复数的四则运算同步练习题文科附答案
第7章复数专题2 复数的四则运算常考题型专题练习——【含答案】
复数的四则运算【知识总结】1.复数的加减法法则：，则设两个复数的积仍是一个复数，3.复数的除法法则：4．共轭复数：(1)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭复数用表示，即当时，．z z=(2)共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等．一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2⋅=z z z【巩固练习】1.11（1）(32i)2(1i)(5i 1)--+++；（2）2(1i)-；（3）1i1i-+ （4）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i)【答案】⑴2i +；⑵2i -；（3））i -（（4）―1000+1000i 2. （1）.已知，其中是虚数单位，那么实数．（2）．已知复数z 满足1i 1zz-=+，则1z +等于______． （3）. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(12i)(1i)(2i)z +=+-，则||z =A ．105B ．22C ．2D ．10【答案】⑴；注意是实数，复数为纯虚数，则实部为0，，则且；⑵2；1i1i(1)i i i 1iz z z z --=+=+⇒==-+，故11i 2z +=-=． （3）C 3.（1）复数的共轭复数是_________.1（2）复数满足，则_____【答案】（1)（2）4.（1）(2i)(3i)+-；（2）(34i)(43i)+-；（3)1ii+； (4)1i 1i -+；（5）43i 43i43i 43i -+++-；（6)2(1i)3(1i)2i ++-+；(7)213i 1i ⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭． 【答案】(1）7i +；（2)247i +；(3)1i -；(4)i -；(5)；(6)2i 33i 3i (3i)(2i)55i1i2i 2i 55+-----====-++；(7)213i 223i 13i3i 1i 2i i ⎛⎫-----===-+ ⎪ ⎪+⎝⎭． 5.（1)设复数，，若为实数，则等于______⑵ 若复数3i()12ia a +∈+R 为纯虚数，则实数a =_____． ⑶如果复数的实部与虚部互为相反数，则3zz z z ++=_______．【答案】⑴；⑵6-；⑶4；6、欧拉公式：i e cos isin (i xx x =+为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，i 22(e )π= A ．1 B ．1- C ．iD ．i -旗开得胜1【答案】．7、（1），（2）（3）【答案】(1) (2) (3)8、如果复数的实部与虚部互为相反数，则3zz z z ++=_______．【答案】4；(2i)(12i)(12i)(12i)b --=+-，又实部与虚部互为相反数，即，解得，故，，222233(1i)(1i)(1i)(1i)3333zz z z ++=⋅⋅-++-++84433=+=．9、的值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C10、的值是( ).A ．B ．C ．D ． 【答案】D111.若,那么的值是 .【答案】12、i 为虚数单位，则232018232018i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ） A.20182017i -+ B.10081008i - C.10101009i -+D.10101009i -【解析】(1)由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,nn n n ii i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，设232018232018S i i i i =+++⋅⋅⋅+， 两边同乘i 可得：2342019232018iS i i i i =+++⋅⋅⋅+两式相减可得()()20182320182019201911201820181i i q S i i i i i ii--=++++-=--()112018120191i i i i+=+=-+-所以()()()()1201911201910101009111i i i S i i i i -++-+===-+--+，故选C. 13、()22*1111nni i n N i i +-⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的所有能取到的值构的集合为_____________.【答案】{2,2}-【解析】222222111122[()][()][()][()]2(1)111122nnn n n n n i i i i i i i i i i i i +-+--⎛⎫⎛⎫+=+=+=- ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，2211211n ni i i i +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝=-⎭；1当n 为偶数时，2211121n ni i i i +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭=．故答案为：{2,2}-．14、（2019·上海市进才中学高二月考）设复数11i z =-+，23i z =-（i 是虚数单位），若复数z 满足12||||4z z z z ---=，则12||2z z z +-的最小值是（ ） A.1 B.223【答案】B【解析】设复数z 在复平面内对应的点Z , 因为11z i =-+,23z i =-,所以12,z z 在复平面内所对应的点1Z 、2Z 之间的距离为254>,由12||||4z z z z ---=,可得Z 的轨迹是以12,Z Z 为焦点,,实半轴长2a =,半焦距5c =的双曲线的右支,而122z z +1312i i-++-==,且点(1,0)在直线12Z Z 上, 所以12||2z z z +-的最小值等于(3,1)-与(1,0)之间的距离减去()c a -, 即22(31)(10)-+--(52)--=2. 故选B .15、若z C ∈，且4z =，则1z i +-的取值范围是________. 【答案】[42,42]-+1【解析】因为z C ∈，所以设(,)z x yi x y R =+∈因为4z =，所以2216x y +=,复数z 在复平面对应点的轨迹是以原点为圆心半径为4的圆O.式子1z i +-的几何意义是：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离,圆心O 到(1,1)-的距离为2,由圆的几何性质可知：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离的最大值为42+,最小值为42-, 因此1z i +-的取值范围是[42,42]-+. 故答案为：[42,42]-+16、若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______． 【答案】12+【解析】由复数模的三角不等式可得()()2211111112z i z i z i -+=--≤+-=++-=+，因此，1z i -+的最大值是12+. 故答案为：12+.17、已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________． 【答案】4【解析】方法一：∵复数z 满足|z|＝1， ∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4， ∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．旗开得胜1则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离， 圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d 22(3)(4)=-+-=5， ∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4， 故答案为：4．18、计算()()()()100350341311543i i i i ++=+-______.【答案】25【解析】()()()()100100333100505050341334135225.544311511543i i i i i ii i ++++⨯===⨯-++- 故答案为：25。
江苏省高二数学选修1-2同步精练：4.2复数的四则运算 Word版含答案
