圆中证明
过圆内一点的最短弦证明
过圆内一点的最短弦证明空间几何学中，最短弦证明是一个重要的概念，在有许多几何形状中，它能够更好地解释特定形状的几何关系，特别是用于证明圆内有一点且只有一点的情况。
最短弦证明定义如下：在空间中，圆内一点的最短弦是指圆内任意一点到任意另一点的最短弦段。
根据定义，证明圆内一点的最短弦就是证明圆内一点的最短距离，即任意一点到任意另一点的最短弦段的总长度最短。
证明圆内有一点的最短弦，首先可以画一个圆，其半径为一定的长度。
然后，在圆周上标出两点，即P1和P2，将圆周分为两段，其中P1表示圆的起点，P2表示圆的终点。
现在，考虑圆内的某一点P3，其与P1和P2相连的两段弦段的总长度就是P1P2+P2P3+P3P1。
以上是圆内任意两点的最短弦，但是要验证圆内一点的最短弦，则需要进一步证明，即证明当P1和P2中有一点与P3重合时，仍然是最短弦段。
首先，令P3与P1重合，圆内一点的最短弦就是P1P2。
然后，考虑把P1放到圆上任意一点，此时，P1P3+P3P2=P1P2，即当P1和P3重合时，最短弦段仍然是P1P2，因此，可以把P1放到圆上任意一点，仍然可以得到最短弦段。
此时，可以得到P2P3的最大值，即P1P2的总长度减去P1P3的总长度。
最后，考虑P2与P3重合的情况，此时最短弦段就是P1P2。
因此，当P1、P2和P3重复时，最短弦段仍然是P1P2，从而可以证明圆内一点的最短弦。
综上所述，最短弦证明是圆内一点的最短弦，它可以有效证明圆内任意一点到任意另一点的最短弦段的总长度最短，同时又可以把圆周上的两个点P1和P2作为参考，让P3在圆上任意一点，仍然可以得到最短弦段。
而对于圆内一点的最短弦，又有三个步骤可以进行证明：首先，画出圆，并令圆周上的两个点P1和P2作为参考；然后，把P1放到圆上任意一点，得到最短弦段；最后，当P2与P3重合时，最短弦段仍然是P1P2。
总之，最短弦证明是圆内一点的最短弦段，它可以有效证明任意一点到另一点的最短距离，同时又可以把圆内两个点作为参考，让P3在圆内取任意一点，仍然能够得到最短弦段，空间几何学的重要性和常用性再次被证明。
托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题
托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题1．基本图形与结论：如图1，当A、B、C、D四点共圆，则AC×BD=AB×DC+AD×BC．2．简单证明：在线段BD上取一点E，连AE，使∠AEB=∠ADC，易得△AEB∽△ADC，AC CD AC BE AB CD=⇒⨯=⨯①AB BE旋转一拖二得△ABC∽△AED，AC BC AC DE BC AD=⇒⨯=⨯②AD DE由①＋②得：AC×（BE＋DE）=AC×BD=AB×DC＋AD×BC．3．模型识别：具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算．※4．广义托勒密定理：对于任意凸四边形ABCD，则有AC×BD≤AB×DC+AD×BC．证明从略···【模块二对角互补模型→旋转视角】1．基本图形与模型识别：如图2，对角互补且一组邻边相等．．．．．．．．．．．的四边形，可通过旋转变换将四边形转化为等腰三角形（等腰思旋转）．2．四类常见对角互补模型：①模型一：等边60°对120°型条件：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°结论：（1）CA平分∠BCD；（2）BC+CD=AC．证明：证明：如图，将△ACD绕点A逆时针旋转60°至△AMB，使AD，AB重合，则△ACD≌△AMB，∴∠ADC=∠ABM，AC=AM，CD=BM，∠ACD=∠M，∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC+∠ABM=180°，∴M，B，C三点共线，∵∠MAC=∠BAD=60°，∴△MAC为等边三角形，∴MC=AC，∠M=∠ACD，∴MB+BC=AC，∠ACB=∠ACD，∴CA平分∠DCB，CB+CD=AC．②模型二：等腰直角对直角型条件：如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°．结论：（1）CA 平分∠DCB ；（2）CB +CD 2．证明：略···③模型三：等腰顶角120°对60°型条件：如图5，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠BCD =60°．结论：（1）CA 平分∠BCD ；（2）CB +CD 3．证明：略···※④模型四：同侧双直角型条件：如图6，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠BCD =90°．结论：CB －CD 2AC ．证明：略···【模块三对角互补模型→托密视角】1．等腰△三角函数计算：如图7，2cos 2cos BC AB m αα=⋅=⋅2．