高中数学-复数的基础知识
高中数学中的复数运算全面讲解与应用
高中数学中的复数运算全面讲解与应用在高中数学中，学生将会接触到复数运算这一概念。
复数是由实部和虚部构成的数，常用形式是a+bi，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
复数运算主要包括加法、减法、乘法和除法，下面将对这些运算进行全面的讲解与应用。
一、复数加法复数加法遵循实部相加，虚部相加的原则。
例如，要计算(2+3i)+(4+5i)，只需将实部2和4相加，虚部3i和5i相加，即可得到结果6+8i。
在实际应用中，复数加法可以用于描述电路中的电阻和电抗之间的关系。
电阻是电路中的有效电阻，而电抗则是电路中的交流元件对交流电流的阻碍程度。
通过复数加法，我们可以方便地计算电路中电阻和电抗的总和。
二、复数减法复数减法与复数加法类似，也是实部相减，虚部相减的原则。
例如，要计算(2+3i)-(4+5i)，只需将实部2和4相减，虚部3i和5i相减，即可得到结果-2-2i。
在实际应用中，复数减法可以用于计算电路中的电压降和电流之间的关系。
电压降是电路中元件所消耗的电压，而电流则是流经电路的电荷数量。
通过复数减法，我们可以方便地计算电路中电压降和电流之间的关系。
三、复数乘法复数乘法是通过实部相乘，虚部相乘，并注意到i的平方等于-1的性质来进行计算。
例如，要计算(2+3i)×(4+5i)，可以按照以下步骤进行：(2+3i)×(4+5i) = 2×4 + 2×5i + 3i×4 + 3i×5i= 8 + 10i + 12i - 15= -7 + 22i在实际应用中，复数乘法可以用于计算电路中的功率和相位之间的关系。
功率是电路中的能量消耗速率，而相位则是电路中元件电压和电流之间的时间延迟关系。
通过复数乘法，我们可以方便地计算电路中功率和相位之间的关系。
四、复数除法复数除法是通过实部相除，虚部相除，并注意到i的平方等于-1的性质来进行计算。
例如，要计算(2+3i)÷(4+5i)，可以按照以下步骤进行：(2+3i)÷(4+5i) = (2+3i)×(4-5i) / (4+5i)×(4-5i)= (8+3i-10i-15) / (16+20i-20i-25)= (-7-7i) / (16+25)= -7/41 - 7i/41在实际应用中，复数除法可以用于计算电路中的阻抗和电阻之间的关系。
高中数学中的复数及其运算规则
高中数学中的复数及其运算规则在高中数学中，复数是一个重要的概念，它不仅可以用来解决实数范围内无解的方程，还可以应用于许多实际问题中。
本文将介绍复数的定义、运算规则以及一些常见的应用。
一、复数的定义复数是由实数和虚数部分组成的数，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
实数部分 a 是复数的实部，虚数部分 b 是复数的虚部。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的和为 z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i，差为 z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。
2. 复数的乘法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的乘积为 z1*z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
3. 复数的除法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的商为 z1/z2 =(a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2) + ((a2b1-a1b2)/(a2^2+b2^2))i。
4. 复数的共轭复数 z = a+bi 的共轭复数记作 z* = a-bi。
共轭复数的实部与原复数相同，虚部的符号相反。
5. 复数的模复数 z = a+bi 的模记作 |z|，定义为|z| = √(a^2+b^2)。
复数的模表示复数到原点的距离。
6. 复数的幂运算设有一个复数 z = a+bi 和一个正整数 n，则 z 的 n 次幂定义为 z^n = (a+bi)^n = r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中 r = |z|，θ 是 z 的辐角。
三、复数的应用1. 解方程复数可以用来解决实数范围内无解的方程，如 x^2+1=0。
设 x = a+bi 是方程的解，则代入方程得到 (a+bi)^2+1=0，展开后得到 a^2-b^2+2abi+1=0，由此可得到两个方程 a^2-b^2+1=0 和 2ab=0。
复数的代数表示法及其几何意义-高中数学知识点讲解
复数的代数表示法及其几何意义
1．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是 1，
y 轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数 0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，
→
b）→平面向量푂푍．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z 对应的点与复数z0 对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔푧=z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi 为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0 时，z ―푧= 2bi 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z +푧= 0 且z≠0．