1．设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为( )．1i 2i a +-A ．2 B ．－2C ． D. 12-122．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )．A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－13( )．A ．iB ．－iC ．D ． -4．在复平面内，复数对应的点位于( )．3i 1i +A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知a 是实数，是纯虚数，则a ＝__________.i 1ia ++6．若复数z 满足 (i 是虚数单位)，则z ＝__________.i=i-1z 7．已知z 是虚数，且是实数，求证：是纯虚数．1+z z 11z z -+8．已知是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹．1z z -9.已知复数w 满足w －4＝(3－2w )i(i 为虚数单位)，，求一个以z 为根5+|2|z ωω=-的实系数一元二次方程．参考答案1．A 为纯虚数，∴1i 1i 2i 221i 221===i 2i 2i 2i 555a a a a a a +(+)(+)(-)+(+)-++-(-)(+).∴a ＝2.2=05a -2．D ∵(a ＋i)i ＝b ＋i ，∴－1＋a i ＝b ＋i.∴∴1=,=1,b a -⎧⎨⎩=1,= 1.a b ⎧⎨-⎩3．A .3i =i 3原式4．B ，故对33i i 1i 13i 1i 151=2=8=i 1i 1i 1i 2222⋅(-)⎡--⎤+⎛⎫+---+ ⎪⎢⎥+(+)(-)⎝⎭⎣⎦应的点位于第二象限．5．－1 ∵为纯虚数，i i 1i 11==i 1i 1i 1i 22a a a a +(+)(-)+-++(+)(-)∴∴a ＝－1.1=02102a a +⎧⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，，6．1－i ∵，i=i 1z -∴.i 1==(i 1)(i)=1+i iz ---∴z ＝1－i.7．证明：设z ＝a ＋b i(a ，b R 且b ≠0)，于是.22222211i =i+=i+=i i a b a b z a b a b a b z a b a b a b a b -⎛⎫+++++- ⎪++++⎝⎭∵，∴.1R z z +∈22=0b b a b-+∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴22222211i [1i][1i]1[11]i 02i =====i.11i 1211211z a b a b a b a b a b a b b b z a b a b a b a a a -(-)+(-)+(+)--+(+)-(-)++(+)+(+)+++++++∵b ≠0，a 、bR ，∴是纯虚数．i 1b a +8．解：∵是纯虚数，1z z -∴ (且z ≠0，z ≠1)，=011z z z z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭∴，=011z z z z +--∴,.z(1)+(z 1)=0z z --22||=+z z z 设z ＝x ＋y i(x ， y ∈R )，则x 2＋y 2＝x (y ≠0)，∴z 的对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0)．102⎛⎫ ⎪⎝⎭129.解：∵w (1＋2i)＝4＋3i ，∴.43i ==2i 12i w +-+∴.5=+|i|=3+i 2iz --若实系数一元二次方程有虚根z ＝3＋i ，则必有共轭虚根.∵，=3i z -=6z z +∴.=10z z ⋅∴所求的一个一元二次方程可以是x 2－6x ＋10＝0.。
人教A版高中数学选修一3.2复数代数形式的四则运算同步检测
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.2复数代数形式的四则运算同步检测1. 复数1+2ii (i 是虚数单位)的实部是（ ） A ．25- B ．25 C ．15- D ．15答案：B解析：解答：因为22(12i)211+21+255i i i i -==+，所以其实部为25，选B.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是解根据复数复数代数形式的乘除运算进行化简判断即可.2. 若复数1z i =+，则(1)z z +⋅=( )．A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3 答案：A解析：解答：(1)z z +⋅=()()11113i i i ++⋅+=+.故选A.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数代数形式的乘除运算进行计算即可.3. 已知复数12312z bi z i =-=-，，若12z z 是实数，则实数b 的值为（ ） A ．0 B ．32- C ．6 D ．6-答案：C解析：解答：()()()()1231232631255bi i b b iz bi R z i -+++--===∈-,所以606b b -=⇒=. 故C 正确.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算；，解决问题的关键是根据所给复数进行计算然后结合条件解方程即可. 4. 设1(z i i =+是虚数单位），则22z z+=（ ） A.1i -- B.1i -+ C.1i + D.1i - 答案：C解析：解答：将z 代入,i i i i i+=+-=+++121)1(122,故选C. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据所给复数代入化简即可.5. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为（ ） A ．3- B ．1 C ．1- D ．3 答案：D解析：解答：(1i)(12i)3,z i =-+=+所以 3z i =-，其实部为3，选D ．分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是首先计算z ，然后根据根据定义计算即可. 6. 在复平面内，复数2ii-对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C解析：解答：由题意22(2)12i i ii i i--==--，其对应的点的坐标为(1,2)--.则该点位于第三象限，故选C.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数运算性质进行化简，然后根据复数表示法的几何意义判定即可. 7. ．已知复数z 满足()31212i z i +=+，则z =（ ）A ．3455i + B ．3455i -+ C ． 3455i -- D ．3455i - 答案：B解析：解答：因为()31212iz i +=+,所以()()3(12)121212144341212(12)12555i i i i i z i i i i i ++++-+=====-++--+,故选B. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据复数代数形式的运算性质计算即可.8. 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2=( ) A. 4-2i B. 4+2i C. 2+4i D. 2-4i 答案：B解析：解答：设z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+2i(a 1,b 1, a 2为实数) ∵(z 1－2)(1＋i)＝(a 1-2+b 1i)(1+i)= a 1-2-b 1+( a 1-2+b 1)i=1-i ∴a 1-2-b 1=1, a 1-2+b 1=-1 ∴a 1=2,b 1=-1,即z 1=2-i∵ (2-i)( a 2+2i)= 2a 2+2+(4-a 2)i,且 z 1·z 2是实数, ∴4-a 2=0, 即a 2=4 ∴z 2=4+2i,故选B.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是所给条件设出复数21,z z 代入化简根据z 1·z 2是实数解方程得到所求复数即可. 9. 若复数143-++iia （a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （ ） A.7 B.-7 C.34 D.34-答案：A解析：解答：由已知得，()(34)(34)(34)1=1134(34)(34)25a i a i i a a ii i i ++-++---=-++-，故341025a +-=，解得7a =．故选A. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是首先根据复数运算性质进行化简结合所求复数满足条件求解a 值即可.10. i 是虚数单位，若()1z i i =+，则|z|等于（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 答案：B解析：解答：由题可得()211z i i i i i =+=+=-+,根据复数模的计算公式可得()22112z =-+=,故选B.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算、复数求模，解决问题的关键是化简所给复数，根据复数模的定义计算即可. 11. 设a 是实数，若复数21i i a -+（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0=+y x 上，则a 的值为（ ）A.1-B.0C.D.2 答案：B解析：解答：由复数21i i a -+可化为11()22a i -+.复数对应的点在直线0=+y x 上，所以可得110,022a a --=∴=,故选B. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的加减运算，解决问题的关键是根据所给复数满足条件代入计算即可.12. 若a+bi=(1+i)(2-i)（i 是虚数单位，a,b 是实数），则a+b 的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：解答：i i i bi a +=+-+=+3122,4,1,3=+==∴b a b a ,故选C.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义，解决问题的关键是根据复数运算性质及复数相等进行计算即可.13. 已知a R ∈，若12aii+-为实数，则a =（ ） A ．2 B ．-2 C ．12- D ．12答案：C 解析：解答：1(1)(2)22212=2(2)(2)555ai ai i i ai a a a i i i i +++++--+==+--+，∵12ai i +-为实数，∴1205a +=，∴12a =-.故选C. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据所给复数化简结合所给复数为实数求得a 值即可.14. 已知复数z 满足z(1+i)=1(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 是( ) A.1122i + B. 1122i - C. 1122i -+ D. 1122i -- 答案：A解析：解答：因为()z 1+i =1，所以，()()111111122i z i i i i -===-++-,11=+22z i 故选A分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可.15. 已知定义在复数集C 上的函数f(x)满足()1,(1),x x Rf x i x x R +∈⎧=⎨-∉⎩，则f(1+i)等于( )A ．2-B ．0 C.2 D ．2i + 答案：C解析：解答：因为定义在复数集C 上的函数f(x)满足()1,(1),x x Rf x i x x R +∈⎧=⎨-∉⎩所以，()()()211112f i i i i +=-+=-=,故选C.分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据函数的性质运算即可.16. 若复数21iz i=+（i 为虚数单位）,则复数z 的模z = . 答案：2 解析：解答：∵22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-，∴22||112z =+=. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可.17. 已知复数(),,z x yi x y R =+∈且21,z -=则,x y 满足的轨迹方程是 .答案：()2221x y -+=解析：解答：因为()222221z x yi x y -=+-=++=，化简得()2221x y -+=.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数求模，解决问题的关键是根据复数模的定义化简求得方程轨迹即可. 18. i + i 2 + i 3++ i 2016= .答案：0解析：解答：令n n a i =,则23412345,1,,1,,a i a i a i i a i a i ===-==-===,则nn a i =以4为周期.因为20164504=⨯,所以()()232012234504504110i i i i i i i i i i ++++=+++=--+=.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可. 19. 设z a i =+（a R +∈，i 是虚数单位），满足22z=，则a =________. 答案：1解析：解答：依题意可得22222,21a i a i a -=∴=++.所以224421a a +=+, 解得1,1a a ==-（舍去）.所以1a =分析：本题主要考查了复数求模，解决问题的关键是根据模的定义化简得到关于a 的方程计算即可.20. i 是虚数单位，复数k iz i-=在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是 . 答案：(0,)+∞ 解析：解答：因为1k iz ki i-==--，又在复平面内对应的点(1,)k --在第三象限，所以0k >.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义 复数代数形式的混合运算、解决问题的关键是根据所给复数，根据其满足条件几何复数集合性质求解判断即可. 21.已知x 、y 为共轭复数，且(x ＋y)2－3xyi ＝4－6i ，求x 、y.答案：11y i x i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－＋，＝－－或11.x i y i ⎧⎨⎩＝－－＝－＋ 解析：解答：设x ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则y ＝a －bi ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，代入原式，得(2a)2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得222443()6a a b ⎧⎪⎨⎪⎩＝，－＋＝－，解得11.a b ⎧⎨⎩＝，＝或11.a b ⎧⎨⎩＝，＝-或11.a b ⎧⎨⎩＝－，＝或11.a b ⎧⎨⎩＝－，＝－ 故所求复数为11y i x i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－＋，＝－－或11.x i y i ⎧⎨⎩＝－－＝－＋ 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是设出复数x,根据x,y 为共轭复数得到y,然后运算得到xy 代入所给式子根据复数相等得到方程组计算即可.22. 已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2ziω=+，且||52ω=,求复数ω. 答案：()7i ω=±-解析：解答：设,(,)z x yi x y R =+∈，则(13)i z +⋅=(3)(3)x y x y i -++为纯虚数， 所以30x y =≠，因为||||522ziω==+， 所以22||510z x y =+=；又3x y =，解得15,5;15,5x y x y ===-=- ， 所以155(7)2ii iω+=±=±-+. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是设,(,)z x yi x y R =+∈，代入(13)i z +⋅计算整理，因为(13)i z +⋅为纯虚数则计算整理所得的复数实部为0虚部不为0.可计算得出,x y 间的关系，再将z 其代入2ziω=+，根据模长公式可求得,x y 间的另一组关系式，解方程组可得,x y ，即可求得ω. 23. 已知复数z 满足i z i 22)1(+-=+（i 是虚数单位） （1）求z 的虚部； 答案：22ii(z 1)22i z 122i i-++=-+∴+==+i z 21+=， z 的虚部为2（2）若i z 21-=ω，求2015||ω． 答案：i i z 545321+-=-=ω，1||=ω，1||2012=ω． 解析：解答：（1）22ii(z 1)22i z 122i i -++=-+∴+==+ i z 21+=， z 的虚部为2 ． （2）i i z 545321+-=-=ω，1||=ω，1||2012=ω． 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键(1)是根据所给条件化简得到复数z 的虚部；（2）化简所求复数不难得到其模. 24. 已知z 、ω为复数，（1+3i ）z 为实数，ω=,||52,2ziωω=+且求 答案：ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.