托勒密定理应用：①如图8，对角互补型：2cos 2cos ma mb c m a b c αα+=⋅⋅⇒+=⋅结论：当α=60°时，a ＋b =c当α=45°时，a ＋b 2当α=30°时，a ＋b 3※利用角平分线性质也可直接得2cos a b c α+=⋅②如图9，同侧等角型：2cos 2cos a m mb mc c b a αα⋅⋅+=⇒-=⋅结论：当α=45°时，c －b 2···【模块四婆罗摩笈多定理】婆罗摩笈多（约公元598－约660年）是一位印度数学家和天文学家，他出身于古印度的婆罗门种姓，婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，掌握着天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具——数学．婆罗摩笈多著有两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的．婆罗摩笈多还提出了著名的婆罗摩笈多定理，简称“婆氏定理”．若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．1．简单证明：已知：如图，四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC ⊥BD 于点M ，ME ⊥BC 于点E ，延长EM 交CD 于点F ，求证：F 是AD 中点．证明：∵AC ⊥BD ，ME ⊥BC∴∠CBD =∠CME∵∠CBD =∠CAD ，∠CME =∠AMF∴∠CAD =∠AMF∴AF =MF∵∠AMD =90°，同时∠MAD +∠MDA =90°∴∠FMD =∠FDM∴MF =DF ，∴AF =DF 即F 是AD 中点．2．婆罗摩笈多逆定理请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，试证明婆罗摩笈多逆定理：（1）如图1，四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC ⊥BD 于点M ，F 为AD 中点，连接FM 并延长交BC 于点E ，求证：ME ⊥BC ．（2）如图2，△ABC 内接于圆O ，∠B =30°，∠ACB =45°，AB =2，点D 在圆O 上，∠BCD =60°，连接AD 交BC 于点P ，作ON ⊥CD 于点N ，连接并延长NP 交AB 于点M ，求证PM ⊥BA ，并求PN 的长．3．共顶等腰直模型（婆罗摩笈多模型）已知：如图，两个等腰直角三角形Rt △ABO 和Rt △CDO ，顶点重合，连接AC ，BD ．结论：①如果F 是AC 中点，那么一定有EF ⊥BD ；②如果EF ⊥BD ，那么一定有F 是AC 中点；③S △BOD =S △AOC ；④2FO =BD ．证明：（1）法一：（外）弦图构造法，如图1（2）法二：导角构造→全等构造法，如图2【例1】如图3所示,试证明：上述共顶等腰直模型中①②结论．【例2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、ACFG：（1）过A作AH⊥BC于H，AH与EG交于M，求证：①EM=MG，②BC=2AM．（2）若M为EG的中点，求证：AH⊥BC．【模块四真题探究】【例3】（改编）如图1，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于 AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积．【例4】（2013·成都中考改编）如图2，A ，B ，C 为⊙O 上相邻的三个n 等分点， AB BC=，点E 在 BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与A'重合，点B 与B'重合，连接EB'，EC ，EA'．设EB'=b ，EC =c ，EA '=p ．现探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当n =3时，p =b +c ；请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当n =4时，p =__________；当n =8时，p =__________；当n =12时，p =__________．（参考数据：62sin15=cos 75=4-︒︒，62cos15=sin 75=4+︒︒）本讲反思：。
勾股定理用圆证明方法
勾股定理用圆证明方法嘿，咱今儿来聊聊勾股定理用圆证明的法子哟！你说这勾股定理啊，那可真是数学里的大宝贝呀！好多人都知道它，可不见得都晓得怎么用圆来证明它呢。
咱先画个直角三角形，就把它的三条边分别叫做 a、b、c 吧，其中c 就是斜边哟。
然后呢，咱以这个直角三角形的三条边为直径分别画三个半圆。
你看看，这三个半圆多有意思呀！就好像三个小伙伴，各自有着自己的地盘。
这时候，咱就得好好观察观察啦。
你瞧，以斜边 c 为直径的那个半圆的面积，是不是等于以另外两条边 a 和 b 为直径的两个半圆面积之和呀？哎呀呀，这可不是随便说说的哟！咱可以算一算呀，半圆的面积不就是圆面积的一半嘛。