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高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数构成。
在高中数学中，我们学习了复数的表示形式、运算法则以及复数的应用。
下面是对高中数学中复数知识点的总结，希望对您有所帮助。
一、复数的定义和表示形式复数是由实数和虚数构成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部可以是任意实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：分别对实部和虚部进行相加或相减。
2. 复数的乘法：将复数写为a+bi和c+di的形式，然后应用分配律进行计算。
3. 复数的除法：将除数乘以共轭复数的分子和分母，然后将分子和分母分别展开，最后进行化简。
4. 复数的乘方和开方：使用欧拉公式、指数形式以及三角函数的相关知识，将复数转化为指数形式进行计算。
5. 复数的共轭：实部不变，虚部变号。
6. 复数的模：复数与自身的共轭复数的乘积的平方根。
三、复数的应用1. 解方程：复数可以用来解决无实数解的方程，如x²+1=0。
2. 平面向量：复数可以表示平面上的向量，方向由复数的幅角表示，长度由复数的模表示。
3. 电路分析：复数可以用于分析交流电路，计算电流、电压和功率。
4. 振动系统：复数可以用于描述和分析振动系统的运动情况。
5. 信号处理：复数可以用于处理信号的频率、相位和幅度等特征。
四、常见的复数知识点1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中i为虚数单位，θ为实数。
2. 常见公式：(a+bi)(a-bi)=a²+b²，其中a、b为实数。
3. 求方程的根：如x²+1=0的根为±i。
4. 模的性质：|z₁·z₂|=|z₁|·|z₂|，其中z₁、z₂为复数。
5. 幂的性质：(a+bi)ⁿ=aⁿ+[C(n,1)aⁿ⁻¹b+C(n,2)aⁿ⁻²b²+...+C(n,n-1)abⁿ⁻¹+bn]i，其中C(n,m)为组合数。
高一复数怎么理解知识点
高一复数怎么理解知识点高中一年级的学生在英语学习中，会接触到复数这一知识点。
复数是英语中一项基础而重要的语法知识，正确理解和运用复数形式对于语言学习的成功至关重要。
本文将介绍高一复数的概念、形式以及使用方法，并提供一些学习复数的实用技巧。
一、复数的概念和形式复数（plural）是英语中表示多个个体或事物的名词形式。
在大多数情况下，复数形式的名词是通过在单数形式后面加上“-s”或“-es”来构成的。
1. 一般规则大部分名词的复数形式是在单数形式后面加上“-s”。
例如，“book”（书）的复数形式是“books”（书籍），“cat”（猫）的复数形式是“cats”（猫咪）。
2. 特殊规则有一些名词的复数形式比较特殊，需要记住其形式变化。
- 当名词以s、x、ch、sh结尾时，复数形式应在单数形式后加上“-es”。
例如，“box”（盒子）的复数形式是“boxes”（盒子们）。
- 当名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y变为i，再加上“-es”。
例如，“baby”（婴儿）的复数形式是“babies”（婴儿们）。
- 当名词以“-f”或“-fe”结尾时，复数形式将f或fe改为v，再加上“-es”。
例如，“leaf”（叶子）的复数形式是“leaves”（叶子们）。
二、复数的用法除了表达多个个体或事物以外，复数在句子中还有其他几种常见的用法。
1. 表示泛指复数形式的名词可以用来表示一类人或事物的泛指。
例如，“Children should obey their parents.”（孩子们应该服从父母。
）这里的“children”表示所有的孩子。
2. 表示具体数量复数形式的名词可以表示确切的数量。
例如，“There are three boys in the classroom.”（教室里有三个男孩。
）这里的“boys”表示确切的数量为三个。
3. 表示部分整体复数形式的名词还可以表示整体的一部分。
例如，“Some students are good at math.”（有些学生擅长数学。
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580教学内容
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580专题二 复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
高中复数知识点总结
高中复数知识点总结高中复数知识点总结在高中数学学习中，复数是一个重要的概念和工具。
复数是由一个实数和一个虚数按照一定规则构成的数，可以用于解决很多数学问题，特别是在代数、函数、解析几何和电磁学等领域中。
以下是高中复数知识点的总结：1. 复数的定义：复数是由一个实数和一个虚数相加构成的数，形如a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分。
实数部分a和虚数部分b都是实数。
2. 共轭复数：对于复数a+bi，共轭复数为a-bi，即保持实部不变，虚部取负。
3. 复数的表示形式：复数除了直角坐标形式a+bi，还有极坐标形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
4. 模和幅角的关系：模r表示复数与原点的距离，幅角θ表示复数与正实轴的夹角。