解析：解答：设ω＝x+yi(x ，y ∈R)，复数z 用复数ω表示，整理（1+3i ）z 的虚部为0，和||52ω=，可求出x ，y ，即得到复数ω.设ω＝x+yi(x ，y ∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)ω＝(－1+7i)ω为实数，且|ω|＝52，∴227050x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解之得17x y =⎧⎨=⎩或17x y =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数求模，解决问题的关键是设ω＝x+yi(x ，y ∈R)然后求得复数z,代入（1+3i ）z 化简求得x,y 然后得到ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.25. 设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)．求z 的值和|z －ω|的取值范围． 答案：[0,2]解析：解答：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i ， 得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i.∴解得3212a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝，，∴z ＝32＋12i.|z －ω|＝2231312222i sin icos sin cos θθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－（－）＝－＋＋ 23sin cos θθ＝－＋＝26sin πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭2－－.2∵－1≤sin 6πθ⎛⎫⎪⎝⎭－≤1，∴0≤2－2sin-6（）≤4. ∴0≤|z －ω|≤2.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，可得z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i 化简整理根据复数相等得到a,b 的值，求得|z －ω|，根据三角函数性质求解其值域得到所求复数模的范围即可.。
2019届人教B版(文科数学)复数代数形式的四则运算单元测试
（测试时间：35分钟，总分：100分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足1i 1zz+=-，则||z = A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】A【解析】由题意知1i i z z +=-，所以2i 1(i 1)i i 1(i 1)(i 1)z --===++-，所以||1z =．故选A ． 2．在复平面内，复数2(13i)+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．已知复数22i 22z =+，则1i z -= A ．2i 2-B ．2iC ．2i 2D ．i【答案】C 【解析】因为22i 22z =+，所以21i 2i 1i 21i 2z +=⨯=--，故选C ．学* 4．32(1i)(1i)+=- A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --【解析】322222(1i)(1i)1i 2i(1i)(1i)1i (1i)(1i)1i 2i++++=⋅+=⋅+=----+-，故选D ． 5．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)1i z -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．1 B ．1- C ．iD ．i -【答案】D【解析】由(1i)1i z -=+可得1ii 1iz +==-，则复数z 的共轭复数为i -．故选D ．学* 6．设复数,()i a b a b +∈R 的模为3，则()()i i a b a b +-= A ．3 B ．3 C ．3-D ．3-【答案】B【解析】复数,()i a b a b +∈R 的模为223a b +=，则223a b +=，则22i i ()()3a b a b a b +-=+=，故选B ． 7．若复数z 满足42ii 1z -=-（i 为虚数单位），则下列说法错误的是 A ．复数z 的虚部为1-B ．||10z =C ．复平面内与复数z 对应的点在第二象限D ．3i z=-+【答案】C8．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线y x =-上，则z z ⋅= A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．已知复数z 满足2(34i)(12i)z +=+，则复数z 的模为 A ．1 B ．2 C ．2D ．4【答案】A【解析】由2(34i)(12i)z +=+，可得2(12i)34i (34i)(34i)724i34i 34i (34i)(34i)25z +-+-+-+====+++-，所以||z =22724()()12525+=．故选A ．学*10．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i e a 为纯虚数，则复数sin 2i1ia ++在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为i e cos isin a a a =+为纯虚数，所以cos 0a =且sin 0a ≠，所以sin 22sin cos 0a a a ==，所以sin 2i i 11i 1i 1i 22a +==+++，在复平面内对应的点为11(,)22，位于第一象限，故选A ．11．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若i 22z z z ⋅+=，则z =A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】设(i ,)z a b a b =+∈R ，则i 2(i i i )i (2)22a b a b a z b z ⋅+==+-++，所以222a b b +=，22a =，解得1a =，1b =，故1i z =+．故选A ．12．（2017新课标全国I ）设有下面四个命题：1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．将正确的答案填在题中的横线上． 13．34i||5i-=_______________． 【答案】1 【解析】2234i 3i 43i 434||||||()()15i 5555-++===+=-．故填1．学* 14．已知i 为虚数单位，复数13i1iz +=-，则复数z 的实部是_______________． 【答案】1-【解析】由题意可得13i (13i)(1i)13i i 324i12i 1i (1i)(1i)22z +++++--+=====-+--+，则复数z 的实部是1-．故填1-．15．（2017江苏）已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______________．【答案】10【解析】|||(1i)(12i)||1i ||12i |2510z =++=++=⨯=，故填10．【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -．16．（2017浙江）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=___________，ab =___________． 【答案】5 2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225a b +=，2ab =．17．（2017天津）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为_______________． 【答案】2-18．设x ∈R ，i 为虚数单位，且11i 1ix +∈+-R ，则x =_______________． 【答案】1【解析】由题意可得11i 1i x +=+-1i 1i 11i 2222()x x x -++-+=+，所以1x =． 19．若复数122i,2i(i z a z =+=+是虚数单位)，且12z z 为纯虚数，则实数a =_______________．【答案】1【解析】因为12(2i)(2i)(22)(4)i z z a a a =++=-++，其为纯虚数，所以220a -=，解得1a =． 20．已知复数i()ia z a +=∈R ，i 是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是_______________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】因为()ii i 1i ia z a a +==-+=-，所以由题意得00a a -<⇒>，故实数a 的取值范围是。