那以 a 为直径的半圆面积就是π(a/2)²÷2，同理，以 b 为直径的半圆面积就是π(b/2)²÷2。
而以 c 为直径的半圆面积就是π(c/2)²÷2。
经过一番计算，你就会发现，哇塞，真的就是π(a/2)²÷2 + π(b/2)²÷2 = π(c/2)²÷2 呀！这不就证明了勾股定理嘛！你说神奇不神奇？这就好像是在玩一个拼图游戏，把这些半圆拼拼凑凑，就得出了这么重要的结论。
其实数学里好多东西都这样，乍一看好像挺难的，但是只要咱静下心来，好好琢磨琢磨，就会发现其中的奥秘呀。
就像这个用圆证明勾股定理，不就是一个很好的例子嘛。
咱在生活中不也经常会遇到一些看似很难的事情嘛，但是只要咱有耐心，有方法，去一点点研究，去尝试，总能找到解决的办法呀。
你想想看，要是没有这种探索精神，那咱能发现这么多有趣的知识和规律吗？那得多无聊呀！所以说呀，遇到难题别害怕，就像对待这个勾股定理一样，勇敢地去挑战它，说不定就能有意外的收获呢！这就是勾股定理用圆证明的方法啦，是不是很有趣呀？希望大家都能喜欢数学，在数学的海洋里尽情遨游哟！。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
几何证明中的圆的性质证明
几何证明中的圆的性质证明在几何学中，圆是一种经常出现的基本图形，它具有特殊的性质。
本文将对几何证明中圆的性质进行论述与证明，以帮助读者更深入了解圆的相关特征。
1. 弧的长度定理：圆的弧长与半径成正比。
即当两个圆拥有相同的圆心角时，半径较长的圆所对应的弧长也更长。
证明：假设圆O的半径为r，圆心角θ度。
则弧长L与θ呈线性关系，即L = kθ。
其中k为比例系数。
同理，假设圆O'的半径为r'，对应的圆心角也为θ度，则弧长L'与θ呈线性关系，即L' = k'θ，k'为另一个比例系数。
现在我们将两个圆O和O'放在一起比较。
由于圆O的半径较长，即r > r'，我们可以得出r / r' > 1。
将L = kθ和L' = k'θ代入，可以得到L / L' = (r / r') * (k / k')。
由于r / r' > 1，所以L / L' > k / k'。
这意味着圆O对应的弧长L较长，即圆的弧长与半径成正比。
2. 圆的周长与直径关系：圆的周长与其直径成正比。
即当直径长度为D时，圆的周长C =π * D，其中π是一个常数，约等于3.14159。
证明：假设圆O的直径为D，半径为r，则D = 2r。
我们将圆O的周长C与其直径D代入周长公式C = π * D，得到C = π * (2r)。
化简可得C = 2πr，即周长C与半径r成正比。
由于π是一个常数，所以C与直径D成正比。
3. 切线与半径的关系：在圆的两个相切点上，切线垂直于半径。
这是圆的一个重要性质。
证明：第一步，连接圆心O与相切点A、B，并分别画出OA和OB。
第二步，我们要证明切线AB垂直于半径OA。
假设切线AB与半径OA的夹角为α，我们将这个角度与已知等于90度的角β进行比较。
由于AB是切线，它与圆的弧AOB相切于点A和B。
2020年深圳中考压轴题圆题型汇总(托勒密定理等圆中难题秘诀)
2020年深圳中考压轴题圆题型汇总(托勒密定理等圆中难题秘诀)中考专项练——圆一、圆中等积式证明（三角形相似）在圆中，我们常常需要证明一些等积式，其中一种常见的方法是利用三角形相似。
例如，我们可以证明在同一圆周上的两个弧所对应的圆心角相等，即 $\angle AOB = \angle COD$，其中 $AB$ 和 $CD$ 分别是这两个弧所对应的弦。
我们可以通过证明 $\triangle AOB \sim \triangle COD$ 来得到这个结论。
圆中的相似模型】在圆中，我们还可以利用相似模型来解决问题。
例如，我们可以利用相似模型证明切线与半径垂直，即 $\angle AOB = 90^\circ$，其中$OA$ 是圆的半径，$AB$ 是与圆相切的切线。
切线定理】切线定理是圆中一个重要的定理，用于描述切线与圆的关系。
根据切线定理，切线与圆的切点处的切线段长度相等。
例如，如果 $AB$ 和 $CD$ 是与圆相切的两条切线，它们的切点为 $P$，那么 $AP=PD$ 和 $BP=PC$。
中点弧模型】中点弧模型是圆中一个常见的模型，用于求解圆中线段的长度。
例如，如果 $AB$ 是圆中一条弦，$M$ 是 $AB$ 的中点，$OM$ 是圆的半径，那么 $AB=2OM$。
例题】例如，如果 $AB$ 是圆中一条直径，$C$ 是圆上一点，$CD$ 是过 $C$ 的切线，交直径 $AB$ 于 $E$，那么 $CE=DE$。
二、圆中线段和差比值问题利用三角形全等进行截长补短】在圆中，我们常常需要解决线段和差比值的问题。
例如，如果 $AB$ 和 $CD$ 是圆中两条相交的弦，交点为 $E$，那么$\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CD}{DB}$。
我们可以利用三角形全等来证明这个结论。
托密勒定理】托密勒定理是圆中一个重要的定理，用于描述线段和差的比值。