r的计算公式为|r|=√(a²+b²)，幅角θ的计算公式为θ=arctan(b/a)。
5. 直角坐标形式与极坐标形式的转换：复数可以在直角坐标系和极坐标系之间互相转换。
直角坐标形式转换为极坐标形式，可利用|r|和θ的公式，极坐标形式转换为直角坐标形式，可将r和θ代入复数的表示公式。
6. 复数的加法和减法：复数的加法和减法按照实部和虚部分别相加和相减的原则。
7. 复数的乘法：复数的乘法按照分配率和乘法公式展开进行计算。
8. 复数的除法：复数的除法通过乘以倒数来进行，其中分母的共轭复数作为分子的共轭复数的倒数。
9. 欧拉公式：欧拉公式是复数的一个重要公式，表示为e^(iθ)=cosθ+isinθ，其中e为自然对数的底数。
10. 复数的指数和对数函数：复数可以进行指数和对数运算，其中指数函数遵循e^(a+bi)=e^a(cosb+isina)，对数函数遵循ln(a+bi)=ln|a+bi|+iθ。
11. 复数的幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并运用指数函数的性质进行计算。
12. 复数的根式运算：复数的根式运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并运用根式的性质进行计算。
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。
实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。
2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。
5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。
例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。
8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。
9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。
10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。
11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。
高中数学知识梳理@7复数
第七章复数1．知识结构：2．基本要求：理解复数的有关概念：复数、虚数、纯虚数，复数的实部、虚部，共轭复数、复数相等；理解复平面的有关概念：复平面、实轴、虚轴，复数的向量表示、复数的模、复平面上两点间的距离．掌握复数的四则运算、平方根，1的立方根；会解实系数一元二次方程．3．重点问题：（1）利用复数的分类、复数相等、复数的运算求解复数问题；（2）掌握复数的模、两复数差的模的几何意义，并解决模的最值问题；（3）掌握实系数一元二次方程的根的问题．4．思想方法与能力：（1）将复数问题转化为实数问题的“化归思想”；（2）通过对实系数一元二次方程的根的问题，把握分类讨论的数学思想；（3）根据复数与复平面内的点的对应关系，注意数与形的转化．1941957.1 复数的概念及运算（一）知识梳理1．复数概念：（1）z a bi =+（a b R ∈、），i 为虚数单位，a 为实部，b 为虚部 （2）共轭复数：z a bi =-（3）复平面：实轴、虚轴，z 对应复平面上的点的坐标为(,)a b （4）复数的模：z =z 对应点到原点的距离2．复数分类： （1）实数：0b = （2）虚数：0b ≠（3）纯虚数：0a =且0b ≠ 3．复数相等：设1z a bi =+，2z c di =+，a b R ∈、、c 、d ，则12z z a c =⇔=且b d = 4．复数的四则运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1122a b a b R ∈、、、），则 （1）121212()()z z a a b b i ±=±+± （2）1212121221()()z z a a b b a b a b i =-++ （3）11212211222222()()z a a b b a b a b iz a b ++-=+（分母实数化） 5．共轭复数与模的性质（1）1212z z z z ±=±； 1212z z z z ⋅=⋅； 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭ （2）1212z z z z ⋅=⋅； 1122z z z z = （3）2z z z =⋅； z z =（4）z R z z ∈⇔=； z 为纯虚数z z ⇔=-且0z ≠6．求解复数z 的方法设z a bi =+（a b R ∈、），转化为求实数a b 、的方程组典型例题196【例1】判断下列命题的真假：（1）设12z z C ∈、，若2212z z =，则1122z z z z =；（2）设123z z z C ∈、、，若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==；（3）设z C ∈，则z 为纯虚数的充要条件是0z z +=； （4）设12z z C ∈、，若120z z ->，则12z z >； （5）设12z z C ∈、，则12z z -= （6）设z C ∈，则()()m nmnz zm n Q =∈，解：（1）为真命题，其余都为假命题【例2】实数m 分别取什么数时，复数2(1)52)615z i m i m i =++-+-（是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应的点在第三象限； （5）对应的点在直线40x