复数的四则运算同步练习题
复数的四则运算同步练习题一、选择题1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 复数－i ＋1i等于( A ) A ．－2i i C ．0 D ．2i7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19． 在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A )C ．－43D ．－3411． 若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,z?z̅i +2=2z ，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C（D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i -（D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ）A ．1＋iB ．－1－iC ．1＋3iD ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31ii +-=( D )A .1-2i +i D .1+2i29.下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ C ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-30.复数2(1)2i i -=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是 （ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积． 解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2. 52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。
2025新高考数学计算题型精练专题05 复数的四则运算(解析版)
2025新高考数学计算题型精练复数的四则运算1．34i i +的共轭复数为（）．A ．1i +B ．1i-C ．1i-+D ．1i--【答案】A【详解】因为34i i 1i +=-，则其共轭复数为1i +．故选:A 2．若22i i 1i z +=+，则z =（）A ．13i22+B ．13i22-C ．13i22-+D ．13i22--【答案】B 【详解】因为2i 1(2i 1)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ---+====+++-，所以13i 22z =-．故选：B 3．已知i i z z +=，则z =（）A2B ．0C ．12D ．1【答案】A【详解】设i z a b =+，则()21i i i i a b a b b a ++=+=-+，故1a b b a =-⎧⎨+=⎩，解之得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2z ==.故选:A 4．已知i1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【答案】D 【详解】由i 1i z=+，则()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-，则1i 2z -=，所以i z z -=．故选：D ．5．543i=-（）A ．43i-+B ．43i +C ．43i55-+D ．43i55+【答案】D【详解】()()()()543i 543i 543i 43i 43i 43i 2555++===+--+.故选：D 6．若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）A ．2BC ．3D ．5【答案】D【详解】()43i i 43i 4i 3i 43i 34i i i i 1z z +⋅+-⋅=+∴====-⋅- ，，5z ∴=.故选：D.7．若a 为实数，且7i2i 3ia +=-+，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【详解】由题意得，()()2i 3i 7i1iia -+--===-，故选：C ．8．2(1=（）A ．2+B ．2-C ．2-+D ．2--【答案】C【详解】22(113i 2+=++=-+；故选：C.9．已知复数3i2i 12iz +=++，则z =（）A ．1BC ．2D ．【答案】B【详解】因为()()3i 12i 3i2i 2i 1i 2i 1i 12i 5z +-+=+=+=-+=++，所以z =．故选:B10．()1i 1z -=，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i-【答案】B【详解】()1i 12z -=-= ，()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z ++∴====+--+，1i z ∴=-.故选：B.11．设11iz =+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．1D ．0【详解】由题意可得11i 11i 1i 222z -===-+，则11i 22z =+，所以1111i i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A12．已知i 为虚数单位，复数13i2iz -=+，则z =（）A ．2BC D【答案】C 【详解】()()()()13i 2i 13i 17i 17i 2i 2i 2i 555z -----====--++-，则z =故选：C.13．已知i 为虚数单位，复数z满足(13i)i z =，则z =（）A ．i -B iC 1i2D 1i 2【答案】D【详解】依题意，2i 1i422z -===-，所以1i 22z =+.故选：D 14．若复数()43i i z =-，则z =（）A ．25B ．20C ．10D ．5【答案】D【详解】因为()43i i 34i z =-=+，所以5z ==，故选:D.15．设复数z 满足()1i 4z -=，则z =（）A ．B ．1C D ．2【答案】A【详解】由()1i 4z -=，得()()()41i 444i 22i 1i 1i 1i 2z ⨯++====+--⨯+，所以z ==故选：A.16．已知复数()()()1i 2i z a a =-+∈R 在复平面对应的点在实轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．-2【详解】依题意，()()()()1i 2i 22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在实轴上，所以20a -=，解得2a =.故选：C.17．已知复数z 满足(1)(23i)32i z --=+，则z =（）A ．0B ．iC ．1i-+D ．1i+【答案】D【详解】∵(1)(23i)32i z --=+，∴()()()()32i 23i 32i 13i1111i 23i 23i 23i 49z +++=+==+=+--++，故选：D.18．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A ．2i --B ．2i-+C ．2i+D ．2i-【答案】B【详解】由已知可得，12i 2i i z -==--，从而2i z =-+.故选：B.19．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1iz -=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【详解】由()()()()3i 1i 3i 42i2i i 1i 1i 1i 2z -+-+====+--+，则2i 1z =-，所以z 的虚部为2．故选：D ．20．已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】C 【详解】()()()()24i 2i 24i 10i2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，故虚部为2-.故选：C 21．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C 【详解】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.22．