根据托密勒定理，如果 $AB$ 和 $CD$ 是圆中两条相交的弦，交点为 $E$，那么$\dfrac{AE}{EB}\cdot\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{CE}{ED}$。
滚动小专题(九)-圆中的简单计算和证明
滚动小专题(九) 圆中的简单计算与证明类型1 与垂径定理有关的计算与证明1．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A ，B ，C ，其中点B 坐标为(4，3)．(1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D 的坐标(2，－1)；(2)⊙D 的半径为(3)求ABC ︵的长(结果保留π)．解：(1)如图，作线段AB 与BC 的垂直平分线，交点即为点D ，∴圆心D 的坐标为(2，－1)．(2)连接AD ，则AD ＝AE 2＋DE 2＝2 5.(3)过点D 作DF ⊥AO 延长线于点F ，过点C 作CG ⊥FD 于点G.连接CD.在△ADF 和△DCG 中，DF ＝CG ＝2, ∠AFD ＝∠DGC ＝90°，AF ＝DG ＝4，∴△ADF ≌△DCG(SAS)．∴∠ADF ＝∠DCG.∵∠DCG ＋∠CDG ＝90°，∴∠ADF ＋∠CDG ＝90°，即∠ADC ＝90°.∴lABC ︵＝90180π×25＝5π.2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD ＝16，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，连接MB.(1)若BE ＝8，求⊙O 的半径；(2)若∠DMB ＝∠D ，求线段OE 的长．解：(1)∵AB ⊥CD ，CD ＝16，∴CE ＝DE ＝8.设OB ＝x.又∵BE ＝4，∴x 2＝(x －4)2＋82，解得x ＝10.∴⊙O 的直径是20.(2)∵∠M ＝12∠BOD ，∠M ＝∠D ， ∴∠D ＝12∠BOD. ∵AB ⊥CD ，∴∠D ＝30°.∴tanD ＝OE DE ＝33.∴OE ＝33DE ＝833.3．如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A ，B 和C ，D ，连接OA ，此时有OA ∥PE.(1)求证：AP ＝AO ；(2)若tan ∠OPB ＝12，求AB.解：(1)证明：∵PG 平分∠EPF ，∴∠DPO ＝∠BPO.∵OA ∥PE ，∴∠DPO ＝∠POA.∴∠BPO ＝∠POA.∴PA ＝OA.(2)过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝HB ＝12AB. ∵tan ∠OPB ＝OH PH ＝12，∴PH ＝2OH. 设OH ＝x ，则PH ＝2x.由(1)可知PA ＝OA ＝10，∴AH ＝PH －PA ＝2x －10.∵AH 2＋OH 2＝OA 2，∴(2x －10)2＋x 2＝102, 解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝8.∴AH ＝6.∴AB ＝2AH ＝12.类型2 与切线相关的证明与计算4．(2016·资阳)如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：∠A ＝∠BDC ；(2)若CM 平分∠ACD ，且分别交AD ，BD 于点M ，N ，当DM ＝1时，求MN 的长．解：(1)证明：连接OD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠A ＋∠ABD ＝90°.又∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠CDB ＋∠ODB ＝90°.∵OD ＝OB ，∴∠ABD ＝∠ODB.∴∠A ＝∠BDC.(2)∵CM 平分∠ACD ，∴∠DCM ＝∠ACM.又∵∠A ＝∠BDC ，∴∠A ＋∠ACM ＝∠BDC ＋∠DCM ，即∠DMN ＝∠DNM.∴DN ＝DM ＝1.又∵∠ADB ＝90°，∴MN ＝DM 2＋DN 2＝ 2.5．(2016·南充)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心OC 为半径作半圆．(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)如果tan ∠CAO ＝13，求cosB 的值．解：(1)证明：作OM ⊥AB 于点M.∵OA 平分∠CAB ，OC ⊥AC ，OM ⊥AB ，∴OC ＝OM.∴AB 是⊙O 的切线．(2)设BM ＝x ，OB ＝y ，则y 2－x 2＝1.①由(1)知AC ，AM 均为⊙O 切线，∴AC ＝AM.∵tan ∠CAO ＝OC AC ＝13. ∴AC ＝AM ＝3.∵cosB ＝BM OB ＝BC AB， ∴x y ＝y ＋1x ＋3，即x 2＋3x ＝y 2＋y.② 由①②可以得到y ＝3x －1.∴(3x －1)2－x 2＝1，解得x ＝34，y ＝54. ∴cosB ＝x y ＝35.6．