
39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．
40．复数2i －1＋3i
的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i
是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.
43.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位）
，则_________z =
44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12i
a b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i
--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．
三、解答题
49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－
i ，求C 点在复平面内的坐标．
解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．
50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．
解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，
BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，
AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.
(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，
∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12
×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2
.
52．已知复数z=1＋i ，如果221
z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得
221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩
．。