已知复数z 满足()()1i 2i 2i z --=，则z 的虚部为（）A ．1-B ．i-C ．3D ．3i【答案】C【详解】因为()()()2i 1i 2i2i 2i i 12i 13i 1i 1i 1i z +=+=+=-+=-+--+，所以z 的虚部为3，故选：C.23．已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）A B ．2C ．D ．2±【答案】D【详解】因为i z a =+，所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D 24．已知复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则z =（）A ．1B ．2C D【答案】C【详解】因为方程2220x x +=-是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即22i1i 2z ±==±，所以z ==故选：C 25．若复数()2iR 2ia z a -=∈+是纯虚数，则=a （）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】D【详解】由题意设i z b =（0b ≠），2ii 2ia zb -==+，即()2i i 2i 2i a b b b -=+=-+，则22a b b =-⎧⎨=-⎩，解得：1,1a b ==-.故选：D 26．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）A ．2BC ．D【答案】B【详解】因为()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，因此，z ==故选：B.27．已知复数1i 22z =+，则3z =（）A ．34B C ．1D 【答案】C【详解】法一：由复数乘法运算得231111i i i i =i 22222222z ⎫⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则31z =，法二：由1||12z ==，则31z =，故选：C 28．已知复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =___________．【答案】5【详解】由i 43i z ⋅=+得2243i 4i 3i 4i 334i i i 1z ++-====--，因为5z ==，所以5z z ==，故答案为：5．29．3ii+=______【答案】13i -【详解】()23i i3i 13i i i ++==-.故答案为：13i -30．复数z 满足26i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为___________.【答案】-1【详解】令i z a b =+，则i z a b =-，所以()()22i i 3i=6i z z a b a b a b +=++-=+-，故z 的虚部为1-.故答案为：-1.31．设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i+【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()i 1i ii i i i 221111z -===+++-.故答案为：1i +.32．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，则12z z +=________.【答案】3i -/-i+3【详解】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，所以12i z =+，212i z =-，所以123i z z +=-，故答案为：3i -.33．若复数21iz =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以i 12i z -=-==.故答案34．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =_____________．【答案】13i 22-+．【详解】由(1i)12i z -=+可得()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z +++-+===--+--+.故答案为：13i 22-+.35．若()12i 1z +=，则()1i z +=______【答案】62i55-【详解】因为()12i 12z +===，所以()212i 224i 12i 145z --===++，故()()24i 22i 4i 4621i 1i i 5555z -+-++=⨯+==-.故答案为：62i 55-.36．若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】23i-【详解】由2136i z -=+，得246i z =+，∴23i z =+，则23i z =-．故答案为：23i -．37．已知复数i 12i 2iz=-++，则z 的虚部为______．【答案】4-【详解】解：由题意得(12i)(2i)(43i)i34i i i iz -++-+===+⋅，则34i z =-，所以z 的虚部为－4，故答案为：-438．已知复数z 满足210z z ++=，则z z ⋅=_____________.【答案】1【详解】因为22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即2213i 242z ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，12z =-或1i 22z =-+，若12z =-，则122z =-+，则111312244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若1i 22z =-+，则12z =-，则1113i 1222244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，1z z ⋅=.故答案为：1.39．已知复数z 满足()1i i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】12/0.5【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：12.40．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【答案】2【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故答案为：241．已知复数z 满足()12i |43i |z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为___________.【答案】12i+【详解】由()12i 43i 5z +=-==，得()()()()2512i 512i 512i 12i 12i 12i 14i z --====-++--，则复数z 的共轭复数为12i z =+；故答案为：12i +42．复数312i3i ++的值是_____________．【答案】17i 1010+【详解】解：312i 12i (12i)(3i)17i 17i 3i 3i 10101010+++++====++-．故答案为：17i 1010+.。
高中数学复数的四则运算
复数的四则运算同步练习一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=()A. 12B. √22C. √2D. 22.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i3.复数z=(i−1)2+4i+1的虚部为()A. −1B. −3C. 1D. 24.若z=4+3i，则z|z|=()A. 1B. −1C. 45+35i D. 45−35i5.已知i是虚数单位，复数z满足z(3+4i)=1+i，则复平面内表示z的共轭复数的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2−；p4：若复数z∈R，则z−∈R．其中的真命题为()A. p1，p3B. p1，p4C. p2，p3D. p2，p47.i为虚数单位，则(1+i1−i)2016=()A. −iB. −1C. iD. 18.若为a实数，且2+ai1+i=3+i，则a=()A. −4B. −3C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知复数z满足z+3z=0，则|z|=______ ．10.已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1+i)(1−bi)=a，则ab的值为______．11.已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是______．12.设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）13.设z1=2x+1+(x2−3x+2)i，z2=x2−2+(x2+x−6)i(x∈R)．(1)若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；(2)若z1>z2，求实数x的取值范围．14.已知z为复数，z+2i和z2−i均为实数，其中i是虚数单位．(1)求复数z和|z|；(2)若z1=z+3m+(m2−6)i在第四象限，求实数m的取值范围．15.复数(m2−5m+6)+(m2−3m)i，m∈R，i为虚数单位．(I)实数m为何值时该复数是实数；(Ⅱ)实数m为何值时该复数是纯虚数．16.已知关于x的方程xa +bx=1，其中a，b为实数．(1)若x=1−√3i是该方程的根，求a，b的值；(2)当ba >14且a>0时，证明：该方程没有实数根．。