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC.(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；(2)若CD ＝23，OP ＝1，求线段BF 的长．解：(1)证明：∵∠AFB ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠ADC ，∴∠AFB ＝∠ADC.∴CD ∥BF.又∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF.∴直线BF 是⊙O 的切线．(2)连接OD.∵CD ⊥AB ，∴PD ＝12CD ＝ 3. ∵OP ＝1，∴OD ＝OP 2＋PD 2＝2.又∵CD ∥BF ，∴△APD ∽△ABF.∴AP AB ＝PD BF ，即34＝3BF .∴BF ＝43 3.7．(2016·威海)如图，在△BCE 中，点A 是边BE 上一点，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点D ，AD ∥OC ，点F 为OC 与⊙O 的交点，连接AF.(1)求证：CB 是⊙O 的切线；(2)若∠ECB ＝60°，AB ＝6，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OD ，与AF 相交于点G.∵CE 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CE ，即∠CDO ＝90°.∵AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠DOC ，∠DAO ＝∠BOC.又∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO.∴∠DOC ＝∠BOC.又OD ＝OB ，CO ＝CO ，∴△CDO ≌△CBO(SAS)．∴∠CBO ＝∠CDO ＝90°.∴CB 是⊙O 的切线．(2)由(1)可知∠DCO ＝∠BCO ，∠DOC ＝∠BOC ，∵∠ECB ＝60°，∴∠DCO ＝12∠ECB ＝30°. ∴∠DOC ＝∠BOC ＝60°.∴∠AOD ＝60°.∵OA ＝OD ，∴△OAD 是等边三角形．∴AD ＝OD ＝OF.∵∠DOC ＝∠ADO ，∠FGO ＝∠AGD ，∴△ADG ≌△FOG(AAS)．∴S △ADG ＝S △FOG .∵AB ＝6，∴⊙O 的半径为3.∴S 阴影＝S 扇形ODF ＝60π×33360＝32π.。
中考复习 第七讲 圆中的计算与证明(一)
第七讲 圆中的计算与证明（一）【基础回顾】 1.如图1，在O 中，AB 、AC 为互相垂直的两条弦，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则四边形ADOE 为( )A .菱形B .矩形C .正方形D .梯形图 1 图 22.如图2，O 的直径CD =10cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，:3:5OM OC =，则AB 的长为( )A .8cmB .91cmC .6cmD .2cm 3.如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径， ∠ACB =50°，点D 是BAC 弧上一点，则D ∠= ．【例题解析】【例1】如图3，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA =8，AB =12，∠A =∠B =60°，则BC 的长为( )A .19B .16C .18D .20图3 图4【练】如图4，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为 .DECBOABACMODxyQ PMBDCAO【例2】如图5，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则∠D +∠E 的度数为（ ） A .m B .1802m ︒- C .902m ︒+ D .2m图 5 图 6【练】如图6，AB 是⊙O 的直径，则∠1+∠2= .【例3】如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连接BD 、DC ． (1)求证：BD =DC =DI ；(2)若圆O 的半径为10cm ，∠BAC =120°，求△BDC 的面积．【练】如图，在直角坐标系中，M 为x 轴上一点，M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为BC 上的一个动点，CQ 平分PCD ∠，A (－1，0)，M (1，0). (1)求C 点坐标(2)当P 点运动时，线段AQ 的长度是否改变？ 若不变求出其值，若改变说明理由。
几何证明圆与正方形的证明