y ++=上；（6）共轭复数的虚部为12 解：（1）53m m ==-或；（2）53m m ≠≠-且；（3）2m =-； （4）32m -<<-；（5）512m m =-=或【例3】计算下列各式的值： （1）232005i i i i ⋅⋅⋅⋅= （2）232005i i i i ++++=（3）7651212i i i i ---+-- 解：（1）i - （2）i （3）7455i -- 说明：i 的幂运算具有周期性【例4】（1）已知1z i =+，设23(1)4z i ω=+--，求ω （2）若(34)724z i i -=-+，求1z（3）若545(13)(1)(3)i i z i ++=-，求z 的值解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--197（2）72434i z i -+=+，1z =342525i +（3）545455131(13)(1)4(3)3i ii i z i i++++===-- 【备用题1】已知z w C ∈，，(13)i z +为纯虚数，2zw i=+，且w =w 解：(155)z i =±+，则7w i =-或7w i =-+巩固练习1．对于任意虚数z ，z z +的共轭一定是 ，z z -一定是 ，z z ⋅一定是 ，22()z z -一定是2．已知121iz i-=+，则z = ，z = 3．设b R ∈，且1122i bi +++的实部与虚部相等，则b =4．计算2320081i i i i +++++=5．若123421z i z i =--=+，，且12z z z ⋅=，则z =6．若223()1z z f z z -+=+，则(1)f i +=7．计算：2310011111111i i i i i i i i ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 8．计算： 264(43)(3)(12)i i i --=- 9．复数3()z ai a R =-∈，若5z <，则a 的取值范围是 10．设复数z 满足5z =，且(34)i z +是纯虚数，则z =11．当m 为何值时，22(344)(252)z m m m m i =--+++为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在第二象限？19812．设m R ∈，虚数22(1)()z m m m i =++-，且2(1)z m i =+-+，求m 的值7.2 复数的概念及运算（二）典型例题【例1】已知1z i =+，若2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值. 解：因为2(1)(1)1i z z i --+=+，又22(1)(1)()(2)z az b i a i b a b a i ++=++++=+++ 所以121a b a +=+=，，所以12a b =-=，说明：复数相等的充要条件是解复数问题的重要依据【例2】求复数z ，使4z R z+∈，且22z -= 解一：设z a bi =+（a b R ∈、）由22224444()()a b z a bi a b i R z a bi a b a b +=++=++-∈+++故2240bb a b-=+ 又由22z -=2= 解方程组，可得0z =，4z =，1z = 解二：由4z R z +∈，即441()z z z z z z+=+=+，则2()(4)0z z z--=，即z z =或24z =当z z =且22z -=时，0z =或4z =； 当24z =且22z -=时，0z =或1z =± 综上所述：0z =，4z =，1z =±199【例3】设w 是方程110z z++=的一个根，求： （1）248(1)(1)(1)(1)w w w w ++++ （2）20082008ww -+解：（1）1；（2）1- 【例4】设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11zu z-=+，求证u 为纯虚数； （3）求2u ω-的最小值.解：（1）由1z R zω=+∈且z 是纯虚数得1z =，则z z ω=+ 设z a bi =+ (,)a b R ∈，则2a ω=，由12ω-<<知112a -<<则，1Re 12z -<<（2）证明：111()111z z zz z z u u z z z zz z ----=====-++++ 且0u ≠，所以u 为纯虚数（3）因为222121z z z u z z uu a z z zω--+-=++=++++1222(1)3111a a a a a -=+=++-≥++ 当且仅当0a =即z i =±时，2u ω-有最小值为1巩固练习1．复数34i +的平方根为2．若一个复数的平方等于它的共轭复数，则此复数为 3．虚数z 满足1z R z+∈，则z = 4．已知z u C ∈、且z u ≠，1z =，则1z uz u--⋅的值为5．设复数()z x yi x y R x y =+∈≠、，，若222z z P Q z z i-==⋅，，则下列关系式中正确的是（ ）(A) P Q > (B) P Q < (C) P Q = (D) P Q 、不能确定大小2006．如果210w w ++=，则21001w w w ++++=7．设221z z =-则复数z =8．设x y 、为共轭复数，且()326x y xyi i +-=-，求x y 、9．已知2222x y xyi i -+=，求实数x y 、的值10．已知1z R z+∈，且2z -，求复数z .7.3 复数的几何意义与向量表示知识梳理1．复数与复平面内点及位置向量的对应复数z x yi =+（x y R ∈、），对应点(,)P x y ，对应向量(,)OP x y = 2．