复数的四则运算练习题(文理通用)
1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )．A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i. 答案 D2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 ￥解析 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形． 答案 B3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 答案 B4．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2，这两点之间的距离为________．解析 |Z 1Z 2→|＝⎝⎛⎭⎫2＋122＋－1－22＝612.{答案6125．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.解析 ∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43，由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案 36．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， ∴|z |＝a 2＋b 2＝510，：将a ＝3b 代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝15，b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．综合提高限时25分钟7．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )．A ．0B ．1解析 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离． 答案 C8．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于（( )．A ．10B ．25C ．100D ．200解析 根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5， ∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100.答案 C9．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，zC＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析 因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a－b ＝－4.）答案 －410．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为________．解析 方程|z －4i|＝|z ＋2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(－2,0))的中垂线， 易求其方程为x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2. 当且仅当2x ＝22y ， 即x ＝2y 且x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时取到最小值4 2. 答案 42^11．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解 因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2， 所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．*12．设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.解 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0. |z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z 1－z 2|2＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法三 作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→， ~ 使OZ 1→＋OZ 2→＝O Z →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，又OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形． 又∵|z 1＋z 2|＝2， ∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形，故|z 1－z 2|＝ 2.1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15i )C ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C)＋－2＋i 1＋2i的值是( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i 解析 原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i3＋－2＋i i －2＋i＝－1i ＋i ＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案 －3(5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析 z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 83 6．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i＝i 2＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.(2)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i. "法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i1－2i＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 【答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1，所以1x 2－x ＝－1，故选B.答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.:解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确． 答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝________. 解析 令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i＝22＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i. 答案 －i 11．复数z ＝1＋i2＋31－i2＋i，若z 2＋az <0，求纯虚数a .…解 由z 2＋a z <0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0，∴⎩⎨⎧－m2<0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值． 解 z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1!。