几何证明圆与正方形的证明几何证明：圆与正方形的证明圆与正方形是几何学中的基本形状之一，在证明两者之间的关系时，需要运用一些基本的几何知识和证明方法。
下面将进行圆与正方形的证明。
一、圆内接正方形的证明我们要证明的是，在给定的圆内能够找到一个正方形，且该正方形的四个顶点都位于圆上。
证明过程如下：1. 假设存在一个圆O，圆心为O，半径为R。
2. 在圆上任取一点A作为正方形的其中一个顶点。
3. 以A为圆心，以R为半径作一条圆弧，将圆切分为两弧（所述大弧与所述小弧之间的角为直角）。
4. 连接圆心O与A。
5. 假设与该直线垂直且与该直线交于B的另一直线，交点记为M。
6. 则以M为圆心，以MA为半径作一条圆弧，其与圆弧AO的交点记为N。
7. 延长MA与MN，使其延长部分分别与圆弧AO和圆弧AB相交，分别交于P和Q。
8. 由于点A和点N都在圆弧AO上，因此，角MAN是圆上的角，所以角MAN是由其对应弧所夹的角，即∠MAO。
9. 由于点A和点O都在圆弧AO上，因此，角MAO是圆上的角，所以角MAO是由其对应弧所夹的角，即∠MNO。
10. 根据直角三角形的性质，∠MAO和∠MNO都是直角。
11. 因此，正方形AMNO是圆O的内接正方形。
12. 综上所述，我们证明了在给定的圆O内能够找到一个正方形，且该正方形的四个顶点都位于圆上。
二、正方形内切圆的证明我们要证明的是，在给定的正方形内能够找到一个圆，且该圆的圆心位于正方形的中心，且与正方形四个边界相切。
证明过程如下：1. 假设存在一个正方形ABCD，其边长为a。
2. 以正方形的一个顶点A为圆心，以边长的一半a/2为半径作一条圆，记为O。
3. 连接圆心O与正方形的另外三个顶点B、C、D，分别得到线段OB、OC和OD。
4. 由于正方形的四个顶点均位于一个圆周上，并且与圆心相连的线段均为半径，所以线段OB、OC和OD均相等。
5. 根据正方形的性质，OB、OC和OD是正方形的对角线，且相互垂直且等长。
证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法
证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。
求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。
A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。
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六 梯形的辅助线
1．圆中作辅助线的常用方法：
（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，
利用垂径定理的推论得出结果。
（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径
端点得到90度的角或直角三角形。
（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。
（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，
经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。
②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。
图1（上） 图1（下）
（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，
（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出
它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。
（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上
的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。
（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。
（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去
解决。
例题1：如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求
∠CBD的度数。
解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500
∵B是弧AC的中点
∴弧AB=弧BC
∴AB==BC
又∵OA=OB=OC
∴△AOB≌△BOC（S.S.S）
图2
∴∠OBC=∠ABO=500
A
C
B
O
1
P
∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800
∴∠CBD=1800 - 500- 500
∴∠CBD=800
答:∠CBD的度数是800.