两复数差的模的几何意义：设复数111z x y i =+，222z x y i =+（1122x y x y R ∈、、、）对应复平面上的点分别为12Z Z 、，则12z z -表示两点12Z Z 、之间的距离，即1221z z Z Z -=3．常见轨迹的复数方程：（1）0(0)z z r r -=>表示以复数0z 对应点为圆心，r 为半径的圆 （2）12z z z z -=-表示以复数12z z 、对应点为端点的线段的垂直平分线 （3）122z z z z a -+-= 12(2)z z a -<表示椭圆 （4）122z z z z a ---= 12(2)z z a ->表示双曲线的一支典型例题201【例1】平行四边形OABC ，各顶点对应的复数分别是00,2,23,2A B az z i z a i ==+=-+ C z b ai =-+ (,)a b R ∈，求AOC ∠大小.解：由题设得(0,0)(2,)(2,3)(,)2a O A B a Cb a --，，， 因0ABC 为平行四边形，故OC 中点与AB 中点重合 故由中点公式，得2,6a b ==此时，OA OC AC ===由余弦定理，得34AOC π∠=说明：注意到复数的几何意义，即复数的实部、虚部对应于复平面内点的横坐标、终坐标【例2】复数z 所对应的点Z ，点Z 的轨迹是什么曲线？ （1）12z i ++= （2）4z i z i ++-= （3）223z i z --=解：（1）是以点(1,1)--为圆心，2为半径的圆（2）是以点(0,1)±为焦点的椭圆，其方程为22134x y += （3）设复数z 对应点为(,)x y ，则(,)z x y i x y R =+∈，代入原式并化简得2288240x y x y +--+=，其轨迹为：以(4,4)为圆心，说明：注意到两复数差的模的几何意义【例3】（1）已知1z =，求2z -的最值；（2）已知11z i --=，求z i +的最值；（3）复数z 满足223z i z --=，求z 的最大值与最小值 （4）若z =2242z z i -++的最小值解：（1）利用单位圆上的点到点(2,0)的距离的最值得最大值为3、最小值为1（2）以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到(0,1)-1、2021（3）由例2（3）知，max z =min z =（4）设(,)z x yi x y R =+∈，则z对应点的轨迹是：以原点为圆心，为半径的圆 而2222222242(4)(2)2(2)2(1)10z z i x y x y x y -++=-++++=-+++其中22(2)(1)x y -++的最小值为220=所以2242z z i -++的最小值为50说明：一般地，复数z 满足0(0)z z r r -=>，则复数z 对应复平面内点的轨迹是：以复数0z 对应点为圆心，r 为半径的圆【例4】若复数01(0)z mi m =->，对任意复数z 都有0w z z =⋅，2w z =。
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复数
基础知识
1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除
等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ
，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：
（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2
121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；
（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2
1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2
12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ).
6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2sin 2(cos
n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。
7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k ，若k=nq+r,q ∈Z,0≤r ≤n-1，有Z nq+r =Z r ；（2）对任意
整数m ，当n ≥2时，有m n m m Z Z Z 1211-++++ =⎩⎨⎧,
|,,|,0m n n m n 当当特别1+Z 1+Z 2+…+Z n-1=0；（3）
x n-1+x n-2
+…+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2)…(x-Z n-1)=(x-Z 1)(x-21Z )…(x-11-n Z ). 8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。
9．复数z 是实数的充要条件是z=z ;z 是纯虚数的充要条件是：z+z =0（且z ≠0）.
10.代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则z =a-bi 也是一个根。
12．若a,b,c ∈R,a ≠0，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0，当Δ=b 2-4ac<0时方程的根为
.22,1a i b x ∆-±-=。