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复数的四则运算同步练习
题文科附答案
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
复数的四则运算同步练习题
一、选择题
1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )
A ．0
B ．2i
C ．6
D ．6－2i
2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )
A ．2
B ．2＋2i
C ．4＋2i
D ．4－2i
4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )
A ．1＋i
B ．2＋I
C ．3
D ．－2－i
5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )
A ．－3i
B ．3i
C ．±3i
D ．4i
6．复数－i ＋等于( A )A ．－2i i C ．0 D ．2i
7．i 为虚数单位，＋＋＋等于( A )A ．0 B ．2i C ．－2iD ．4i
8．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝－1，b ＝－1
D ．a ＝1，b ＝－1
9．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．设复数z 的共轭复数是，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·是实数，则实数t 等于
( A )
C ．－
D ．－
11．若z ＝，则复数等于( D )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i
12.复数11z i =-的共轭复数是（B ）A ．i 2121+ B ．i 2
121- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1)21)(1((C)A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +2
14.若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )
A ．4＋2i
B ．2＋i
C ．2＋2i
D ．3＋i
15.已知＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
16.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )
A ．x ＝3，y ＝3
B ．x ＝5，y ＝1
C ．x ＝－1，y ＝－1
D ．x ＝－1，y ＝1
17.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( B )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
18.设i 是虚数单位，_
z 是复数z 的共轭复数，若,z?z̅i +2=2z ，则z =(A)
（A ）1+i （B ）1i -（C ）1+i -（D ）1-i -
19.若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( D)
(A)－4 （B ）－ （C ）4 （D ） 20.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（A ）
（A ）i +-1（B ）i --1（C ）i +1（D ）i -1
21.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(D)
(A)2+i (B)2-i (C)5+i (D)5-i
22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(D)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是(C)
A.(2,4)
B.(2,-4)
C.(4,-2)
D.(4,2)
24.复数的11Z i =
-模为(B)（A ）12（B ）2（C ）（D ）2
25.()3=(A)（A ）8-（B ）8（C ）8i -（D ）8i
26．i 是虚数单位，
3(1)(2)i i i -++等于（D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i
27．设复数z=1,则z 2－2z 等于（A ）
A ．－3
B ．3
C ．－3i
D ．3i
28.已知i 是虚数单位，则
31i i +-=(D) ++2i
29.下面是关于复数21z i
=-+的四个命题：其中的真命题为（C ） 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-
30.复数2
(1)2i i
-=（B ）A 、1B 、1-C 、i D 、i - 31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为(A)
（A ）35i +（B ）35i -（C ）35i -+（D ）35i --
32.设i 为虚数单位，则复数56i i
-=(D)A ．6+5iB ．6-5iC ．-6+5iD ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（D ）
34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=(D)
A ．０
B ．２
C ．52
D ．５
35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（B ）A ．－1
B ．0
C ．1
D ．i 36．()()221111i
i i i -++=+-（D ）A ．i B ．i -C ．1D ．1-
37．复数（1＋1i
）4的值是（D ）A ．4i B ．－4i C ．4 D ．－4 二、填空题
38．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量对应的复数是__3＋i__．
39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．
40．复数的虚部是___－____．
41．已知z 是纯虚数，是实数，那么z ＝___－2i____.
42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.
43.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位），则_________z
=44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b +=4
45.设a b ∈R ，，117i i 12i
a b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为8． 46.若12z a i =+,234z i =-，且
12z z 为纯虚数，则实数a 的值为38． 47.已知312i a i
--=+(i 是虚数单位),那么a 4=－4． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z=－2i ．
三、解答题
49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量对应的复数是1＋2i ，向量
对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．
解 ∵＝－，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，
∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－
2)．
50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．
解析: (1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，
对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，
对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝××2＝2.
51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2.
52．已知复数z=1＋i ，如果221
z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得
221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。