例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD
的度数=21（弧AD+弧BC）的度数。
证明：连接AC，则∠DPA=∠C+∠A
∴∠C的度数=21弧AD的度数
∠A的度数=21弧BC的度数
∴∠APD=21（弧AD+弧BC）的度数。 图3
一、造直角三角形法
1.构成Rt△,常连接半径
例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM
长;
2.遇有直径,常作直径上的圆周角
例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的
切线,交AC于E.
求证:CE = AE;
3.遇有切线,常作过切点的半径
例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.
求证:∠OAE = ∠OBF;
4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线
长)
例4 .小 ⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，
并相交于P，∠P = 60°。
求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3；
5．正多边形相关计算常构造Rt△
例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.
二、欲用垂径定理常作弦的垂线段
例6. AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC = DF;
(2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面积;
三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形
例7. AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是AC上一点,AM延长线交DC延长线于F.
求证: ∠F = ∠ACM;
四、切线的综合运用
1．已知过圆上的点，常_________________
例8.如图， 已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O
1
于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB ⊥BC于B.求证： BC与⊙O2相切.
C
E
B
O
A
D
例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E
点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．
求证：CD与⊙O相切于点E．
2.两个条件都没有,常___________________
例10. 如图，AB是半圆的直径， AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN
＝AB，求证: 直线MN与半圆相切；
例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E
点. 求证:AC与⊙D相切;
例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。
求证：⊙O也与其他三边都相切；
五、两圆相关题型
1．两圆相交作_____________________
例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点，过B点作直线
交⊙O1于E点、交⊙O2于F点.
求证:CE∥DF;
2.相切两圆作________________________
例14. ⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点，AC切⊙O1于A
点，BC交⊙O2于D点。
求证：∠BAC = ∠BDP；
3．两圆或三圆相切作_________________
例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2，又⊙
O3与三个半圆两两相切。
求⊙O3的半径；
4．一圆过另一圆的圆心，作____________
例16.两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B 两点，且⊙O1过点O2，过B点作直线交⊙O1于C点、
交⊙O2于D点.
求证：△ACD是等边三角形；
六、开放性题目
例17．已知：如图，以ABC△的边AB为直径的O交边AC于点D，且过点D的切线
DE
平分边BC．
（1）BC与O是否相切？请说明理由；
（2）当ABC△满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并
说明理由．
C
E
B
O
A
D
（第23题）